8 振动测量
81 前言
时候微显著振动会结构者结构某部分产生振振动放振会发生身体振频率概75Hz次声（<20Hz）会体造成伤害
说结构说利合适装置者设计减样振非常必想研究减振首先知道发生振动参数想知道参数需仪器测量仪器章解
首先概念结构工程中常常进行运动量（位移速度加速度）测量例震动时程测量振动台试验中结构模型动力反应测量脉动作结构物振动测量桥超高层结构风振测量等
测量振动量仪器（拾振仪）三种：
加速度位移计：测量加速度时程（强震仪）
位移计：测量位移时程（震仪）
速度计：测量速度
82 理
821 运动方程建立
D’Alembert原理：质点系运动意瞬间果实际作质点动力约束反力外加假想惯性力该瞬间质点系处假想衡状态称动力衡状态记FifIiSi分质点mi受动力惯性力约束反力D’Alembert原理表示
Fi+fIi+Si0
通常动力Fi包括外荷载阻尼力弹性恢复力
图质量块m受动力
F(t)P(t)cutkut
惯性力
fImut
该体系约束反力做功理想约束体系列运动方程时仅考虑运动方受力时约束反力没
面两式代入D’Alembert原理表达式
mut+cut+kutP(t)
然建立运动方程方法种面介绍D’Alembert原理外虚位移原理Hamilton原理Lagrange方程四种方法建立运动方程完全等推完全相运动方程
822 Fourier变化法（频域分析法）
简单测量仪器模型单度弹簧质点阻尼体系封闭刚性盒子里面图示
单度体系运动方程：
mut+cut+kutmugt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)
中：
c2mωnζ
kmωn
（1）式写：
ut+2ωnζut+ωn2utugt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)
傅里叶变换法（补介绍）正变换问题时间域（变量t）转变频域（变量ω）：
ω2Uω+i2ζωnωUω+ωn2Uωω2Gω ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)
UωGωω2ωn21ω2ωn2+i2ζωωnHωGω ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4)
UωGωω2ωn21ω2ωn22+2ζωωn212 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5)
ϕωarctan2ζωωn1ω2ωn2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6)
面出UωGωϕω关频率图：
H(ω)复频反应函数传递函数相角ϕω含义动力荷载作阻尼体系动力反应（位移速度加速度）定滞动力荷载段时间存反应滞现象相角ϕ实际反映结构体系位移相动力荷载反应滞时间图发现频率越外荷载作越快动力反应滞时间越长
补充：傅立叶变换
Fourier变换定义
Uω∞∞uteiωtdt 正变换ut12π∞∞Uωeiωtdω 逆变换
中Uω称位移utFourier谱
根Fourier变换性质速度加速度Fourier变换
∞∞uteiωtdtiωU(ω)∞∞uteiωtdtω2U(ω)
83 振动测量仪器
831 加速度计（强震仪）
加速度计测量加速度基底加速度作仪器质点运动方程式（1）：
mut+cut+kutmug(t)
实际测量加速度运动时程意变化包含定频段分布系列简谐分量先分析仪器简谐分量测量
仪器基底加速度时程：
ugtug0sinωt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7)
简谐运动中ug0面运动加速度振幅带入式仪器质点相位移ut
utmug0k11(ωωn)22+2ζ(ωωn)2sinωtϕ
mkRdug0sin(ωtϕ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8)
面仅讨ut振幅u0
u0mkRdug0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9)
作种测量仪器测量象单位定成例
式知仪器记录值u0测量面加速度值间关系变化动力放系数Rd决定动力放系数Rdω函数观察阻尼时动力放系数曲线图（图）发现ζ07时频段0≤ω≤05范围Rd≈1常数
频段范围仪器反应振幅u0者说简谐运动仪器记录仪器测量加速振幅成线性关系时仪器反应u度量测量加速保证加速简谐分量频率ω满足0≤ω≤05采提高ωn方法实现ωnkm般情况质量m变采提高加速度计中弹簧刚度k方法实现提高ωn目加速度计强震仪中弹簧刚度较仪器较刚性
832 位移计（震仪）
位移计测量仪器基底位移量设意简谐位移
ugug0sinωt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10)
中ug0面运动位移振幅ugtω2ug0sinωt代入运动方程式（1）解仪器相位移反应：
utmω2kRdug0sinωtϕωωn2Rdug0sinωtϕ ⋯⋯(11)
相位移反应振幅：
u0ωωn2Rdug0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12)
加速度计原理相希测量振动频率范围频率分量均u0ug0间例系数ωωn2Rd接常量图出ωωn2Rd频率ωωn变化曲线
图出阻尼ζ05时频率范围ωωn>1时ωωn2Rd接常数位移计测量频率范围ω>ωn频段范围位移量保证测位移频率满足ω>ωn通降低仪器振频率ωn方法实现实际中采取降低弹簧刚度k者增质量m方法实现位移计般较柔
第十章 反应谱
101 前言
震动引起面运动通面运动结构产生振动震中结构受荷载支座运动产生面运动三动分量三转动分量测量水限制转动分量难测动分量加速度计测相动分量说转动分量结构进行抗震分析时候转动分量忽略计结构说弹性范围响应面动分量产生结构体系说分量结构振频率未知设计时候需次迭代求出结构设计者需反应谱帮助
102 傅立叶谱
振动信号（意变化函数）分解简谐振动（三角函数）程称傅里叶分解振幅相位频率变化关系称傅里叶谱包括振幅谱相位谱统称频谱完成分解运算称傅立叶变化
傅里叶谱全面描述震动程频谱特征包括频率分量相位幅值信息两傅里叶谱反推出震动时程功率谱反应谱行
傅立叶谱复数实部虚部组成模称幅值谱幅角相位谱
Xω∞∞xteiωtdt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(13)
假设面运动加速度tϵ(0td]式变
Xω0tdxtcosωtdti0tdxtsin(ωt)dt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14)
强震傅立叶振幅谱相位谱式定义
Xω0tdxtcosωtdt2+0tdxtsinωtdt2 ⋯⋯⋯⋯(15)
ϕωtan10tdxtcosωtdt0tdxtsinωtdt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(16)
103 反应谱
单度体系定震作某反应体系振周期关系曲线称该反应震反应谱
1031 Duhamel积分
（1）单位脉反应函数
单位脉：作时间短量等1荷载实际数学中特殊函数—δ函数δ函数定义
δtτ∞ tτ0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(17)
0∞δtτdt1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(18)
tτ时刻单位脉Ptδt作单度体系结构质点获单位量脉结束质点获初速度
muτ+εττ+εPtdtττ+εδtdt1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(19)
ε→0时
uτ1m
脉作时间短ε→0时单位脉引起质点位移零
uτ0
求体系单位脉反应求解单位脉作振动问题初始条件uτ1m uτ0代入单度体系振动（低阻尼体系）般解式
uteζωntu0cosωDt+u0+ζωnu(0)ωDsinωDt ⋯⋯⋯⋯(20)
阻尼体系单位脉反应函数
htτut1mωDeζωntτsinωD(tτ) t≥τ ⋯⋯⋯(21)
（2）意荷载反应
荷载分解系列脉获脉结构反应叠加结构总反应
果已作结构体系外荷载Pτ离散成系列脉首先计算中脉Pτdτ动力反应该脉结构反应
dutPτdτhtτt>τ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(22)
意时间t结构反应t前脉作反应
ut0tdu0tPτhtτdτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(23)
（21）式代入式求解阻尼体系动力反应Duhamel积分公式
ut1mωD0τPτeζωntτsinωD(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(24)
中ωDωn1ζ2阻尼体系振频率
1032 反应谱法
前面介绍结构动力反应分析方法结构震反应问题展开分析计算震动较时结构处线弹性范围采时域Duhamel积分法频域Fourier变换方法获震结构反应根结构变形力进行抗震设计震动较强时结构反应进入塑性需时域逐步积分法进行弹塑性反应分析仅讨结构线弹性震反应问题采Duhamel积分法介绍震反应谱
震作特点震动程非常复杂时间规快速变化设震加速度时程ugt特点：第阶段振幅快速增长第二阶段相稳定第三阶段震荡衰减
震作结构运动方程
mut+cut+kutmug(t)
震等效荷载Peqtmug(t)应Duhamel积分结构震位移反应
ut1ωD0tugτeζωntτsinωD(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(25)
观察式发现定震动ug结构震反应仅结构阻尼ζ振频率ωn关换句话说尺寸结构结构阻尼振频率相时震反应完全相
阻尼较时ωD≈ωn结构震反应式简化
ut1ωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(26)
位移反应：
Sdutmax1ωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτmax ⋯⋯(27)
质点相面速度：
utdudt0tugτeζωntτcosωdtτdτ
+ζωnωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯(28)
质点相面速度反应：
Svutmax0tugτeζωntτsinωntτdτmax
+ζωnωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯(29)
实际工程中较重结构绝加速度ut+ug(t)单指点体系震作运动方程知道：
ut+ugt2ωnζutωn2ut
+ζωnωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯(30)
面求ut ut代入式：
ut+ugt2ωnζ0tugτeζωntτcosωdtτdτ2ζ2ωn2ωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ
+ωn2ωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯(31)
低阻尼体系ωD≈ωn式简化
ut+ugtωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯(32)
点相面加速度反应：
Saut+ugtmaxωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτmax⋯⋯(33)
求SdSvSa具关系
SaωnSvωn2Sd
阻尼定时结构震相位移反应相速度绝加速度反应仅ωn决定工程中般惯采结构振周期Tn2πωn代圆频率工程谱中反应谱般振周期变量
ELC波
绝加速度谱
相速度反谱
位移反应谱
1033 影响震反应谱素
影响震反应谱素两点体系阻尼二震动
（1）体系阻尼
体系阻尼越震反应谱加速度反应越震反应谱值越
（2）震动
震动会震反应谱家知道震动特性三素：振幅频谱持时
振幅越震反应谱值越震动振幅仅震反应谱值影响呈线性例关系
面运动种频率加速度幅值应关系
场越软震震中距越震反应谱峰值应周期越长说震动频谱震反应谱形状影响
持时震反应谱影响
1034 震反应谱特点
（1）阻尼反应谱影响仅降低结构反应幅值削少峰值反应谱曲线变缓
（2）加速度反应谱结构周期某值时幅值周期急剧增某值时快速降T≥3s时加速度反应谱值降缓慢
（3）速度反应谱结构周期某值时幅值周期增趋常数
（4）位移反应谱幅值周期增
（5）土质条件反应谱形状影响土质越松软震反应谱峰值应周期越长
结：结构震反应高频结构说取决面运动加速度中频结构说取决面运动速度低频结构说取决面运动位移
1035 设计反应谱
震反应谱直接结构抗震设计定困难需专门供结构抗震设计反应谱称设计反应谱
FmSaTmgugmaxg∙SaTugmaxGkβT ⋯⋯⋯(33)
（1）震系数kugmaxg震动振幅震反应谱影响分离出
烈度增加度震系数致增加倍
（2）体系加速度放系数βTSaTugmax
βt2πT∙1ugmax∙0tugτeζ2πTtτsin2πTtτdτmax ⋯⋯⋯(33)
定加速度记录ug结构阻尼ζ式计算出应结构振周期T动力系数β值
Saut+ugtmaxωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτmax⋯⋯⋯(34)
两公式出面加速度ut定震常数βT曲线形式拟加速度反应谱曲线形状完全致坐标数值βT曲线坐标Saugmax拟加速度反应谱坐标Sa
回顾震反应谱现阶段计算震作基础通反应谱时程变化震作转化等效侧力
单度体系惯性力作反映震结构体系影响等效力结构进行抗震验算
FF(t)maxmSamgugmaxg∙SaTugmaxGkβαG ⋯⋯⋯(35)
αkβ水震影响系数
面讲βT曲线形式拟加速度反应谱曲线形状完全致坐标数值定震（者设防烈度）震系数k常数呢αT曲线形式拟加速度反应谱曲线形状完全致坐标k∙Saugmax
震机性点相震烈度前两次震记录面运动加速度曲线时程ug(t)进行工程设计时仅某次ug(t)反应谱曲线SaT者αT作设计标准计算震作恰动力系数结构抗震设计采取措施：
①取确定阻尼ζ005数实际建筑结构阻尼005左右考虑阻尼震反应谱影响
②场震中距震动记录分类考虑震动频谱影响素
③计算类震动记录动力系数均值考虑类相震记录震反应谱变异性
βTi1nβiTζ005n ⋯⋯⋯(36)
综合考虑述素根统场强震面运动加速度记录ug(t)分计算出反应谱曲线然谱曲线进行统计求出具代表性均反应谱曲线作设计条曲线称抗震设计反应谱
工程设计采动力系数谱曲线
中：
βmax225
β01045βmaxη2
Tg—场特征周期场条件设计震分组关
T—结构振周期
γ—衰减指数取09
η1—直线降段斜率调整系数取002
η2—阻尼调整系数取10
面推导α(T)kβ(T)
震影响系数谱曲线
易知αmaxk∙βmax国建筑抗震采两阶段设计设计阶段αmax值：
括号中数值分设计基震加速度取015g030g区
抗震设计反应谱见图
前讲取确定阻尼（005）做计算
γ—衰减指数取09
η1—直线降段斜率调整系数取002
η2—阻尼调整系数取10
结构阻尼等005时形状参数做调整
γ09+005ζ05+5ζ
η1002+005ζ8
η21+005ζ006+17ζ （η2<055取η2055）
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81 前言
时候微显著振动会结构者结构某部分产生振振动放振会发生身体振频率概75Hz次声（<20Hz）会体造成伤害
说结构说利合适装置者设计减样振非常必想研究减振首先知道发生振动参数想知道参数需仪器测量仪器章解
首先概念结构工程中常常进行运动量（位移速度加速度）测量例震动时程测量振动台试验中结构模型动力反应测量脉动作结构物振动测量桥超高层结构风振测量等
测量振动量仪器（拾振仪）三种：
加速度位移计：测量加速度时程（强震仪）
位移计：测量位移时程（震仪）
速度计：测量速度
82 理
821 运动方程建立
D’Alembert原理：质点系运动意瞬间果实际作质点动力约束反力外加假想惯性力该瞬间质点系处假想衡状态称动力衡状态记FifIiSi分质点mi受动力惯性力约束反力D’Alembert原理表示
Fi+fIi+Si0
通常动力Fi包括外荷载阻尼力弹性恢复力
图质量块m受动力
F(t)P(t)cutkut
惯性力
fImut
该体系约束反力做功理想约束体系列运动方程时仅考虑运动方受力时约束反力没
面两式代入D’Alembert原理表达式
mut+cut+kutP(t)
然建立运动方程方法种面介绍D’Alembert原理外虚位移原理Hamilton原理Lagrange方程四种方法建立运动方程完全等推完全相运动方程
822 Fourier变化法（频域分析法）
简单测量仪器模型单度弹簧质点阻尼体系封闭刚性盒子里面图示
单度体系运动方程：
mut+cut+kutmugt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)
中：
c2mωnζ
kmωn
（1）式写：
ut+2ωnζut+ωn2utugt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)
傅里叶变换法（补介绍）正变换问题时间域（变量t）转变频域（变量ω）：
ω2Uω+i2ζωnωUω+ωn2Uωω2Gω ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)
UωGωω2ωn21ω2ωn2+i2ζωωnHωGω ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4)
UωGωω2ωn21ω2ωn22+2ζωωn212 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5)
ϕωarctan2ζωωn1ω2ωn2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6)
面出UωGωϕω关频率图：
H(ω)复频反应函数传递函数相角ϕω含义动力荷载作阻尼体系动力反应（位移速度加速度）定滞动力荷载段时间存反应滞现象相角ϕ实际反映结构体系位移相动力荷载反应滞时间图发现频率越外荷载作越快动力反应滞时间越长
补充：傅立叶变换
Fourier变换定义
Uω∞∞uteiωtdt 正变换ut12π∞∞Uωeiωtdω 逆变换
中Uω称位移utFourier谱
根Fourier变换性质速度加速度Fourier变换
∞∞uteiωtdtiωU(ω)∞∞uteiωtdtω2U(ω)
83 振动测量仪器
831 加速度计（强震仪）
加速度计测量加速度基底加速度作仪器质点运动方程式（1）：
mut+cut+kutmug(t)
实际测量加速度运动时程意变化包含定频段分布系列简谐分量先分析仪器简谐分量测量
仪器基底加速度时程：
ugtug0sinωt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7)
简谐运动中ug0面运动加速度振幅带入式仪器质点相位移ut
utmug0k11(ωωn)22+2ζ(ωωn)2sinωtϕ
mkRdug0sin(ωtϕ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8)
面仅讨ut振幅u0
u0mkRdug0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9)
作种测量仪器测量象单位定成例
式知仪器记录值u0测量面加速度值间关系变化动力放系数Rd决定动力放系数Rdω函数观察阻尼时动力放系数曲线图（图）发现ζ07时频段0≤ω≤05范围Rd≈1常数
频段范围仪器反应振幅u0者说简谐运动仪器记录仪器测量加速振幅成线性关系时仪器反应u度量测量加速保证加速简谐分量频率ω满足0≤ω≤05采提高ωn方法实现ωnkm般情况质量m变采提高加速度计中弹簧刚度k方法实现提高ωn目加速度计强震仪中弹簧刚度较仪器较刚性
832 位移计（震仪）
位移计测量仪器基底位移量设意简谐位移
ugug0sinωt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10)
中ug0面运动位移振幅ugtω2ug0sinωt代入运动方程式（1）解仪器相位移反应：
utmω2kRdug0sinωtϕωωn2Rdug0sinωtϕ ⋯⋯(11)
相位移反应振幅：
u0ωωn2Rdug0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12)
加速度计原理相希测量振动频率范围频率分量均u0ug0间例系数ωωn2Rd接常量图出ωωn2Rd频率ωωn变化曲线
图出阻尼ζ05时频率范围ωωn>1时ωωn2Rd接常数位移计测量频率范围ω>ωn频段范围位移量保证测位移频率满足ω>ωn通降低仪器振频率ωn方法实现实际中采取降低弹簧刚度k者增质量m方法实现位移计般较柔
第十章 反应谱
101 前言
震动引起面运动通面运动结构产生振动震中结构受荷载支座运动产生面运动三动分量三转动分量测量水限制转动分量难测动分量加速度计测相动分量说转动分量结构进行抗震分析时候转动分量忽略计结构说弹性范围响应面动分量产生结构体系说分量结构振频率未知设计时候需次迭代求出结构设计者需反应谱帮助
102 傅立叶谱
振动信号（意变化函数）分解简谐振动（三角函数）程称傅里叶分解振幅相位频率变化关系称傅里叶谱包括振幅谱相位谱统称频谱完成分解运算称傅立叶变化
傅里叶谱全面描述震动程频谱特征包括频率分量相位幅值信息两傅里叶谱反推出震动时程功率谱反应谱行
傅立叶谱复数实部虚部组成模称幅值谱幅角相位谱
Xω∞∞xteiωtdt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(13)
假设面运动加速度tϵ(0td]式变
Xω0tdxtcosωtdti0tdxtsin(ωt)dt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14)
强震傅立叶振幅谱相位谱式定义
Xω0tdxtcosωtdt2+0tdxtsinωtdt2 ⋯⋯⋯⋯(15)
ϕωtan10tdxtcosωtdt0tdxtsinωtdt ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(16)
103 反应谱
单度体系定震作某反应体系振周期关系曲线称该反应震反应谱
1031 Duhamel积分
（1）单位脉反应函数
单位脉：作时间短量等1荷载实际数学中特殊函数—δ函数δ函数定义
δtτ∞ tτ0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(17)
0∞δtτdt1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(18)
tτ时刻单位脉Ptδt作单度体系结构质点获单位量脉结束质点获初速度
muτ+εττ+εPtdtττ+εδtdt1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(19)
ε→0时
uτ1m
脉作时间短ε→0时单位脉引起质点位移零
uτ0
求体系单位脉反应求解单位脉作振动问题初始条件uτ1m uτ0代入单度体系振动（低阻尼体系）般解式
uteζωntu0cosωDt+u0+ζωnu(0)ωDsinωDt ⋯⋯⋯⋯(20)
阻尼体系单位脉反应函数
htτut1mωDeζωntτsinωD(tτ) t≥τ ⋯⋯⋯(21)
（2）意荷载反应
荷载分解系列脉获脉结构反应叠加结构总反应
果已作结构体系外荷载Pτ离散成系列脉首先计算中脉Pτdτ动力反应该脉结构反应
dutPτdτhtτt>τ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(22)
意时间t结构反应t前脉作反应
ut0tdu0tPτhtτdτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(23)
（21）式代入式求解阻尼体系动力反应Duhamel积分公式
ut1mωD0τPτeζωntτsinωD(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(24)
中ωDωn1ζ2阻尼体系振频率
1032 反应谱法
前面介绍结构动力反应分析方法结构震反应问题展开分析计算震动较时结构处线弹性范围采时域Duhamel积分法频域Fourier变换方法获震结构反应根结构变形力进行抗震设计震动较强时结构反应进入塑性需时域逐步积分法进行弹塑性反应分析仅讨结构线弹性震反应问题采Duhamel积分法介绍震反应谱
震作特点震动程非常复杂时间规快速变化设震加速度时程ugt特点：第阶段振幅快速增长第二阶段相稳定第三阶段震荡衰减
震作结构运动方程
mut+cut+kutmug(t)
震等效荷载Peqtmug(t)应Duhamel积分结构震位移反应
ut1ωD0tugτeζωntτsinωD(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(25)
观察式发现定震动ug结构震反应仅结构阻尼ζ振频率ωn关换句话说尺寸结构结构阻尼振频率相时震反应完全相
阻尼较时ωD≈ωn结构震反应式简化
ut1ωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯(26)
位移反应：
Sdutmax1ωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτmax ⋯⋯(27)
质点相面速度：
utdudt0tugτeζωntτcosωdtτdτ
+ζωnωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯(28)
质点相面速度反应：
Svutmax0tugτeζωntτsinωntτdτmax
+ζωnωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯⋯(29)
实际工程中较重结构绝加速度ut+ug(t)单指点体系震作运动方程知道：
ut+ugt2ωnζutωn2ut
+ζωnωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯(30)
面求ut ut代入式：
ut+ugt2ωnζ0tugτeζωntτcosωdtτdτ2ζ2ωn2ωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ
+ωn2ωD0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯⋯(31)
低阻尼体系ωD≈ωn式简化
ut+ugtωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτ ⋯⋯(32)
点相面加速度反应：
Saut+ugtmaxωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτmax⋯⋯(33)
求SdSvSa具关系
SaωnSvωn2Sd
阻尼定时结构震相位移反应相速度绝加速度反应仅ωn决定工程中般惯采结构振周期Tn2πωn代圆频率工程谱中反应谱般振周期变量
ELC波
绝加速度谱
相速度反谱
位移反应谱
1033 影响震反应谱素
影响震反应谱素两点体系阻尼二震动
（1）体系阻尼
体系阻尼越震反应谱加速度反应越震反应谱值越
（2）震动
震动会震反应谱家知道震动特性三素：振幅频谱持时
振幅越震反应谱值越震动振幅仅震反应谱值影响呈线性例关系
面运动种频率加速度幅值应关系
场越软震震中距越震反应谱峰值应周期越长说震动频谱震反应谱形状影响
持时震反应谱影响
1034 震反应谱特点
（1）阻尼反应谱影响仅降低结构反应幅值削少峰值反应谱曲线变缓
（2）加速度反应谱结构周期某值时幅值周期急剧增某值时快速降T≥3s时加速度反应谱值降缓慢
（3）速度反应谱结构周期某值时幅值周期增趋常数
（4）位移反应谱幅值周期增
（5）土质条件反应谱形状影响土质越松软震反应谱峰值应周期越长
结：结构震反应高频结构说取决面运动加速度中频结构说取决面运动速度低频结构说取决面运动位移
1035 设计反应谱
震反应谱直接结构抗震设计定困难需专门供结构抗震设计反应谱称设计反应谱
FmSaTmgugmaxg∙SaTugmaxGkβT ⋯⋯⋯(33)
（1）震系数kugmaxg震动振幅震反应谱影响分离出
烈度增加度震系数致增加倍
（2）体系加速度放系数βTSaTugmax
βt2πT∙1ugmax∙0tugτeζ2πTtτsin2πTtτdτmax ⋯⋯⋯(33)
定加速度记录ug结构阻尼ζ式计算出应结构振周期T动力系数β值
Saut+ugtmaxωn0tugτeζωntτsinωn(tτ)dτmax⋯⋯⋯(34)
两公式出面加速度ut定震常数βT曲线形式拟加速度反应谱曲线形状完全致坐标数值βT曲线坐标Saugmax拟加速度反应谱坐标Sa
回顾震反应谱现阶段计算震作基础通反应谱时程变化震作转化等效侧力
单度体系惯性力作反映震结构体系影响等效力结构进行抗震验算
FF(t)maxmSamgugmaxg∙SaTugmaxGkβαG ⋯⋯⋯(35)
αkβ水震影响系数
面讲βT曲线形式拟加速度反应谱曲线形状完全致坐标数值定震（者设防烈度）震系数k常数呢αT曲线形式拟加速度反应谱曲线形状完全致坐标k∙Saugmax
震机性点相震烈度前两次震记录面运动加速度曲线时程ug(t)进行工程设计时仅某次ug(t)反应谱曲线SaT者αT作设计标准计算震作恰动力系数结构抗震设计采取措施：
①取确定阻尼ζ005数实际建筑结构阻尼005左右考虑阻尼震反应谱影响
②场震中距震动记录分类考虑震动频谱影响素
③计算类震动记录动力系数均值考虑类相震记录震反应谱变异性
βTi1nβiTζ005n ⋯⋯⋯(36)
综合考虑述素根统场强震面运动加速度记录ug(t)分计算出反应谱曲线然谱曲线进行统计求出具代表性均反应谱曲线作设计条曲线称抗震设计反应谱
工程设计采动力系数谱曲线
中：
βmax225
β01045βmaxη2
Tg—场特征周期场条件设计震分组关
T—结构振周期
γ—衰减指数取09
η1—直线降段斜率调整系数取002
η2—阻尼调整系数取10
面推导α(T)kβ(T)
震影响系数谱曲线
易知αmaxk∙βmax国建筑抗震采两阶段设计设计阶段αmax值：
括号中数值分设计基震加速度取015g030g区
抗震设计反应谱见图
前讲取确定阻尼（005）做计算
γ—衰减指数取09
η1—直线降段斜率调整系数取002
η2—阻尼调整系数取10
结构阻尼等005时形状参数做调整
γ09+005ζ05+5ζ
η1002+005ζ8
η21+005ζ006+17ζ （η2<055取η2055）
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