目 录
1函数列级数函数项级数致性 3
11函数列级数致收敛性 3
12函数项级数致收敛性 4
2 函数项级数致收敛性基判法 6
21 定义判法 6
22 M判法 6
23 莱布尼兹判法 6
24 余项判法 7
25 柯西准 8
26 类数项级数判法函数项级数判法 10
261 式判法 10
262 根式判法 12
263 数判法 13
29 导数判法 13
210 连续性判法 14
211 迫敛性判法 15
212 M判法推 15
3 关函数项级数致收敛三重判法 16
31 阿贝尔判法 16
32 狄利克雷判法 17
33 积分判法 19
4 致收敛应 20
41 致收敛证明等式中应 20
42 致收敛证明等式中应 20
43 致收敛计算极限中应 22
44 致收敛求导中应 22
45 致收敛概率组合计算中应 23
46 致收敛似计算中应 24
47 致收敛计算积分中应 24
总 结 26
参考文献 27
致 谢 28
数学分析中致收敛应
摘
函数列函数项级数致收敛性研究解决函数列极限函数函数项级数函数分析性质文利定义简单介绍致收敛性利柯西致收敛准证明函数项级数致收敛判法文中提出函数级数致收敛定义 柯西致收敛准 魏尔斯特拉斯判法(M判法) 狄利克雷判法 阿贝尔判法 余项判法 积分判法文函数项级数致收敛判法进行推广 纳总结出数判法 导数判法 连续性判法 逼敛性判法M判法推等种判法 时应函数项级数致收敛定义 重判法致收敛应出文中结证明
关键词：函数项级数致收敛性判法
引 言
致收敛性函数项级数重性质 效判函数项级数致收敛进步研究函数项级数性质起着重作判函数项级数致收敛时通常柯西准M判法阿贝尔判法狄利克雷判法莱布尼兹判法者直接根致收敛定义进行判 文出判法时函数项级数致收敛定义柯西判法M判法阿贝尔判法莱布尼兹判法加补充推广判函数项级数致收敛提供方便函数项级数作数项级数推广 时数项级数作函数项级数特例 研究容许相似处函数项级数 仅讨点收敛 更重研究函数具解析性质 否函数项级数项连续积微 判断出函数连续性积性微性 函数项级数收敛性提出更高求 函数项级数致收敛性 文献[1]讨函数项级数致收敛基判法 出致收敛定义莱布尼茨判法 文献[6][7][8]出函数项级数致收敛重判法 阿贝尔狄利克雷积分判法 文献[5][3]出函数项级数致收敛两充条件 柯西准 余项定理 述方法判致收敛证明定理 文献[10]该问题进行推广 试根式判法 时文献 结文结合述文献 总结出函数项级数致收敛判法 数判法 导数判法 M判法推等 出判法证明 外例题验证行性
1函数列级数函数项级数致性
11函数列级数致收敛性
定义1 设
列定义数集函数称定义函数列简单写作：
设代入数列
数列收敛称函数列点收敛称函数列收敛点数列发散称函数列点发散函数列数集点收敛称数集收敛时点数列极限值相应应法确定函数称函数列极限函数极限函数记作
函数列收敛全体收敛点集合称函数列收敛域
定义2 设函数列函数定义数集正数总存某正整数时切
称函数列致收敛记作
注：文表示致收敛
定义果函数列致收敛点总存公（选取仅关取值关）
函数列致收敛必点收敛反点收敛函数列定致收敛
12函数项级数致收敛性
定义1 设定义数集Ｅ函数列 表达式
(1)
称定义定义域Ｅ函数项级数 简记称
(2)
函数项级数(1)部分函数列 数项级数
(3)
收敛 部分时极限存 称级数(1)点收敛 称(1)收敛点级数(3)发散称级数(1)点发散级数(1)Ｅ某子集Ｄ点收敛 称级数(1)Ｄ收敛 称(1)收敛域Ｄ 级数(1)Ｄ点应数项级数(3)构成定义Ｄ函数 称(1)函数 写作
说函数项级数(1)收敛性指部分函数列(2)收敛性
定义设函数项级数部分数列数集Ｄ致收敛函数 称函数项级数Ｄ致收敛 称Ｄ致收敛
函数项级数致收敛性部分数列确定 根函数列致收敛性定义等价定义
定义3 设函数项级数Ｄ函数 称 函数项余项
2 函数项级数致收敛性基判法
21 定义判法
例1 讨
解： 显然
取
切成立致收敛
22 M判法
定理 (M判法) 设函数项级数定义数集Ｄ 收敛
正项级数 切 函数项级数Ｄ致收敛
证明 假设正项级数收敛根数项级数柯西准正数存某正整数正整数
（3）式切
根函数项级数致收敛柯西准级数致收敛
例2 证明函数项级数致收敛
证明： 等式知意x收敛M判法知致收敛
23 莱布尼兹判法
定理2 交错级数满足述两条件： 数列单调递减交错级数收敛
例3 试证区间致收敛
证明：意闭区间连续函数列
述定理知 函数项级数区间致收敛
24 余项判法
定理 函数项级数数集致收敛充条件
例4 讨函数项级数致收敛性
解： 设
解易知该点函数：
原级数致收敛
推 函数项级数部分函数列 函数 定义数集Ｄ 意 存数列 称函数列致收敛 函数项级数Ｄ致收敛函数
证明： (关) 时 切 定义2函数列致收敛 函数项级数Ｄ致收敛
注 放法判定函数项级数致收敛性时 需知道
25 柯西准
定理 (致收敛cauchy准) 函数项级数数集Ｄ致收敛充条件：>0 存时 切 成立
推2 Ｄ致收敛
例5：设连续致收敛均收敛证明致收敛
证明：致收敛均收敛知时
致收敛
定理 函数项级数数集致收敛充条件：
证明 必性 区间致收敛时切
充分性 设致收敛
已知矛盾(李岚2003)[4]
例6 积积设致收敛
证明
()
利定理1时致收敛
例7 设连续收敛连续函数致收敛
证明 已知（中）单调递减趋0时固定令连续然时时更仅
述点找相应邻域相应
时恒
构成开覆盖必存限子覆盖妨记总时取时恒
定理2致收敛
26 类数项级数判法
通函数项级数样数项级数特性例收敛性等函数项级数直连续性数项级数区根数项级数收敛性致收敛性判法函数项级数致收敛性判法明显出两者判方式十分相例命名方面Cauchy判法Abel判法Dirichlete判法等函数项级数致收敛性没数项级数收敛性判类似方法非常值探索通式判法根式判法相结合推出函数项级数致收敛性式判法根式判法相应P级数收敛性优级数判法函数项级数致收敛性数判法
261 式判法
定理 (式判法) 设(x) 定义数集D正函数列记
(x)
存正整数N 实数qM
≤ q < 1 ≤M
意n > N x ∈D 成立函数项级数D 致收敛
证明：
等级数公时收敛函数项级数致收敛优级数判法知致收敛
推3 (式判法极限形式) 设定义数集Ｄ函数项级数 记 Ｄ致界 函数项级数Ｄ致收敛
证明 存正整数 时
Ｄ致界 意正整数 意 存正整数 令
级数时收敛 函数项级数致收敛M判法知Ｄ致收敛 证
例8 试证函数项级数 ()致收敛
证明
式判法极限形式知函数项级数 ()致收敛
262 根式判法
定理 (根式判法) 设定义数集Ｄ函数项级数 函数项级数Ｄ致收敛
证明 定理条件成立级数收敛优级数判法函数项级数致收敛
例9 试证函数项级数致收敛 中()
证明 设
根式判法知函数项级数致收敛
推4 (根式判法极限形式) 设定义数集Ｄ函数列 致收敛 成立 函数项级数Ｄ致收敛
证明 致收敛 取 时 切
M判法知致收敛
推5 函数项级数 函数项级数Ｄ致收敛
例10 判函数项级数致收敛性
证明
推5知函数项级数致收敛
263 数判法
定理 (数判法) 设定义数集Ｄ函数列 存 函数项级数Ｄ致收敛
例11 证致收敛
证明
数判法知函数项级数致收敛
29 导数判法
定理 (导数判法) 设函数列区间连续 微 存点点收敛致收敛函数项级数致收敛
例12 设 证致收敛
解： 易见增函数 连续微
收敛级数优级数 M判法知致收敛原级数致收敛
210 连续性判法
定理 设函数项级数 区域Ｄ点态收敛 果
(1) ()Ｄ连续
(2) Ｄ连续
(3) Ｄ固定 变号 Ｄ致收敛
例13 证明 ()致收敛性
证明
R点态敛 R连续 R连续 R固定 变号定理12知原级数致收敛
推6 设连续 收敛连续函数 函数项级数致收敛
例14 试证 ()致收敛
解 充分时单调递减 连续 函数连续 推知致收敛
211 迫敛性判法
定理 (迫敛性定理) 设 成立
I致收敛 I致收敛
推7 已知数项级数 收敛 存 时
函数项级数Ｄ致收敛
(显然 常数项级数 判断收敛)
推8 设函数列{} 单调 绝收敛 级数致收敛
212 M判法推
推9 设函数项级数 存收敛正项级数 () 函数项级数区间致收敛
证明 已知()
收敛 收敛 M判法函数项级数区
间致收敛
注意 知道广义调级数 时收敛 时 列推：
推10 设函数项级数 存 函数项级数区间致收敛
例15 证明函数项级数致收敛
证明 存收敛正项级数
推10知函数项级数致收敛
3 关函数项级数致收敛三重判法
31 阿贝尔判法
定理5 (Able判法) 定义区间函数项级数
(4)
(1) 区间I致收敛
(2) 单调
(3)致界 切正整数 存正数 级数(4)致收敛
证明 （ⅰ）存某正整数正整数切
（ⅰ）（ⅱ）阿贝尔引理
根函数项级数致收敛性柯西准定理结
例16 证明函数项级数致收敛
解：设
根优级数判法易知
阿贝尔判法知原级数致收敛
例17 设收敛致收敛
证明：数项级数收敛性意味着关x致收敛性关n单调切n成立阿贝尔判法知级数致收敛特致收敛
32 狄利克雷判法
定理6 (Dirchlet判法) 设
(1) 部分函数列 ()致界
(2) 单调
(3) ()
证明 （ⅰ）存正数切正整数时
（ⅱ）阿贝尔引理
（ⅲ）存正数时切
致收敛性柯西准级数（4）致收敛
例18 试判致收敛性
解
级数部分函数列致界
单调减少
致收敛零
根Dirchlet判法知原级数致收敛
例19 级数
证明： 首先部分函数列致界次关n单调递减 根Dirichlet判法证
33 积分判法
定理7 设区域非负函数 定义数集Ｄ正函数项级数 非负函数 果关单调减函数 含参变量反常积分数集Ｄ致收敛 数集Ｄ致收敛
例20 讨P级数敛散性
解：函数p>0时非负减函数反常积分P>1时收敛p1时发散积分判法p>1时收敛0例21 讨级数
（1） （2）
敛散性
解：研究反常积分
P>1时收敛P1时发散根定理7知级数（1）p>1时收敛p1时发散
（2）考察反常积分样推级数（2）P>1时收敛P1时发散
4 致收敛应
41 致收敛证明等式中应
例22 试叙述致收敛定义证明﹕fnxxn01致收敛0bb<1致收敛
证明﹕计算limn→∞fnxfx0 0≤x<11 x1
∃ε13意然数n存xnn12∈01fnxnSxnxnn12>εfnxxn01致收敛
b<1时∀ε>0∃N>lnεlnbn>N时∀x∈0bfnxSxxnenlnx42 致收敛证明等式中应
等式证明极值问题讨着密切关系说明函数极值讨直接某等式证明
定理设fx定义数集E界函数变量x表示变元表示变元E中某元素组成数集E1果E中意元素x存x1∈E1fx例23 设
证明：取函数区间严格凹函数
1 式等号成立
2全相等等式 ①
②
单调递增综合①②结
命题成立
例24 设成立等式致收敛证明致收敛绝收敛
证明绝收敛
致收敛时致收敛
例25 证明等式
证明：
43 致收敛计算极限中应
果原函数利初等函数表示出果想计算定积分会十分复杂通幂级数展开似求解值确定计算时候积函数通泰勒展开成幂级数积分区间满足收敛域根幂级数求需值
例24 证明： ．
证明
．
例25 求值
解
44 致收敛求导中应
例26 求处阶导数
解函数处泰勒级数先间接方法展成幂级数然系数中解出
进行两次积分：
45 致收敛概率组合计算中应
定理：设数列存函数成立称数列生成函数
例27 枚硬币间断扔10次求出现20概率少？
解 设出现点方式总数显然生成函数：
展开式中项系数出现20点概率
例28 证明等式
证明
46 致收敛似计算中应
果原函数初等函数限形式表示出时计算定积分遇困难现通幂级数展开式取限项办法似计算定积分值具体计算时求积函数够展成收敛幂级数积分区间必须幂级数收敛域然利幂级数逐项积分性质计算求积分值
例29 求
值结果误差00001
解 判断积分反常积分假设积函数处值1判断区间连续
积函数进行展开出
积函数区间逐项积分出
第四项绝值
取前三项结果：
计算
总 结
函数项级数致收敛函数项级数重性质 效判函数项级数致收敛进步研究函数项级数性质起着重作文出柯西准 M判法 阿贝尔判法 余项判法积分判法等判函数项级数致收敛时 函数项级数定义基定理推广更加普遍性结 外数项级数式判法 根式判法进行推广适函数项级数致收敛判定定理 定理进行证明 时举例验证某定理方法效性利致收敛等式等式极限中应推广致收敛概念广阔应
参考文献
[1] 华东师范学数学系 数学分析(册)[M] 高等教育出版社 1991
[2] 刘三阳力李广民等数学分析选讲[M]科学出版社2007
[3] 李克典马云苓等数学分析选讲[M]厦门出版社2005
[4] 肖宏治 放法判函数项级数函数列致收敛时应[J] 安师范高等专科学校学报 2005 8(3) 80–82
[5] 郑学安刘继志等数学分析（第2册）[M]北京师范学出版社2010
[6] 刘玉璉 傅沛仁 刘宁等数学分析讲义[M] 北京 高等教育出版社 2003
[7] 钱吉林数学分析解题精粹[M]华中师范学出版社2011
[8] 孙德荣 关函数项级数致收敛积分判法[J] 吉昌学院学报 2009 20(6) 96–98
[9] 王振乾 彭建奎 王立萍 关函数项级数致收敛性判定讨[J] 甘肃联合学学报 2010 23(5) 111–113
[10] 关东月关致收敛问题[J] 蒙古农业学学报 2003 24(3) 84–86
致 谢
历时月时间终篇文写完 终完成毕业文写作学生涯画句号学期间许予私帮助深感幸运表示感谢
首先感谢文指导老师杨琪老师四学期毕业设计期间杨老师学业倾注极关怀鼓励学术进步离开老师耐心细致指导杨老师严肃科学态度严谨治学精神精益求精工作作风深深感染影响着受益穷
应该感谢学四年中认识学学科研帮助生活陪伴结识感庆幸友谊否持续诺言否相信感谢学生活充满闪光瞬间算毕业生活奔走愿天肆意飞扬学时光样闪亮
特感谢父母二十年日包容支撑切性选择总限度信支持感谢赐予切拥样亲感深深幸运豪更必限全部回报
感谢毕业文研究领域做出贡献学术前辈研究辈站巨肩膀学术贡献成永远激励努力追赶断前探索勇攀科学高峰
水限写文难免足处恳请老师批评指正
胡拉希克·叶尔肯
2020年04月新疆师范学数学科学学院
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1函数列级数函数项级数致性 3
11函数列级数致收敛性 3
12函数项级数致收敛性 4
2 函数项级数致收敛性基判法 6
21 定义判法 6
22 M判法 6
23 莱布尼兹判法 6
24 余项判法 7
25 柯西准 8
26 类数项级数判法函数项级数判法 10
261 式判法 10
262 根式判法 12
263 数判法 13
29 导数判法 13
210 连续性判法 14
211 迫敛性判法 15
212 M判法推 15
3 关函数项级数致收敛三重判法 16
31 阿贝尔判法 16
32 狄利克雷判法 17
33 积分判法 19
4 致收敛应 20
41 致收敛证明等式中应 20
42 致收敛证明等式中应 20
43 致收敛计算极限中应 22
44 致收敛求导中应 22
45 致收敛概率组合计算中应 23
46 致收敛似计算中应 24
47 致收敛计算积分中应 24
总 结 26
参考文献 27
致 谢 28
数学分析中致收敛应
摘
函数列函数项级数致收敛性研究解决函数列极限函数函数项级数函数分析性质文利定义简单介绍致收敛性利柯西致收敛准证明函数项级数致收敛判法文中提出函数级数致收敛定义 柯西致收敛准 魏尔斯特拉斯判法(M判法) 狄利克雷判法 阿贝尔判法 余项判法 积分判法文函数项级数致收敛判法进行推广 纳总结出数判法 导数判法 连续性判法 逼敛性判法M判法推等种判法 时应函数项级数致收敛定义 重判法致收敛应出文中结证明
关键词：函数项级数致收敛性判法
引 言
致收敛性函数项级数重性质 效判函数项级数致收敛进步研究函数项级数性质起着重作判函数项级数致收敛时通常柯西准M判法阿贝尔判法狄利克雷判法莱布尼兹判法者直接根致收敛定义进行判 文出判法时函数项级数致收敛定义柯西判法M判法阿贝尔判法莱布尼兹判法加补充推广判函数项级数致收敛提供方便函数项级数作数项级数推广 时数项级数作函数项级数特例 研究容许相似处函数项级数 仅讨点收敛 更重研究函数具解析性质 否函数项级数项连续积微 判断出函数连续性积性微性 函数项级数收敛性提出更高求 函数项级数致收敛性 文献[1]讨函数项级数致收敛基判法 出致收敛定义莱布尼茨判法 文献[6][7][8]出函数项级数致收敛重判法 阿贝尔狄利克雷积分判法 文献[5][3]出函数项级数致收敛两充条件 柯西准 余项定理 述方法判致收敛证明定理 文献[10]该问题进行推广 试根式判法 时文献 结文结合述文献 总结出函数项级数致收敛判法 数判法 导数判法 M判法推等 出判法证明 外例题验证行性
1函数列级数函数项级数致性
11函数列级数致收敛性
定义1 设
列定义数集函数称定义函数列简单写作：
设代入数列
数列收敛称函数列点收敛称函数列收敛点数列发散称函数列点发散函数列数集点收敛称数集收敛时点数列极限值相应应法确定函数称函数列极限函数极限函数记作
函数列收敛全体收敛点集合称函数列收敛域
定义2 设函数列函数定义数集正数总存某正整数时切
称函数列致收敛记作
注：文表示致收敛
定义果函数列致收敛点总存公（选取仅关取值关）
函数列致收敛必点收敛反点收敛函数列定致收敛
12函数项级数致收敛性
定义1 设定义数集Ｅ函数列 表达式
(1)
称定义定义域Ｅ函数项级数 简记称
(2)
函数项级数(1)部分函数列 数项级数
(3)
收敛 部分时极限存 称级数(1)点收敛 称(1)收敛点级数(3)发散称级数(1)点发散级数(1)Ｅ某子集Ｄ点收敛 称级数(1)Ｄ收敛 称(1)收敛域Ｄ 级数(1)Ｄ点应数项级数(3)构成定义Ｄ函数 称(1)函数 写作
说函数项级数(1)收敛性指部分函数列(2)收敛性
定义设函数项级数部分数列数集Ｄ致收敛函数 称函数项级数Ｄ致收敛 称Ｄ致收敛
函数项级数致收敛性部分数列确定 根函数列致收敛性定义等价定义
定义3 设函数项级数Ｄ函数 称 函数项余项
2 函数项级数致收敛性基判法
21 定义判法
例1 讨
解： 显然
取
切成立致收敛
22 M判法
定理 (M判法) 设函数项级数定义数集Ｄ 收敛
正项级数 切 函数项级数Ｄ致收敛
证明 假设正项级数收敛根数项级数柯西准正数存某正整数正整数
（3）式切
根函数项级数致收敛柯西准级数致收敛
例2 证明函数项级数致收敛
证明： 等式知意x收敛M判法知致收敛
23 莱布尼兹判法
定理2 交错级数满足述两条件： 数列单调递减交错级数收敛
例3 试证区间致收敛
证明：意闭区间连续函数列
述定理知 函数项级数区间致收敛
24 余项判法
定理 函数项级数数集致收敛充条件
例4 讨函数项级数致收敛性
解： 设
解易知该点函数：
原级数致收敛
推 函数项级数部分函数列 函数 定义数集Ｄ 意 存数列 称函数列致收敛 函数项级数Ｄ致收敛函数
证明： (关) 时 切 定义2函数列致收敛 函数项级数Ｄ致收敛
注 放法判定函数项级数致收敛性时 需知道
25 柯西准
定理 (致收敛cauchy准) 函数项级数数集Ｄ致收敛充条件：>0 存时 切 成立
推2 Ｄ致收敛
例5：设连续致收敛均收敛证明致收敛
证明：致收敛均收敛知时
致收敛
定理 函数项级数数集致收敛充条件：
证明 必性 区间致收敛时切
充分性 设致收敛
已知矛盾(李岚2003)[4]
例6 积积设致收敛
证明
()
利定理1时致收敛
例7 设连续收敛连续函数致收敛
证明 已知（中）单调递减趋0时固定令连续然时时更仅
述点找相应邻域相应
时恒
构成开覆盖必存限子覆盖妨记总时取时恒
定理2致收敛
26 类数项级数判法
通函数项级数样数项级数特性例收敛性等函数项级数直连续性数项级数区根数项级数收敛性致收敛性判法函数项级数致收敛性判法明显出两者判方式十分相例命名方面Cauchy判法Abel判法Dirichlete判法等函数项级数致收敛性没数项级数收敛性判类似方法非常值探索通式判法根式判法相结合推出函数项级数致收敛性式判法根式判法相应P级数收敛性优级数判法函数项级数致收敛性数判法
261 式判法
定理 (式判法) 设(x) 定义数集D正函数列记
(x)
存正整数N 实数qM
≤ q < 1 ≤M
意n > N x ∈D 成立函数项级数D 致收敛
证明：
等级数公时收敛函数项级数致收敛优级数判法知致收敛
推3 (式判法极限形式) 设定义数集Ｄ函数项级数 记 Ｄ致界 函数项级数Ｄ致收敛
证明 存正整数 时
Ｄ致界 意正整数 意 存正整数 令
级数时收敛 函数项级数致收敛M判法知Ｄ致收敛 证
例8 试证函数项级数 ()致收敛
证明
式判法极限形式知函数项级数 ()致收敛
262 根式判法
定理 (根式判法) 设定义数集Ｄ函数项级数 函数项级数Ｄ致收敛
证明 定理条件成立级数收敛优级数判法函数项级数致收敛
例9 试证函数项级数致收敛 中()
证明 设
根式判法知函数项级数致收敛
推4 (根式判法极限形式) 设定义数集Ｄ函数列 致收敛 成立 函数项级数Ｄ致收敛
证明 致收敛 取 时 切
M判法知致收敛
推5 函数项级数 函数项级数Ｄ致收敛
例10 判函数项级数致收敛性
证明
推5知函数项级数致收敛
263 数判法
定理 (数判法) 设定义数集Ｄ函数列 存 函数项级数Ｄ致收敛
例11 证致收敛
证明
数判法知函数项级数致收敛
29 导数判法
定理 (导数判法) 设函数列区间连续 微 存点点收敛致收敛函数项级数致收敛
例12 设 证致收敛
解： 易见增函数 连续微
收敛级数优级数 M判法知致收敛原级数致收敛
210 连续性判法
定理 设函数项级数 区域Ｄ点态收敛 果
(1) ()Ｄ连续
(2) Ｄ连续
(3) Ｄ固定 变号 Ｄ致收敛
例13 证明 ()致收敛性
证明
R点态敛 R连续 R连续 R固定 变号定理12知原级数致收敛
推6 设连续 收敛连续函数 函数项级数致收敛
例14 试证 ()致收敛
解 充分时单调递减 连续 函数连续 推知致收敛
211 迫敛性判法
定理 (迫敛性定理) 设 成立
I致收敛 I致收敛
推7 已知数项级数 收敛 存 时
函数项级数Ｄ致收敛
(显然 常数项级数 判断收敛)
推8 设函数列{} 单调 绝收敛 级数致收敛
212 M判法推
推9 设函数项级数 存收敛正项级数 () 函数项级数区间致收敛
证明 已知()
收敛 收敛 M判法函数项级数区
间致收敛
注意 知道广义调级数 时收敛 时 列推：
推10 设函数项级数 存 函数项级数区间致收敛
例15 证明函数项级数致收敛
证明 存收敛正项级数
推10知函数项级数致收敛
3 关函数项级数致收敛三重判法
31 阿贝尔判法
定理5 (Able判法) 定义区间函数项级数
(4)
(1) 区间I致收敛
(2) 单调
(3)致界 切正整数 存正数 级数(4)致收敛
证明 （ⅰ）存某正整数正整数切
（ⅰ）（ⅱ）阿贝尔引理
根函数项级数致收敛性柯西准定理结
例16 证明函数项级数致收敛
解：设
根优级数判法易知
阿贝尔判法知原级数致收敛
例17 设收敛致收敛
证明：数项级数收敛性意味着关x致收敛性关n单调切n成立阿贝尔判法知级数致收敛特致收敛
32 狄利克雷判法
定理6 (Dirchlet判法) 设
(1) 部分函数列 ()致界
(2) 单调
(3) ()
证明 （ⅰ）存正数切正整数时
（ⅱ）阿贝尔引理
（ⅲ）存正数时切
致收敛性柯西准级数（4）致收敛
例18 试判致收敛性
解
级数部分函数列致界
单调减少
致收敛零
根Dirchlet判法知原级数致收敛
例19 级数
证明： 首先部分函数列致界次关n单调递减 根Dirichlet判法证
33 积分判法
定理7 设区域非负函数 定义数集Ｄ正函数项级数 非负函数 果关单调减函数 含参变量反常积分数集Ｄ致收敛 数集Ｄ致收敛
例20 讨P级数敛散性
解：函数p>0时非负减函数反常积分P>1时收敛p1时发散积分判法p>1时收敛0
（1） （2）
敛散性
解：研究反常积分
P>1时收敛P1时发散根定理7知级数（1）p>1时收敛p1时发散
（2）考察反常积分样推级数（2）P>1时收敛P1时发散
4 致收敛应
41 致收敛证明等式中应
例22 试叙述致收敛定义证明﹕fnxxn01致收敛0bb<1致收敛
证明﹕计算limn→∞fnxfx0 0≤x<11 x1
∃ε13意然数n存xnn12∈01fnxnSxnxnn12>εfnxxn01致收敛
b<1时∀ε>0∃N>lnεlnbn>N时∀x∈0bfnxSxxnenlnx
等式证明极值问题讨着密切关系说明函数极值讨直接某等式证明
定理设fx定义数集E界函数变量x表示变元表示变元E中某元素组成数集E1果E中意元素x存x1∈E1fx
证明：取函数区间严格凹函数
1 式等号成立
2全相等等式 ①
②
单调递增综合①②结
命题成立
例24 设成立等式致收敛证明致收敛绝收敛
证明绝收敛
致收敛时致收敛
例25 证明等式
证明：
43 致收敛计算极限中应
果原函数利初等函数表示出果想计算定积分会十分复杂通幂级数展开似求解值确定计算时候积函数通泰勒展开成幂级数积分区间满足收敛域根幂级数求需值
例24 证明： ．
证明
．
例25 求值
解
44 致收敛求导中应
例26 求处阶导数
解函数处泰勒级数先间接方法展成幂级数然系数中解出
进行两次积分：
45 致收敛概率组合计算中应
定理：设数列存函数成立称数列生成函数
例27 枚硬币间断扔10次求出现20概率少？
解 设出现点方式总数显然生成函数：
展开式中项系数出现20点概率
例28 证明等式
证明
46 致收敛似计算中应
果原函数初等函数限形式表示出时计算定积分遇困难现通幂级数展开式取限项办法似计算定积分值具体计算时求积函数够展成收敛幂级数积分区间必须幂级数收敛域然利幂级数逐项积分性质计算求积分值
例29 求
值结果误差00001
解 判断积分反常积分假设积函数处值1判断区间连续
积函数进行展开出
积函数区间逐项积分出
第四项绝值
取前三项结果：
计算
总 结
函数项级数致收敛函数项级数重性质 效判函数项级数致收敛进步研究函数项级数性质起着重作文出柯西准 M判法 阿贝尔判法 余项判法积分判法等判函数项级数致收敛时 函数项级数定义基定理推广更加普遍性结 外数项级数式判法 根式判法进行推广适函数项级数致收敛判定定理 定理进行证明 时举例验证某定理方法效性利致收敛等式等式极限中应推广致收敛概念广阔应
参考文献
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[2] 刘三阳力李广民等数学分析选讲[M]科学出版社2007
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[6] 刘玉璉 傅沛仁 刘宁等数学分析讲义[M] 北京 高等教育出版社 2003
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[10] 关东月关致收敛问题[J] 蒙古农业学学报 2003 24(3) 84–86
致 谢
历时月时间终篇文写完 终完成毕业文写作学生涯画句号学期间许予私帮助深感幸运表示感谢
首先感谢文指导老师杨琪老师四学期毕业设计期间杨老师学业倾注极关怀鼓励学术进步离开老师耐心细致指导杨老师严肃科学态度严谨治学精神精益求精工作作风深深感染影响着受益穷
应该感谢学四年中认识学学科研帮助生活陪伴结识感庆幸友谊否持续诺言否相信感谢学生活充满闪光瞬间算毕业生活奔走愿天肆意飞扬学时光样闪亮
特感谢父母二十年日包容支撑切性选择总限度信支持感谢赐予切拥样亲感深深幸运豪更必限全部回报
感谢毕业文研究领域做出贡献学术前辈研究辈站巨肩膀学术贡献成永远激励努力追赶断前探索勇攀科学高峰
水限写文难免足处恳请老师批评指正
胡拉希克·叶尔肯
2020年04月新疆师范学数学科学学院
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