九年级册知识点总结
第二十章 元二次方程
221 元二次方程
知识点 元二次方程定义
等号两边整式含未知数（元）未知数高次数2（二次）方程做元二次方程
注意点：
① 含未知数②未知数高次数2③整式方程
知识点二 元二次方程般形式
般形式：中 二次项 二次项系数 次项b 次项系数c常数项
知识点三 元二次方程根
元二次方程左右两边相等未知数值做元二次方程解做元二次方程根方程解定义解方程程中验根
222 降次——解元二次方程
2221 配方法
知识点 直接开方法解元二次方程
（1） 果方程边化成含未知数代数式方边非负数直接开方般形方程根方根定义解
（2） 直接开方法适解形形式方程果 p≥0利直接开方法
（3） 直接开方法求元二次方程根正确运方根性质正数方根两互相反数零方根零负数没方根
（4） 直接开方法解元二次方程步骤：移项二次项系数含未知数式子方项系数 1两边直接开方原方程变两元二次方程解元次方程求出原方程根
知识点二 配方法解元二次方程
通配成完全方形式解元二次方程方法做配方法配方目降次元二次方程转化两元次方程解
配方法般步骤总结：移二三配四开
（1） 常数项移等号右边
（2） 方程两边二次项系数
（3） 方程两边加次项系数半方左边配成完全方式
（4） 等号右边非负数直接开方求出方程解
2222 公式法
知识点 公式法解元二次方程
（1） 般元二次方程 果 方程两根
公式做元二次方程求根公式利求根公式元二方程系数abc 值直接求方程解种解方程方法做公式法
（2） 元二次方程求根公式推导程配方法解般形式元二次方程程
（3） 公式法解元二次方程具体步骤：
① 方程化般形式：般a 化正值
② 确定公式中abc 值注意符号
③ 求出值
④ abc b4ac 值代入公式求解方程实数根
知识点二 元二次方程根判式
式子做方程根判式通常希腊字母△表示
方程两相等实数根
元二次方程根判式
△0 方程两相等实数根
△＜0方程实数根
2223 式分解法
知识点 式分解法解元二次方程
（1） 元二次方程边化 0边分解成两次式积进转化求两元次方程解种解方程方法做式分解法
（2） 式分解法详细步骤：
① 移项项移左边右边化0
② 方程左边分解成两式积方法提公式方差公式完全方公式
③ 令式分零元次方程
④ 解元次方程原方程解
知识点二 合适方法解元次方程
方法名称
理
适范围
直接开方法
方根意义
形
配方法
完全方公式
元二次方程
公式法
配方法
元二次方程
式分解法
ab0a0 b0
边0边易分解成两次式积元二次方程
2224 元二次方程根系数关系（解）
元二次方程两根
元二次方程两实数根
223 实际问题元二次方程
知识点 列元二次方程解应题般步骤：
（1） 审：指读懂题目弄清题意明确已知量未知量间等量关系
（2） 设：指设元设出未知数
（3） 列：列方程关键步骤般先找出够表达应题全部含义相等含义然列代数式表示相等关系中量含未知数等式方程
（4） 解：解方程求出未知数值
（5） 验：指检验方程解否保证实际问题意义符合题意
（6） 答：写出答案
知识点二 列元二次方程解应题种常见类型
（1） 数字问题
三连续整数：设中间数x两数分x1x+1
三连续偶数（奇数）：中间数x两数分x2x+2
三位数表示方法：设百位十位位数字分abc三位数100a+10b+c
（2） 增长率问题
设初始量a终止量b均增长率均降低率x两次增长降低等量关系
（3）利润问题
利润问题常相等关系式：①总利润总销售价总成②总利润单位利润×总销售量③利润成×利润率
（4）图形面积问题 根图形面积图形边高等相关元素关系图形面积含未知数代数式表示出建立元二次方程
第二十二章 二次函数
知识点：二次函数定义
1二次函数定义：
般形（常数）函数做二次函数．
中二次项系数次项系数常数项．
知识点二：二次函数图象性质抛物线三素：开口称轴顶点
2二次函数图象性质
（1）二次函数基形式图象性质：a绝值越抛物线开口越
（2）图象性质：加减
（3）图象性质：左加右减
（4）二次函数图象性质
3 二次函数图性质
（1）时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增减时增增时值．
（2）时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增增时增减时值．
4 二次函数常见方法指导
（1）二次函数图象画法
①画精确图 五点绘图法（列表描点连线）
利配方法二次函数化顶点式确定开口方
称轴顶点坐标然称轴两侧左右称描点画图
②画草图 抓住点：开口方称轴x轴交点顶点
（2）二次函数图象移
移步骤：
① 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
② 抛物线适移
具体移方法：
移规律：概括成八字左加右减加减．
（3）定系数法求二次函数解析式
①般式：已知图象三点三值通常选择般式
②顶点式：已知图象顶点称轴通常选择顶点式
③交点式：已知图象轴交点坐标通常选择交点式
（4）求抛物线顶点称轴方法
①公式法：∴顶点称轴直线
②配方法：运配方方法抛物线解析式化形式顶点()称轴直线
③运抛物线称性：抛物线称轴轴轴称图形称轴连线垂直分线抛物线称轴称轴抛物线交点顶点
（5）抛物线中作
①决定开口方开口中完全样
②决定抛物线称轴位置
抛物线称轴直线
果时称轴轴
果（号）时称轴轴左侧
果（异号）时称轴轴右侧
③决定抛物线轴交点位置
时抛物线轴交点（0）
果抛物线原点
果轴交正半轴
果轴交负半轴
知识点三：二次函数元二次方程关系
5函数时元二次方程元二次方程解二次函数图象轴交点横坐标二次函数图象轴交点情况决定元二次方程根情况
(1)二次函数图象轴两交点时方程两相等实根
(2)二次函数图象轴交点时方程两相等实根(3)二次函数图象轴没交点时方程没实根
通面表格直观观察二次函数图象元二次方程关系：
图象
解
方程两等实数解
方程两相等实数解
方程没实数解
6拓展：关直线抛物线交点知识
（1）轴抛物线交点
（2）轴行直线抛物线交点(
)
（3）抛物线轴交点
二次函数图轴两交点横坐标应元二次方程两实数根抛物线轴交点情况应元二次方程根判式判定：
①两交点抛物线轴相交
②交点（顶点轴）抛物线轴相切
③没交点抛物线轴相离
（4）行轴直线抛物线交点
（3）样0交点1交点2交点2交点时两交点坐标相等设坐标横坐标两实数根
（5）次函数图二次函数图交点方程组解数目确定：
①方程组两组解时两交点
②方程组组解时交点
③方程组解时没交点
（6）抛物线轴两交点间距离：抛物线轴两交点方程两根
知识点四：利二次函数解决实际问题
7利二次函数解决实际问题建立数学模型实际问题转化二次函数问题利题中存公式含规律等相等关系建立函数关系式利函数图象性质研究问题研究实际问题时注意变量取值范围应具实际意义
利二次函数解决实际问题般步骤：
(1)建立适面直角坐标系
(2)实际问题中数点坐标联系起
(3)定系数法求出抛物线关系式
(4)利二次函数图象性质分析问题解决问题
第二十三章 旋转
231 图形旋转
知识点 旋转定义
面面图形绕着面某点O 转动角度做图形旋转点O 做旋转中心 转动角做旋转角
旋转中心旋转角度旋转方称旋转三素
知识点二 旋转性质
旋转特征：（1）应点旋转中心距离相等
（2） 应点旋转中心连线段夹角等旋转角
（3）旋转前图形全等
理解点：
（1）图形中点绕旋转中心旋转样角度
（2） 应点旋转中心距离相等应线段相等应角相等
（3）图形形状没发生改变改变图形位置
知识点三 利旋转性质作图
旋转两条重性质：（1）意应点旋转中心连线段夹角等旋转角（2）应点旋转中心距离相等利旋转性质作图关键步骤分：
① 连：连接图形中关键点旋转中心
② 转：直线求绕旋转中心转定角度（作旋转角）
③ 截：角边截取关键点旋转中心距离点应点
④ 接：连接连接点
232 中心称
知识点 中心称定义
中心称：图形绕着某点旋转180°果够图形重合说两图形关点称中心称点做称中心
注意点：
中心称指两图形位置关系称中心绕称中心旋转180°两图形够完全重合
知识点二 作图形关某点称图形
作出图形关某点成中心称图形关键作出该图形关键点关称中心称点称点原图形形状连接起出成中心称图形
知识点三 中心称性质
点：
（1） 关中心称两图形应点连线称中心称中心分
（2） 关中心称两图形够互相重合全等形
（3） 关中心称两图形应线段行（线）相等
知识点四 中心称图形定义
图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形重合图形做中心称图形点称中心
知识点五 关原点称点坐标
面直角坐标系中果两点关原点称坐标符号相反点p（xy）关原点称点（xy）
第二十四章 圆
241 圆
2411 圆
知识点 圆定义
圆定义：第种：面线段OA 绕固定端点O 旋转周端点A 形成图形作圆固定端点O 作圆心线段OA 作半径
第二种：圆心O半径r 圆成 定点O 距离等定长r 点集合
较圆两种定义知：第种定义圆形成进行描述第二种运集合观点定义说明确定定点定长确定圆
知识点二 圆相关概念
（1） 弦：连接圆意两点线段做弦圆心弦作直径
（2） 弧：圆意两点间部分做圆弧简称弧圆意条直径两端点圆分成两条弧条弧做半圆
（3） 等圆：等够重合两圆做等圆
（4） 等弧：圆等圆中够互相重合弧做等弧 弦线段弧曲线判断等弧首条件圆等圆中圆等圆中完全重合弧等弧长度相等弧
2412 垂直弦直径
知识点 圆称性
圆轴称图形条直径直线称轴
知识点二 垂径定理
D
C
B
A
M
（1） 垂径定理：垂直弦直径分弦分弦两条弧图示直径CDAB 弦 CD⊥AB
垂径定理推：分弦（直径）直径垂直弦
分弦两条弧
图示直径CD 非直径弦AB 相交点M
注意：圆两条直径必须互相分垂径定理推中分弦必须直径否结成立
2413 弧弦圆心角
知识点 弦弧圆心角关系
（1） 弦弧圆心角间关系定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等
（2） 圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量相等
（3） 注意忽略圆等圆前提条件果丢掉条件圆心角相等弧弦定相等两心圆中两圆心角相时弧弦定相等
2414 圆周角
知识点 圆周角定理
（1） 圆周角定理：圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半
（2） 圆周角定理推：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径
（3） 圆周角定理揭示弧等弧圆周角圆心角关系弧等弧改弦等弦否成立条弦圆周角两类
知识点二 圆接四边形性质
圆接边形：果边形顶点圆边形做圆接边形圆做边形外接圆
圆接四边形性质：圆接四边形角互补
242 点直线圆圆位置关系
2421 点圆位置关系
知识点 点圆位置关系
（1） 点圆位置关系：点圆外点圆点圆三种
（2） 数量关系表示：设⊙O 半径r点P 圆距离OPd： 点P 圆外 d＞r点p 圆 dr点p 圆 d＜r
知识点二 已知点作圆
（1） 点圆
点A 外意点（点O）圆心OA 半径作圆样圆作数
（2）两点圆
线段AB 垂直分线意点（点O）圆心OA（OB）半径作圆样圆作数
（2） 三点圆
① 条直线三点作圆
② 条直线三点确定圆条直线三点作圆作圆条直线三点ABC 作圆作法：连接ABBC（ABAC BCAC） 作垂直分线两条垂直分线相交点O点O 圆心OA（OBOC）长半径作圆样圆作
知识点三 三角形外接圆外心
（1）三角形三顶点作圆圆做三角形外接圆
（2） 外接圆圆心三角形三条边垂直分线交点做三角形外心
知识点四 反证法
（1） 反证法：假设命题结成立推理出矛盾矛盾断定作假设正确原命题成立种证明命题方法做反证法
（2） 反证法般步骤：
① 假设命题结成立
② 假设出发逻辑推理推出定义公理定理已知等相矛盾结
③ 矛盾判定假设正确出原命题正确
2422 直线圆位置关系
知识点 直线圆位置关系
（1）直线圆位置关系：相交相切相离三种
（2） 直线圆位置关系数量关系表示
设⊙O 半径r直线l 圆心0 距离d：
直线l ⊙O 相交 d ＜ r
直线l ⊙O 相切 d r
直线l ⊙O 相离 d ＞ r
知识点二 切线判定性质
（1） 切线判定定理：半径外端垂直条半径直线圆切线
（2） 切线性质定理：圆切线垂直切点半径
（3） 切线性质：切线圆公点切线圆心距离等半径圆心垂直切线直线必切点必切点垂直切线直线必圆心
知识点三 切线长定理
（1） 切线长定义：圆外点作圆切线点切点间线段长做点圆切线长
（2） 切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角
（3） 注意：切线切线长两完全概念必须弄清楚切线直线度量切线长条线段长条线段两端点圆外点切点
知识点四 三角形切圆心
（1）三角形切圆定义：三角形边相切圆做三角形切圆 三角形做圆外切三角形
(2) 三角形心：三角形切圆圆心做三角形心
(3) 注意：三角形心三角形三条角分线交点三角形心已知时三角形顶点心射线必分三角形角
2423 圆圆位置关系
知识点 圆圆位置关系
（1） 圆圆位置关系五种：
① 果两圆没公点说两圆相离包括外离含两种
② 果两圆公点说两圆相切包括切外切两种
③ 果两圆两公点说两圆相交
（2） 圆圆位置关系数量关系表示： 设两圆圆心间距离d两圆半径分r1 r2r1 ＜ r2
① 两圆外离 d＞r1+r2
② 两圆外切 dr1+r2
③ 两圆相交 r2r1＜d＜r1+r2
④ 两圆切 dr2r1
⑤ 两圆含 d＜r2r1
243 正边形圆
知识点 正边形外接圆圆接正边形
正边形圆关系非常密切圆分成n（n 2 然数）等份次连接分点边形圆接正边形圆正边形外接圆
正边形中心：正边形外接圆圆心做正边形中心
正边形半径：外接圆半径做正边形半径
正边形中心角：正边形条边圆心角做正边形中心角
正边形边心距：中心正边形边距离做正边形边心距
知识点二 正边形性质
（1） 正n 边形半径边心距正边形分成2n 全等直角三角形
（2） 正边形轴称图形正n 边形n 条称轴条称轴正n 边形中心正n 边形边数偶数时正n 边形中心称图形正n 边形中心称中心
（3） 正n 边形角等中心角外角相等等
244 弧长扇形面积
知识点 弧长公式
半径R 圆中360°圆心角弧长圆周长C2π Rn°圆心角弧长计算公式
知识点二 扇形面积公式
半径R 圆中360°圆心角扇形面积圆面积 圆心角n°扇形面积
较扇形弧长公式面积公式发现：
知识点三 圆锥侧面积全面积
圆锥侧面积曲面着圆锥条母线圆锥侧面展开容易圆锥侧面展开图扇形设圆锥母线长l底面圆半径r扇形半径l扇形弧长2π r圆锥侧面积圆锥侧圆锥全面积
第二十五章 概率初步
251 机事件概率
2511 机事件
知识点 必然事件事件机事件
定条件事件必然会发生样事件称必然事件相反事件必然会发生样事件称事件定条件发生会发生事件称机事件
必然事件事件否会发生事先确定统称确定性事件
知识点二 事件发生性
必然事件性事件性机事件发生性机事件发生性
2512 概率
般机事件A刻画发生性数值称机事件A 发生概率记作P（A）
般果次试验中n 种结果发生性相等事件A 包含中 m 种结果事件A 发生概率m n 含义知0≤m≤n0≤≤1 0≤P（A）≤1
A 必然事件时P（A）1A 事件时P（A）0
252 列举法求概率
知识点 列举法求概率
般果次试验中n 种结果发生性相等事件A 包含中m 种结果事件A 发生概率
知识点二 列表发求概率
次试验涉两素出现结果数目较时重漏列出结果通常列表法
列表法表格形式反映事件发生种情况出现次数方式某事件发生次数方式求出概率方法
知识点三 树形图求概率
次试验涉3 更素时列方形表方便重漏列出结果通常采树形图树形图反映事件发生种情况出现次数方式求出概率方法
（1） 树形图法样适种情况出现总次数时求概率方法 （2） 列表法树形图法求机事件概率时应注意种情况出现性务必相
253 频率估计概率
知识点
机事件中机事件发生否事先法预测表面似规律循做量重复试验时事件发生频率呈现出稳定性做量试验事件发生频率作事件概率估计值
般量重复试验中果事件A 发生频率稳定某常数P事件A 发生频率 P（A）p
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第二十章 元二次方程
221 元二次方程
知识点 元二次方程定义
等号两边整式含未知数（元）未知数高次数2（二次）方程做元二次方程
注意点：
① 含未知数②未知数高次数2③整式方程
知识点二 元二次方程般形式
般形式：中 二次项 二次项系数 次项b 次项系数c常数项
知识点三 元二次方程根
元二次方程左右两边相等未知数值做元二次方程解做元二次方程根方程解定义解方程程中验根
222 降次——解元二次方程
2221 配方法
知识点 直接开方法解元二次方程
（1） 果方程边化成含未知数代数式方边非负数直接开方般形方程根方根定义解
（2） 直接开方法适解形形式方程果 p≥0利直接开方法
（3） 直接开方法求元二次方程根正确运方根性质正数方根两互相反数零方根零负数没方根
（4） 直接开方法解元二次方程步骤：移项二次项系数含未知数式子方项系数 1两边直接开方原方程变两元二次方程解元次方程求出原方程根
知识点二 配方法解元二次方程
通配成完全方形式解元二次方程方法做配方法配方目降次元二次方程转化两元次方程解
配方法般步骤总结：移二三配四开
（1） 常数项移等号右边
（2） 方程两边二次项系数
（3） 方程两边加次项系数半方左边配成完全方式
（4） 等号右边非负数直接开方求出方程解
2222 公式法
知识点 公式法解元二次方程
（1） 般元二次方程 果 方程两根
公式做元二次方程求根公式利求根公式元二方程系数abc 值直接求方程解种解方程方法做公式法
（2） 元二次方程求根公式推导程配方法解般形式元二次方程程
（3） 公式法解元二次方程具体步骤：
① 方程化般形式：般a 化正值
② 确定公式中abc 值注意符号
③ 求出值
④ abc b4ac 值代入公式求解方程实数根
知识点二 元二次方程根判式
式子做方程根判式通常希腊字母△表示
方程两相等实数根
元二次方程根判式
△0 方程两相等实数根
△＜0方程实数根
2223 式分解法
知识点 式分解法解元二次方程
（1） 元二次方程边化 0边分解成两次式积进转化求两元次方程解种解方程方法做式分解法
（2） 式分解法详细步骤：
① 移项项移左边右边化0
② 方程左边分解成两式积方法提公式方差公式完全方公式
③ 令式分零元次方程
④ 解元次方程原方程解
知识点二 合适方法解元次方程
方法名称
理
适范围
直接开方法
方根意义
形
配方法
完全方公式
元二次方程
公式法
配方法
元二次方程
式分解法
ab0a0 b0
边0边易分解成两次式积元二次方程
2224 元二次方程根系数关系（解）
元二次方程两根
元二次方程两实数根
223 实际问题元二次方程
知识点 列元二次方程解应题般步骤：
（1） 审：指读懂题目弄清题意明确已知量未知量间等量关系
（2） 设：指设元设出未知数
（3） 列：列方程关键步骤般先找出够表达应题全部含义相等含义然列代数式表示相等关系中量含未知数等式方程
（4） 解：解方程求出未知数值
（5） 验：指检验方程解否保证实际问题意义符合题意
（6） 答：写出答案
知识点二 列元二次方程解应题种常见类型
（1） 数字问题
三连续整数：设中间数x两数分x1x+1
三连续偶数（奇数）：中间数x两数分x2x+2
三位数表示方法：设百位十位位数字分abc三位数100a+10b+c
（2） 增长率问题
设初始量a终止量b均增长率均降低率x两次增长降低等量关系
（3）利润问题
利润问题常相等关系式：①总利润总销售价总成②总利润单位利润×总销售量③利润成×利润率
（4）图形面积问题 根图形面积图形边高等相关元素关系图形面积含未知数代数式表示出建立元二次方程
第二十二章 二次函数
知识点：二次函数定义
1二次函数定义：
般形（常数）函数做二次函数．
中二次项系数次项系数常数项．
知识点二：二次函数图象性质抛物线三素：开口称轴顶点
2二次函数图象性质
（1）二次函数基形式图象性质：a绝值越抛物线开口越
（2）图象性质：加减
（3）图象性质：左加右减
（4）二次函数图象性质
3 二次函数图性质
（1）时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增减时增增时值．
（2）时抛物线开口称轴顶点坐标．
时增增时增减时值．
4 二次函数常见方法指导
（1）二次函数图象画法
①画精确图 五点绘图法（列表描点连线）
利配方法二次函数化顶点式确定开口方
称轴顶点坐标然称轴两侧左右称描点画图
②画草图 抓住点：开口方称轴x轴交点顶点
（2）二次函数图象移
移步骤：
① 抛物线解析式转化成顶点式确定顶点坐标
② 抛物线适移
具体移方法：
移规律：概括成八字左加右减加减．
（3）定系数法求二次函数解析式
①般式：已知图象三点三值通常选择般式
②顶点式：已知图象顶点称轴通常选择顶点式
③交点式：已知图象轴交点坐标通常选择交点式
（4）求抛物线顶点称轴方法
①公式法：∴顶点称轴直线
②配方法：运配方方法抛物线解析式化形式顶点()称轴直线
③运抛物线称性：抛物线称轴轴轴称图形称轴连线垂直分线抛物线称轴称轴抛物线交点顶点
（5）抛物线中作
①决定开口方开口中完全样
②决定抛物线称轴位置
抛物线称轴直线
果时称轴轴
果（号）时称轴轴左侧
果（异号）时称轴轴右侧
③决定抛物线轴交点位置
时抛物线轴交点（0）
果抛物线原点
果轴交正半轴
果轴交负半轴
知识点三：二次函数元二次方程关系
5函数时元二次方程元二次方程解二次函数图象轴交点横坐标二次函数图象轴交点情况决定元二次方程根情况
(1)二次函数图象轴两交点时方程两相等实根
(2)二次函数图象轴交点时方程两相等实根(3)二次函数图象轴没交点时方程没实根
通面表格直观观察二次函数图象元二次方程关系：
图象
解
方程两等实数解
方程两相等实数解
方程没实数解
6拓展：关直线抛物线交点知识
（1）轴抛物线交点
（2）轴行直线抛物线交点(
)
（3）抛物线轴交点
二次函数图轴两交点横坐标应元二次方程两实数根抛物线轴交点情况应元二次方程根判式判定：
①两交点抛物线轴相交
②交点（顶点轴）抛物线轴相切
③没交点抛物线轴相离
（4）行轴直线抛物线交点
（3）样0交点1交点2交点2交点时两交点坐标相等设坐标横坐标两实数根
（5）次函数图二次函数图交点方程组解数目确定：
①方程组两组解时两交点
②方程组组解时交点
③方程组解时没交点
（6）抛物线轴两交点间距离：抛物线轴两交点方程两根
知识点四：利二次函数解决实际问题
7利二次函数解决实际问题建立数学模型实际问题转化二次函数问题利题中存公式含规律等相等关系建立函数关系式利函数图象性质研究问题研究实际问题时注意变量取值范围应具实际意义
利二次函数解决实际问题般步骤：
(1)建立适面直角坐标系
(2)实际问题中数点坐标联系起
(3)定系数法求出抛物线关系式
(4)利二次函数图象性质分析问题解决问题
第二十三章 旋转
231 图形旋转
知识点 旋转定义
面面图形绕着面某点O 转动角度做图形旋转点O 做旋转中心 转动角做旋转角
旋转中心旋转角度旋转方称旋转三素
知识点二 旋转性质
旋转特征：（1）应点旋转中心距离相等
（2） 应点旋转中心连线段夹角等旋转角
（3）旋转前图形全等
理解点：
（1）图形中点绕旋转中心旋转样角度
（2） 应点旋转中心距离相等应线段相等应角相等
（3）图形形状没发生改变改变图形位置
知识点三 利旋转性质作图
旋转两条重性质：（1）意应点旋转中心连线段夹角等旋转角（2）应点旋转中心距离相等利旋转性质作图关键步骤分：
① 连：连接图形中关键点旋转中心
② 转：直线求绕旋转中心转定角度（作旋转角）
③ 截：角边截取关键点旋转中心距离点应点
④ 接：连接连接点
232 中心称
知识点 中心称定义
中心称：图形绕着某点旋转180°果够图形重合说两图形关点称中心称点做称中心
注意点：
中心称指两图形位置关系称中心绕称中心旋转180°两图形够完全重合
知识点二 作图形关某点称图形
作出图形关某点成中心称图形关键作出该图形关键点关称中心称点称点原图形形状连接起出成中心称图形
知识点三 中心称性质
点：
（1） 关中心称两图形应点连线称中心称中心分
（2） 关中心称两图形够互相重合全等形
（3） 关中心称两图形应线段行（线）相等
知识点四 中心称图形定义
图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形重合图形做中心称图形点称中心
知识点五 关原点称点坐标
面直角坐标系中果两点关原点称坐标符号相反点p（xy）关原点称点（xy）
第二十四章 圆
241 圆
2411 圆
知识点 圆定义
圆定义：第种：面线段OA 绕固定端点O 旋转周端点A 形成图形作圆固定端点O 作圆心线段OA 作半径
第二种：圆心O半径r 圆成 定点O 距离等定长r 点集合
较圆两种定义知：第种定义圆形成进行描述第二种运集合观点定义说明确定定点定长确定圆
知识点二 圆相关概念
（1） 弦：连接圆意两点线段做弦圆心弦作直径
（2） 弧：圆意两点间部分做圆弧简称弧圆意条直径两端点圆分成两条弧条弧做半圆
（3） 等圆：等够重合两圆做等圆
（4） 等弧：圆等圆中够互相重合弧做等弧 弦线段弧曲线判断等弧首条件圆等圆中圆等圆中完全重合弧等弧长度相等弧
2412 垂直弦直径
知识点 圆称性
圆轴称图形条直径直线称轴
知识点二 垂径定理
D
C
B
A
M
（1） 垂径定理：垂直弦直径分弦分弦两条弧图示直径CDAB 弦 CD⊥AB
垂径定理推：分弦（直径）直径垂直弦
分弦两条弧
图示直径CD 非直径弦AB 相交点M
注意：圆两条直径必须互相分垂径定理推中分弦必须直径否结成立
2413 弧弦圆心角
知识点 弦弧圆心角关系
（1） 弦弧圆心角间关系定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等
（2） 圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量相等
（3） 注意忽略圆等圆前提条件果丢掉条件圆心角相等弧弦定相等两心圆中两圆心角相时弧弦定相等
2414 圆周角
知识点 圆周角定理
（1） 圆周角定理：圆等圆中弧等弧圆周角相等等条弧圆心角半
（2） 圆周角定理推：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径
（3） 圆周角定理揭示弧等弧圆周角圆心角关系弧等弧改弦等弦否成立条弦圆周角两类
知识点二 圆接四边形性质
圆接边形：果边形顶点圆边形做圆接边形圆做边形外接圆
圆接四边形性质：圆接四边形角互补
242 点直线圆圆位置关系
2421 点圆位置关系
知识点 点圆位置关系
（1） 点圆位置关系：点圆外点圆点圆三种
（2） 数量关系表示：设⊙O 半径r点P 圆距离OPd： 点P 圆外 d＞r点p 圆 dr点p 圆 d＜r
知识点二 已知点作圆
（1） 点圆
点A 外意点（点O）圆心OA 半径作圆样圆作数
（2）两点圆
线段AB 垂直分线意点（点O）圆心OA（OB）半径作圆样圆作数
（2） 三点圆
① 条直线三点作圆
② 条直线三点确定圆条直线三点作圆作圆条直线三点ABC 作圆作法：连接ABBC（ABAC BCAC） 作垂直分线两条垂直分线相交点O点O 圆心OA（OBOC）长半径作圆样圆作
知识点三 三角形外接圆外心
（1）三角形三顶点作圆圆做三角形外接圆
（2） 外接圆圆心三角形三条边垂直分线交点做三角形外心
知识点四 反证法
（1） 反证法：假设命题结成立推理出矛盾矛盾断定作假设正确原命题成立种证明命题方法做反证法
（2） 反证法般步骤：
① 假设命题结成立
② 假设出发逻辑推理推出定义公理定理已知等相矛盾结
③ 矛盾判定假设正确出原命题正确
2422 直线圆位置关系
知识点 直线圆位置关系
（1）直线圆位置关系：相交相切相离三种
（2） 直线圆位置关系数量关系表示
设⊙O 半径r直线l 圆心0 距离d：
直线l ⊙O 相交 d ＜ r
直线l ⊙O 相切 d r
直线l ⊙O 相离 d ＞ r
知识点二 切线判定性质
（1） 切线判定定理：半径外端垂直条半径直线圆切线
（2） 切线性质定理：圆切线垂直切点半径
（3） 切线性质：切线圆公点切线圆心距离等半径圆心垂直切线直线必切点必切点垂直切线直线必圆心
知识点三 切线长定理
（1） 切线长定义：圆外点作圆切线点切点间线段长做点圆切线长
（2） 切线长定理：圆外点引圆两条切线切线长相等点圆心连线分两条切线夹角
（3） 注意：切线切线长两完全概念必须弄清楚切线直线度量切线长条线段长条线段两端点圆外点切点
知识点四 三角形切圆心
（1）三角形切圆定义：三角形边相切圆做三角形切圆 三角形做圆外切三角形
(2) 三角形心：三角形切圆圆心做三角形心
(3) 注意：三角形心三角形三条角分线交点三角形心已知时三角形顶点心射线必分三角形角
2423 圆圆位置关系
知识点 圆圆位置关系
（1） 圆圆位置关系五种：
① 果两圆没公点说两圆相离包括外离含两种
② 果两圆公点说两圆相切包括切外切两种
③ 果两圆两公点说两圆相交
（2） 圆圆位置关系数量关系表示： 设两圆圆心间距离d两圆半径分r1 r2r1 ＜ r2
① 两圆外离 d＞r1+r2
② 两圆外切 dr1+r2
③ 两圆相交 r2r1＜d＜r1+r2
④ 两圆切 dr2r1
⑤ 两圆含 d＜r2r1
243 正边形圆
知识点 正边形外接圆圆接正边形
正边形圆关系非常密切圆分成n（n 2 然数）等份次连接分点边形圆接正边形圆正边形外接圆
正边形中心：正边形外接圆圆心做正边形中心
正边形半径：外接圆半径做正边形半径
正边形中心角：正边形条边圆心角做正边形中心角
正边形边心距：中心正边形边距离做正边形边心距
知识点二 正边形性质
（1） 正n 边形半径边心距正边形分成2n 全等直角三角形
（2） 正边形轴称图形正n 边形n 条称轴条称轴正n 边形中心正n 边形边数偶数时正n 边形中心称图形正n 边形中心称中心
（3） 正n 边形角等中心角外角相等等
244 弧长扇形面积
知识点 弧长公式
半径R 圆中360°圆心角弧长圆周长C2π Rn°圆心角弧长计算公式
知识点二 扇形面积公式
半径R 圆中360°圆心角扇形面积圆面积 圆心角n°扇形面积
较扇形弧长公式面积公式发现：
知识点三 圆锥侧面积全面积
圆锥侧面积曲面着圆锥条母线圆锥侧面展开容易圆锥侧面展开图扇形设圆锥母线长l底面圆半径r扇形半径l扇形弧长2π r圆锥侧面积圆锥侧圆锥全面积
第二十五章 概率初步
251 机事件概率
2511 机事件
知识点 必然事件事件机事件
定条件事件必然会发生样事件称必然事件相反事件必然会发生样事件称事件定条件发生会发生事件称机事件
必然事件事件否会发生事先确定统称确定性事件
知识点二 事件发生性
必然事件性事件性机事件发生性机事件发生性
2512 概率
般机事件A刻画发生性数值称机事件A 发生概率记作P（A）
般果次试验中n 种结果发生性相等事件A 包含中 m 种结果事件A 发生概率m n 含义知0≤m≤n0≤≤1 0≤P（A）≤1
A 必然事件时P（A）1A 事件时P（A）0
252 列举法求概率
知识点 列举法求概率
般果次试验中n 种结果发生性相等事件A 包含中m 种结果事件A 发生概率
知识点二 列表发求概率
次试验涉两素出现结果数目较时重漏列出结果通常列表法
列表法表格形式反映事件发生种情况出现次数方式某事件发生次数方式求出概率方法
知识点三 树形图求概率
次试验涉3 更素时列方形表方便重漏列出结果通常采树形图树形图反映事件发生种情况出现次数方式求出概率方法
（1） 树形图法样适种情况出现总次数时求概率方法 （2） 列表法树形图法求机事件概率时应注意种情况出现性务必相
253 频率估计概率
知识点
机事件中机事件发生否事先法预测表面似规律循做量重复试验时事件发生频率呈现出稳定性做量试验事件发生频率作事件概率估计值
般量重复试验中果事件A 发生频率稳定某常数P事件A 发生频率 P（A）p
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