九年级寒假培优讲义

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1．代数式 x2 实数范围意义 x 取值范围（）
A．x＜2 B．x≤2 C．x＜－2 D．x≤－2
2．列函数中 y x 增减（）
A． xy 2 B． 32  xy C． xy 23 D．
xy 6
3已知直线 bkxy  二四象限直线 2 kbxy 图（）
ABCD
4图四边形 ABCD 中∠B90°AB1BC 3 AD3CD 5 四边形 ABCD
面积()
A． 248 B．3 C． 52
3  D． 15 
5武汉市梅苑学校规定学生学期体育成绩满分 100 分中早锻炼体育课外活动占
20％期中考试成绩占 30％期末成绩占 50％明三项成绩次 959086明
学期体育总评成绩 分
6图四边形 ABCD 菱形 AC8BD4DH⊥AB H AH
PART
01
元二次方程——
解法判式
模块 课前检测Page 2 of 9
1元二次方程定义考查点三：①二次项系数 0 ②高次数 2 ③整式方程
2元二次方程般形式：
2 0 ( 0)ax bx c a    a 二次项系数 b 次项系数 c 常数项．
3元二次方程根考察：
关元二次方程根考查需根代入方程等式然考察恒等变换
例：（1） 0cbxax2  定元二次方程没强调 0a 
（2） 1x3x2x 2 ））（（ 元二次方程二次项抵消
（3） 06x
4x3 2  元二次方程整式方程
注：检验否元二次方程：第步否整式方程第二步方程化简否
存二次项
例 1（1）已知关 x 方程 1x2axx1a 22  ）（ 元二次方程 a 取值范
围 ．
（2）元二次方程 05mx1m3x1m 22  ）（）（ 次项存 m 值

巩固（1） m 值时关 x 方程 4mxx2m 2m2
）（ 元二次方程．
（2）已知关 x 方程 01a2xx1a 22  ）（）（ 常数项等 0 a 值
知识点睛
典型例题
模块二 元二次方程概念Page 3 of 9
例 2（1）关 x 元二次方程 02ax3ax2a 22  ）（）（ 根 0 a
值
（3） m 方程 01x2x3
2 2  根代数式 3m12m4 2  值
（4）已知 a 方程 2 1 0x x   根代数式 3a2a 23  值_________
巩固（1）两方程 01bx1ax2  ）（）（ 01ax1bx2  ）（ 公
根（）
A a b B 0a b  C 1a b  D 1a b  
（2）已知 a 方程 2 3 1 0x x   根代数式 2019a7a32a 23  值_________
1直接开方法
2()ax n m  （ 0m  ）转化 ax n m   转化 ax n m  ax n m   进行
2配方法
配方法解元二次方程步骤：
（1）方程中含未知数项移方程左边常数项移方程右边
（2）根等式性质二次项系数化1
（3）方程两边加次项系数半方左边配成完全方式
3公式法
a2
ac4bbx
2 法前提 0ac4b2 
4分解式法： 般采取十字相法分解式
知识点睛
模块三 元二次方程解法Page 4 of 9
例 3（直接开方法）（1） 91x2 2 ）（（配方法）（2）4x2–8x+10
（公式法）（3） 03x32x 2  （式分解法）（4） 05x12x4 2 
巩固适形式解列方程：
（1）2(x－2)250（2）x（x＋2）＝5（x－2）（3）x2＋2x＝2－4x－x2
（4） 01x11x2 2  （5） 01x2x3 2  （6） 02x4x3 2 
典型例题Page 5 of 9
1元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    系数 a b c 满足条件 2 4 0b ac    时
实数根里 2 4b ac 做元二次方程根判式
2判式根关系：
（1） 2 4 0b ac    时方程两相等实数根
（2） 2 4 0b ac    时方程两相等实数根
（3） 2 4 0b ac    时方程没实数根
例 4（1）已知关 x 元二次方程（a1）x2+（23a）x+30．求证： a  1 时
方程总两实数根
（2） a b 值时方程  2 2 22 1 3 4 4 2 0x a x a ab b       实根？
（3）关 x 元二次方程（m21）x2（2m+1）x+10 实根 m 取值范围什
？
（4）关 x 方程（m21）x2（2m+1）x+10 两相等实根 m 取值范围什
？
（5）关 x 方程（m21）x2（2m+1）x+10 实根 m 取值范围什？
知识点睛
模块四 元二次方程判式
典型例题Page 6 of 9
巩固（1）关 x 方程 kx24x
3
2 0 实数根 k 取值范围什？
（2）关 x 元二次方程 kx24x
3
2 0 实数根 k 取值范围什？
（3）关 x 方程 kx24x
3
2 0 两实数根 k 取值范围什？
例 5已知 a 方程 2 2009 1 0x x   根求 2
2
20092008 1a a a
  
值
例 6（1）已知：abc ΔABC 三边 m>0 时关 x 方程
   2 2 2 max0c x m b x m    两相等实数根求证：ΔABC 直角三角形
（2）已知 a b c 三角形三边长求证： 2 2 2 2 2 2() 0b x b c a x c     没实数根
力提升Page 7 of 9
例 7已知关 x 方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－
2
1 )＝0
(1) 求证： k 值方程总实数根
(2) 等腰△ABC 边长 a＝4两边长 bc 恰方程两根求△ABC 周
长
例 8已知关 x 方程 2 2() 2 1 0m m x mx    两相等实数根
(1) 求 m 取值范围
(2) m 整数 3m  a 述方程根求代数式
2
2 2 12 3 34
aa a    值
真题解析Page 8 of 9
题 1 0 关 x 元二次方程（m1）x2+5x+m23m+20 根 m 值（）
A．1 B．0 C．1 2 D．2
题 2方程 x2+ax+10 x2xa0 公根 a 值（）
A．0 B．1 C．2 D．3
题 3已知 a 方程 x2+x20150 根
aa
1
1a
2
22
值（）
A．2014 B．2015 C．
2014
1 D．
2015
1
题 4关 x 方程 2  2 2 0ax a x a   （） 实数解实数 a 取值范围什
？
题 5关 x 元二次方程 2(1 2 ) 2 1 1 0k x k x     两相等实数根求 k
取值范围．
题 6关 x 方程 ax2+2（a+2）x+a0 实数解求实数 a 取值范围
课作业Page 9 of 9
题 7（1）（x+1）25 （2）（2x+1）249
题 8（1）x23x+10 （2）5x28x+20
题 9（1） 03x3x2 2  （2） 02x3x2
1 2 
题 10（1） 048xx5 2  （2） 02m3mxx 22 Page 1 of 8
1．方程(x＋1)(x－2)＝(x＋1)解（）
A．2 B．3 C．－12 D．－13
2．已知 x＝2 方程 ax2＝c（a≠0）解根（）
A．2 B．0 C．－2 D．确定
3．元二次方程 x2－2x－1＝0 根情况（）
A．两相等实数根 B．两相等实数根
C．实数根 D．没实数根
4．已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)＝15 m2＋n2 值（）
A．3 B．－5 C．－3 5 D．－5 3
5．配方法解关 x 方程 x2＋px＋q＝0 时方程变（）
A．
4
4)2(
2
2 qppx  B．
4
4)2(
2
2 pqpx 
C．
4
4)2(
2
2 qppx  D．
4
4)2(
2
2 pqpx 
6(2014·武汉)次中学生田径运动会参加跳高 15 名运动员成绩表：
成绩（m） 150 160 165 170 175 180
数 1 2 4 3 3 2
运动员跳高成绩众数_________
7方程 x2－9x＋18＝0 两根恰等腰三角形两边长三角形周长
________
8．已知关 x 元二次方程(m＋1)x2－2(m－1)x＋m＝0 实根 m 取值范围
__________
PART
02
元二次方程——
根系数关系
模块 课前检测Page 2 of 8
元二次方程根系数关系（韦达定理）：
21 xx 关 x 元二次方程 )0(02  acbxax 两根方程两根
21 xx 系数 cba 关系：
a
cxxa
bxx  2121
EG：先阅读填空解题：
（1）方程 x2－x－12＝0 根：x1＝ 3 x2＝4 x1＋x2＝1x1·x2＝ 12
（2）方程 2x2－7x＋3＝0 根：x1＝ 1
2
x2＝3 x1＋x2＝ 7
2
x1·x2＝ 3
2

（3）方程 x2－3x＋1＝0 根：x1＝ x2＝ ． x1＋x2＝ x1·x2
＝
（4）根（1）（2）（3）否猜出：
果关 x 元二次方程 mx2＋nx＋p＝0（m≠0 mnp 常数）两根 x1x2
x1＋x2x1·x2 系数 mnp 什关系？请写出猜想说明理．
例 1（1）设 x1x2 方程 2x23x30 两实数根
1
2
2
1
x
x
x
x  值
（2）已知实数 ab（a≠b）分满足 a2−3a+ 5 ＝0b2−3b+ 5 ＝0试求
a
b
b
a  值
（3）设方程 24 7 3 0x x   两根 1x 2x 解方程求列式值
① 1 2( 3)( 3)x x  ② 2 1
1 21 1
x x
x x
 
③ 1 2x x
知识点睛
典型例题
模块二 根系数关系（韦达定理）Page 3 of 8
巩固（1）已知元二次方程 y23y+10 两实数根分 y1y2（y11）（y21）
值
（2）已知关 x 方程 x2（a+b）x+ab20．x1x2 方程两实数根现出三
结：①x1≠x2②x1x2＞ab③x12+x22＞a2+b2 正确结序号
判式韦达定理应体现含参元二次方程中含参元二次方程处理办
法：①二次项系数 0②判式者等 0③根系数关系参计算④结合
实际情况进行答案取舍例： 01x2x1a 2 ）（首先 a 1 接着△ 0 进行
根系数关系应实际情况般指根必须非负数者三角形三边需满足三边关系
例 2 （ 1 ） 设 1x 2x 方 程  2 22 1 2 0x k x k     两 实 根
  1 21 1 8x x   k 值__________．
（2）果关 x 元二次方程 2x22x+3m10 两实数根 x1x2满足等式
3xx
xx
21
21

＜1实数 m 取值范围
知识点睛
模块三 判式韦达定理
典型例题Page 4 of 8
（3）关 x 元二次方程（k1）x2+（k21）x+（k1）20 两根分 
22   4求 k 值．
（4）关 x 元二次方程 x2（a+3）x+a2+8a0 两实数根分 4 b求 ab
值．
（5）已知关 x 元二次方程 x22x+m+20 两等实数根 x1 x2
①求 m 取值范围②|x1x2|2求 m 值．
巩固（1）方程 2 1 0x px   根1 2 根等__________p 等
_________
（2）关 x 方程 x2+（m1）x+m230 两实数根互倒数求 m 值．
（3）已知关 x 方程 x2+2（a1）x+a27a40 两根 x1x2满足 x1•x23x13x220．求
a 值．Page 5 of 8
例 3已知 mn 方程 x2+3x+10 两根
（1）求（m+5
m5
16 ）
m3
10m2 —
m
2 值
（2）求
m
n
n
m 33
 值
例 4已知方程组
2 2 2 0
0
x y x
kx y k
   
   
①
②
（ x y 未知数）
①求证： k 实数方程组总两实数解
②设方程组两实数解 1
1
x x
y y

 
2
2
x x
y y

 
求证： 2 2
1 2 1 2()()x x y y   常数
例 5已知关 x 方程① 2 2 3 0x mx m   两实根 1x 2x 2
1 2() 16x x  果
关 x 方程 2 2 6 9 0x mx m    两实数根 1x 2x 间求 m 值
力提升Page 6 of 8
例 6已知 x1x2 关 x 元二次方程 x22（m+1）x+m2+50 两实数
根．
（1）（x11）（x21）28求 m 值
（2）已知等腰△ABC 边长 7 x1x2 恰△ABC 外两边边长
求三角形周长．
例 7已知关 x 元二次方程 x2（2k+1）x+k2+2k0 两实数根 x1
x2．
（1）求实数 k 取值范围
（2）否存实数 k x1•x2−x12−x22≥0 成立？存请求出 k 值
存请说明理．
真题解析Page 7 of 8
题 1方程 2 5 2 0x x   两解分 1x 2x 1 2 1 2x x x x   值（）
A． 7 B． 3 C．7 D．3
题 2设 1x 2x 元二次方程 2 3 2 0x x   两实数根 2 2
1 1 2 23x x x x 
值__________________．
题 3已知关 x 方程  2 1 2 0x k x k     两实数根方等 6求 k
值．
题4已知关x方程x2+2（a1）x+a27a40两根x1x2满足x1x23x13x220．求
（1+
4a
4
2 ）
a
2a  值．
题 5已知：△ABC 两边 ABAC 长关 x 元二次方程 x2（2k+3）
x+k 2+3k+20 两实数根第三边 BC 长 5．试问：k 取值时△ABC
BC 斜边直角三角形？
课作业Page 8 of 8
题 6已知关 x 元二次方程 x22x+m0两相等实数根．
（1）求实数 m 整数值
（2）（1）条方程实数根 x1x2求代数式 x12+x 22x 1x2
值．
题 7已知 x1x2 元二次方程（a6）x2+2ax+a0 两实数根．
（1）否存实数 ax 1+x 1x24+x 2 成立？存求出 a 值存
请说明理
（2）求（x1+1）（x2+1）负整数实数 a 整数值．Page 1 of 9
1关 x 元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0 根 0求根 m 值
2已知关 x 方程 x2－(2k＋1)x＋4(k－
2
1 )＝0
(1) 求证： k 值方程总实数根
(2) 等腰△ABC 边长 a＝4两边长 bc 恰方程两根求△ABC 周
长
3图四边形 ABCD 中AD＝5CD＝4∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°角线 BD
长____________
PART
03
元二次方程——
应题
模块 课前检测Page 2 of 9
1进售价问题：（售价进价） 销售量利润
2折扣问题：标价 折扣售价
3利润率： 利润率进价
进价售价  100
例 1（1）奉节特产专卖店销售 2015 年良种夏季脐橙进价千克 40 元千
克 60 元出售均天售出 100 千克市场调查发现单价降低 2 元
均天销售增加 20 千克．该专卖店销售种脐橙想均天获利 2240 元减少
库存千克脐橙应降价少元？
（2）某商店件 16 元价格购进批商品物价局限定件商品利润超 30
毎件商品售价定 x 元卖出（1705x）件商店预期盈利 280 元件商品
售价应定少？
巩固西瓜营户 2 元千克价格购进批型西瓜 3 元千克价格出售天
售出 200 千克．促销该营户决定降价销售．调查发现种型西瓜降价
O1 元千克天售出 40 千克．外天房租等固定成 24 元减少库存
该营户想天盈利 2O0 元应千克型西瓜售价降低（）元．
A．02 03 B．04 C．03 D．02
知识点睛
典型例题
模块二 利润销售问题Page 3 of 9
1传播问题包括病毒传播枝干短信微博传播病毒传播关系式般 a（1+x）2b
需注意感染源次传播二次传播中传染体枝干短信微博传播关系式 a
（x2+x）b传播体第二次传播中发挥作
2增长率问题第 n 月第 n+2 月间关系式 a（1+x）2b第 n 月三月总
量关系 a+a（1+x）a（1+x）2c
3循环问题单循环双循环问题：例赛握手单循环问题两体进行次互
动
2
)1(x x 送贺卡短信互相祝福属双循环问题体间互动两次 x（x1）
例 2（1）某种植物干长出干数目支干支干长出样数目分支
干支干分支总数 13支干长出少根分支？
（2）患流感两轮穿然 49 患流感设轮传染中均传染
x x 值少？
巩固（1）流感传染性强天传染 x 先 2 时患流感两
天 128 患流感 x 值少？
（2）某环境保护协会微信公众号发布条关节约水帖子该帖子两轮
转发目前已 3540 转发条帖子问轮转发程中均帖子少
转发？
知识点睛
模块三 传播增长率循环问题
典型例题Page 4 of 9
例 3（1）某超市第二季度营业额 200 万元第四季度营业额 288 万元．果
季度营业额均增长率相季度均增长率少？
（2）武汉市改善空气质量开展绿色家园活动加快绿化荒山速度2013 年市政
府投资 4 亿元民币绿化荒山 160 万方米预计 2015 年三年累计投资 19 亿元
民币绿化荒山．两年年投资增长率相．
①求年市政府投资增长率
②两年绿化成变预计 2015 年绿化少万方米荒山？
巩固市造国家文明卫生城市积极投入资金进行河道治污园林绿化两项工
程已知 2012 年投资 1000 万元预 2014 年投资 1210 万元．两年均年投资增
长百分率相．
（1）求均年投资增长百分率
（2）均年投资增长百分率变 2016 年市投资否突破 1500 万元？
例 4（1）组干新年互送贺卡全组送贺卡 72 张组
少？
（2）某单位组织次篮球联赛赛制单循环形式（两队间赛场）计划安排
15 场赛参加赛球队应 _______
巩固某学校组织篮球赛实行单循环制 36 场赛参加队数（）
A．8 支 B．9 支 C．10 支 D．11 支Page 5 of 9
1面积问题：需结合实际情况进行图形移割补计算结果必须正数
2动点问题注意未知数表示线段长度结合面积处理方法解决问题
例 5（1）某学校美化校园准备长 35 米宽 20 米长方形场修建干条
宽度相道路余部分作草坪请全校学生参方案设计现 3 位学设计
种方案图纸分图 l图 2 图 3 示（阴影部分草坪）．
请根问题种方案中列出方程解．
①甲方案设计图纸图 l设计草坪总面积 600 方米．
②乙方案设计图纸图 2设计草坪总面积 600 方米．
③丙方案设计图纸图 3设计草坪总面积 540 方米
（2）图△ABC 中∠ABC90°AB8cmBC6cm．动点 PQ 分点 AB
时开始移动点 P 速度 1cm秒点 Q 速度 2cm秒点 Q 移动点 C 停止
点 P 停止运动．列时间瞬间中△PBQ 面积 15cm2 （）
A．2 秒钟 B．3 秒钟 C．4 秒钟 D．5 秒钟
知识点睛
模块四 面积问题
典型例题Page 6 of 9
巩固图 1某区面图占长 500 米宽 400 米矩形正中央建筑区
整区长宽例相矩形果四周空占面积区面积 19南
北空等宽东西空等宽．
（1）求该区四周空宽度
（2）图 2该区东西南三块空做图示矩形绿化带绿化带建筑区
间区道路区道路宽度致．已知东西两侧绿化带完全相长均 200 米
南侧绿化带长 300 米绿化面积 5500 方米请算出区道路宽度．
例 6卫生部门控制前段时间红眼病流行传染该种传染病进行研究发现
患该病两轮传染 121 患该病．样传染速度第三轮传染
统计发现 2662 患该病开始少患该病？
力提升Page 7 of 9
例 7图设计等腰梯形花坛花坛底长 120 米底长 180 米底相
距 80 米两腰中点连线（虚线）处条横甬道底间两条甬道甬
道宽度相等．设甬道宽 x 米．
（1）含 x 式子表示横甬道面积
（2）根设计求甬道宽超 6 米．果修建甬道总费（万元）甬道
宽度成正例关系例系数 57花坛余部分绿化费方米 002 万元
甬道宽度少米时建花坛总费 239 万元？
例 8（20142015 初 8 月月考）西瓜营户 2 元千克价格购进批型西瓜 3 元
千克价格出售天售出 200 千克．促销该营户决定降价销售．调查发现
种型西瓜降价 01 元千克天售出 40 千克．外天房租等固定成 24 元．
(1) 该营户想天盈利 200 元应千克型西瓜售价降低少元？
(2) 该营户天终盈利否达 220 元求降价少元？请说明理
真题解析Page 8 of 9
题 1患流感两轮传染新增 120 患流感轮传染中均
传染数（）
A．10 B．11 C．60 D．12
题 2某制药厂生产某种针剂支成 3 元连续两次降低成现成
243 元均次降低成百分率（）
A．10B．20C．7D．8
题 3股票天涨跌幅均超 10涨原价 10便涨
做涨停跌原价 10便跌做跌停．已知股票某天跌停想 2
天涨回原价试估计均天涨幅（）
A．定 5B． 5～6间 C． 4～5间 D．3～4间
题 4块矩形菜面积 120m2果长减少 2m菜变成正方形
原菜长（）
A．10m B．11m C．12m D．13m
题 5受房贷收紧政策预期确定等素影响年前两月全国商
品住宅市场销售出现销售量销售价齐跌态势数显示2014 年前两月
某房产开发公司销售面积 8300 方米中 2 月份 1 月份少销售 300
方米．
（1）求 2014 年 12 月份销售少方米
（2）该公司 2 月份方米售价 8000 元3 月份开始决定降价促销
方式应前形势调查 2 月份相较方米销售单价调 a
销售面积增加（a+10）结果 3 月份总销售额 3456 万元求 a 值．
课作业Page 9 of 9
题 6 某商场五•节里实行利销售全部商品律九折销售．样天获
利润恰销售收入 20果第天销售收入 4 万元天销售收入
增长第三天利润 125 万元．
（1）求第三天销售收入少万元？
（2）求第二天第三天销售收入均天增长率少？
题 7图 1 矩形包书纸示意图中虚线折痕阴影裁剪掉部分
四角均相正方形正方形边长折叠进宽度．
（1）图 2思维游戏书长 21cm宽 15cm厚 1cm现
张面积 875cm2 矩形纸包书展开图 1 示．求折叠进
宽度
（2）张长 60cm宽 50cm 矩形包书纸包 2 图 2 中书
书边缘包书纸边缘行裁剪包展开均图 1 示．问折叠进宽
度少？Page 1 of 10
1配方法解方程 0242  xx 列配方正确（）
A   22 2 x B   22 2 x C   22 2 x D   62 2 x
2新年里干组组成员赠送张贺年卡全组送贺年
卡 72 张组数（）
A7 B8 C9 D10
3关 x 元二次方程 0132  xkx 实数根 k 取值范围（）
A
4
9k B 04
9  kk C
4
9k D 04
9  kk
4某企业年 3 月份产值 a 万元4 月份 3 月份减少 105 月份 4 月份增加
15 5 月份产值（）
A   万元1510  aa B   万元151101 a
C  万元1510 a D  万元15101 a
5已知关 x 元二次方程 04)2(2 22  mxmx 两实数根 x1 x2
（1）求 m 取值范围
（2）果 2121
2
2
2
1  xxxx 求 m 值
PART
04
二次函数——
概念性质
模块 课前检测Page 2 of 10
问题 1： 圆半径 x 厘米圆面积 y 方厘米试写出 y 关 x 函数解析式
问题 2： 甲乙两数 20设甲数 x甲乙两数积 y试写出 y 关 x 函数
解析式
问题 3： 矩形长 4 厘米宽 3 厘米果长宽增加 x 厘米记现矩
形面积 y 方厘米试写出 y 关 x 函数解析式
二次函数定义
1般形 cbxaxy  2 （ cba 常数 0a ）函数称 x 二次函数中 x
变量 y 变量 cba 分二次函数二次项次项常数项系数
2二次函数整理成 cbxaxy  2 （ cba 常数 0a ）形式．
3判断函数否二次函数方法：
①含变量变量高次数 2②二次项系数等 0③等式两边整式．
二二次函数图象画法：五点绘图法
1利配方法二次函数 2y ax bx c   化顶点式 2()y a x h k  
2确定开口方称轴顶点坐标
3称轴两侧左右称描点画图．般选取五点：顶点 y 轴交点 0 c
 0 c 关称轴称点 2h c x 轴交点  1 0x  2 0x （ x 轴没交
点取两组关称轴称点）．
例 1（1）列函数中二次函数（）
A． 2
1
2 3y x x
   B． 3 23 2y x x  C  2 22y x x   D． 22y x x 
知识点睛
典型例题
模块二 二次函数概念
课堂导入Page 3 of 10
（2）列说法正确（）
A．二次函数变量取值范围非零实数 B．圆面积公式 2S r 中S r 二次函数
C．   1 1 42y x x   二次函数 D． 21 2y x  中次项系数 1
巩固已知关 x 函数 y(m22m3)x2+(m+1)x+m2
（1）关 x 二次函数m 满足条件
（2）关 x 次函数m 满足条件
二次函数 2y ax 0a （）性质
1抛物线 2axy  顶点坐标原点（00）称轴 0x （ y 轴）
2函数 2axy  图象 a 符号关系
① 0a 时  抛物线开口  顶点低点
② 0a 时  抛物线开口  顶点高点
例 2面直角坐标系中作出列函数图象： 22y x 22y x  23y x 23y x 
回答问题：
（1）a 图开口方开口什关系？
（2）探究图顶点称轴图变化趋势
知识点睛
模块三 ）（ 0aaxy 2  图性质
典型例题Page 4 of 10
巩固图四二次函数图象中分应① 2y ax ② 2y bx ③ 2y cx
④ 2y dx a b c d 关系（）
A． a b c d   B． a b d c   C．b a c d   D．b a d c  
二次函数 2 ( 0)y ax c a   性质
1抛物线 caxy  2 顶点坐标原点（0c）称轴 0x （ y 轴）
2函数 caxy  2 图象 a 符号关系
① 0a 时  抛物线开口  顶点低点
② 0a 时  抛物线开口  顶点高点
3函数 caxy  2 图象做函数 2axy  图象移 || c 单位
例 3面直角坐标系中作出列函数图象： 2
1 2y x 2
2 2 2y x  2
3 2 3y x 
回答列问题
①抛物线 1y 2y 3y 形状否发生改变？
②称轴否发生改变？
③抛物线 1y ______移________单位 2y
④抛物线 2y ______移________单位 3y
知识点睛
模块四 ）（ 0acaxy 2  图性质
典型例题Page 5 of 10
巩固（1）二次函数 25 2y x  图象开口____________________时 y x 增
增
（2）二次函数 25 7y x   图象开口__________________时 y x 增增
二次函数 khxay  2)(）（ 0a 性质
①称轴： xh②顶点坐标：（hk）
③值：a>0 时值 k （图 1）a<0 时值 k（图 2）
例 3面直角坐标系中作出列函数图象： 2
1 2x2y ）（  2
2 1x2y ）（
11x2y 2
3 ）（ 回答列问题
①抛物线 1y 2y 3y 形状否发生改变？
②称轴否发生改变？
③抛物线 1y ______移________单位
2y
④抛物线 2y ______移________单位
3y
知识点睛
模块五 khxay 2  ）（ 图性质
典型例题Page 6 of 10
巩固（1）抛物线 31x2y 2  ）（ 顶点坐标___________称轴____________
（2）抛物线 41x3y 2  ）（ 开口方___________顶点坐标___________称轴
________________________时 y x 增增
二次函数 cbxaxy  2 ）（ 0a 性质
①称轴：
a
bx 2
 ②顶点坐标：)4
42(
2
a
bac
a
b 
③值：Ⅰ 0a 时值
a
bac
4
4 2 Ⅱ 0a 时值
a
bac
4
4 2
④单调性：二次函数 cbxaxy  2 （ 0a ）变化情况（增减性）
Ⅰ 0a 时称轴左侧
a
bx 2
 y 着 x增减称轴右侧
a
bx 2

y x 增增
Ⅱ 0a 时称轴左侧
a
bx 2
 y 着 x增增称轴右侧
a
bx 2

y x 增减
例 4已知二次函数 21 42y x x   
（1）试确定抛物线开口方顶点坐标称轴
（2） x 值时 y 值？
（3）画出函数图象说明
x 取值时 y x 增增
x 取值时 y x 增减
知识点睛
模块六 ）（ 0acbxaxy 2  图性质
典型例题Page 7 of 10
例 5（1）二次函数 2y ax bx c   图象图示列关 a b c 间关系判断
正确（）
A． 0ab  B． 0bc  C． 0a b c   D． 0a b c  
（2）分根配方法顶点坐标公式确定列二次函数顶点坐标．
①y2x2﹣4x﹣1（配方法）
②y﹣3x2+6x﹣2（公式法）
（3）配方法二次函数 yx2﹣3x﹣4 化成 ya（x﹣h）2+k 形式写出该函数图象
开口方称轴顶点坐标．
巩固（1）抛物线 2y ax bx c   称轴 2x  点  3 0P a b c  值
（）
A． 1 B． 0 C．1 D．2
（2）函数 1y ax   2 1 0y ax bx a    图象（）
ABCDPage 8 of 10
（3）已知二次函数 y﹣05x2+4x﹣35
①配方法该函数化 ya（x﹣h）2+k 形式指出函数图象称轴顶点坐标
②求函数图象 x 轴交点坐标．
例 6已知二次函数 yx2+bx+c（bc 常数）．
（1） b2c3 时求二次函数值
（2） c5 时函数值 yl 情况变量 x 值应求时二次
函数解析式
（3） cb2 时变量 x 值满足 b≤x≤b+3 情况应函数值 y
值 21求时二次函数解析式．
例 7（武昌区文华中学 2014 年九月月考）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象
图示出结：① a＋b＋c＜0② ab＋c＜0③ b＋2a＜0④ abc＞0．中
正确结序号（）
A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③
力提升
真题解析Page 9 of 10
例 8图二次函数 yax2+bx+c（a≠0）图顶点第象限点（01）（1
0）列结：①ab<0②b2>4a③01 时y>0中正确
结数（）
A2 B3 C4 D5
题 1列函数解析式中定二次函数（）
A．y3x﹣1 B．yax2+bx+c C．s2t2﹣2t+1 D．yx2+
题 2二次函数 yx2﹣2x﹣3 图象图示列说法中错误（）
A．函数图象 y 轴交点坐标（0﹣3）
B．顶点坐标（1﹣3）
C．函数图象 x 轴交点坐标（30）（﹣10）
D． x＜0 时y x 增减
题 3坐标系中次函数 yax+2 二次函数 yx2+a 图象（）
A．B．C．D．
题 4抛物线 y（x﹣m）2+（m+1）顶点第象限 m 取值范围（）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
题 5二次函数 yx2﹣2x+3 写成 ya（x﹣h）2+k 形式 ．
课作业Page 10 of 10
题 6 定义：定关 x 函数 y该函数图象意两点（x1y1）（x2y2）
x1＜x2 时 y1＜y2称该函数增函数根定义判断面函数
中增函数 （填正确答案序号）
①y2x②y﹣x+1③yx2（x＞0）④y﹣．
题 7已知点 A（4y1）B（y2）C（﹣2y3）二次函数 y（x﹣2）2﹣
1 图象 y1y2y3 关系 ．
题 8已知抛物线 yax2 点（13）．
（1）求 a 值
（2） x3 时求 y 值
（3）说出二次函数三条性质．
题 9已知抛物线 yax2+bx+3 称轴直线 x1．
（1）求证：2a+b0
（2）关 x 方程 ax2+bx﹣80 根 4求方程根．
题 10已知二次函数 y
2
7
2
1 2  xx
（1）配方法该二次函数解析式化 ya（x+m）2+k 形式
（2）指出该二次函数图象开口方顶点坐标称轴．Page 1 of 9
1某校准备组织次排球赛参赛两队间赛场赛程计划 7 天天安
排 4 场赛______队参赛
2已知抛物线 mxxy 342 2  顶点 x 轴 m 值_______
3图 1某区面图占长 500 米宽 400 米矩形正中央建筑区整
区长宽例相矩形果四周空占面积区面积 19南北空
等宽东西空等宽．
（1）求该区四周空宽度
（2）图 2该区东西南三块空做图示矩形绿化带绿化带建筑区
间区道路区道路宽度致．已知东西两侧绿化带完全相长均 200 米
南侧绿化带长 300 米绿化面积 5500 方米请算出区道路宽度．
PART
05
二次函数——
解析式确定
模块 课前检测Page 2 of 9
1二次函数整理成般式 2y ax bx c    0a  形式
2果已知二次函数图象三点坐标般式求解二次函数解析式坐标代入
2y ax bx c   中(例 1 第（1）题）
般式求解二次函数解析式建立方程组需注意计算
例 1（1）已知已知二次函数  0 0  1 11  1 9 三点求二次函数解析
式
（2）已知图象点（03）（ 3 0）（2 5 ） x 轴交 AB 两点．
①试确定二次函数解析式
②判断点 P（23）否图象？果请求出△PAB 面积果试说明
理．
（3）某学利描点法画二次函数 yax2+bx+c（a≠0）图象时列出部分数表：
检查发现表格中恰组数计算错误请根述信息写出该二次函数解析
式：．
x 0 1 2 3 4
y 3 0 ﹣2 0 3
知识点睛
典型例题
模块二 般式— cbxaxy 2 Page 3 of 9
巩固（1）已知 2y ax bx c   图象分点 (0 3)(3 0)( 2 5) ．求：
①求二次函数解析式 ②求二次函数值
（2）已知二次函数图象 A（﹣2
2
5 ）B（0
2
3） C（1﹣2）三点．
①求出二次函数解析式
②函数图象 x 轴相交点 EF（E F 左边）求△EFB 面积．
1二次函数解析式配方整理成  2y a x h k    0a  形式做二
次函数顶点式 h k 抛物线顶点坐标
2已知二次函数顶点图象意点顶点式确定解析式(例 2 第（1）
题）
3意二次函数 2y ax bx c   配方
2 24
2 4
b ac by a x a a
     
形式
例 2（1）已知：二次函数顶点  14A  点  2 5B  求该二次函数解析式．
知识点睛
模块三 顶点式— khxay 2  ）（
典型例题Page 4 of 9
（2）已知二次函数图象顶点(3 2)直线 2 3y x  交点求二次函数解
析式
（3）（武昌区文华中学 2014 年九月月考）已知：图二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象
x 轴交 AB 两点 y 轴交 C 点中 A 点坐标(－10)C 点坐标(05)抛
物线点(18)M 顶点
①求抛物线解析式
② 求△MCB 面积
巩固（1）已知顶点坐标 (1 4)图象点 ( 2 5) 求二次函数解析式
（2）已知二次函数图象顶点坐标 A（21）图象 x 轴两交点坐标 BC(点
B 点 C 左侧)△ABC 等腰直角三角形求二次函数解析式Page 5 of 9
1交点式：   1 2y a x x x x    0a  中 1 2x x 二次函数图象 x 轴交点两横坐
标注：交点式适选择填空题解答题允许
2已知二次函数 x 轴交点坐标图象意点时交点式求解二次函数解析式
(例 3 第（1）题）
3已知二次函数 x 轴交点坐标    1 20 0x x 知二次函数称轴 1 2
2
x xx 
4根二次函数称性知函数图象两点    1 2x a x a 果相
坐标知二次函数称轴 1 2
2
x xx 
5意二次函数 2y ax bx c   0x  时利求根公式
2
1
4
2
b b acx a
  
2
2
4
2
b b acx a
   知
2 2 2
1 2
4 4 4| | 2 2
b b ac b b ac b acx x a a a
         
例 3（1）已知二次函数 2y ax bx c   图象  20A   10B  03C 三点求
二次函数解析式
（2）已知二次函数图象 x 轴交 ( 1 0)A  (4 0)B y 轴交C 10ABCS  求
二次函数解析式
知识点睛
模块四 交点式—））（（ 21 xxxxay 
典型例题Page 6 of 9
（3）二次函数图象 x 轴交点坐标  10  30 函数值 5 求二次函数
解析式
巩固（1）已知二次函数图象  10M   40N  1 12P  三点求二次
函数解析式
（2） 3x  时二次函数取值 1图象 x 轴两交点间距离 2求二次
函数解析式
种解析式综合
例 4（1）已知二次函数 2y ax bx c   称轴 2x  点 1 4 5 0求
二次函数解析式．
（2）已知条抛物线形状 2y x 相称轴 1
2x   抛物线 y 轴交点
 0 1求函数解析式．Page 7 of 9
（3）（武钢实验中学 2014 年九月月考）已知抛物线 452  aaxy ⊿ABC 三
顶点点 AC 分 x 轴y 轴 BC∥x 轴ACBC求抛物线解析式
巩固已知抛物线形状 21 7
2 2y x  形状相．称轴 2x   x 轴
两交点间距离 2 抛物线解析式？
例 6图抛物线 yx2+bx+c x 轴交 A（﹣10）B（30）两点．
（1）求该抛物线解析式
（2）求该抛物线称轴顶点坐标
（3）设（1）中抛物线动点 P点 P 该抛物线滑动什位置时满足
S△PAB8求出时 P 点坐标．
力提升Page 8 of 9
例 7图抛物线 abxaxy 42  A（10）C（04）两点 x 轴交
点 B
（1）求抛物线解析式
（2）已知点 D（mm+1）第象限抛物线求点 D 关直线 BC 称点坐标
题 1已知抛物线 yx2+bx+c 顶点坐标（1﹣3）抛物线应函数解析式
（）
A．yx2﹣2x+2 B．yx2﹣2x﹣2 C．y﹣x2﹣2x+1 D．yx2﹣2x+1
题 2二次函数图象顶点坐标（24）点（0﹣4）二
次函数解析式（）
A．y﹣2（x+2）2+4 B．y﹣2（x﹣2）2+4 C．y2（x+2）2﹣4 D．y2（x﹣2）2﹣4
题 3二次函数图象图示解析式（）
A．y﹣x2+2x+4 B．yx2+2x+4 C．y﹣x2﹣2x+4 D．y﹣x2+2x+3
题 4二次函数 yx2﹣4x+1 化成 ya（x+m）2+k 形式（）
A．y（x﹣2）2+1 B．y（x﹣2）2﹣1 C．y（x﹣2）2+3 D．y（x﹣2）2﹣3
真题解析
课作业Page 9 of 9
题 5果条抛物线移抛物线 y﹣
3
1 x2+2 重合顶点坐标（4﹣2）
解析式 ．
题 6 二次函数 y﹣x2+bx+c 中函数 y 变量 x 部分应值表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 6
y ﹣14 ﹣7 ﹣2 2 m n ﹣7 ﹣14 ﹣23
m+n ．
题 7已知二次函数图象（30）（0﹣3）（1﹣4）三点求
二次函数解析式．

题 8已知抛物线 y﹣x2+mx+n 点 A（10）B（0﹣6）．
（1）求抛物线解析式
（2）求抛物线坐标轴三交点构成三角形面积．
题 9已知抛物线 yx2+bx+3 点 A（﹣18）顶点 M
（1）求抛物线表达式
（2）设抛物线称轴 x 轴交点 B连接 ABAM求△ABM 面积．Page 1 of 10
1．二次根式 5x 意义 x 取值范围（）
A．x≥－5 B．x≤5 C．x≤－5 D．x＜－5
2．元二次方程 x2－x＝0 根（）
A．0 －1 B．±1 C．0 1 D．1
3． x2＋4x－5＝0 进行配方变形列正确（）
A．(x＋2)2＝9 B．(x－2)2＝9 C．(x＋2)2＝1 D．(x－2)2＝1
4．顶点(－5－1)开口方形状函数 y＝－
3
1 x2 图相抛物线（）
A．y＝
3
1 (x－5)2＋1 B．y＝－
3
1 x2－5 C．y＝－
3
1 (x＋5)2－1 D．y＝
3
1 (x＋5)2－1
5．元二次方程 x2－3x－9＝0 根情况（）
A．两相等实数根 B．没实数根 C．两相等实数根 D．法确定
6(2010·铁岭)图示场暴雨垂直面棵树距面 1 米处折断树尖 B 恰
碰面测量 AB＝3 米树高（）
A． 5 米 B． 10 米 C．4 米 D．)110(  米
7(2014·天水)二次函数 y＝x2 图象右移 1 单位移 2 单位图象
函数表达式（）
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
8(2014·十堰)图四边形 ABCD 中AD∥BCDE⊥BC垂足点 E连接 AC 交 DE 点
F点 G AF 中点∠ACD＝2∠ACB DG＝3EC＝1 DE 长（）
A． 32 B． 10 C． 22 D． 5
PART
06
二次函数——
变换
模块 课前检测Page 2 of 10
9．计算： 273  ＝_______
10(2014·常德模)2014 南京青奥会更传播奥运知识倡导运动精神鼓励广民众
现场观精彩赛万家积极响应网查部分项目门票价格：
项目 开幕
式 篮球 足球 乒乓
球 排球 跳水 体操 田径 射击 举重 羽毛
球
闭幕
式
价格 200 50 40 50 50 60 100 50 30 30 50 100
门票价格中位数众数分________
11．图某学沙滩石子摆成房子：
观察图形变化规律写出第 8 房子_________块石子
12．已知 x1x2 方程 x2－(2k－1)x＋(k2＋3k＋5)＝0 两实数根 x12＋x22＝39 k 值
________
13．图EF 面长 18 米墙总长 32 米木栅栏（图中虚线）围矩形场 ABCD
中间栅栏隔成样三块．围成矩形面积 60 米 2 AB 长_______米
14．图四边形 ABCD 中ACBD 角线△ABC 等边三角形．∠ADC＝30°AD＝
3BD＝5四边形 ABCD 面积_______Page 3 of 10
1种二次函数解析式间移关系：
①函数 2y ax k  图象做函数 2axy  图象移| |k 单位
0k  时移 0k  时移
②函数  2y a x h  图象做函数 2axy  图象左右移| |h 单位
0h  时右移 0h  时左移
函数  2y a x h k   图象做函数 2axy  图象先左右移 | |h 单
位移| |k 单位 0h  时右移 0h  时左移 0k 
时移 0k  时移
2 二 次 函 数 2y ax bx c   左 移 m 单 位 函 数 解 析 式 变
   2y a x m b x m c     右 移 m 单 位 函 数 解 析 式 变
   2y a x m b x m c    
3二次函数 2y ax bx c   移 n 单位函数解析式变 2y ax bx c n   
移 n 单位函数解析式变 2y ax bx c n   
4通常移前函数 2y ax bx c   化成  2y a x h k   形式根顶点移情
况确定函数移情况顶点式整理成般式
5移前函数开口方开口改变 a 变
例 1（1）二次函数 22y x 图象先右移1单位移3单位
图象解析式()
A．  22 1 3y x   B．  22 1 3y x   C．  22 1 3y x   D．  22 1 3y x  
知识点睛
典型例题
模块二 二次函数移变换Page 4 of 10
（2）函数 3x10x5y 2  图象函数 2x5y  图象移移步骤
（）
A右移单位移两单位 B右移单位移两单位
C左移单位移两单位 D左移单位移两单位
（3）二次函数 212y x bx c    图象 x 轴相交  50A   10B 
①求二次函数关系式
②果通适移函数图象 x 轴交点应该样移？
右左？者？应该移少单位？
巩固（1）函数 23( 1) 2y x    图象函数 23( 5) 3y x    图象移
移步骤（）
A右移六单位移五单位 B右移四单位移五单位
C左移六单位移五单位 D左移四单位移五单位
（2）抛物线 cbxaxy 2  图象先右移 4 单位移 1 单位
图象解析式 3x6xy 2  a+b+c________________．Page 5 of 10
1关 x 轴称
2y ax bx c   关 x 轴称解析式 2y ax bx c   
 2y a x h k   关 x 轴称解析式  2y a x h k   
2关 y 轴称
2y ax bx c   关 y 轴称解析式 2y ax bx c  
 2y a x h k   关 y 轴称解析式  2y a x h k  
例 2（1）果二次函数图象已知二次函数 2 2y x x  图象关 y 轴称
二次函数解析式（）
A． 2 2y x x   B． 2 2y x x  C． 2 2y x x   D． 2
1
2y x x
 
（2）已知二次函数 1x3x2y 2 
求：①关 x 轴称二次函数解析式②关 y 轴称二次函数解析式
（3）二次函数 cbxxy 2  图象图示顶点坐标 M(14)．
①求二次函数解析式
②二次函数图象 x 轴方部分 x 轴翻折图象余部分保持变新
图象请结合新图象回答：直线 yx+n 新图象两公点时求 n 取值
范围．
知识点睛
模块三 二次函数称变换
典型例题Page 6 of 10
巩固（1）二次函数 yx2﹣6x﹣3 化顶点式 ．关 x 轴称二次
函数解析式
（2）已知二次函数 2 3y x bx    图象点  14A
①求b 值②求抛物线关 x 轴称抛物线解析式．
1关原点称（图绕着原点旋转 180°）
2y ax bx c   关原点称解析式 2y ax bx c   
 2y a x h k   关原点称解析式  2y a x h k   
2关点  m n 称（图绕着点（mn）旋转 180°）
 2y a x h k   关点  m n 称解析式  22 2y a x h m n k     
例 3（1）函数 2y x 2y x  图象关______________称认 2y x
函数 2y x  图象绕__________旋转．
（2）二次函数 21x2y 2）（  关原点称函数解析式____________
（3）二次函数 14xx2y 2  关原点称函数解析式____________
知识点睛
模块四 二次函数旋转变换
典型例题Page 7 of 10
（4）二次函数 14xx2y 2  关点（21）称函数解析式____________
巩固（1）二次函数 2 3 4y x x   图象关原点  00O 称图象解析式
__________________
（ 2 ） 二 次 函 数 2 1y x x   图 象 关 点  20A 称 图 象 解 析 式
__________________
例 6已知抛物线 2 ( 2) 2y kx k x    （中 0k  ）．
（1）求该抛物线 x 轴交点坐标顶点坐标(含 k 代数式表示)
（2）记该抛物线顶点坐标 ()P m n 直接写出 n 值
（3）该抛物线先右移 1
2
单位长度移 1
k
单位长度着 k 变化
移抛物线顶点某新函数图象求新函数解析式．
力提升Page 8 of 10
例 7图已知抛物线 1F： 2 5y x   抛物线 2F 1F 关点(1 0) 中心称 1F 2F
相交 AB 两点点 M 抛物线 1F 位点 A 点 B 间点 N 抛物线 2F
位点 A 点 B 间 MN x 轴．
（1）求抛物线 2F 表达式（2）求线段 MN 长度值．
例 8（青山区家路 2014 年九月月考）（1）抛物线 322  xxy 移 2 单
位长度左移 3 单位长度求移新抛物线解析式
（2）抛物线 342  xxy 直线 x1 翻折条新抛物线求新抛物线解析
式
真题解析Page 9 of 10
题 1抛物线 y（x+2）2﹣1 抛物线 yx2 移列移方法中正确
（）
A．先左移 2 单位移 1 单位
B．先左移 2 单位移 1 单位
C．先右移 2 单位移 1 单位
D．先右移 2 单位移 1 单位
题 2抛物线右移3 单位移 2 单位抛物线 22 4y x x  
移前抛物线解析式________________________
题 3二次函数  21 32y x   图象翻折移二次函数  21 32y x  图
象列程描述正确（）
A．先 y 轴翻折移 6 单位 B．先 y 轴翻折左移 6 单位
C．先 x 轴翻折左移 6 单位 D．先 x 轴翻折右移 6 单位
题 4抛物线 2y ax bx c   图象先右移 5 单位移 4 单位
图象解析式 2 4 3y x x   a b c   ________________．
题 5面直角坐标系中先抛物线 2 2y x x   关 x 轴作轴称变换
抛物线关 y 轴作轴称变换两次变换新抛物线解析式（）
A． 2 2y x x    B． 2 2y x x    C． 2 2y x x    D． 2 2y x x  
题 6 二 次 函 数   1 3y x x     y x a x b   图 象 关 y 轴 称
   2 21 1a b   值（）
A．9 B．10 C．20 D．25
课作业Page 10 of 10
题 7 已知抛物线 2 6 5y x x   求
（1） 关 y 轴称抛物线表达式
（2） 关 x 轴称抛物线表达式
（3） 关原点称抛物线表达式．
题 8已知二次函数 2 4 4 1y ax ax a    图象 1C
求：（1） 1C 关点  1 0R 中心称图象 2C 解析式
（2）设曲线 1C 2C y 轴交点分 AB 18AB  时求 a 值．Page 1 of 10
1已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c (－1－22)(0－8)(28)三点
(1) 求出抛物线解析式
(2) 判断点(－2－40)否该抛物线？说明理
2组织次足球联赛赛制单循环形式（两队间赛场）计划安排 28 场赛应
邀请少球队参加赛？
3已知关 x 元二次方程 x2－(3m＋1)x＋2m2＋m＝0
(1) 求证： k 取值方程总实数根
(2) △ABC 两边 ABAC 长方程两实数根第三边 BC 长 3△ABC
等腰三角形时求 m 值
PART
07
二次函数——
方程等式
模块 课前检测Page 2 of 10
1值值求法：第步确定 a 符号：a>0 值a<0 值第二步求
顶点顶点坐标应值值．
2抛物线 x 轴交点．
二次函数 yax2+bx+c 图 x 轴两交点横坐标 x1x2 应元二次方程
ax2+bx+c0 两实数根．抛物线 x轴交点情况应元二次方程根判
式判定：
①两交点 △>0  抛物线 x 轴相交．
②交点（顶点 x 轴）  △0  抛物线 x 轴相切
③没交点  △<0  抛物线 x 轴相离．
3行 x 轴直线抛物线交点：（4）样 0 交点1 交点2 交点．
2 交点时两交点坐标相等设坐标 k横坐标 ax2+bx+ck 两实数
根．
4次函数 ykx+n（k≠0）图 L 二次函数 yax2+bx+c（a≠0）图 G 交点方
程组 2
y kx n
y ax bx c
 
   
解数目确定：①方程组两组解时  L G 两交
点②方程组组解时  L G 交点③方程组解时  L G 没交点．
例 1（1） 2x2  时求函数 3x2xy 2 值值．
知识点睛
典型例题
模块二 二次函数方程结合Page 3 of 10
（2）二次函数 ）（ 0acbxaxy 2  图象图示根图象解答列问题：
①写出方程 0cbxax2  两根．
②写出 y x 增减变量 x 取值范围．
③方程 kcbxax2  两相等实数根求 k 取值范围．
（3）已知关 x 元二次方程 x2﹣mx﹣20．
①﹣1 方程根求 m 值方程根
②证明：意实数 m函数 yx2﹣mx﹣2 图象 x 轴总两交点．
（4）根列表格中应值判断方程 ax2+bx+c0（a≠0abc 常数）根数
（）
x 617 618 619 620
yax2+bx+c 002 ﹣001 002 004
A．0 B．1 C．2 D．1 2
（5）直线 yx3 抛物线 yx22x3 交两点 AB
①求出 AB 两点坐标②求 AB 长度Page 4 of 10
（6）面直角坐标系中直线 ykx+1 抛物线 yx2x+ 2k4
1 +1
①直线抛物线两交点时求 k 取值范围
②直线抛物线交点时交点 A 抛物线顶点 B 线段长度少？
巩固（1）抛物线 yx2﹣2x+m x 轴两交点 m 取值范围（）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1
（2）已知二次函数 yax2﹣2ax+1（a＜0）图象三点 A（﹣1y1）B（2y2）C（4
y3） y1y2y3 关系（）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
（3）二次函数 yx2+4x+5（﹣3≤x≤0）值值分 ．
（4）已知二次函数 yax2+bx+c y x 部分应值表：列判断中正确（）
x …﹣1 0 1 2 …
y …﹣3 1 3 1 …
A．抛物线开口 B．抛物线 y 轴交负半轴
C． x3 时y＞0 D．方程 ax2+bx+c0 正根 2 3 间Page 5 of 10
1 cbxaxy 2  图知：
① a>0 时 0cbxax2  21 xxx  0cbxax2  12 xxxx  者 （图 1）
② a<0 时 0cbxax2  21 xxx  0cbxax2  12 xxxx  者 （图 2）
2 cbxaxy 2  直线 ymx+n图知
① a>0 时 nx  mcbxax2 21 xxx  nmxcbxax2  12 xxxx  者
（图 3）
② a<0 时 nmxcbxax2  21 xxx  nmxcbxax2  12 xxxx  者
（图 4）
例 2（1）二次函数 yax2+bx+c（a≠0）图象图示函数值 y＞0 时x 取值
范围（）
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1 x＞3
知识点睛
模块三 二次函数等式
典型例题Page 6 of 10
（2）图次函数 y1kx+n（k≠0）二次函数 y2ax2+bx+c（a≠0）图象相交 A（﹣
15）B（92）两点关 x 等式 kx+n≥ax2+bx+c 解集（）
A．﹣1≤x≤9 B．﹣1≤x＜9 C．﹣1＜x≤9 D．x≤﹣1 x≥9
（3）已知二次函数 yx2﹣6x+8．
① yx2﹣6x+8 化成 ya（x﹣h）2+k 形式
②写出 y x 增减时变量 x 取值范围
③ 0≤x≤4 时y 值 值 ．
（4）图根二次函数 yax2+bx+c（a≠0）图象解答列问题：
①写出方程 ax2+bx+c0 两根
②写出等式 ax2+bx+c＜0 解集
③写出 y x 增增变量 x 取值范围．
（5）图二次函数 y1a（x﹣2）2 图象直线交 A（0﹣1）B（20）两点．
①确定二次函数解析式
②设直线 AB 解析式 y2根图形确定 y1＞y2 时变量 x 取值范围．Page 7 of 10
巩固（1）抛物线 yax2+bx+c（a＜0）图示关 x 等式 ax2+bx+c＞0 解
集（）
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3 x＞1
（2）图直线
2
33l1  xy： 抛物线 cbxaxy  2
2l ： 相交点 A（1m）点 B
（8n）关 x 等式 cbxaxx  2
2
33 解集 ．
（3）已知二次函数 yx2﹣6x+8．
① yx2﹣6x+8 化成 ya（x﹣h）2+k 形式
② 0≤x≤4 时y 值 值
③ y＜0 时写出 x 取值范围．Page 8 of 10
例 6图次函数 y1kx+1 二次函数 y2ax2+bx﹣2 交 AB 两点 A（10）
抛物线称轴 x﹣
2
3 ．
（1）求 k ab 值
（2）求等式 kx+1＞ax2+bx﹣2 解集．
例 7二次函数 yax2+bx+c 图象恒 x 轴方条件（）
Aa>0b24ac>0 Ba>0b24ac<0 Ca<0b24ac>0 Da<0b24ac<0
拓展：二次函数 yax2+bx+c 图象恒 x 轴方条件什？
力提升Page 9 of 10
例 8（江岸区 2014 年起点考）求作图回答问题
(1) ① 画出抛物线 y＝－x2＋4x－3
② x_______时y x 增减 x_______时y x 增增
(2) 坐标系画出直线 y＝2x－3
(3) 等式－x2＋4x－3≥2x－3 解集____________
题 1抛物线 y＝x2－2x－3 x 轴分交 AB 两点 AB 长_______
题 2等式组





23
2
ax
ax （x 未知数）解函数
4
1a3y 2  xx）（ 图象 x
轴（）
A．相交两点 B．没交点 C．相交点 D．相交点没交点
题 3已知函数 12)3( 2  xxky 图象 x 轴交点 k 取值范围（）
Ak<4 Bk≤4 Ck<4 k≠3 Dk≤4 k≠3
题 4根列表格中应值判断方程 ax2+bx+c0（a≠0abc 常数）根
数（）
x 617 618 619 620
yax2+bx+c 002 ﹣001 002 004
A．0 B．1 C．2 D．1 2
真题解析
课作业Page 10 of 10
题 5图抛物线 yax2+bx+c 部分称轴直线 x1．抛物线 x 轴
交点 A（30）图象知等式 ax2+bx+c≥0 解集：．
题 6二次函数 yax2+bx+c 变量 x 函数值 y 部分应值表：
x …﹣1 0 1 2 3 …
y …﹣1 ﹣
4
7 ﹣2 ﹣
4
7 …
根表格中信息完成列题
（1） x3 时y
（2） x 时y 值
（3）点 A（x1y1）B（x2y2）该二次函数图象两点﹣1＜x1＜01＜x2
＜2试较两函数值：y1 y2
（4）变量 x 取值范围 0≤x≤5函数值 y 取值范围 ．
题 7已知抛物线 y2x2﹣4mx+m2
（1）求证： m 非零实数时抛物线 x 轴总两交点
（2）抛物线 x 轴交点 AB顶点 C S△ABC4 2 求 m 值．Page 1 of 10
1．元二次方程 3x2＋1＝6x 化般形式二次项系数次项系数分（）
A．3－6 B．36 C．31 D．3x2－6x
2．已知 x＝1 元二次方程 ax2＋bx＋c－3＝0 解 a＋b＋c 值（）
A．－1 B．1 C．3 D．－3
3．方程 x2＋3＝2x 根情况（）
A．两相等实数根 B．两相等实数根 C．实数根 D．没实数根
4(2010·日)果关 x 元二次方程 x2＋px＋q＝0 两根分 x1＝2x2＝1 p
q 值分（）
A．－32 B．3－2 C．2－3 D．23
5(2008·兰州)根列表格中二次函数 y＝ax2＋bx＋c 变量 x 函数值 y 应值判
断方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0abc 常数）解 x 范围（）
x 617 618 619 620
y＝ax2＋bx＋c －003 －001 002 004
A．6＜x＜617 B．617＜x＜618 C．618＜x＜619 D．619＜x＜620
6(2012·兰州)抛物线 y＝(x＋2)2－3 抛物线 y＝x2 移列移程正确
（）
A．先左移 2 单位移 3 单位
B．先左移 2 单位移 3 单位
C．先右移 2 单位移 3 单位
D．先右移 2 单位移 3 单位
7．迎接2011 李娜朋友国际网球精英赛某款桑普拉斯网球包原价 168 元连续两
次降价 a售价 128 元．列列方程中正确（）
A．168(1＋a)2＝128 B．168(1－a2)＝128C．168(1－2a)＝128 D．168(1－a)2＝128
8． ab＞0 时y＝ax2 y＝ax＋b 图象致（）
9．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（0＜2a＜b）点 A(1yA)B(0yB)C(－1yC)该抛物线
列正确（）
A．yB＜yC＜yAB．yB＜yA＜yCC．yA＜yB＜yCD．yC＜yB＜yA
PART
08
二次函数应——
实际建模
模块 课前检测Page 2 of 10
类问题解析式确定通常采顶点式：
1球类问题分篮球问题足球问题羽毛球问题篮球问题会考察球否入篮
篮筐点否抛物线足球否进球门球达球门位置时坐标球门
高低羽毛球涉网越界问题计算网位置坐标网高低越界考察
界限位置坐标正数负数
2跳水问题考察动作否规定范围规范样考察指定位置坐标限定高度
较
3喷泉问题考察较圆形水池半径需计算抛物线水池水面交点坐标
例 1图羽毛球运动员甲站点 O 处练发球球 O 点正方
2
3 m P 处发出
球勘察点运行路线抛物线部分球运动高点时高度
6
17 m离甲
站立点 O 水距离 4m球网 BA 离 O 点水距离 5m O 坐标原点建立
图示坐标系乙站立点 C 坐标（m0）
①求出抛物线解析式（写变量取值范围）
②求排球落点 N 离球网水距离
③乙原起跳接球高度
4
9 米乙接球高度够失球求 m 取值范围．
知识点睛
典型例题
模块二 球类跳水喷泉问题Page 3 of 10
（2）某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时身体（成点）空中运动路线
图示坐标系原点 O 条抛物线（图中标出数已知条件）．跳
某规定动作时正常情况该运动员空中高处距水面 32
3
米入水处距
池边距离 4 米运动员距水面高度 5 米前必须完成规定翻腾动作
调整入水姿势否会出现失误．
①求条抛物线解析式．
②某次试跳中测运动员空中运动路线①中抛物线运动员空中完成规定
翻腾动作调整入水姿势时距池边水距离 36 米问次跳水会会失误？
通计算说明理．
（3）图示公园建造圆形喷水池水池中央垂直水面处安装柱子 OAO
恰水面中心OA125m柱子顶端 A 处喷头外喷水水流方形状相
抛物线落水流形状较漂亮求设计成水流 OA 距离 1m 处达距水面
高度 225m．
①计素水池半径少少米喷出水流落池外？
②水流喷出抛物线形状①相水池半径 35m水流落池外时水
流高度应达少米？Page 4 of 10
巩固（1）场篮球赛中球员甲跳起投篮已知球 A 处出手时离面
9
20 m篮
筐中心 C 水距离 7m球运行水距离 4m 时达高度 4m（B 处）篮
筐距面 3m篮球运行路线抛物线（图示）．
①建立适面直角坐标系求出抛物线解析式
②判断球否投中？
（2）（2015•武汉模拟）图区中央公园修建圆形喷水池水池中央垂直
面安装柱子 OAO 恰水面中心OA125 米．柱子顶端 A 处喷头外喷
水水流方形状相抛物线路线落水流形状较漂亮求设计水流
离 OA 距离 1 米处达距水面高度 225 米．
①建立适面直角坐标系 A 点坐标（0125）水流高点坐标（1
225）求水流抛物线路线第象限应函数关系式（求写取值范围）
②计素水池半径少少米喷出水流落池外？
③水流喷出抛物线形状①相水池半径 35 米水流落池外时水流
距水面高度达少米？Page 5 of 10
隧道桥问题通常采 yax2+c 形式通常考察车者船否够通
考察车者船高度车者船边缘应坐标数值较注意抛物线称
性该问题考察单隧道问题者双隧道问题
例 2座抛物线形拱桥正常水位时桥水面宽度 20m拱顶距离水面 4m．
①图示直角坐标系中求出该抛物线解析式
②设正常水位时桥水深 2m保证船利航行桥水面宽度
18m求水深超少米时会影响船桥利航行．
巩固图隧道截面抛物线 AED 矩形 ABCD 构成矩形长 BC 8m宽 AB
2m BC 直线 x 轴线段 BC 中垂线 y 轴建立面直角坐标系（图 1）
y 轴抛物线称轴顶点 E 坐标原点 O 距离 6m．
①求抛物线解析式
②现辆货运卡车高 44m宽 24m通该隧道？
③果该隧道设双道（图 2）安全起见隧道正中间设 04m 隔离带
该辆货运卡车通隧道？
知识点睛
模块三 隧道桥问题
典型例题Page 6 of 10
1面积问题面积计算公式相关需建模直接解析式
2面积问题需注意变量取值范围取值范围需计算
3配成顶点式求值
例 3图长 24 米篱笆面利墙（墙长度 a 10 米）围成
长方形花圃．设花圃宽 AB x 米面积 S 方米．
①求 S x 函数关系式写出变量 x 取值范围．
②样围长方形花圃面积？值少？
巩固（2015 秋•武汉校级期末）段长 32m 篱笆长 8m 墙围成矩形菜
园．
①图 1果矩形菜园边墙 AB三边篱笆 CDEF 围成
Ⅰ设 DE 等 x m直接写出菜园面积 y x 间函数关系式写出变量取值范围
Ⅱ菜园面积等 110m2？求出时 x 值请说明理
②图 2果矩形菜园边墙 AB 节篱笆 BF 构成三边篱笆 ADEF 围成
求菜园面积值．
知识点睛
模块四 问题
典型例题Page 7 of 10
例 4图足球守门员 O 处开出高球．球离面 1 米 A 处飞出（A y 轴
）球成点．运行高度 y（单位：m）运行水距离 x（单位：m）满足关
系式 ya（x﹣6）2+h．
（1）①球开出．飞行高点距离面 4 米时．求 y x 满足关系式．
②①情况足球落点 C 距守门员少米？（取 4 3 ≈7）
③图示①情况求落次弹起．实验测算足球草坪弹起
抛物线原抛物线形状相高度减少原高度半．求：站距离 O
点 6 米 B 处球员甲抢第二落点 D 处球．应前跑少米？（取 2 6 5）
（2）球员乙升高 175 米．距 O 点 11 米 H 处．试图原跃起头拦截．守门员调整
开球高度．保证足球落 H 正方时低球员乙身高．时落点距 O 点 15 米
．求 h 取值范围．
力提升Page 8 of 10
例 8图河拱桥拱桥河道截面轮廓线抛物线部分 ACB 矩形
三边 AEEDDB 组成已知河底 ED 水 16ED  米 8AE  米抛物
线顶点 C ED 距离 11 米 ED 直线 x 轴抛物线称轴
y 轴建立面直角坐标系．
（1）求抛物线解析式．
（2）已知某时刻开始 40 时水面河底 ED 距离 h（单位：米）时
间 t（单位：时）变化满足函数关系  21 19 8128h t    （0 40t  ）
水面顶点 C 距离 5 米时需禁止船通行请通计算说明：
时段需少时禁止船通行？
题 1图位篮球运动员甲距篮球筐 4 米处跳起投篮球运行线路抛物线
球运行水距离 25 米时达高高度 35 米然准确落入篮筐已知篮圈中
心面高度 305 米该运动员身高 18 米．
（1）次投篮中球该运动员头顶方 025 米处出手球出手时该运动员离
面高度 米．
（2）运动员乙跳离面时高摸 33 米运动员乙运动员甲篮板间什范围
空中截住球？
真题解析
课作业Page 9 of 10
题 2图（1）某河座古拱桥截面图拱桥桥洞抛物线形状．抛物线
两端点水面距离 1m拱桥跨度 10cm．桥洞水面距离 5m．桥洞两
侧壁盏距离水面4m景观灯．现拱桥截面图放面直角坐标系中图（2）．
求：
（1）抛物线解析式
（2）两盏景观灯 P1P2 间水距离．
题 3长 32 米篱笆围成矩形养鸡场设围成矩形边长 x 米面积 y
方米．
（1）求 y 关 x 函数关系式
（2） x 值时围成养鸡场面积 60 方米？
（3）否围成面积养鸡场？果请求出边长面积果请说明
理．Page 10 of 10
题 4工师傅 8 米长铝合金材料制作图示矩形窗框图中①②
③区域矩形 BE2AEMN 分 ADEF 中点．（说明：图中黑线部分均需
铝合金材料制作铝合金材料宽度忽略计）．
（1）矩形窗框 ABCD 透光面积 225 方米时求 AE 长度．
（2） AE 长时矩形窗框 ABCD 透光面积？面积少？
题 5 2014 年仁川亚运会中国队包揽跳水项目金牌．十届亚运会
跳水金牌全部中国跳水队优秀成绩取离开艰辛训练．某跳水运动员进
行次跳水训练时身体（成点）空中运动路线图示条抛物线．已知跳
板 AB 长 2 米跳板距水面 CD 高 BC 3 米安全空中姿势优美训练时跳水曲线
离起跳点水距离 1 米时达距水面高度 4 米现 CD 横轴CB 轴建立直
角坐标系．
（1）求条抛物线解析式
（2）图中 CE45 米CF55 米跳水运动员区域 EF 入水时达训练求试
通计算说明次跳水否达求．Page 1 of 10
1．已知抛物线 y＝x2＋(m－1)x－
4
1 顶点横坐标 2 m 值________
2．两等实数 mn 满足条件：m2－2m－1＝0n2－2n－1＝0 m＋n 值_____
3(2014·武汉元月调考)2013 年 12 月关报告显示年江城写字楼价格增幅远远高
住宅价格增幅住宅价差越越 2011 年某写字楼住宅均价价差 614 元方
米2013 年升 2401 元方米．设两年该写字楼住宅均价价差年均增长率 x
根题意列方程____________________
4(2014·广州)关 x 方程 x2＋2mx＋m2＋3m－2＝0 两实数根 x1x2 x1(x2＋x1)
＋x22 值________
5该项绿化工程中块长 20 米宽 8 米矩形空计划中修建两块相矩形绿
面积 56 米 2两块绿间周边留宽度相等行通道（图示）
问行通道宽度少米？
PART
09
二次函数应——
利润问题
模块 课前检测Page 2 of 10
1标价售价折扣：售价标价 折扣
2利润利润率：利润售价进价100  进价
进价售价利润率
3总利润（售价成） 销售量
注：注意变量取值范围结合实际情况变量取整数情况
例 1（1）鄂州市化工材料销公司购进种化工原料干千克价格千克 30 元．物
价部门规定销售单价高千克 60 元低千克 30 元．市场调查发现：日销售
量 y（千克）销售单价 x（元）次函数 x60 时y80x50 时y100．销
售程中天支付费 450 元．
①求出 y x 函数关系式写出变量 x 取值范围．
②求该公司销售该原料日获利 w（元）销售单价 x（元）间函数关系式．
③销售单价少元时该公司日获利？获利少元？
（2）学毕业生王响应国家创业号召利银行额息贷款开办家饰品
店．该店购进种年新市饰品进行销售饰品进价件 40 元售价件 60
元月卖出 300 件．市场调查反映：调整价格时售价涨 1 元月少卖 10 件售
价降 1 元月卖 20 件．获更利润现饰品售价调整 60+x（元件）
（x＞0 售价涨x＜0 售价降）月饰品销量 y（件）月利润 w（元）．
①直接写出 y x 间函数关系式
②确定销售价格月利润？求月利润
③月利润少 6000 元应控制销售价格？
知识点睛
典型例题
模块二 利润问题Page 3 of 10
巩固某网店出促销广告：潮新款服装 30 件件售价 300 元．次性购买超
10 件时售价变次性购买超 10 件时买 1 件买件服装售价均
降低 3 元．已知该服装成件 200 元设顾客次性购买服装 x 件时该网店中获利
y 元．
①求 y x 函数关系式写出变量 x 取值范围
②顾客次性购买少件时该网店中获利？
（2）直辖市重庆发展速度容置疑．重庆作旅游首选．
览夜景未重庆．游船夜游两江犹星河中畅游距离认识重庆佳
窗口．两江号游轮核算位游客接成 30 元．根市场调查时间段
里票价 40 元时晚售出船票 600 张票价涨 1 元会少售出 10 张船票．
①该游轮晚获 10000 元利润票价应定少元？
②端午节期间工商理部门规定游轮船票单价低 42 元时该游轮提高市场占
率决定晚售出船票数量少 560 张票价应定少元晚获利润
？利润少？Page 4 of 10
类题型会提供表格三种函数选择：次函数二次函数反例函数通常
考察反例函数处理方法：
1建立面直角坐标系通描点法画图结合图判断函数类型
2设函数解析式 cbxaxy  2 代入点进行计算函数次函数 a0函数
二次函数 0a 
例 2（1）某商店购进种商品件商品进价 30 元．试销中发现种商品天销售
量 y（件）件销售价 x（元）关系数：
x 30 32 34 36
y 40 36 32 28
①已知 y x 满足次函数二次函数反例函数种根表求出 y x 间
关系式（写出变量 x 取值范围）
②果商店销售种商品天获 150 元利润件商品销售价应定少元？
③设该商店天销售种商品获利润 w（元）求出 w x 间关系式求出
件商品销售价定少元时利润？
知识点睛
模块三 三种函数选择问题
典型例题Page 5 of 10
（2）某企业信息部进行市场调研发现：
信息：果单独投资 A 种产品获利润 yA（万元）投资金额 x（万元）间存某
种关系部分应值表：
x（万元） 1 2 25 3 5
yA（万元） 04 08 1 12 2
信息二：果单独投资 B 种产品获利润 yB（万元）投资金额 x（万元）间存
二次函数关系：yBax2+bx投资 2 万元时获利润 24 万元投资 4 万元时获利润
32 万元．
①求出 yB x 函数关系式
②学次函数二次函数反例函数中确定种函数表示 yA x 间关系
求出 yA x 函数关系式
③果企业时 AB 两种产品投资 15 万元请设计获利润投资方案
求出方案获利润少？
巩固（2015•武汉模拟）某公司生产 A 种产品成 2 元售价 3 元年销
售量 100 万件获更效益公司准备出定资金做广告根验年
投入广告费 x（十万元）时产品销售量原销售量 y 倍y x 关系表：
x（十万元） 0 1 2 …
y 1 15 18 …
（1）已知 y x 间满足学三种函数（次函数反例函数二次函数）
关系中种请求出 y x 间函数关系式求写出变量取值范围
（2）果利润做销售总额减成费广告费试写出年利润 S（十万元）广告
费 x（十万元）函数关系式
（3）果年投入广告费 10 万元～20 万元公司获利润少？Page 6 of 10
分段函数坚持原分段函数分类讨限定变量范围计算算出结果
取综合解集先分类综合处理类问题
例 3元旦前夕某服装店购进 AB 两款服装进价分 90 元件 70 元
件准备元旦时出售市场调查发现天 A 款服装销售件数 y1（件）销售单价
x1（元）间满足函数关系式 y1﹣
5
1 x1+32天 B 款服装销售件数 y2（件）销售单
价 x2（元）间满足函数关系式 y2﹣
10
1 x2+28．
①该服装店元旦天卖出 20 件 B 款服装 A 款服装卖出 2 件求两款服
装销售单价分少？
②元旦时A 款装销售单价 B 款 2 倍两款服装均售出求销售总
利润少？时 A 款服装 B 款服装卖少件？
知识点睛
模块四 分段函数问题
典型例题Page 7 of 10
巩固某学生利暑假开展 30 天社会实践活动参某超市营解某
成 10 元件商品杂 x 天销售相关信息表表示：
销售量 p（件）P40﹣x
销售单价 q（元件） 1≤x≤20 时q20+x
20＜x≤30 时q40
设该超市第 x 天销售种商品获利润 y 元．
（1）求 y 关 x 函数关系式
（2） 30 天中该超市销售种商品第天利润？利润少？
例 4喜迎五佳节某食品公司推出种新礼盒盒成 20 元五节前
20 天进行销售发现该礼盒 20 天日销售量 p（盒）时间 x（天）关系
表：
时间 x（天） 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第…天
日销售量 p（盒） 78 76 74 72 70 …
20 天前 10 天天销售价格 y1（元盒）时间 x（天）函数关系式 y1
4
1 x+25
（1≤x≤10 x 整数） 10 天天销售价格 y2（元盒）时间 x（天）函数关系
式 y2﹣
2
1 x+40（11≤x≤20 x 整数）
（1）直接写出日销售量 p（盒）时间 x（天）间函数关系式
（2）请求出 20 天中天日销售利润？日销售利润少？
（3）五天销售价格（元盒）第 20 天销售价格降低 a 元（a＞0）日销售量
第 20 天提高 a 盒日销售额前 20 天中日销售利润 284 元求 a 值．
注：销售利润（售价﹣成价）×销售量．
力提升Page 8 of 10
例 5九（1）班数学兴趣组市场调查整理出某种商品第  1 90x x  天售价
销量相关信息表：
时间 x（天） 1 50x  50 90x 
售价（元件） 40x  90
天销量（件） 200 2x
已知该商品进价件 30 元设销售该商品天利润 y 元．
（1）求出 y x 函数关系式．
（2）问销售该商品第天时天销售利润利润少？
（3）该商品销售程中少天天销售利润低 4800 元？请直接写
出结果．
题 1学生张摆摊销售批家电进价 40 元市场考察知销售进价 52 元
时售出 180 定价 x（元）销售减少量 y（）满足关系式：y10（x﹣52）
问：
（1）算获利 2000 元投资量少应进货少？定价少
（2）想获利润定价进货少？
真题解析
课作业Page 9 of 10
题 2鄂州市化工材料销公司购进种化工原料干千克价格千克 30 元．物
价部门规定销售单价高千克 60 元低千克 30 元．市场调查发现：日销售
量 y（千克）销售单价 x（元）次函数 x60 时y80x50 时y100．销
售程中天支付费 450 元．
（1）求出 y x 函数关系式写出变量 x 取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利 w（元）销售单价 x（元）间函数关系式．
（3）销售单价少元时该公司日获利？获利少元？
题 3批发商销售成 20 元千克某产品根物价部门规定：该产品千克
售价超 90 元销售程中发现售量 y（千克）售价 x（元千克）满足次函
数关系应关系表：
售价 x（元千克）… 50 60 70 80 …
销售量 y（千克）… 100 90 80 70 …
（1）求 y x 函数关系式
（2）该批发商想获 4000 元利润应售价定少元？
（3）该产品千克售价少元时批发商获利润 w（元）？时利润
少元？Page 10 of 10
题 4某企业接批粽子生产务求 15 天完成约定批粽子出厂价
6 元．时完成务该企业招收新工．设新工李明第 X 天生产粽子数
量 y y x 满足关系：




 ）（
）（
15x5120x30
5x0x54y
（1）李明第天生产粽子数量 420 ？
（2）图设第 x 天粽子成 p 元p x 间关系图中函数图形刻
画．李明第 x 天创造利润 w 元求 w 关 x 函数表达式求出第天利润
利润时少元？（利润出厂价﹣成）
题 5（2015•东西湖区校级模拟）市某工艺厂设计款成 10 元件工艺品投
放市场进行试销．调查数：
销售单价 x（元件）… 20 30 40 50 60 …
天销售量（y 件）… 500 400 300 200 100 …
（1）表中 xy 组应值作点坐标面面直角坐标系中描出相应点
猜想 y x 函数关系求出函数关系式
（2）销售单价定少时工艺厂试销该工艺品天获利润？利润少？
（利润销售总价﹣成总价）
（3）市物价部门规定该工艺品销售单价高超 35 元件销售单价什范
围时工艺厂试销该工艺品天获利润低 5000 元？Page 1 of 9
1．已知 x1＝－1 方程 x2＋mx－5＝0 根求 m 值方程根 x2
2．关 x 方程(m2－1)x2－2(m＋2)x＋1＝0 实数根求 m 取值范围
3(2010·茂名)已知关 x 元二次方程 x2－6x－k2＝0（k 常数）
(1) 求证：方程两相等实数根
(2) 设 x1x2 方程两实数根 x1＋2x2＝14试求出方程两实数根 k 值
4(2011·南京)已知函数 y＝mx2－6x＋1（m 常数）．
(1) 求证： m 值该函数图象 y 轴定点
(2) 该函数图象 x 轴交点求 m 值
PART
10 二次函数——
面积综合
模块 课前检测Page 2 of 9
图① ABCOBCOACOABSSSS  △ △ △ △ 图② ABCBCDAOBACDOSSSS  △ △ △梯形
图③ +ABCACDAOBBODESSSS △ △ △梯形 图④ ABCADEOACDBCEAOBSSSSS   △ △ △ △矩形
例 1面直角坐标系中已知抛物线 ( 4 0)A  (0 4)B  (2 0)C 三点．
（1）求抛物线解析式．
（2）点 M 第三象限抛物线动点点 M 横坐标 m △AMB 面积 S．求
S 关 m 函数关系式求出 S 值．
（3）探究 S 取值时点 M 横坐标 m AB 两点横坐标关系．
知识点睛
典型例题
模块二 面积补形法结合Page 3 of 9
巩固面直角坐标系 xOy 中抛物线 2)2(2  xmmxy 点（24） x 轴
交 AB 两点（点 A 点 B 左侧） y 轴交点 C点 D 坐标 (20)连接 CACB
CDP 第象限抛物线动点连接 DP 交 BC 点 E连接 CP△CDP 面积
时求点 E 坐标
图⑤ +ABCACDBCDSSS△ △ △ 图⑥ +ABCBCDABDSSS△ △ △
1
2ABCABSCD x x △ － 1
2ABCACSBD y y △ －
例 2（1）图 已知二次函数 2 4 3y x x   图象交 x 轴 AB 两点（点 A 点 B
左侧）交 y 轴点 C点 D 直线 BC 方抛物线动点△BCD 面积
时求 D 点坐标
知识点睛
模块三 面积铅垂高法综合
典型例题Page 4 of 9
（2）已知：抛物线 cxaxy  22 称轴直线 x1抛物线 y 轴交点 C x 轴
交 A(30)B 两点．
①求直线 AC 解析式
②点 D 线段 AC 方抛物线动点求四边形 ABCD 面积值
巩固图 1抛物线 y﹣x2+bx+c x 轴交 A（20）B（﹣40）两点．
（1）求该抛物线解析式
（2）抛物线交 y 轴 C 点该抛物线称轴否存点 Q△QAC 周长
？存求出 Q 点坐标存请说明理．
（3）抛物线第二象限图象否存点 P△PBC 面积？存求出
点 P 坐标△PBC 面积值存请说明理．Page 5 of 9
图⑦ ABCBDASS△ △ （C 点作 AB 行线CD两三角形底等高）
例 3（1）抛物线顶点坐标点 (1 4)C交 x 轴点 (3 0)A交 y 轴点 B
① 求抛物线解析式
②抛物线否存点 P ABCABPSS △△ 2
1 存求出 P 点坐标存请说明
理
知识点睛
模块四 面积行线转化法综合
典型例题Page 6 of 9
（2）图抛物线 2 3 5y ax x a＝ ＋ ＋ ＋ x 轴交 AB 两点（点 A 点 B 左侧） y 轴
交点 (0 4)CD OC 中点．
①求 a 值
②抛物线称轴否存点G GBC△ 中 BC 边高 5 22
？存求出点
G 坐标存请说明理．
巩固已知抛物线 cbxxy  2 顶点 P y 轴交点 A直线OP 交点 B
（1）图1点 P 横坐标1点 B 坐标 (3 6)试确定抛物线解析式
（2）（1）条件点 M 直线 AB 方抛物线点 B 3AMS  求点 M
坐标Page 7 of 9
例 4已知：抛物线 cbxaxy  2 x 轴交 AB 两点 y 轴交点 C中点 A
x 轴负半轴点 C y 轴负半轴线段 OAOC 长（OA0452  xx 两根抛物线称轴直线 x1
（1）求 ABC 三点坐标
（2）求抛物线解析式
（3）点 D 线段 AB 动点（点 AB 重合）点 D 作 DE∥BC 交 AC
点 E连结 CD设 BD 长 m△CDE 面积 S求 S m 函数关系式写出
变量 m 取值范围S 否存值？存求出值求时 D 点坐标存
请说明理
力提升Page 8 of 9
例 5（C 组联盟 2014 年 10 月月考）图面直角坐标系中二次函数 2y ax bx c  
图象 x 轴交 AB 两点 y 轴交点 C（03）图象（14）（25）
点 P 抛物线第四象限动点．
（1）求二次函数解析式
（2）否存点 P 点 P 关直线 BC 称点 y 轴果存求点 P 坐标
果存请说明理
（3）点 P 运动什位置时△BCP 面积？求出时 P 点坐标△BCP
面积
题 1图二次函数 y﹣x2﹣（2m+2）x﹣m2﹣4m+3（m 非负整数） x 轴交
AB 两点 y 轴交 C 点．
（1）求抛物线解析式
（2）直线 x﹣1 找点 P△PBC 周长求出点 P 坐标
（3）点 Q 抛物线第二象限设点 Q 横坐标 t问 t 值时四边形 AQCB
面积？求出面积．
真题解析
课作业Page 9 of 9
题 2已知二次函数 y（m2﹣2）x2﹣4mx+n 图象关直线 x2 称高点
直线 y
2
1 x+1 ．
（1）求二次函数解析式
（2）抛物线开口方变顶点直线 y
2
1 x+1 移动点 M 时图象 x 轴交
AB 两点 S△ABM8求时二次函数解析式．
题 3图已知抛物线 yax2+bx+3 x 轴交 AB 两点 y 轴交点 C点 A
坐标（﹣10）称轴直线 x1点 P 线段 BC （含 BC 两点）动
点PF∥y 轴交抛物线点 F设点 P 横坐标 m．
（1）求抛物线解析式
（2）含 m 代数式表示线段 PF 长
（3）设△BCF 面积 S求 S m 函数关系式确定 m 值时△BCF 面积
．Page 1 of 10
1．元二次方程 x2＝x 根（）
A．0 B．1 C．0 1 D．0 ﹣1
2．列图形中中心称图形（）
ABCD
3． x1x2 元二次方程 x2﹣2x﹣3＝0 两根 x1＋x2 值（）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
4．列正边形中绕中心旋转 72°身重合（）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
5．图⊙O 中半径 OC⊥弦 AB∠BAC＝20°∠AOC 度数（）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．抛物线 y＝﹣x2＋2x＋6 直线 y＝﹣2 截线段长度（）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．列抛物线中 x 轴公点（）
A．y＝x2﹣2 B．y＝x2＋4x＋4 C．y＝﹣x2＋3x＋2 D．y＝x2﹣x＋2
8．二次函数 y＝(x﹣1)2﹣3 图象 x 轴翻折图象函数表达式（）
A．y＝﹣(x﹣1)2＋3 B．y＝(x＋1)2﹣3 C．y＝﹣(x＋1)2﹣3 D．y＝(x﹣1)2＋3
9．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c y x 部分应值表：
x ……﹣1 0 1 3 ……
y ……﹣3 1 3 1 ……
列判断正确（）
A．抛物线开口 B．抛物线 y 轴交点 y 轴负半轴
C． x＝4 时y＞0 D．方程 ax2＋bx＋c＝0 正根 3 4 间
PART
11
圆 ——
概念垂径定理
模块 课前检测Page 2 of 10
（1）圆定义：面线段OA绕固定端点 O 旋转周端点 A
旋转形成图形做圆中固定端点 O 做圆心OA 做半径．
（2）弦：连结圆意两点线段做弦．
直径：圆心弦做圆直径直径等半径 2 倍．
弦心距：圆心弦距离做弦心距．
弧：圆意两点间部分做圆弧简称弧． AB 端点圆弧记作 AB读作弧 AB．
等弧：圆等圆中够互相重合弧做等弧．
半圆：圆意条直径两端点分圆成两条弧条弧做半圆．
优弧劣弧：半圆弧做优弧（弧 ABD)半圆弧做劣弧（弧 AED）．
例 1（1）判断题
①直径弦 ()
②弦直径 ()
③半圆弧 ()
④弧半圆 ()
⑤长度相等两条弧等弧 ()
⑥等弧长度相等 ()
⑦两劣弧等半圆 ()
⑧半径相等两圆等圆 ()
⑨两半圆等弧 ()
知识点睛
典型例题
模块二 圆概念Page 3 of 10
（2）点 AOD 点 BOC 分直线图中弦条数（）
A．2 B．3 C．4 D．5
（3）图点 ADGM 半圆 O 四边形 ABOCDEOFHMNO 均矩形设
BCaEFbNHc 列格式中正确()
A． a b c  B． a b c  C． c a b  D．b c a 
（4）已知：图BDCE △ABC 高M BC 中点．试说明点 BCDE
点 M 圆心圆．
巩固（1）列说法中正确（）
A．直径弦弦直径 B．半圆周弧
C．圆点圆心距离相等 D．圆等圆中优弧定劣弧长
（2）AB 半径 5cm ⊙O 两点弦 AB 取值范围（）
A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D．0＜AB≤10Page 4 of 10
1定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
2推：
（1）分弦（非直径）直径垂直弦分弦两条弧．
（2）弦垂直分线圆心分弦两条弧．
（3）分弦条弧直径垂直分弦分弦条
弧．
补充圆两条行线夹弧相等．
3解题技巧：
（1）连接圆中意两条半径弦构成等腰三角形．
（2）题目中直径时通常构造直径圆周角构造直角三角形．
（3）垂径定理反映圆心直线圆中弦关系求弦长先求弦长半
注意半径半弦长弦心距构成直角三角形模型理解应．
（4）圆中利垂径定理知识已知弦长相等弦心距相等反成立．
（5）应垂径定理推进行计算时构造右图示直角三角形根垂径定
理勾股定理： 2 2 2()2
ar d  根公式 a r d 三量中知道两量
求出第三量．
例 2（1）图AB O 直径BC 弦OD⊥BC E交弧 BC D．请写出
五类型正确结
知识点睛
模块三 垂径定理
典型例题Page 5 of 10
（2）图AB ☉O 直径CD 弦AB⊥CD果∠BOC70° ∠A （）
A． 70 B． 35 C． 30 D． 20
（3）图半径 5cm ⊙O 中弦 AB6cmOC⊥AB 点 C OC（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
（4）图正方形网格图中建立直角坐标系条圆弧网格点 ABC请网
格图中进行列操作：
①利网格确定该圆弧圆圆心 D 点位置写出点 D 坐标
②连接 ADCD⊙D 半径 ∠ADC 度数
③扇形 DAC 圆锥侧面展开图该圆锥底面半径 ．
巩固（1）图AB 圆 O 直径BC 圆 O 弦 O 点作 BC 垂线交
BC D 点． AB16BC12△OBD 面积？（）
A．6 7 B．12 7 C．15 D．30Page 6 of 10
（2）英家圆镜子破图（网格中正方形边长 1）块碎
片玻璃店配制成形状原致镜面镜面半径（）
A．2 B． 5 C． 2 2 D．3
例 3（1）条排水截面图示已知排水半径 OB10水面宽 AB16
截面圆心 O 水面距离 OC （）
A．4 B．5 C．6 D．8
（2）球放长方体纸盒球部分露出盒外截面图示．圆 O 纸盒交 E
FG 三点已知 EFCD16cm．
①利直尺圆规作出圆心 O②求出球半径．
（3）图某公园座石拱桥圆弧形（劣弧）跨度 24 米拱半径 13 米
拱高（）
A．5 米 B． 8 米 C．7 米 D．5 3 米Page 7 of 10
（4）半径 1 ⊙O 中弦 ABAC 分 32∠BAC 度数（）
A．15° B．15° 75° C．75° D．15° 65°
巩固（1）条排水截面图示．已知排水截面圆半径 OB10截面圆圆心 O
水面距离 OC 6水面宽 AB （）
A．16 B．10 C．8 D．6
（2）图半圆形桥洞截面示意图圆心 O直径 AB 河底线弦 CD 水位线
CD∥AB AB26mOE⊥CD 点 E．水位正常时测 OE：CD5：24
①求 CD 长
②现汛期水面时 4m 速度升长时间桥洞会刚刚灌满？
（3）已知⊙O 半径 13cm弦 AB∥CDAB24cmCD10cm ABCD 间距
离（）
A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm 7cmPage 8 of 10
例 4图正方形 ABCD 边长 2长 2 线段QR 两端放正方形相邻
两边时滑动．果点 Q 点 A 出发图中示方 ABCDA    滑动 A
止时点 R 点 B 出发图中示方 BCDAB    滑动 B 止
程中线段QR 中点 M 路线围成图形面积_________
例 5图ABCD 半径 5 ⊙O 两条弦AB8CD6MN 直径AB⊥MN
点 ECD⊥MN 点 FP EF 意点 PA+PC 值
例 6（2015武昌七校联考期中）图AB ⊙O 直径CD 弦AM⊥CD M
BN⊥CD N
(1) 求证：CM＝DN
(2) AB＝10CD＝8求 BN－AM 值
力提升
真题解析Page 9 of 10
题 1列命题中真命题（）
A．三点确定圆 B．圆中数条弦条直径
C．圆轴称图形中心称图形 D．弧圆周角圆心角相等
题 2圆关概念：
（1）圆两种定义方式：
（a）面线段 OA 绕固定端点 O 旋转周端点 A 旋转形
成图形做圆固定端点 O 做 ．线段 OA 做 ．
（b）圆点定点 O 距离 定长 r 点集合．
（2）弦：连接圆意两点 做弦．（弦定直径直径定弦
直径圆中长弦）
（3）弧：圆意两点间部分 （弧度数等条弧圆心角度
数等条弧圆周角两倍）
（4）等弧：圆等圆中够 弧等弧．
（5）等圆：够 两圆等圆半径 两圆等圆
题 3图AB ⊙O 弦OC⊥AB CAB＝4OC＝1⊙O 半径 OB 长（）
A． 3 B． 5 C． 15 D． 17
题 4图圆接四边形 ABCDAB ⊙O 直径OD⊥BC E．
（1）求证：∠BCD∠CBD
（2） BE4AC6求 DE．
课作业Page 10 of 10
题 5某居民区处圆形水道破裂修理工准备更换段新道测量
图示数修理工应准备径道？
题 6已知点 O 圆心两心圆中圆弦 AB 交圆点 CD（图）．
（1）求证：ACBD
（2）圆半径 R10圆半径 r8圆 O 直线 AB 距离 6求 AC 长．
题 7图CD ⊙O 直径CD⊥AB垂足点 FAO⊥BC垂足点 EAO1．
求∠C
题 8图⊙O 半径 17cm弦 AB∥CDAB30cmCD16cm圆心 O 位
ABCD 方求 AB CD 距离．Page 1 of 12
1果关 x 方程 03)3( 72
  xxm m 关 x 元二次方程 m 值（）
A 3 B3 C3 D
2关 x 元二次方程 0525 22  ppxx 根 1实数 P 值（）
A4 B0 2 C1 D1
3国嫦娥号探月卫星成功发射某航天科普网站浏览量猛增．已知某年 10 月份
该网站浏览量 80 万次第四季度总浏览量 350 万次．果浏览量均月增长
率 x应列方程（）
A80(1＋x)2＝350 B80＋80×2x＝350
C80＋80×2(1＋x)＝350 D80[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝350
4二次函数 32)1( 22  mmxmy 图象原点 m 值必（）
A1 3 B1 C3 D3 1
5图⊿ABC 绕点 C（01）旋转 180º⊿A＇B＇C＇设点 A 坐标（ab） A＇
坐标（）
A（ab）B(ab1)C（ab+1）D（ab2）
6已知二次函数 cbxaxy  2 中函数值 y 变量 x 间部分应值表：
点 A（x1y1）B（x2y2）函数图象 1＜x1＜23＜x2＜4 时y1 y2
关系正确（）
Ay1＞y2 By1＜y2 Cy1≥y2 Dy1≤y2
7列二次函数中图象直线 x2 称轴点（01）（）
A 1)2x(y 2  B 1)2x(y 2  C 3)2( 2  xy D 3)2( 2  xy
PART
12
圆——
圆周角定理
模块 课前检测Page 2 of 12
圆周角定理：圆等圆中弧等弧圆周角等条弧圆心角半．
注意应定理时定保证弧等弧前提
定理证明⊙O 中弧圆周角圆心角位置关系三种情况图 1
应分三种情况进行讨
图 1已知：⊙O 中弧 BC 圆周角∠BAC圆心角∠BOC
求证：∠BAC
2
1 ∠BOC
证明：圆周角圆位置关系分三种情况讨
（1）圆心 O ∠BAC 条边（图 1（1））
BOC∠
2
1BAC∠
CBACBOC
BACCOCOA 





（2）圆心 O ∠BAC 部（图 1（2））作直径 AD（1）出结：
BOC∠
2
1BAC∠)DOCBOD(2
1DACBAD
DOC2
1DAC
BOD2
1BAD









（3）圆心 O BAC 外部（图 1（3））作直径 AD（1）出结：
BOC∠
2
1BAC∠)DOBDOC(2
1DABDAC
DOC2
1DAC
DOB2
1DAB









圆周角定理推
（1）推 1：弧等弧圆周角相等
注意弧等弧改成弦等弦条弦圆周角两种情况
般情况相等图 2
知识点睛
模块二 圆周角定理Page 3 of 12
（2）推 2：圆等圆中果两圆周角相等弧定相等．
注意相等圆周角弧相等结前提条件圆等圆中离开
前提条件结成立图 3
（3）推 3：半圆（直径）圆周角直角90 圆周角弦直径．
注意般情况条件中直径时做出直径圆周角直角三角形
例 1（1） O 条弧圆周 60°条弧圆心角（）
A．30° B．60° C．120° D．答案
（2）图BC 圆 O 弦圆周角∠ABC50°∠OCA 度数_______
典型例题Page 4 of 12
（3）图☉O 正方形 ABCD 外接圆点 P ☉O ∠APB 等（）
A．30° B．45° C．55° D．60°
（4）图AB ☉O 直径CD ☉O 弦∠DAB48°∠ACD_______
（5）图已知☉O 直径 AB8cmC ☉O 点∠BAC30° BC_______
巩固（1）图点 ABC ☉O ∠BAC24°∠BOC_______
（2）图☉O 中弦 ABCD 相交点 P ∠A30°∠APD70°∠B 等（）
A．30° B． 35° C． 40° D．50°
（3）图AB 直径半圆 O中C 点中点AC2△ABC面积_______Page 5 of 12
圆接三角形
1定义：三角形三顶点圆做三角形外接圆三角形做圆接三角形．
2性质：（1）三角形外心指外接圆圆心三角形三边垂直分线交点
三角形顶点距离相等
（2）三角形外接圆定三角形外心唯圆
接三角形数三角形外心重合．
OAOBOC 
补充锐角三角形外接圆圆心部直角三角形外接圆圆心斜边中点处（
直角三角形外接圆半径等斜边半）钝角三角形外接圆圆心外部．
圆接四边形
1定义：四边形四顶点均圆四边形做圆接四边形．
2性质：（1）圆接四边形角互补
（2）圆接四边形意外角等角外角等角．
图： 180BD     2 180A     1A   ．
补充圆接四边形性质条角线（条弦）两种圆周角互补．
知识点睛
模块三 接三角形四边形Page 6 of 12
例 2（1）图△ABC 外心坐标（）
A．（﹣1﹣2）B．（﹣2﹣1）C．（﹣2﹣2）D．（﹣1﹣1）
（2）图⊙O 半径 4点 ABC ⊙O ∠ACB45°弦 AB 长
．
（3）图△ABC 中BC 36 cmABAC∠BAC120°．
①尺规作图：作△ABC 外接圆（需作出图形保留作图痕迹）
②求外接圆半径．
（4）图△ABC ⊙O 接三角形AD⊥BC D 点 AC5CD3AB4 2
⊙O 直径等（）
A． 5 22 B．3 2 C．5 2 D．７
典型例题Page 7 of 12
巩固（1）图⊙O △ABC 外接圆∠A72°∠BCO 度数（）
A．15° B．18° C．20° D．28°
（2）图ABCD ⊙O 弦 AB⊥CD．∠CDB62°∠ACD （）
A．28° B．31° C．38° D．62°
（3）图坐标面Rt△ABC 直角三角形∠ABC90°AB 垂直 x 轴M Rt△ABC
外心． A 点坐标（34）M 点坐标（﹣11） B 点坐标（）
A．（3﹣1）B．（3﹣2）C．（3﹣3）D．（3﹣4）
例 4（1）图AB 半圆直径点 D 弧 AC 中点∠B50°列判断正
确（）
A．∠ACB90° B．AC2CDC．∠DAB65° D．∠DAB+∠DCB180°
（2）图ABC ⊙O 点∠ABC110°∠AOC 度数（）
A．70° B．110° C．135° D．140°Page 8 of 12
巩固（1）图⊙O 接四边形 ABCD 中点 E DC 延长线．∠A50°
∠BCE ．
（2）图⊙O 接五边形 ABCDE 中∠CAD35°∠B+∠E °．
（3）图四边形 ABCD ⊙O 接四边形已知∠BOD100°∠BCD 度数（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
弧弦圆心角关系：
1弧弦圆心角间关系：圆等圆中相等圆心角弧相等弦
相等．
2推：圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等
应余组量分相等．
注意条弦弧两条弦等出弧等时里弧等指弦劣弧
劣弧相等优弧优弧相等
补充圆心角弧弦弦弦心距四组量中组量应相等三组量
应相等换言四推三弦心距时需全等先证明
解题技巧：
1关弧中点引辅助线方法：
① 连弧中点半径② 连等弧弦③ 连等弧圆心角
知识点睛
模块四 弧弦圆周角圆心角转化Page 9 of 12
2关弦中点引辅助线方法：连弦中点半径
3求弧度数：构造弧圆心角
4已知直径：构造直径圆周角
5较弧转化成较弦圆心角
6线段倍分关系时常利折半加倍方法做辅助线
例 5（1）图AB ⊙O 直径CD ⊙O ∠DAB58°∠CAB
（）
A．20° B．22° C．24° D．26°
（2）图☉O 中AB 直径CD 圆两点 ADBC．求证：ACBD．
（3）已知：图⊙O 中弦 AB∥CD．求证：弧 AC 弧 BD 等弧．
巩固图⊙O △ABC 外接圆AB ⊙O 直径D ⊙O 点OD⊥AC
垂足 E连接 BDCD．
①求证：BD 分∠ABC②∠ODB30°时求证：四边形 OBCD 菱形．
典型例题Page 10 of 12
例 6图△ABC 圆接三角形点 E ∠ABC ∠ACB 角分线交点AE
延长线交圆点 D．
（1）求证：
（2）判断 BEC 三点否 D 圆心DE 长半径⊙D ？说明理
（3）图 2∠BEC110°∠BDC （直接写出结果）．
例 7图Rt△ABC 中∠BAC90°CD ∠ACB 分线 ACD 三点圆
斜边 BC 交点 E连接 DE．
（1）求证：ACEC
（2） AC 3 △ACD 外接圆半径 1求△ABC 面积．
力提升Page 11 of 12
例 8已知 AB ⊙O 直径C ⊙O 点弦 CD 分∠ACB
(1) 判断△ABD 形状加证明
(2) AC＝6BC＝8AI 分∠CAB 交 CD I求 CI 长
题 1列说法：中正确数（）
①相等圆心角弧相等②相等弧弦相等
③相等弦弧相等 ④半径相等两半圆等弧
A．1 B．2 C．3 D．4
题 2图已知原点⊙P xy 轴分交 AB 两点点 C 劣弧 OB
点∠ACB（）
A．80° B．90° C．100° D．法确定
题 3图 ABC ⊙O 三点∠AOC100°∠ABC 等（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
真题解析
课作业Page 12 of 12
题 4图⊙O △ABC 外接圆已知∠B58°∠CAO 度数 ．
题 5已知：四边形 ABCD ⊙O 接四边形∠D50°∠ABC 等（）
A．100° B．110° C．120° D．130°
题 6图点 DCBA ⊙O CD 度数等 84°CA ∠OCD 分线
∠ABD+∠CAO _______
题 7图AB 半圆 O 直径C 半圆点AB10BC6 O 作 OE⊥AB
交 AC 点 E CE 长（）
A．
4
5 B．
4
7 C．
4
15 D．
4
25
题 8图AB ⊙O 条弦OD⊥AB垂足 C交⊙O 点 D点 E ⊙O
．
（1）∠AOD50°求∠DEB 度数
（2） OC3∠A30°求 AB 长．Page 1 of 8
1已知关 x 元二次方程：   0612  xkx
（1）求证：意实数 k方程两相等实数根
（2）方程根 2求 k 值方程根
2图面直角坐标系中⊿ABC 三顶点坐标分 A（43）B（14）
C（21）
（1）⊿ABC 原点旋转中心旋转 180º画出旋转应⊿A1B1C1⊿A1B1C1
移 3 单位画出移应⊿A2B2C2
（2）⊿A1B1C1 绕某点 P 旋转⊿ABC请直接写出点 P 坐标________
（3） x 轴点 F FA+FB 值请直接写出点 F 坐标___________
3已知抛物线 452  aaxy ⊿ABC 三顶点点 AC 分 x 轴y 轴
BC∥x 轴ACBC求抛物线解析式
PART
13
圆——
点圆圆位置关系
模块 课前检测Page 2 of 8
点圆位置关系
1点圆位置关系：点圆点圆点圆外三种三种关系点圆
心距离半径关系决定．
2设 O⊙ 半径 r 点 P 圆心O 距离 d ：
（1）点圆外  d r
（2）点圆  d r
（3）点圆  d r
表示：
位置关系 图形 定义 性质判定
点圆外

P

r

O
点圆外部 d r  点 P O⊙ 外部
点圆

P

r

O
点圆周 d r  点 P O⊙ 外部
点圆

P

r

O
点圆部 d r  点 P O⊙ 外部
例 1（1）面设⊙O 半径 r点 P 圆心距离 d d>r  点 P ⊙O______
dr  点 P ⊙O______d（2） O⊙ 半径5cm点A圆心O距离4cm点A O⊙ 位置关系（）
A 点 A 圆外 B 点 A 圆 C 点 A 圆 D 确定
知识点睛
典型例题
模块二 点圆位置关系Page 3 of 8
（3）数轴点 A 表示实数 3点 B 表示实数 a A⊙ 半径 2．列
说法中正确（）
A． 5a  时点 B A⊙ B． 5a  点 B A⊙
C． a 时点 B A⊙ 外 D． 5a  时点 B A⊙ 外
（4）已知圆点圆周点距离 7距离 5该圆半径（）
A．2 B．6 C．12 D．7
（5） Rt△ABC 中∠C90°AC12BC5点 A 圆心作⊙A BC 两点中
点圆外点圆⊙A 半径长 r 取值范围 ．
巩固（1）已知⊙O 半径 1点 P 圆心 O 距离 d关 x 方程 x2－2x＋
d0 实根点 P()．
A．⊙O 部 B．⊙O 外部 C．⊙O D．⊙O ⊙O 部
（2）已知点圆周点距离 5cm 距离1cm 圆半径
________．
（3） Rt ABC△ 中 2AC  3BC  90C  M AB 中点 C 圆心作 C⊙
ABM 三点少点 C⊙ 少点 C⊙ 外求 C⊙ 半径 r 取值范
围．Page 4 of 8
例 2已知线段 AB6cm．
（1）画半径 4cm 圆 AB 两点样圆画？画出图形．
（2）画半径 3cm 圆 AB 两点样圆画？画出图形．
（3）画半径 2cm 圆 AB 两点样圆画？果画请画出图形．
巩固图已知△ABC 中∠C90°AC3BC4已点 C 圆心作⊙C半径 r．
（1） r 取什值时点 AB ⊙C 外？
（2） r 取什值时点 A ⊙C 点 B ⊙C 外．
问题：图 1 2004 年 5 月 5 日 2 时 48 分 3 时 52 分北京拍摄初亏食月全
食程．
数学问题解决：
数学眼光图 1认球月球投影（两圆）位置关系发生外切相
交切变化：2 时 48 分月球投影开始进入球投影黑影（图 2）接着月球投影直
线 OP 匀速行移动进入球投影黑影（图 3）3 时 52 分时月球投影全部进入
球投影黑影（图 4）．
思考：时段 OP 长度球半径月球半径间关系
知识点睛
模块三 圆圆位置关系Page 5 of 8
设 d ⊙O1 ⊙O2 圆心距r1r2(r1>r2)分⊙O1 ⊙O2 半径
⊙O1 ⊙O2 外离 d__________________⊙O1 ⊙O2 外切  d__________________
⊙O1 ⊙O2 相交 d__________________⊙O1 ⊙O2 切  d__________________
⊙O1 ⊙O2 含 d________________________
例 2（1）两圆相切 A 点半径分 10cm4cm两圆圆心距
()．
A．14cm B．6cm C．14cm 6cm D．8cm
（2）果两圆半径分 2 4圆心距 5反映两圆位置关系图（）
A．B．C．D．
（3）已知两圆半径 r1r2 分方程 x2﹣7x+100 两根两圆圆心距 7两圆
位置关系 ．
巩固（1）⊙O1 半径 r11⊙O2 半径 r22两圆仅交点
两圆圆心距 d ．
（2）已知两圆半径分方程 x2﹣7x+100 两根两圆圆心距 6两圆位置关
系（）
A．相交 B．切 C．外切 D．外离
典型例题Page 6 of 8
例 3（1）图半径 4cm 定圆 O 直线 l 相切半径 2cm 动圆 P 直线 l
滚动两圆相切时 OP 值（）
A．4cm B．6cm C．2cm D．2cm 6cm
（2）图点 AB 直线 MN AB20 厘米⊙A⊙B 半径均 2 厘米．⊙B
秒 4 厘米速度右左运动时⊙A 半径断增半径 r（厘米）
时间 t（秒）间关系式 r2+t（t≥0）．点 B 出发 t 秒两圆相切时间 t 值
．
巩固图点 AB 直线 MN AB8cm⊙A⊙B 半径均 1cm．⊙A
秒 1cm 速度左右运动时⊙B 半径增半径 r（cm）时间 t
（秒）间满足关系式 r1+t（t≥0）．点 A 出发 秒两圆相切．
例 6图Rt△ABC 中AC2 3 ∠CAB30°点 D 点 B 分线段 AC 异侧
∠ADC30°连 BD BD 值 ．
力提升Page 7 of 8
例 7☉O1 ☉O2 相交 BC 两点半径分 RrR2cmr 2 cmA ☉O1
∠A30°D ☉O2 ∠D45°求 O1O2 长度
例 8图等腰 Rt△ABC 中∠BAC＝90°AB＝ACBC＝ 24 点 D AC 边边
动点连接 BD AD 直径圆交 BD 点 E线段 CE 长度值________
题 1 O⊙ 半径 4cm 点 A 圆心O 距离3cm 点 A O⊙ 位置关
系（）
A．点 A 圆外 B．点 A 圆 C．点 A 圆 D．确定
题 2⊙O 半径 5圆心 O 坐标（00）点 P 坐标（42）点 P
⊙O 位置关系（）
A．点 P ⊙O B．点 P ⊙O C．点 P ⊙O 外 D．点 P ⊙O ⊙O 外
题3⊙O半径r5cm圆心直线l 距离OM4cm直线l点PPM3cm
点 P（）
A．⊙O B．⊙O C．⊙O 外 D．⊙O ⊙O
真题解析
课作业Page 8 of 8
题 4两圆半径分 ab圆心距 3．|a+b﹣5|+a2﹣4a+40两圆位置关
系（）
A．含 B．相交 C．外切 D．外离
题 5 Rt△ABC 中∠C90°BC3AC4点 P C 圆心5 半径圆
连结 PAPB． PB4 PA 长 ．
题 6半径分 1 3 两圆两交点圆心距 d 取值范围 ．
题 7图O1O27cm⊙O1 ⊙O2 半径分 2cm 3cmO1O2 交⊙O2 点 P．
（1）⊙O1 直线 O1O2 秒 1cm 速度左右移秒⊙O1 ⊙O2 相
切？
（2）⊙O1 秒 30°速度绕点 P 时针方旋转周秒⊙O1 ⊙O2
相切？
题 8图中三圆半径 5cm三圆两两相交圆心阴影部分面积
（）
A．
4
25 π B．
2
25 π C．25+π D．
42
25 Page 1 of 10
1．配方法解方程 x2－2x－1＝0 时配方方程（）
A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0 C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2
2．关 x 元二次方程 x2－2x＋m＝0 没实数根实数 m 取值范围（）
A．m＜1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜－1
3．图⊙O 中已知∠OAB＝225°∠C 度数（）
A．135° B．1225° C．1155° D．1125°
4．函数 y＝mx2－3x＋1 图象 x 轴交点 m 取值范围（）
A．m≤ 4
9 B．m≤ 4
9 m≠0 C．m＜
4
9 D．0＜m≤ 4
9
5．二次函数 y＝x2－6x＋c 图象 A(－1y1)B(2y2)C( 23 y3)三点关 y1
y2y3 关系（）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
6．图AB 半圆直径点 D 弧 AC 中点∠ABC＝50°∠DAB 等_________
7．抛物线 y＝ax2＋x＋1（a≠0）顶点始终 x 轴前方 a 取值范围___________
PART
14
圆——
直线圆位置关系
模块 课前检测Page 2 of 10
1直线圆三种位置关系定义
（1）直线l 圆⊙ O 没公点时做直线l ⊙O 相离
（2）直线l 圆⊙O 唯公点 P 时做直线l ⊙O 相切时直线l 做⊙O
切线唯公点 P 做切点
（3）直线l 圆⊙ O 两公点 AB 时做直线l ⊙O 相交时直线l 做
⊙O 割线（图示）
2直线圆位置关系性质判定
设⊙O 半径 R圆心O 直线l 距离 d 根直线圆相离相切相交定义
容易：（1）直线l ⊙O 相离  d R （2）直线l ⊙O 相切  d R （3）直线l
⊙O 相交  d R
综述：设 O⊙ 半径 r 圆心 O 直线 l 距离 d 直线圆位置关系表：
位置关系 图形 定义 性质判定
相离

l

O

d

r 直线圆没公点． d r  直线l O⊙ 相离
相切

l

O

d

r 直线圆唯公点直线做
圆切线唯公点做切点． d r  直线l O⊙ 相切
相交

l

O

d

r 直线圆两公点直线做
圆割线． d r  直线l O⊙ 相交
注意1明确直线圆唯公点含义公点避免出现直线
圆公点直线圆相切错误
2述直线改线段者射线时需注意分情况讨
知识点睛
模块二 直线圆位置关系Page 3 of 10
例 1（1）已知 O 面积 29 cm 点O 直线l 距离 cm 直线 l O
位置关系（）
A．相交 B．相切 C．相离 D．法确定
（2）ABC△ 中 90C   3AC  4BC  ．出列三结：
①点C 圆心23 cm 长半径圆 AB 相离
②点C 圆心24 cm 长半径圆 AB 相切
③点C 圆心25 cm 长半径圆 AB 相交
述结中正确数（）
A．0 B．1 C．2 D．3
巩固（1）已知⊙O 半径3cm 点 P 直线l 点OP 长5cm 直线l O
位置关系（）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交．相切．相离
（2）图 Rt ABC△ 中 90C   30B   4BC cm 点C 圆心 2cm
长半径作圆 C AB 位置关系___________
切线性质
（1）定理：圆切线垂直切点半径．
推 1：圆心垂直切线直线必切点．
推 2：切点垂直切线直线必圆心．
典型例题
知识点睛
模块三 切线性质判定Page 4 of 10
（2）注意：定理三条件条直线满足：①垂直切线②切点③圆心
①圆心切点 垂直切线．AB 圆心AB 切点 M AB l ．
②圆心垂直切线 切点．AB 圆心AB l AB 切点 M．
③切点垂直切线 圆心．AB l AB 切点 M AB 圆心．
切线判定
（1）定义法：圆公点直线圆切线
（2）距离法：圆心距离等半径直线圆切线
（3）定理：半径外端垂直条半径直线圆切线．
注意：定理题设①半径外端②垂直半径两条件缺定理结
直线圆切线．证明条直线圆切线两思路：①连接半径证直线
半径垂直②作垂直证垂直圆．
切线长切线长定理
（1）切线长：圆外点圆切线点切点间线段长做点圆
切线长．
（2）切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线
分两条切线夹角．
例 2（1）图△ABC 中AB5BC3AC4点 C 圆心圆 AB 相切
⊙C 半径（）
A．23 B．24 C．25 D．26
典型例题Page 5 of 10
（2）图矩形 ABCD 中AB8AD12 AD 两点⊙O BC 边相切点 E
⊙O 半径 ．
（3）图AB ⊙O 弦AC ⊙O 相切点 A∠BAC52°．
①求∠OBA 度数②求∠D 度数．
巩固（1）图点 P ⊙O 外PAPB 分⊙O 相切 AB 两点∠P50°
∠AOB 等（）
A．150° B．130° C．155° D．135°
（2）图示⊙M x 轴相交点 A（20）B（80） y 轴相切点 C圆
心 M 坐标 ．
（3）图直线 AD △ABC 外接圆相切点 A∠B60°∠CAD 等（）
A．30° B．60° C．90° D．120°Page 6 of 10
例 3（1）图矩形 ABCD 中AB4AD5ADABBC 分⊙O 相切 E
FG 三点点 D 作⊙O 切线 BC 点 M切点 N DM 长（）
A．
3
13 B．
2
9 C． 133
4 D． 52
（2）图∠APB52°PAPBDE ⊙O 切线切点分 ABF PA6．
①求△PDE 周长②求∠DOE 度数．
巩固图直线 ABBCCD 分⊙O 相切 EFG AB∥CDOB6cm
OC8cm．求：
（1）∠BOC 度数（2）BE+CG 长（3）⊙O 半径．
例 4（1）图△ABC 中∠CAB90°∠CBA50° AB 直径作⊙O 交 BC
点 D点 E 边 AC 满足 EDEA．
①求∠DOA 度数②求证：直线 ED ⊙O 相切．Page 7 of 10
（2）图AB ⊙O 弦D OA 半径中点 D 作 CD⊥OA 交弦 AB 点 E交
⊙O 点 F CECB．
①求证：BC ⊙O 切线②连接 AFBF求∠ABF 度数
（3）已知：图△ABC 接⊙OAD A 条射线∠B∠CAD．求证：AD
⊙O 切线．
巩固已知图△ABC 中ABAC点 D BC BDDC点 D 作 DE⊥AC
垂足 E⊙O ABD 三点．
（1）求证：AB ⊙O 直径（2）求证：DE ⊙O 切线Page 8 of 10
例 6图△ABC 接⊙O AB ⊙O 直径．∠ACB 分线交⊙O 点 D
点D 作⊙O 切线 PD 交 CA 延长线点 P点 A作 AE⊥CD 点E点B 作 BF⊥CD
点 F．
（1）求证：DP∥AB
（2）试猜想线段 AEEFBF 间数量关系加证明
（3） AC6BC8求线段 PD 长．
例 7图示直角坐标系中A 点坐标  3 2 A 半径 1P x 轴
动点PQ 切 A 点 Q PQ 时P 点坐标（）
A．（﹣40）B．（﹣20）
C．（﹣40）（﹣20）D．（﹣30）
力提升Page 9 of 10
例 8图已知直线 PA 交⊙O AB 两点AE ⊙O 直径点 C ⊙O 点
AC 分∠PAE C 作 CD⊥PA垂足 D．
（1）求证：CD ⊙O 切线
（2） DC4AC5求⊙O 直径 AE．
题 1果圆半径 8cm圆心条直线距离 8cm条直线
圆位置关系（）
A．相离 B．相交 C．相切 D．确定
题 2已知 60ABC   点 O ABC 分线 5cmOB  O 圆心 3cm
半径作圆 O BC 位置关系________．
题 3图AB ⊙O 弦AC ⊙O 切线A 切点BC 圆心．∠B20°
∠C 等（）
A．20° B．25° C．40° D．50°
真题解析
课作业Page 10 of 10
题 4图AC ⊙O 切线切点 CBC ⊙O 直径AB 交⊙O 点 D连
接 OD．∠BAC55°∠COD （）
A．70° B．60° C．55° D．35°
题 5已知：图PAPB 分 O⊙ 相切 AB 两点．求证：
（1）APOBPO   （2）PAPB （3）OP 垂直分线段 AB．

C

O

B

A

P
题 6图点 O ∠APB 分线⊙O PA 相切点 C．求证：直线 PB ⊙O
相切
题 7图 Rt△ABC 中∠C90°∠BAC 分线 AD 交 BC 点 D点 E
AB 点 AE 直径⊙O 点 D交 AC 点 F．求证：BC ⊙O 切线Page 1 of 10
1图弦 AB CD 相交⊙O 点 EAE＝CE求证：BE＝DE
2图设计图书封面封面长 30 cm宽 20 cm正中央整封面长宽
例相矩形．果四周彩色边衬占面积封面面积
25
4 边衬等宽．左
右边衬等宽．求边衬宽
3已知 a b c △ABC 三条边关 x 元二次方程 02
1
2
1 2  acxbx 两
相等实数根方程 abcx 223  根 x0
（1）试判断△ABC 形状
（2） a b 关 x 元二次方程 x2 ＋mx－3m0 两根求 m 值
PART
15
圆——
圆中相关计算
模块 课前检测Page 2 of 10
正边形关计算：设正 n 边形边长 na 半径 R边心距 nr 周长 nP面积
nS 2 2 2180 180 1 1 12 sin cos 4 2 2n n n n n n n n n n na R r RR r a P na S n r a r Pn n
          
例 1（1）已知圆接正三角形边心距 1三角形面积（）
A．2 3 B．3 3 C．4 3 D．6 3
（2）⊙O 半径等 3⊙O 接正方形边长等（）
A．3 B．2 2 C．3 2 D．6
（3）正六边形边长等 2正六边形面积等（）
A．4 3 B．6 3 C．7 3 D．8 3
巩固（1）正六边形边心距边长 ．
（2）边长 1cm 正六边形面积等 cm2．
（3）正六边形边长 2外接圆半径 接圆半径
．
知识点睛
典型例题
模块二 圆正边形Page 3 of 10
弧长公式
圆周角课做 360 圆弧 360 圆心角弧长圆周长 2πCR
半径 R 圆中 n 圆心角弧长l 计算公式： π
180
n Rl 
注意
1圆心角单位全度定化度代入公式
2公式中三未知量l n R 知道两求出第三推圆心角计算
公式： 180
π
ln R

边形滚动问题
解决边形滚动问题明确旋转中心旋转半径旋转方旋转角度．
常见边形滚动问题：
1 正三角形水线翻滚2正方形水线翻滚3角相等非正边形水线翻
滚4角相等边形水线翻滚．
扇形
1 扇形定义：组成圆心角两条半径圆心角弧围成图形做扇形．
2 扇 形 周 长 ： 半 径 R 圆 心 角 度 数 n 扇 形 中 周 长 公 式 ：
π2 2 180
n RCR l R   
3 扇形面积计算公式：①
2π
360
n RS  ② 1
2S lR （l 扇形弧长）
注意扇形面积两计算公式根题目选择公式进行计算
知识点睛
模块三 弧扇形滚动问题Page 4 of 10
例 2（1）圆心角 60°半径 3 扇形弧长（）
A． π
2 B．π C． 3π
2 D．3π
（2）图已知 Rt ABC△ 中 90ABC   30BAC   2 3AB  cm ABC△ 绕顶点C
时针旋转 ABC  △ 位置 ＇ABC 三点条直线点 A 短路线
长度（）cm．
A．8 B． 4 3 C． 32
3
 D． 8
3

（3） ABC△ 绕点 B 逆时针旋转 ABC △ ABC 直线 90BCA  °
4cm30 ABBAC    图中阴影部分面积___________cm2．
（4）图等腰直角三角形 ABC 中 90C   点 D AB 中点已知扇形 EAD
扇形 FBD 圆心分点 A点 B 2AC  图中阴影部分面积___________（结
果取似值）．
典型例题Page 5 of 10
巩固（1）扇形圆心角 60°弧长 2π厘米扇形半径（）
A．6 厘米 B．12 厘米 C． 厘米 D． 厘米
（2）图菱形 ABCD 边长 6∠BAD60°AC 角线．△ACD 绕点 A 逆时针
旋转 60°△AC′D′连接 DC′．
①求证：△ADC≌△ADC′
②求旋转程中点 C 扫路径长．（结果保留π）
③求旋转程中△ACD 扫路径长
弓形面积计算方法
1 弓形定义：弦弧组成图形做弓形．
2 弓形面积计算：弓形面积问题转化成扇形面积三角形面积计算．根弧
情况三种情况：
①弓形含弧劣弧时ABCSSS 弓形 扇形
② 弓形含弧优弧时 + ABCSSS弓形 扇形
③ 弓形含弧半圆时 1
2SS弓形 圆
圆锥
1圆锥概念：圆锥做直角三角形绕条直角边直线旋转成图
形．条直线做圆锥轴．垂直轴边旋转成面做圆锥底面底面圆面．
知识点睛
模块四 弓形圆锥相关计算Page 6 of 10
斜边旋转成面做圆锥侧面．圆锥顶点底面距离做圆锥高．连接圆锥
顶点底面周长意点线段做圆锥母线．
2圆锥侧面积：圆锥侧面展开图扇形设圆锥母线长l 底面圆半径 r
扇形半径圆锥母线l 扇形弧长圆锥底面周长 2 r 圆锥
侧面积公式： πS rl
3圆锥全面积：圆锥测面积底面积称圆锥全面积．公式： 2π πS rl r 
注意圆锥面积计算公式中 r l扇形面积计算公式中 R l表示含义样
应时混淆．
4推：已知扇形半径 R圆心角 n 扇形围成圆锥底面半径 r 三者
间关系：
360
n r
R

例 3（1）图点 ABC 直径 2 3 O 45BAC   图中阴影部分
面积等_________．（结果中保留π）．
（2）半径 6圆心角 120°扇形围成圆锥（考虑接缝）圆锥底面
直径（）
A．2 B．4 C．6 D．8
（3）图圆锥高 SO4cm底面圆直径 AB6cm求圆锥侧面积．
典型例题Page 7 of 10
（4）图Rt△ABC 中∠ACB90°ACBC2 Rt△ABC 绕边 AB 直线旋
转周体表面积 （结果保留π）．
巩固（1）图已知扇形 AOB 半径 2圆心角 90°连接 AB图中阴影部
分面积（）
A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4
（2）图张半径 24cm 扇形纸板制作顶圆锥形帽子（接缝忽略计）果
圆锥形帽子底面半径 10cm张扇形纸板面积（）
A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2
例 4（1）圆锥侧面展开时弧长 l6π扇形圆锥底面半_______．
（2）半径 12圆心角 120°扇形围成圆锥侧面（接缝忽略计）
圆锥底面圆半径长_______．
（3）半径 6cm母线长 15cm 圆锥形纸筒条母线剪开展侧
面展开图圆心角________度．
（4）已知圆锥底面直径 4母线长 6侧面展开图圆心角_______度Page 8 of 10
巩固（1）底面半径 5cm母线长 12cm 圆锥形纸筒条母线剪开展
侧面展开图圆心角______度．
（2）半径 9cm圆心角 120°扇形纸片围成圆锥该圆锥高____cm．
（3）已知圆锥底面半径 3侧面积 15π圆锥高_________．
（4）果圆锥底面周长 20π侧面展开扇形圆心角 120°．圆锥母线
___________．
例 5图正三角形正方形正六边形等正 n 边形圆形状差异正 n 边
形圆接程度称接度研究接度时应保证相似图形接度相等
（1）设正 n 边形角度数 m°正 n 边形接度定义|180﹣m|
|180﹣m|越该正 n 边形越接圆
① n20该正 n 边形接度等
②接度等 时正 n 边形成圆．
（2）设正 n 边形半径（正 n 边形外接圆半径） R边心距（正 n 边形中
心边距离） r正 n 边形接度定义|R﹣r||R﹣r|越正 n 边形
越接圆认种说法否合理？合理请出正 n 边形接度合理定
义．
力提升Page 9 of 10
例 7（1）图正六边形 ABCDEF 接⊙O半径 4正六边形边心距
OM 长分（）
A．2B．2 π C．D．2
（2）正三角形正方形正六边形边心距
题 1图长 4cm宽 3cm 长方形木板桌面做滑动翻滚(时针
方)木板顶点 A 位置变化 A→A1→A2中第二次翻滚桌面木块挡住
木板边 A2C 桌面成 30°角点 A 翻滚 A2 位置时走路径长()
A．10cm B．3 5 π cm
C．4 5 π cm D．2 5 π cm
题 2图等腰直角△ABC 中ABAC8 AB 直径半圆 O 交斜边 BC D
阴影部分面积（结果保留π）（）
A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16
真题解析
课作业Page 10 of 10
题 3图半径 5 圆心角等 45扇形 AOB 部作正方形CDEF
点C OA 点 DE OB 点 F AB 阴影部分面积____________．
题 4图圆锥母线长 AB2高 AO 圆锥锥角∠BAC 度．
题 5扇形圆半径 3cm扇形圆心角 120°扇形面积_____cm2．
题 6块含 30°角三角尺绕较长直角边旋转周圆锥圆锥高3 3
圆锥侧面积________．
题 7图直角三角形△ABC 斜边 AB 放直线 l 时针方转动两次
转△A″B″C″位置设 BC1AC 顶点 A 运动 A″位置时：
（1）点 A 路线长？
（2）点 A 路线直线 l 围成面积少？
题 8已知圆外切正六边形周长 4 cm求圆接正方形边长．

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