19 已知机变量X分布函数
求：①系数k ②X落区间概率 ③机变量X概率密度
解：
第①问 利右连续性质 k＝1
第②问
第③问
110已知机变量X概率密度（拉普拉斯分布）求：
①系数k ②X落区间概率 ③机变量X分布函数
解：
第①问
第②问
机变量X落区间概率曲线曲边梯形面积
第③问
111 某繁忙汽车站天量汽车进出设辆汽车天出事概率00001天1000辆汽车进出汽车站问汽车站出事次数2概率少？
汽车站出事次数2概率
答案 112 已知机变量概率密度
求：①系数k？②分布函数？③？
第③问
方法：
联合分布函数性质：
意四实数满足
方法二：利
113 已知机变量概率密度
①求条件概率密度？②判断XY否独立？出理
先求边缘概率密度
注意限选取
114 已知离散型机变量X分布律
3
6
7
02
01
07
求：①X分布函数 ②机变量分布律
115 已知机变量X服标准高斯分布求：①机变量概率密度？②机变量概率密度？
分析①
②
答案
116 已知机变量相互独立概率密度分
求机变量概率密度？
解：设 求反函数求雅克J＝－1
117 已知机变量联合分布律
求：①边缘分布律？
②条件分布律？
分析：
泊松分布
P19 （1－48）
解：①
②
XY相互独立
118 已知机变量相互独立概率密度分机变量
证明：机变量联合概率密度
|J|＝1
已知机变量相互独立概率密度分
119 已知机变量X服拉普拉斯分布概率密度
求数学期方差？
解
120 已知机变量X取值值出现概率均求：①机变量X数学期方差？②机变量概率密度？③Y数学期方差？
①③
答案
②
Y
3
12
27
48
P
15
15
15
25
离散型机变量概率密度表达式 P12125式
中 激函数
122 已知两机变量数学期方差相关系数现定义新机变量
求期方差相关系数？
013
123 已知机变量满足皆常数证明：
① ② ③ 时机变量正交
①
②
③
125 已知机变量相互独立分服参数泊松分布①求机变量X数学期方差？②证明服参数泊松分布
解：① 泊松分布
特征函数定义
(117题)
②根特征函数性质X Y相互独立
表明Z服参数泊松分布126 已知机变量联合特征函数
求：①机变量X特征函数 ②机变量Y期方差
解：①
②
128 已知两独立机变量特征函数分求机变量特征函数？
解：
特征函数性质：相互独立机变量特征函数等特征函数积
XY独立
独立
独立等价条件（充分必条件）
①
②
③
129 已知二维高斯变量中高斯变量期分方差分相关系数令
① 写出二维高斯变量概率密度特征函数矩阵形式展开
② 证明相互独立皆服标准高斯分布
解：
系数矩阵
线性变换服高斯分布
相关
高斯变量相关独立等价独立
130 已知二维高斯变量两分量相互独立期皆0方差皆令
中常数①证明：服二维高斯分布 ②求均值协方差矩阵 ③证明：相互独立条件
复： n维高斯变量性质
1 高斯变量互相关独立等价
2 高斯变量线性变换服高斯分布
3 高斯变量边缘分布服高斯分布
解：①
②
③相互独立二维高斯矢量
互相关 证角证
131 已知三维高斯机矢量均值常矢量方差阵
证明：相互独立
复： n维高斯变量性质
1 高斯变量互相关独立等价
2 高斯变量线性变换服高斯分布
3 高斯变量边缘分布服高斯分布
思路：设机矢量
性质三维高斯变量求方差阵角阵
132 已知三维高斯机变量分量相互独立皆服标准高斯分布求联合特征函数？
思路：线性变换服高斯分布求写出联合特征函数
线性变换服高斯分布
N维高斯变量联合特征函数
2已知机变量(XY)联合概率密度
(1)条件概率密度
(2)XY否独立？出理
解题思路：
解：(1)
(2)
XY相互独立
4已知 (X1X2X3) 三维高斯变量期方差
求：(1) (X1X2)边缘特征函数
(2) (Y1Y2)联合概率密度
高斯变量线性变换服高斯分布
(X1X2)服高斯分布
(1)
(2)
21 已知机程 中 常数机变量 服标准高斯分布求 三时刻 维概率密度？
解：
(离散型机变量分布律)
22 图223示已知机程 仅四条样函数组成出现概率
图223 题22
两时刻分布律：
1 2 6 3
5 4 2 1
18 14 38 14
求 ？
2－23
24 已知机程 中 皆机变量①求机程期 相关函数 ？②已知机变量相互独立概率密度分 求 维概率密度
第②问
方法：雅克做（求机变量函数分布）
步骤：
t时刻 两机变量函数
①设二维机矢量
②求反函数
③求雅克行列式J|J|
④利公式
⑤联合概率密度求边缘概率密度
⑥t变量
方法二： 特征函数定义性质（独立变量特征函数等特征函数积）做
（特征函数概率密度应）
25 已知 稳程机变量 判断机程 稳性？
机程 非稳
26 已知机程 中机程 宽稳表示幅度角频率 常数机相位 服 均匀分布程 相互独立①求机程 期相关函数？②判断机程 否宽稳？
① 程 相互独立
28 已知稳程 相关函数
求程均方值方差？
210 已知程 中机变量 独立均值0方差5①证明 稳联合稳②求两程互相关函数？
①
211 已知程 稳联合稳 ①求 相关函数 ？② 独立求 ？③ 独立均值均0求
第①问
两联合稳程互相关函数
第②问 两稳程独立
第③问 独立均值均0
212 已知两相互独立稳程 相关函数
令机程中 均值2方差9机变量 相互独立求程 均值方差 相关函数？
机变量A 相互独立
证明程 稳
214 已知复机程
式中 n实机变量 n实数求 满足什条件时 复稳？
复程 复稳条件
①
②
216 已知稳程 均方导 证明 互相关函数 相关函数分
宽稳（实）程 宽稳（实）程 联合宽稳
217 已知机程 数学期 求机程 期？
218 已知稳程 相关函数 求：①导数 相关函数方差？② 方差？
含周期分量
补充题：某噪声电压 态历程样函数 求该噪声直流分量交流均功率
解：直流分量 交流均功率
态历程 样函数时间均代整程统计均
利稳程相关函数性质
方法二：
219 已知机程 中 均值方
差皆1机变量令机程
求 均值相关函数协方差函数方差？
解：
1． 求均值利
机程积分运算数学期运算次序互换
2求相关函数
3 求互协方差函数
4 求方差
220 已知稳高斯程 相关函数
① ②
求 固定时程 四状态
协方差矩阵？
分析：高斯程四状态
解：①
②
221 已知稳高斯程 均值0令机程
证明
222 已知机程 中机相位 服 均匀分布 常数机变量 机变量时机变量 相互独立 具备什条件时程态历？
分析：机程态历求稳程
解：① A常数时
稳程
A机变量时 机变量 相互独立
稳程
②
③
l 机程 X(t)A+cos(t+B)中A均值2方差1高斯变量B（02p）均匀分布机变量AB独立求
（1）证明X(t)稳程
（2）X(t)态历程？出理
（3）画出该机程样函数
（1）
（2）
31 已知稳程功率谱密度求：①该程均功率？
②取值范围均功率？
解
37图310示系统输入稳程系统输出证明：输出功率谱密度
39 已知稳程相互独立均值少零功率谱密度分
令新机程
①证明联合稳
②求功率谱密度？
③求互谱密度？
④求互相关函数？
⑤求互相关函数
解
311 已知微稳程相关函数导数求互谱密度功率谱密度？
Ⅰ稳程 维纳－辛钦定理
Ⅱ217 已知稳程均方导证明互相关函数相关函数分
Ⅲ傅立叶变换微分性质
317 已知稳程物理功率谱密度
①求功率谱密度相关函数？画出图形
②判断程白噪声色噪声？出理
白噪声定义
稳机程均值零功率谱密度整频率轴均匀分布满足 (370)
中正实常数称程白噪声程简称白噪声
44设限时间积分器单位激响应
h(t)U(t)－U(t－05) 输入功率谱密度 白噪声试求系统输出总均功率交流均功率输入输出互相关函数
白噪声
45 已知系统单位激响应输入稳信号相关函数求系统输出直流功率输出信号相关函数？
分析：直流功率＝直流分量方
解 输入稳
输出直流分量
输出直流功率
47 已知图421 示线性系统系统输入信号物理谱密度白噪声求：①系统传递函数？②输出均方值？中
411 已知系统输入单位谱密度白噪声输出功率谱密度
求稳定系统单位激响应？
解：
412 已知系统输入信号功率谱密度
设计稳定线性系统系统输出单位谱密度白噪声？
解：
414 功率谱密度白噪声作低通网络等效噪声带宽电阻输出均功率求值？
书P162
解：低通情况
者调公式
图424 题418
418 图424示线性系统系统输入零均值物理谱密度1白噪声
①判断分服什分布？出理
②证明严稳程
③求互相关函数功率谱密度？
④写出维概率密度表达式？
⑤判断时刻否独立？出理
解：①白噪声 （白噪声带宽限定义）
线性系统系统传递函数
低通线性系统（带宽限）
45节结2系统输入信号等效噪声带宽远系统带宽输出接高斯分布知高斯程
45节结1知高斯程
服高斯分布
②证明严稳程
证：白噪声（宽稳程）通线性系统输出宽稳程（422结1）
高斯程宽稳严稳等价
③求互相关函数功率谱密度
题37 结
④求维概率密度表达式
易
思考1：述机程维概率密度表达式中没时间参量根严稳程特性推
思考2：试着写出程维二维概率密度特征函数形式
⑤判断时刻否独立？出理
独立（高斯程） 等价 互相关（零均值） 等价 正交
联合稳两者相互关系
正交
时刻独立
— END —
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求：①系数k ②X落区间概率 ③机变量X概率密度
解：
第①问 利右连续性质 k＝1
第②问
第③问
110已知机变量X概率密度（拉普拉斯分布）求：
①系数k ②X落区间概率 ③机变量X分布函数
解：
第①问
第②问
机变量X落区间概率曲线曲边梯形面积
第③问
111 某繁忙汽车站天量汽车进出设辆汽车天出事概率00001天1000辆汽车进出汽车站问汽车站出事次数2概率少？
汽车站出事次数2概率
答案 112 已知机变量概率密度
求：①系数k？②分布函数？③？
第③问
方法：
联合分布函数性质：
意四实数满足
方法二：利
113 已知机变量概率密度
①求条件概率密度？②判断XY否独立？出理
先求边缘概率密度
注意限选取
114 已知离散型机变量X分布律
3
6
7
02
01
07
求：①X分布函数 ②机变量分布律
115 已知机变量X服标准高斯分布求：①机变量概率密度？②机变量概率密度？
分析①
②
答案
116 已知机变量相互独立概率密度分
求机变量概率密度？
解：设 求反函数求雅克J＝－1
117 已知机变量联合分布律
求：①边缘分布律？
②条件分布律？
分析：
泊松分布
P19 （1－48）
解：①
②
XY相互独立
118 已知机变量相互独立概率密度分机变量
证明：机变量联合概率密度
|J|＝1
已知机变量相互独立概率密度分
119 已知机变量X服拉普拉斯分布概率密度
求数学期方差？
解
120 已知机变量X取值值出现概率均求：①机变量X数学期方差？②机变量概率密度？③Y数学期方差？
①③
答案
②
Y
3
12
27
48
P
15
15
15
25
离散型机变量概率密度表达式 P12125式
中 激函数
122 已知两机变量数学期方差相关系数现定义新机变量
求期方差相关系数？
013
123 已知机变量满足皆常数证明：
① ② ③ 时机变量正交
①
②
③
125 已知机变量相互独立分服参数泊松分布①求机变量X数学期方差？②证明服参数泊松分布
解：① 泊松分布
特征函数定义
(117题)
②根特征函数性质X Y相互独立
表明Z服参数泊松分布126 已知机变量联合特征函数
求：①机变量X特征函数 ②机变量Y期方差
解：①
②
128 已知两独立机变量特征函数分求机变量特征函数？
解：
特征函数性质：相互独立机变量特征函数等特征函数积
XY独立
独立
独立等价条件（充分必条件）
①
②
③
129 已知二维高斯变量中高斯变量期分方差分相关系数令
① 写出二维高斯变量概率密度特征函数矩阵形式展开
② 证明相互独立皆服标准高斯分布
解：
系数矩阵
线性变换服高斯分布
相关
高斯变量相关独立等价独立
130 已知二维高斯变量两分量相互独立期皆0方差皆令
中常数①证明：服二维高斯分布 ②求均值协方差矩阵 ③证明：相互独立条件
复： n维高斯变量性质
1 高斯变量互相关独立等价
2 高斯变量线性变换服高斯分布
3 高斯变量边缘分布服高斯分布
解：①
②
③相互独立二维高斯矢量
互相关 证角证
131 已知三维高斯机矢量均值常矢量方差阵
证明：相互独立
复： n维高斯变量性质
1 高斯变量互相关独立等价
2 高斯变量线性变换服高斯分布
3 高斯变量边缘分布服高斯分布
思路：设机矢量
性质三维高斯变量求方差阵角阵
132 已知三维高斯机变量分量相互独立皆服标准高斯分布求联合特征函数？
思路：线性变换服高斯分布求写出联合特征函数
线性变换服高斯分布
N维高斯变量联合特征函数
2已知机变量(XY)联合概率密度
(1)条件概率密度
(2)XY否独立？出理
解题思路：
解：(1)
(2)
XY相互独立
4已知 (X1X2X3) 三维高斯变量期方差
求：(1) (X1X2)边缘特征函数
(2) (Y1Y2)联合概率密度
高斯变量线性变换服高斯分布
(X1X2)服高斯分布
(1)
(2)
21 已知机程 中 常数机变量 服标准高斯分布求 三时刻 维概率密度？
解：
(离散型机变量分布律)
22 图223示已知机程 仅四条样函数组成出现概率
图223 题22
两时刻分布律：
1 2 6 3
5 4 2 1
18 14 38 14
求 ？
2－23
24 已知机程 中 皆机变量①求机程期 相关函数 ？②已知机变量相互独立概率密度分 求 维概率密度
第②问
方法：雅克做（求机变量函数分布）
步骤：
t时刻 两机变量函数
①设二维机矢量
②求反函数
③求雅克行列式J|J|
④利公式
⑤联合概率密度求边缘概率密度
⑥t变量
方法二： 特征函数定义性质（独立变量特征函数等特征函数积）做
（特征函数概率密度应）
25 已知 稳程机变量 判断机程 稳性？
机程 非稳
26 已知机程 中机程 宽稳表示幅度角频率 常数机相位 服 均匀分布程 相互独立①求机程 期相关函数？②判断机程 否宽稳？
① 程 相互独立
28 已知稳程 相关函数
求程均方值方差？
210 已知程 中机变量 独立均值0方差5①证明 稳联合稳②求两程互相关函数？
①
211 已知程 稳联合稳 ①求 相关函数 ？② 独立求 ？③ 独立均值均0求
第①问
两联合稳程互相关函数
第②问 两稳程独立
第③问 独立均值均0
212 已知两相互独立稳程 相关函数
令机程中 均值2方差9机变量 相互独立求程 均值方差 相关函数？
机变量A 相互独立
证明程 稳
214 已知复机程
式中 n实机变量 n实数求 满足什条件时 复稳？
复程 复稳条件
①
②
216 已知稳程 均方导 证明 互相关函数 相关函数分
宽稳（实）程 宽稳（实）程 联合宽稳
217 已知机程 数学期 求机程 期？
218 已知稳程 相关函数 求：①导数 相关函数方差？② 方差？
含周期分量
补充题：某噪声电压 态历程样函数 求该噪声直流分量交流均功率
解：直流分量 交流均功率
态历程 样函数时间均代整程统计均
利稳程相关函数性质
方法二：
219 已知机程 中 均值方
差皆1机变量令机程
求 均值相关函数协方差函数方差？
解：
1． 求均值利
机程积分运算数学期运算次序互换
2求相关函数
3 求互协方差函数
4 求方差
220 已知稳高斯程 相关函数
① ②
求 固定时程 四状态
协方差矩阵？
分析：高斯程四状态
解：①
②
221 已知稳高斯程 均值0令机程
证明
222 已知机程 中机相位 服 均匀分布 常数机变量 机变量时机变量 相互独立 具备什条件时程态历？
分析：机程态历求稳程
解：① A常数时
稳程
A机变量时 机变量 相互独立
稳程
②
③
l 机程 X(t)A+cos(t+B)中A均值2方差1高斯变量B（02p）均匀分布机变量AB独立求
（1）证明X(t)稳程
（2）X(t)态历程？出理
（3）画出该机程样函数
（1）
（2）
31 已知稳程功率谱密度求：①该程均功率？
②取值范围均功率？
解
37图310示系统输入稳程系统输出证明：输出功率谱密度
39 已知稳程相互独立均值少零功率谱密度分
令新机程
①证明联合稳
②求功率谱密度？
③求互谱密度？
④求互相关函数？
⑤求互相关函数
解
311 已知微稳程相关函数导数求互谱密度功率谱密度？
Ⅰ稳程 维纳－辛钦定理
Ⅱ217 已知稳程均方导证明互相关函数相关函数分
Ⅲ傅立叶变换微分性质
317 已知稳程物理功率谱密度
①求功率谱密度相关函数？画出图形
②判断程白噪声色噪声？出理
白噪声定义
稳机程均值零功率谱密度整频率轴均匀分布满足 (370)
中正实常数称程白噪声程简称白噪声
44设限时间积分器单位激响应
h(t)U(t)－U(t－05) 输入功率谱密度 白噪声试求系统输出总均功率交流均功率输入输出互相关函数
白噪声
45 已知系统单位激响应输入稳信号相关函数求系统输出直流功率输出信号相关函数？
分析：直流功率＝直流分量方
解 输入稳
输出直流分量
输出直流功率
47 已知图421 示线性系统系统输入信号物理谱密度白噪声求：①系统传递函数？②输出均方值？中
411 已知系统输入单位谱密度白噪声输出功率谱密度
求稳定系统单位激响应？
解：
412 已知系统输入信号功率谱密度
设计稳定线性系统系统输出单位谱密度白噪声？
解：
414 功率谱密度白噪声作低通网络等效噪声带宽电阻输出均功率求值？
书P162
解：低通情况
者调公式
图424 题418
418 图424示线性系统系统输入零均值物理谱密度1白噪声
①判断分服什分布？出理
②证明严稳程
③求互相关函数功率谱密度？
④写出维概率密度表达式？
⑤判断时刻否独立？出理
解：①白噪声 （白噪声带宽限定义）
线性系统系统传递函数
低通线性系统（带宽限）
45节结2系统输入信号等效噪声带宽远系统带宽输出接高斯分布知高斯程
45节结1知高斯程
服高斯分布
②证明严稳程
证：白噪声（宽稳程）通线性系统输出宽稳程（422结1）
高斯程宽稳严稳等价
③求互相关函数功率谱密度
题37 结
④求维概率密度表达式
易
思考1：述机程维概率密度表达式中没时间参量根严稳程特性推
思考2：试着写出程维二维概率密度特征函数形式
⑤判断时刻否独立？出理
独立（高斯程） 等价 互相关（零均值） 等价 正交
联合稳两者相互关系
正交
时刻独立
— END —
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