2003年普通高等学校招生全国统考试
数 学（文史类）（北京卷）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分150分考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷
3．考试结束监考试卷答题卡收回
参考公式：
三角函数积化差公式： 正棱台圆台侧面积公式
中分表示底面
周长表示斜高母线长
球体体积公式：中R表示球半径
选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合求
1．设集合等 （ ）
A． B．
C． D．
2．设 （ ）
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
3． （ ）
A．必非充分条件 B．充分非必条件
C．充分必条件 D．非充分非必条件
4．已知αβ面mn直线列命题中正确 （ ）
A．m∥αα∩βnmn B．m∥nα∩βnn⊥α
C．m⊥αm⊥βα∥β D．m⊥αα⊥β
5．图直线椭圆左焦点F1
顶点B该椭圆离心率 （ ）
A． B．
C． D．
6．值 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．果圆台母线底面成60°角圆台侧面积轴截面面积 （ ）
A． B． C． D．
8．数列通项公式等（ ）
A． B． C． D．
9．黄瓜白菜油菜扁豆4种蔬菜品种中选出3种分种土质三块土
中黄瓜必须种植种植方法 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
10．某班试电子投票系统选举班干部候选全班k名学选举权选举权编号分12…k规定：意1意（含弃权）0令
中i12…kj12…k时意第12号学选数（ ）
A．
B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二填空题：题4题题4分16分答案填题中横线
11．已知某球体体积表面积数值相等球体半径
12．函数中 偶函数
13．双曲线右顶点顶点左焦点焦点抛物线方程
14．长度1铁丝分成两段分围成正方形圆形正方形圆面积正方形周长应
三解答题：题6题84分解答应写出文字说明证明程演算步骤
15．（题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求正周期
（Ⅱ）求值值
16．（题满分13分）
已知数列等差数列
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）令求数列前n项公式
17．（题满分15分）
图正三棱柱ABC—A1B1C1中DBC中点ABa
（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1
（Ⅱ）求点D面ACC1距离
（Ⅲ）判断A1B面ADC位置关系
证明结
18．（题满分15分）
图A1A椭圆两顶点F1F2椭圆两焦点
（Ⅰ）写出椭圆方程准线方程
（Ⅱ）线段OA异OA点K作OA垂线交椭圆PP1两点直线
A1PAP1交点M
求证：点M双曲线
19．（题满分14分）
三新兴城镇分位ABC三点处ABAC13kmBC10km计划合建中心医院时方便三镇准备建BC垂直分线P点处（建立坐标系图）
（Ⅰ）希点P三镇距离方
点P应位处？
（Ⅱ）希点P三镇远距离
点P应位处？
20．（题满分14分）
设定义区间函数满足条件：
（i）
（ii）意
（Ⅰ）证明：意
（Ⅱ）判断函数否满足题设条件
（Ⅲ）区间[－11]否存满足题设条件函数意
存请举例：存请说明理
绝密★启前
2003年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（文史类）（北京卷）参考解答
选择题：题考查基知识基运算 题5分满分50分
1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C
二填空题：题考查基知识基运算题4分满分16分
11．3 12． 13． 14．
三解答题：题6题84分解答应写出文字说明证明程演算步骤
15．题考查三角函数倍角角公式三角函数性质等基知识考查运算力满分13分 （Ⅰ）解：
正周期
（Ⅱ）解：值值－
16．题考查等差等数列等基知识考查综合运数学知识方法解决问题力满分13分
（Ⅰ）解：设数列公差
（Ⅱ）解：
①
②
①式减②式
17．题考查直线面位置关系正棱柱性质棱锥体积等基知识考查空间想象力逻辑推理力 满分15分
（Ⅰ）证法：∵点D正△ABC中BC边中点∴AD⊥BC
A1A⊥底面ABC∴A1D⊥BC ∵BC∥B1C1∴A1D⊥B1C1
证法二：连结A1C1A1CA1B ∵点D正△A1CB底边中BC中点
∴A1D⊥BC ∵BC∥B1C1∴A1D⊥B1C1
（Ⅱ）解法：作DE⊥ACE ∵面ACC1⊥面ABC
∴DE⊥面ACC1EDE长点D面ACC1
距离 Rt△ADC中AC2CD
∴求距离
解法二：设点D面ACC1距离
∵体积
点D面ACC1距离
（Ⅲ）答：直线A1B面ADC1证明：
证法：图1连结A1C交AC1FFA1C中点∵DBC中点∴DF∥A1B
DF 面ADC1A1B面ADC1∴A1B∥面ADC1
证法二：图2取C1B1中点D1AD∥A1D1C1D∥D1B
∴AD∥面A1D1BC1D∥面A1D1B
∴面ADC1∥面A1D1B∵A1B面A1D1B∴A1B∥面ADC1
18．考查直线椭圆双曲线等基知识考查分析问题解决问题力满分15分
（Ⅰ）解：图知
该椭圆方程
准线方程
（Ⅱ）证明：设K点坐标点PP1坐标分记
中……① 直线A1PP1A方程分：
……② ……③
②式③式化简式代入②式
直线A1PAP1交点M坐标
直线A1PAP1交点M双曲线
19．题考查函数等式等基知识考查运数学知识分析问题解决问题力满分14分
（Ⅰ）解：设P坐标（0）P三镇距离方
时函数取值 答点P坐标
（Ⅱ）解法：P三镇远距离
解记
[增函数减函数 时函数取值 答点P坐标
解法二：P三镇远距离
解记
函数图象图
时函数取值答点P坐标
解法三：△ABC中ABAC13
△ABC外心M线段AO坐标
AMBMCM P射线MA记PP1P射线
MA反延长线记PP2
时PABC三点远距离
P1CP2AP1C≥MCP2A≥MA点P外心M
重合时P三镇远距离
答点P坐标
20．题考查函数等式等基知识考查综合运数学知识分析问题解决问题力满分14分（Ⅰ）证明：题设条件知时
（Ⅱ）答：函数满足题设条件验证：
意
妨设
函数满足题设条件
（Ⅲ）答：样满足函数存理：
假设存函数满足条件①
意
② ①②矛盾假设成立样函数存
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数 学（文史类）（北京卷）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分150分考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷
3．考试结束监考试卷答题卡收回
参考公式：
三角函数积化差公式： 正棱台圆台侧面积公式
中分表示底面
周长表示斜高母线长
球体体积公式：中R表示球半径
选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合求
1．设集合等 （ ）
A． B．
C． D．
2．设 （ ）
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
3． （ ）
A．必非充分条件 B．充分非必条件
C．充分必条件 D．非充分非必条件
4．已知αβ面mn直线列命题中正确 （ ）
A．m∥αα∩βnmn B．m∥nα∩βnn⊥α
C．m⊥αm⊥βα∥β D．m⊥αα⊥β
5．图直线椭圆左焦点F1
顶点B该椭圆离心率 （ ）
A． B．
C． D．
6．值 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．果圆台母线底面成60°角圆台侧面积轴截面面积 （ ）
A． B． C． D．
8．数列通项公式等（ ）
A． B． C． D．
9．黄瓜白菜油菜扁豆4种蔬菜品种中选出3种分种土质三块土
中黄瓜必须种植种植方法 （ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
10．某班试电子投票系统选举班干部候选全班k名学选举权选举权编号分12…k规定：意1意（含弃权）0令
中i12…kj12…k时意第12号学选数（ ）
A．
B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二填空题：题4题题4分16分答案填题中横线
11．已知某球体体积表面积数值相等球体半径
12．函数中 偶函数
13．双曲线右顶点顶点左焦点焦点抛物线方程
14．长度1铁丝分成两段分围成正方形圆形正方形圆面积正方形周长应
三解答题：题6题84分解答应写出文字说明证明程演算步骤
15．（题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求正周期
（Ⅱ）求值值
16．（题满分13分）
已知数列等差数列
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）令求数列前n项公式
17．（题满分15分）
图正三棱柱ABC—A1B1C1中DBC中点ABa
（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1
（Ⅱ）求点D面ACC1距离
（Ⅲ）判断A1B面ADC位置关系
证明结
18．（题满分15分）
图A1A椭圆两顶点F1F2椭圆两焦点
（Ⅰ）写出椭圆方程准线方程
（Ⅱ）线段OA异OA点K作OA垂线交椭圆PP1两点直线
A1PAP1交点M
求证：点M双曲线
19．（题满分14分）
三新兴城镇分位ABC三点处ABAC13kmBC10km计划合建中心医院时方便三镇准备建BC垂直分线P点处（建立坐标系图）
（Ⅰ）希点P三镇距离方
点P应位处？
（Ⅱ）希点P三镇远距离
点P应位处？
20．（题满分14分）
设定义区间函数满足条件：
（i）
（ii）意
（Ⅰ）证明：意
（Ⅱ）判断函数否满足题设条件
（Ⅲ）区间[－11]否存满足题设条件函数意
存请举例：存请说明理
绝密★启前
2003年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（文史类）（北京卷）参考解答
选择题：题考查基知识基运算 题5分满分50分
1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C
二填空题：题考查基知识基运算题4分满分16分
11．3 12． 13． 14．
三解答题：题6题84分解答应写出文字说明证明程演算步骤
15．题考查三角函数倍角角公式三角函数性质等基知识考查运算力满分13分 （Ⅰ）解：
正周期
（Ⅱ）解：值值－
16．题考查等差等数列等基知识考查综合运数学知识方法解决问题力满分13分
（Ⅰ）解：设数列公差
（Ⅱ）解：
①
②
①式减②式
17．题考查直线面位置关系正棱柱性质棱锥体积等基知识考查空间想象力逻辑推理力 满分15分
（Ⅰ）证法：∵点D正△ABC中BC边中点∴AD⊥BC
A1A⊥底面ABC∴A1D⊥BC ∵BC∥B1C1∴A1D⊥B1C1
证法二：连结A1C1A1CA1B ∵点D正△A1CB底边中BC中点
∴A1D⊥BC ∵BC∥B1C1∴A1D⊥B1C1
（Ⅱ）解法：作DE⊥ACE ∵面ACC1⊥面ABC
∴DE⊥面ACC1EDE长点D面ACC1
距离 Rt△ADC中AC2CD
∴求距离
解法二：设点D面ACC1距离
∵体积
点D面ACC1距离
（Ⅲ）答：直线A1B面ADC1证明：
证法：图1连结A1C交AC1FFA1C中点∵DBC中点∴DF∥A1B
DF 面ADC1A1B面ADC1∴A1B∥面ADC1
证法二：图2取C1B1中点D1AD∥A1D1C1D∥D1B
∴AD∥面A1D1BC1D∥面A1D1B
∴面ADC1∥面A1D1B∵A1B面A1D1B∴A1B∥面ADC1
18．考查直线椭圆双曲线等基知识考查分析问题解决问题力满分15分
（Ⅰ）解：图知
该椭圆方程
准线方程
（Ⅱ）证明：设K点坐标点PP1坐标分记
中……① 直线A1PP1A方程分：
……② ……③
②式③式化简式代入②式
直线A1PAP1交点M坐标
直线A1PAP1交点M双曲线
19．题考查函数等式等基知识考查运数学知识分析问题解决问题力满分14分
（Ⅰ）解：设P坐标（0）P三镇距离方
时函数取值 答点P坐标
（Ⅱ）解法：P三镇远距离
解记
[增函数减函数 时函数取值 答点P坐标
解法二：P三镇远距离
解记
函数图象图
时函数取值答点P坐标
解法三：△ABC中ABAC13
△ABC外心M线段AO坐标
AMBMCM P射线MA记PP1P射线
MA反延长线记PP2
时PABC三点远距离
P1CP2AP1C≥MCP2A≥MA点P外心M
重合时P三镇远距离
答点P坐标
20．题考查函数等式等基知识考查综合运数学知识分析问题解决问题力满分14分（Ⅰ）证明：题设条件知时
（Ⅱ）答：函数满足题设条件验证：
意
妨设
函数满足题设条件
（Ⅲ）答：样满足函数存理：
假设存函数满足条件①
意
② ①②矛盾假设成立样函数存
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