高三第轮复专题训练圆锥曲线中定点定值问题四种模型
模型：手电筒模型
例题（07山东）已知椭圆C：直线椭圆C相交AB两点（AB左右顶点）AB直径圆椭圆C右顶点求证：直线定点求出该定点坐标
解：设
AB直径圆椭圆右顶点
整理：解：满足
时直线定点已知矛盾
时直线定点
综知直线定点定点坐标
◆方法总结：题弦定点张直角例子：圆锥曲线椭圆意点P做相互垂直直线交圆锥曲线ABAB必定点（参考百度文库文章：圆锥曲线弦定点张直角组性质）
◆模型拓展：题拓展手电筒模型：意限定APBP条件（定值定值）直线AB然会定点（三条直线形似手电筒固名曰手电筒模型）（参考优酷视频资料尼尔森数学第季第13节）
模型解题步骤：
Step1：设AB直线联立曲线方程根系数关系求出参数范围
Step2：APBP关系（）次函数
Step3：代入
◆迁移训练
练1：抛物线M点P（12）作倾斜角互补直线PAPB交MAB两点求证：直线AB定点（注：题结适抛物线双曲线）
练2：抛物线M顶点意作两条互相垂直弦OAOB求证：直线AB定点（典例题种解法）
练3：点作动弦ABAC证明BC恒定点（题参考答案：）
练4：设AB轨迹：异原点两点直线倾斜角分变化时证明直线恒定点求出该定点坐标（参考答案）
答案设题意直线OAOB倾斜角满足直线斜率存否OAOB直线倾斜角设AB方程显然
联立消
韦达定理知①
1＝
①式代入式整理化简：
时直线方程表示
直线恒定点
练5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆定点A(40) y轴截弦MN长8
(Ⅰ)求动圆圆心轨迹C方程
(Ⅱ)已知点B(10) 设垂直x轴直线轨迹C交两点P Q x轴角分线 证明直线定点
答案解(Ⅰ) A(40)设圆心C
(Ⅱ) 点B(10)
直线PQ方程
直线PQ定点(10)
练6：已知点面动点满足
（1）求点轨迹应方程
（2）已知点曲线点作曲线两条弦判断：直线否定点？试证明结
解（1）设 （5分）
）
第22题
练7：已知点A（－10）B（1－1）抛物线O坐标原点点A动直线l交抛物线CMP直线MB交抛物线C点Q图
（I）证明 定值
（II）△POM面积求量夹角
（Ⅲ）证明直线PQ恒定点
解：（I）设点MA三点线
(II)设∠POMα
tanα1
(Ⅲ)设点BQ三点线
（*）式代入式
知直线PQ定点E（1－4）
模型二：切点弦恒定点
例题：结：圆点处切线方程类结：椭圆处切线方程椭圆C：右准线l意点M引椭圆C两条切线切点 AB
（1）求证：直线AB恒定点
（2）点M坐标1时求△ABM面积
解（1）设M
∵点MMA∴ ① 理②
①②知AB方程
易知右焦点F（）满足③式AB恒椭圆C右焦点F（）
（2）AB方程
∴ MAB距离
∴△ABM面积
◆方法点评：切点弦性质然结正式考试程中直接直接引题书写步骤换家注意程
◆方法总结：什切点弦？解题步骤？
参考：PPT圆锥曲线切线切点弦方程百度文库
参考：尼尔森数学第季_3优酷视频
拓展：相交弦蝴蝶特征——蝴蝶定理资料
练1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线顶点原点焦点直线距离设直线点点作抛物线两条切线中切点
(Ⅰ) 求抛物线方程
(Ⅱ) 点直线定点时求直线方程
(Ⅲ) 点直线移动时求值
答案(Ⅰ) 题意设抛物线方程结合解抛物线方程
(Ⅱ) 抛物线方程求导
设(中)
切线斜率分
切线：
理切线方程
切线均点
方程两组解
直线方程
(Ⅲ) 抛物线定义知
联立方程消整理
元二次方程根系数关系
点直线
时 取值值
练2：（2013年辽宁数学（理））图抛物线点抛物线作切线切点(原点时重合)切线斜率
(I)求值(II)运动时求线段中点轨迹方
答案
模型三：相交弦定点
相交弦性质实质切点弦定点性质拓展结样适参考尼尔森数学第季_3优酷视频具体解题言相交弦定点涉坐标较计算量相较解题程定注意思路时注意总结类题通法
例题：图已知直线L：右焦点F交椭圆CAB两点点AB直线射影次点DE连接AEBD试探索m变化时直线AEBD否相交定点N？交定点N请求出N点坐标予证明否说明理
法：解： 先探索m0时直线L⊥ox轴ABED矩形称性知AEBD相交FK中点N 猜想：m变化时AEBD相交定点
证明：设m变化时首先AE定点N
∴KANKEN ∴ANE三点线 理BND三点线
∴AEBD相交定点
法2：题直接出AEBD方程令y0x轴交点MN然两坐标相减0计算量
◆方法总结：方法1采纳猜想证明简化解题程证明定点问题类通法类题答题程中注意步骤
例题已知椭圆C：直线x轴交点T点P直线异点T点直线PA1PA2分椭圆交MN点试问直线MN否通椭圆焦点？证明结
方法1：点A1A2坐标知道设直线PA1PA2方程直线PA1椭圆交点A1(20)M通韦达定理求出点M坐标理求出点N坐标动点P直线相知道点P横坐标直线PA1PA2方程求出P点坐标两条直线斜率关系通求MN点坐标求出直线MN方程交点坐标代入果解出t>2否存
解：设直线斜率直线方程消y整理
方程两根
点M坐标
理设直线A2N斜率k2点N坐标
直线MN方程：
令y0点MN坐标代入化简：
椭圆焦点
时MN椭圆焦点
方法总结：题点A1(20)横坐标－2方程根结合韦达定理点M横坐标：实消y整理快果：中换前系数2－2换点N坐标果解题时点计算量减少样真容易出错样减少计算量题关键点P双重身份：点P直线直线A2N进直线MN方程直线x轴交点横截距点MN坐标代入化简易解出忘考察否满足
◆方法2：先猜想定点设弦MN方程出方程进出T交点QS两坐标相减0：
◆方法总结：法2计算量相较细心学会发现实文切点弦恒定点特例已法2采类题通法求解思路混乱相较法1未知数更少思路更明确
练1：（10江苏）面直角坐标系中图已知椭圆+1左右顶点AB右焦点F设点T(tm)直线TATB椭圆分交点M(x1y1)N(x2y2)中m>0y1>0y2<0
⑴设动点P满足PF2－PB24求点P轨迹
⑵设x12x2求点T坐标
⑶设t9求证：直线MN必x轴定点(坐标m关)
解析：问3题
练2：已知椭圆中心坐标原点焦点坐标轴三点．椭圆右焦点F做坐标轴行直线椭圆交两点直线交点Q
（1）求椭圆方程：
（2）否存样直线点Q恒直线移动？存求出直线方程存请说明理
解析：（1）设椭圆方程
代入椭圆E方程
解 ∴椭圆方程
（设标准方程知类似计分）
（2）知：直线
代入椭圆方程整理．
设直线椭圆交点
根系数关系
直线方程：
直线方程：
直线直线方程消
∴直线直线交点直线． 样直线存
模型四：动圆定点问题
动圆定点问题质垂直量问题理解弦定点张直角新应
例题1已知椭圆 抛物线条切线（I）求椭圆方程
（Ⅱ）点动直线L交椭圆CAB两点试问：坐标面否存定点TAB直径圆恒点T？存求出点T坐标存请说明理
解：（I）
直线相切
求椭圆方程（II）Lx轴行时AB直径圆方程：
Lx轴行时AB直径圆方程：
两圆相切点（01）
求点T果存（01）事实点T（01）求点证明
直线L垂直x轴时AB直径圆点T（01）
直线L垂直x轴设直线L：
记点
∴TA⊥TBAB直径圆恒点T（01）坐标面存定点T（01）满足条件
◆方法总结：圆定点问题先取特殊值者极值找出定点证明直径圆周角直角
例题2：图已知椭圆离心率分椭圆左右两顶点点椭圆右焦点点轴位右侧点满足
（1）求椭圆方程点坐标
（2）点作轴垂线作直线
椭圆仅公点直线交直线点
求证：线段直径圆恒定点求出定
点坐标
解：（1）设
椭圆
（2）方法1：设
（*）
韦达定理：
设线段直径圆意点
称性知定点轴令取时满足式定点
法2：题解：取极值PQAD行易X轴相交F（10）接相似证明PF⊥FQ
问题证
练：（10广州二模文）已知椭圆右焦点抛物线焦点重合椭圆抛物线第象限交点圆圆心抛物线动点圆轴交两点
（1）求椭圆方程
（2）证明点运动处圆恒椭圆定点
（1）解法1：∵抛物线焦点坐标∴点坐标
∴椭圆左焦点坐标抛物线准线方程设点坐标抛物线定义知∵∴解∴点坐标 椭圆中
∴∴椭圆方程
解法2：∵抛物线焦点坐标∴点坐标∴ 抛物线准线方程设点坐标抛物线定义知
∵∴解
∴点坐标椭圆中
解∴椭圆方程
（2）证法1 设点坐标圆半径
∵ 圆轴交两点∴ ∴
∴圆方程
∵ 点抛物线动点∴ ()∴
代入 消整理
方程意实数恒成立∴ 解
∵点椭圆∴点运动处圆恒椭圆定点
证法2 设点坐标圆半径
∵ 点抛物线动点∴ ()
∵ 圆轴交两点∴ ∴
∴ 圆方程
令时圆方程
解∴圆椭圆两交点
分点代入方程进行检验知点恒符合方程点恒符合方程∴点运动处圆恒椭圆定点
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模型：手电筒模型
例题（07山东）已知椭圆C：直线椭圆C相交AB两点（AB左右顶点）AB直径圆椭圆C右顶点求证：直线定点求出该定点坐标
解：设
AB直径圆椭圆右顶点
整理：解：满足
时直线定点已知矛盾
时直线定点
综知直线定点定点坐标
◆方法总结：题弦定点张直角例子：圆锥曲线椭圆意点P做相互垂直直线交圆锥曲线ABAB必定点（参考百度文库文章：圆锥曲线弦定点张直角组性质）
◆模型拓展：题拓展手电筒模型：意限定APBP条件（定值定值）直线AB然会定点（三条直线形似手电筒固名曰手电筒模型）（参考优酷视频资料尼尔森数学第季第13节）
模型解题步骤：
Step1：设AB直线联立曲线方程根系数关系求出参数范围
Step2：APBP关系（）次函数
Step3：代入
◆迁移训练
练1：抛物线M点P（12）作倾斜角互补直线PAPB交MAB两点求证：直线AB定点（注：题结适抛物线双曲线）
练2：抛物线M顶点意作两条互相垂直弦OAOB求证：直线AB定点（典例题种解法）
练3：点作动弦ABAC证明BC恒定点（题参考答案：）
练4：设AB轨迹：异原点两点直线倾斜角分变化时证明直线恒定点求出该定点坐标（参考答案）
答案设题意直线OAOB倾斜角满足直线斜率存否OAOB直线倾斜角设AB方程显然
联立消
韦达定理知①
1＝
①式代入式整理化简：
时直线方程表示
直线恒定点
练5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆定点A(40) y轴截弦MN长8
(Ⅰ)求动圆圆心轨迹C方程
(Ⅱ)已知点B(10) 设垂直x轴直线轨迹C交两点P Q x轴角分线 证明直线定点
答案解(Ⅰ) A(40)设圆心C
(Ⅱ) 点B(10)
直线PQ方程
直线PQ定点(10)
练6：已知点面动点满足
（1）求点轨迹应方程
（2）已知点曲线点作曲线两条弦判断：直线否定点？试证明结
解（1）设 （5分）
）
第22题
练7：已知点A（－10）B（1－1）抛物线O坐标原点点A动直线l交抛物线CMP直线MB交抛物线C点Q图
（I）证明 定值
（II）△POM面积求量夹角
（Ⅲ）证明直线PQ恒定点
解：（I）设点MA三点线
(II)设∠POMα
tanα1
(Ⅲ)设点BQ三点线
（*）式代入式
知直线PQ定点E（1－4）
模型二：切点弦恒定点
例题：结：圆点处切线方程类结：椭圆处切线方程椭圆C：右准线l意点M引椭圆C两条切线切点 AB
（1）求证：直线AB恒定点
（2）点M坐标1时求△ABM面积
解（1）设M
∵点MMA∴ ① 理②
①②知AB方程
易知右焦点F（）满足③式AB恒椭圆C右焦点F（）
（2）AB方程
∴ MAB距离
∴△ABM面积
◆方法点评：切点弦性质然结正式考试程中直接直接引题书写步骤换家注意程
◆方法总结：什切点弦？解题步骤？
参考：PPT圆锥曲线切线切点弦方程百度文库
参考：尼尔森数学第季_3优酷视频
拓展：相交弦蝴蝶特征——蝴蝶定理资料
练1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线顶点原点焦点直线距离设直线点点作抛物线两条切线中切点
(Ⅰ) 求抛物线方程
(Ⅱ) 点直线定点时求直线方程
(Ⅲ) 点直线移动时求值
答案(Ⅰ) 题意设抛物线方程结合解抛物线方程
(Ⅱ) 抛物线方程求导
设(中)
切线斜率分
切线：
理切线方程
切线均点
方程两组解
直线方程
(Ⅲ) 抛物线定义知
联立方程消整理
元二次方程根系数关系
点直线
时 取值值
练2：（2013年辽宁数学（理））图抛物线点抛物线作切线切点(原点时重合)切线斜率
(I)求值(II)运动时求线段中点轨迹方
答案
模型三：相交弦定点
相交弦性质实质切点弦定点性质拓展结样适参考尼尔森数学第季_3优酷视频具体解题言相交弦定点涉坐标较计算量相较解题程定注意思路时注意总结类题通法
例题：图已知直线L：右焦点F交椭圆CAB两点点AB直线射影次点DE连接AEBD试探索m变化时直线AEBD否相交定点N？交定点N请求出N点坐标予证明否说明理
法：解： 先探索m0时直线L⊥ox轴ABED矩形称性知AEBD相交FK中点N 猜想：m变化时AEBD相交定点
证明：设m变化时首先AE定点N
∴KANKEN ∴ANE三点线 理BND三点线
∴AEBD相交定点
法2：题直接出AEBD方程令y0x轴交点MN然两坐标相减0计算量
◆方法总结：方法1采纳猜想证明简化解题程证明定点问题类通法类题答题程中注意步骤
例题已知椭圆C：直线x轴交点T点P直线异点T点直线PA1PA2分椭圆交MN点试问直线MN否通椭圆焦点？证明结
方法1：点A1A2坐标知道设直线PA1PA2方程直线PA1椭圆交点A1(20)M通韦达定理求出点M坐标理求出点N坐标动点P直线相知道点P横坐标直线PA1PA2方程求出P点坐标两条直线斜率关系通求MN点坐标求出直线MN方程交点坐标代入果解出t>2否存
解：设直线斜率直线方程消y整理
方程两根
点M坐标
理设直线A2N斜率k2点N坐标
直线MN方程：
令y0点MN坐标代入化简：
椭圆焦点
时MN椭圆焦点
方法总结：题点A1(20)横坐标－2方程根结合韦达定理点M横坐标：实消y整理快果：中换前系数2－2换点N坐标果解题时点计算量减少样真容易出错样减少计算量题关键点P双重身份：点P直线直线A2N进直线MN方程直线x轴交点横截距点MN坐标代入化简易解出忘考察否满足
◆方法2：先猜想定点设弦MN方程出方程进出T交点QS两坐标相减0：
◆方法总结：法2计算量相较细心学会发现实文切点弦恒定点特例已法2采类题通法求解思路混乱相较法1未知数更少思路更明确
练1：（10江苏）面直角坐标系中图已知椭圆+1左右顶点AB右焦点F设点T(tm)直线TATB椭圆分交点M(x1y1)N(x2y2)中m>0y1>0y2<0
⑴设动点P满足PF2－PB24求点P轨迹
⑵设x12x2求点T坐标
⑶设t9求证：直线MN必x轴定点(坐标m关)
解析：问3题
练2：已知椭圆中心坐标原点焦点坐标轴三点．椭圆右焦点F做坐标轴行直线椭圆交两点直线交点Q
（1）求椭圆方程：
（2）否存样直线点Q恒直线移动？存求出直线方程存请说明理
解析：（1）设椭圆方程
代入椭圆E方程
解 ∴椭圆方程
（设标准方程知类似计分）
（2）知：直线
代入椭圆方程整理．
设直线椭圆交点
根系数关系
直线方程：
直线方程：
直线直线方程消
∴直线直线交点直线． 样直线存
模型四：动圆定点问题
动圆定点问题质垂直量问题理解弦定点张直角新应
例题1已知椭圆 抛物线条切线（I）求椭圆方程
（Ⅱ）点动直线L交椭圆CAB两点试问：坐标面否存定点TAB直径圆恒点T？存求出点T坐标存请说明理
解：（I）
直线相切
求椭圆方程（II）Lx轴行时AB直径圆方程：
Lx轴行时AB直径圆方程：
两圆相切点（01）
求点T果存（01）事实点T（01）求点证明
直线L垂直x轴时AB直径圆点T（01）
直线L垂直x轴设直线L：
记点
∴TA⊥TBAB直径圆恒点T（01）坐标面存定点T（01）满足条件
◆方法总结：圆定点问题先取特殊值者极值找出定点证明直径圆周角直角
例题2：图已知椭圆离心率分椭圆左右两顶点点椭圆右焦点点轴位右侧点满足
（1）求椭圆方程点坐标
（2）点作轴垂线作直线
椭圆仅公点直线交直线点
求证：线段直径圆恒定点求出定
点坐标
解：（1）设
椭圆
（2）方法1：设
（*）
韦达定理：
设线段直径圆意点
称性知定点轴令取时满足式定点
法2：题解：取极值PQAD行易X轴相交F（10）接相似证明PF⊥FQ
问题证
练：（10广州二模文）已知椭圆右焦点抛物线焦点重合椭圆抛物线第象限交点圆圆心抛物线动点圆轴交两点
（1）求椭圆方程
（2）证明点运动处圆恒椭圆定点
（1）解法1：∵抛物线焦点坐标∴点坐标
∴椭圆左焦点坐标抛物线准线方程设点坐标抛物线定义知∵∴解∴点坐标 椭圆中
∴∴椭圆方程
解法2：∵抛物线焦点坐标∴点坐标∴ 抛物线准线方程设点坐标抛物线定义知
∵∴解
∴点坐标椭圆中
解∴椭圆方程
（2）证法1 设点坐标圆半径
∵ 圆轴交两点∴ ∴
∴圆方程
∵ 点抛物线动点∴ ()∴
代入 消整理
方程意实数恒成立∴ 解
∵点椭圆∴点运动处圆恒椭圆定点
证法2 设点坐标圆半径
∵ 点抛物线动点∴ ()
∵ 圆轴交两点∴ ∴
∴ 圆方程
令时圆方程
解∴圆椭圆两交点
分点代入方程进行检验知点恒符合方程点恒符合方程∴点运动处圆恒椭圆定点
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