2019年高考理科数学押题试卷（全国I卷附解析）
选择题：题12题题5分60分 题出四选项中项符合题目求
1．已知复数z （i虚数单位）复数z虚部（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析
复数z
复数虚部 ．选：A．
2．已知集合 （ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析
题求集合
选D
3．某位教师2017年家庭总收入80000元种途占统计图示折线图 年收入种途占统计图示条形图 已知2018年医费2017年增加4750元该教师2018年家庭总收入
A．100000元 B．95000元 C．90000元 D．85000元
答案D
解析
已知2017年医费 元
年医费 元
该教师2018年家庭总收入 元．
选：D．
4．设等差数列{an}前n项Sn S43S2a715{an}公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案B
解析
根题意设等差数列 公差
题意 解 ．
选B．
5．已知点 曲线 移动设曲线点 处切线倾斜角 取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
题意函数
结合正切函数图象性质 选C
6．已知 两单位量夹角 数量积值（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析
题意：
时值：
题正确选项：
7．九章算木中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马现阳马正视图侧视图图示直角三角形该阳马体积 该阳马顶点球面该球表面积（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析
正视图侧视图知底面长方形长宽分42
四棱锥高
外接球直径
．
选：D．
8．已知抛物线 ： 焦点 倾斜角 直线抛物线 交 两点 中点 轴射影分 抛物线 准线方程（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
设AFFB中点分DE|AB|2|DE|
题|DE| |DE|8|AB|16
设
联立直线抛物线方程
抛物线准线方程x3
选：C
9．已知函数 等式 解集
A． B． C． D．
答案C
解析
函数 知 时
解 ．
等式 等式
：
解：
选：C．
10．国魏晋时期数学家刘徽公元263年撰写九章算术注．篇注记提出数学史著名割圆术．割圆术中图（圆接正六边形）果该圆中取点该点落弓形概率（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析
设圆半径R
设事件A该圆中取点该点落弓形
概型中面积型：
选：D．
11．已知双曲线 焦距 点 点 直线 距离 离心率 取值范围( )
A． B． C． D．
答案D
解析
直线l方程 bxay﹣ab＝0．
点直线距离公式a＞1点（10）直线l距离
理点（﹣10）直线l距离． S＝ + ．
S a≥2c2．
4e4﹣25e2+2 5≤0．
解等式 ．
e＞1
e取值范围 e∈ ．
选：D．
12．棱长4正方体 顶点 面 面 面 成二面角 顶点 面 距离值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析
图示AC中点OC1O⊥α
垂足EC1E求∠AOE＝30°
题意设CO＝xAO＝4 x
C1O OE OA＝2 x
∴C1E 2 x
令y 2 x
y′ 0x
∴x 顶点C1面α距离值2（ ）．
选：B．
非选择题部分（90分）
二填空题：题4题题5分20分
13．设变量 满足约束条件 值__________．
答案
解析
画出行 域图阴影部分示
表示（xy）A（20）连线斜率题知点B时斜率时点B方程组解 解B（12） 值
答案
14．已知等数列 前 项 ______．
答案
解析
等数列 前n项
等数列性质：
解
．
答案： ．
15．二项式 展开式常数项 实数 值__________．
答案
解析
二项式 展开式通项
令
常数项
答案
16．已知函数 恰值点两零点 取值范围______．
答案
解析
题意函数
恰值点两零点
解 取值范围
答案：
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤17—21题必考题考生必须作答2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．已知 中角 边分 锐角满足
（Ⅰ）求 值
（Ⅱ） 面积 求
答案（Ⅰ） （Ⅱ）
解析
（Ⅰ）∵ ∴
∴
∵ 锐角 ∴
（Ⅱ）（Ⅰ）知
∵ 面积 ∴ （1）
余弦定理：
∴ （2）
（1）（2）解
18．图示等腰梯形ABCD中 EFAB三等分点 分DECF折起AB两点重合记点P．
证明：面 面PEF
求PD面PFC成角正弦值．
答案（1）见解析（2）
解析
四边形CDEF行四边形
≌
面PEF
面PFC 面 面PEF．
面PEF作 垂足O取CD中点M
知 面PEFFC 面CDEF
OFOM两两垂直
O坐标原点建立图示空间直角坐标系
设 等边三角形
0 0 2 2
0 2 2
设 y 面PFC法量
取 0
设PD面PFC成角
面PFC成角正弦值 ．
19．迎接2022年冬奥会北京市组织中学生开展冰雪运动培训活动培训结束学生进行考核．记X表示学生考核成绩规定X≥85考核优秀．解次培训活动效果参加培训学生中机抽取30名学生考核成绩作成茎叶图．
（1）参加培训学生中机选取1请根图中数估计名学生考核优秀概率
（2）图中考核成绩满足X [7079]学生中取3设Y表示3重成绩满足 ≤10数求Y分布列数学期．
答案（1） （2） 分布列见解析
解析
（1）设该名学生考核成绩优秀事件 茎叶图中数知30名学成绩中优秀：858990909192937名学
估计名学生考核优秀概率 ．
（2） 题意 取值
成绩 学生8中满足 学生
．
机变量 分布列
数学期 ．
20．已知椭圆 离心率 顶点 椭圆左 右焦点右焦点直线椭圆交 两点 周长
（I）求椭圆 方程
(II)点 直线椭圆 交两点 (均异点 )试探求直线 斜率否定值证明结
答案（I） (II) 证明见解析
解析
（Ⅰ）题设知
椭圆定义知： 周长 解
椭圆方程
（Ⅱ）题设知
直线 斜率存时直线方 程
时
直线 斜率存时设直线 方程
联立
题意知 设
直线 斜率
直线 斜率定值2
21．已知函数 时 极值
（Ⅰ）求 解析式
（Ⅱ） 导函数等式 （ 正整数）意正实数 恒成立求 值（注： ）
答案（Ⅰ） （Ⅱ）4
解析
（Ⅰ） 时f(x)极值
时 时 时 时
∴ 时f(x)极值合题意舍
时 时 符合题意
∴求
（Ⅱ）（1）知 等价 等价
记
x＞k+1 (0k+1)单调递减(k+1+∞)单调递增
意正实数 恒成立等价
记 (0+∞)单调递减 ∵ ∴k1234 k值4
（二）选考题：10分请考生2223题中选题作答果做做第题计分
22．直角坐标系原点O极点x轴正半轴极轴两坐标系取相等长度单位．已知直线l参数方程 （t参数）曲线C极坐标方程 ．
（1）求曲线C直角坐标方程
（2）设直线l曲线C相交 两点求 点M曲线C动点求 面积值．
答案（Ⅰ） （Ⅱ）
解析
（1） ．
（2） 代入
设 应参数分
∴
∴ ．
直线l普通方程 设
点M直线 距离
∴ ．
23．已知函数 ．
（1） 时求等式 解 集
（2） 恒成立求 取值范围．
答案（1） （2）
解析
（1） 时
等式
等式解集{ }
（2）
恒成立
解：
∴实数 取值范围
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选择题：题12题题5分60分 题出四选项中项符合题目求
1．已知复数z （i虚数单位）复数z虚部（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析
复数z
复数虚部 ．选：A．
2．已知集合 （ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析
题求集合
选D
3．某位教师2017年家庭总收入80000元种途占统计图示折线图 年收入种途占统计图示条形图 已知2018年医费2017年增加4750元该教师2018年家庭总收入
A．100000元 B．95000元 C．90000元 D．85000元
答案D
解析
已知2017年医费 元
年医费 元
该教师2018年家庭总收入 元．
选：D．
4．设等差数列{an}前n项Sn S43S2a715{an}公差（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案B
解析
根题意设等差数列 公差
题意 解 ．
选B．
5．已知点 曲线 移动设曲线点 处切线倾斜角 取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
题意函数
结合正切函数图象性质 选C
6．已知 两单位量夹角 数量积值（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析
题意：
时值：
题正确选项：
7．九章算木中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马现阳马正视图侧视图图示直角三角形该阳马体积 该阳马顶点球面该球表面积（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析
正视图侧视图知底面长方形长宽分42
四棱锥高
外接球直径
．
选：D．
8．已知抛物线 ： 焦点 倾斜角 直线抛物线 交 两点 中点 轴射影分 抛物线 准线方程（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析
设AFFB中点分DE|AB|2|DE|
题|DE| |DE|8|AB|16
设
联立直线抛物线方程
抛物线准线方程x3
选：C
9．已知函数 等式 解集
A． B． C． D．
答案C
解析
函数 知 时
解 ．
等式 等式
：
解：
选：C．
10．国魏晋时期数学家刘徽公元263年撰写九章算术注．篇注记提出数学史著名割圆术．割圆术中图（圆接正六边形）果该圆中取点该点落弓形概率（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析
设圆半径R
设事件A该圆中取点该点落弓形
概型中面积型：
选：D．
11．已知双曲线 焦距 点 点 直线 距离 离心率 取值范围( )
A． B． C． D．
答案D
解析
直线l方程 bxay﹣ab＝0．
点直线距离公式a＞1点（10）直线l距离
理点（﹣10）直线l距离． S＝ + ．
S a≥2c2．
4e4﹣25e2+2 5≤0．
解等式 ．
e＞1
e取值范围 e∈ ．
选：D．
12．棱长4正方体 顶点 面 面 面 成二面角 顶点 面 距离值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析
图示AC中点OC1O⊥α
垂足EC1E求∠AOE＝30°
题意设CO＝xAO＝4 x
C1O OE OA＝2 x
∴C1E 2 x
令y 2 x
y′ 0x
∴x 顶点C1面α距离值2（ ）．
选：B．
非选择题部分（90分）
二填空题：题4题题5分20分
13．设变量 满足约束条件 值__________．
答案
解析
画出行 域图阴影部分示
表示（xy）A（20）连线斜率题知点B时斜率时点B方程组解 解B（12） 值
答案
14．已知等数列 前 项 ______．
答案
解析
等数列 前n项
等数列性质：
解
．
答案： ．
15．二项式 展开式常数项 实数 值__________．
答案
解析
二项式 展开式通项
令
常数项
答案
16．已知函数 恰值点两零点 取值范围______．
答案
解析
题意函数
恰值点两零点
解 取值范围
答案：
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤17—21题必考题考生必须作答2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17．已知 中角 边分 锐角满足
（Ⅰ）求 值
（Ⅱ） 面积 求
答案（Ⅰ） （Ⅱ）
解析
（Ⅰ）∵ ∴
∴
∵ 锐角 ∴
（Ⅱ）（Ⅰ）知
∵ 面积 ∴ （1）
余弦定理：
∴ （2）
（1）（2）解
18．图示等腰梯形ABCD中 EFAB三等分点 分DECF折起AB两点重合记点P．
证明：面 面PEF
求PD面PFC成角正弦值．
答案（1）见解析（2）
解析
四边形CDEF行四边形
≌
面PEF
面PFC 面 面PEF．
面PEF作 垂足O取CD中点M
知 面PEFFC 面CDEF
OFOM两两垂直
O坐标原点建立图示空间直角坐标系
设 等边三角形
0 0 2 2
0 2 2
设 y 面PFC法量
取 0
设PD面PFC成角
面PFC成角正弦值 ．
19．迎接2022年冬奥会北京市组织中学生开展冰雪运动培训活动培训结束学生进行考核．记X表示学生考核成绩规定X≥85考核优秀．解次培训活动效果参加培训学生中机抽取30名学生考核成绩作成茎叶图．
（1）参加培训学生中机选取1请根图中数估计名学生考核优秀概率
（2）图中考核成绩满足X [7079]学生中取3设Y表示3重成绩满足 ≤10数求Y分布列数学期．
答案（1） （2） 分布列见解析
解析
（1）设该名学生考核成绩优秀事件 茎叶图中数知30名学成绩中优秀：858990909192937名学
估计名学生考核优秀概率 ．
（2） 题意 取值
成绩 学生8中满足 学生
．
机变量 分布列
数学期 ．
20．已知椭圆 离心率 顶点 椭圆左 右焦点右焦点直线椭圆交 两点 周长
（I）求椭圆 方程
(II)点 直线椭圆 交两点 (均异点 )试探求直线 斜率否定值证明结
答案（I） (II) 证明见解析
解析
（Ⅰ）题设知
椭圆定义知： 周长 解
椭圆方程
（Ⅱ）题设知
直线 斜率存时直线方 程
时
直线 斜率存时设直线 方程
联立
题意知 设
直线 斜率
直线 斜率定值2
21．已知函数 时 极值
（Ⅰ）求 解析式
（Ⅱ） 导函数等式 （ 正整数）意正实数 恒成立求 值（注： ）
答案（Ⅰ） （Ⅱ）4
解析
（Ⅰ） 时f(x)极值
时 时 时 时
∴ 时f(x)极值合题意舍
时 时 符合题意
∴求
（Ⅱ）（1）知 等价 等价
记
x＞k+1 (0k+1)单调递减(k+1+∞)单调递增
意正实数 恒成立等价
记 (0+∞)单调递减 ∵ ∴k1234 k值4
（二）选考题：10分请考生2223题中选题作答果做做第题计分
22．直角坐标系原点O极点x轴正半轴极轴两坐标系取相等长度单位．已知直线l参数方程 （t参数）曲线C极坐标方程 ．
（1）求曲线C直角坐标方程
（2）设直线l曲线C相交 两点求 点M曲线C动点求 面积值．
答案（Ⅰ） （Ⅱ）
解析
（1） ．
（2） 代入
设 应参数分
∴
∴ ．
直线l普通方程 设
点M直线 距离
∴ ．
23．已知函数 ．
（1） 时求等式 解 集
（2） 恒成立求 取值范围．
答案（1） （2）
解析
（1） 时
等式
等式解集{ }
（2）
恒成立
解：
∴实数 取值范围
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