1998年普通高等学校招生全国统考试
数学（理工农医类）
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分考试120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
．选择题：题15题第1—10题题4分第11— 15题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
(1) sin600º值 ( )
(A)
(B) －
(C)
(D) －
(2) 函数ya|x|(a＞1)图 ( )
（A） （B） （C） （D）
1
1
1
(3) 曲线极坐标方程ρ4sinθ化成直角坐标方程 ( )
(A) x2＋(y＋2)24
(B) x2＋(y－2)24
(C) (x－2)2＋y24
(D) (x＋2)2＋y24
(4) 两条直线A1x＋B1y＋C10A2x＋B2y＋C20垂直充条件 ( )
(A) A1A2＋B1B20
(B) A1A2－B1B20
(C)
(D)
(5) 函数f(x)( x≠0)反函数f－1(x) ( )
(A) x(x≠0)
(B) (x≠0)
(C) －x(x≠0)
(D) －(x≠0)
(6) 已知点P(sinα－cosαtgα)第象限α取值 ( )
(A) ()∪()
(B) ()∪()
(C) ()∪()
(D) ()∪()
(7) 已知圆锥全面积底面积3倍该圆锥侧面展开图扇形圆心角 ( )
(A) 120º
(B) 150º
(C) 180º
(D) 240º
(8) 复数－i立方根i外两立方根 ( )
(A)i
(B) －i
(C) ±i
(D) ±i
h
V
H
0
(9) 果棱台两底面积分SS′中截面面积S0 ( )
(A) 2
(B) S0
(C) 2 S0S＋S′
(D)
(10) 高H水瓶中注水注满止果注水量V水深h函数关系图图示水瓶形状 ( )
(11) 3名医生6名护士分配3学校学生体检校分配1名医生2名护士．分配方法 ( )
(A) 90种
(B) 180种
(C) 270种
(D) 540种
(12) 椭圆1焦点F1F2点P椭圆果线段PF1中点y轴|P F1||P F2| ( )
(A) 7倍
(B) 5倍
(C) 4倍
(D) 3倍
(13) 球面3点中意两点球面距离等圆周长3点圆周长4π球半径 ( )
(A) 4
(B)2
(C) 2
(D)
(14) 直角三角形三角正弦值成等数列角 ( )
(A) arccos
(B) arcsin
(C) arccos
(D) arcsin
(15) 等数列{an}中a1>1前n项Sn满足Sna1取值范围 ( )
(A)(1＋∞)
(B)(14)
(C) (12)
(D)(1)
第Ⅱ卷(非选择题85分)
二填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
16．设圆双曲线顶点焦点圆心双曲线圆心双曲线中心距离_________
17．(x＋2)10(x2－1)展开式中x10系数____________（数字作答）
18．图直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中底面四边形ABCD满足条件____________时A1 C⊥B1 D1．(注：填认正确种条件必考虑情形)
19．关函数f(x)4sin(2x＋)(x∈R)列命题
①f(x1) f(x2)0x1－x2必π整数倍
②yf(x)表达式改写y4cos(2x－)
③yf(x)图关点(－0)称
④yf(x)图关直线x－称．
中正确命题序号_______ (注：认正确命题序号填．)
三解答题：题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(20)(题满分10分)
△ABC中abc分角ABC边设a＋c2bA－C．求sinB值．
公式供解题时参考：
sinθ＋sin 2sincos
sinθ－sin2cossin
cosθ＋cos2coscos
cosθ－cos－2sinsin
(21)(题满分11分)
图直线l1l2相交点Ml1 ⊥l2点N∈l1．A B端点曲线段C点l2距离点N距离相等．△AMN锐角三角形|AM||AN|3|BN|6．建立适坐标系求曲线段C方程．
(22)(题满分12分)
图处理含某种杂质污水制造底宽2米盖长方体沉淀箱污水A孔流入沉淀B孔流出．设箱体长度a米高度b米．已知流出水中该杂质质量分数ab积ab成反．现制箱材料60方米．问ab少米时沉淀流出水中该杂质质量分数(AB孔面积忽略计)．
(23)(题满分12分)
已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1侧面A1 ACC1底面ABC垂直∠ABC90ºBC2AC2AA1 ⊥A1CAA1 A1 C．
Ⅰ．求侧棱A1A底面ABC成角
Ⅱ．求侧面A1 ABB1 底面ABC成二面角
Ⅲ．求顶点C侧面A1 ABB1距离．
(24)(题满分12分)
设曲线C方程yx3－xCx轴y轴正分行移动ts单位长度曲线C1．
Ⅰ．写出曲线C1方程
Ⅱ．证明曲线CC1关点A()称
Ⅲ．果曲线CC1仅公点证明s－tt≠0．
(25)(题满分12分)
已知数列{bn}等差数列b11b1＋b2＋…＋b10145．
Ⅰ．求数列{bn}通项bn
Ⅱ．设数列{an}通项an loga(1＋)(中a＞0a≠1)记Sn数列{an}前n项．试较Snlogabn+1证明结．
1998年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（理工农医类）参考答案
选择题（题考查基知识基运算．）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D
二填空题（题考查基知识基运算．）
16． 17．179
18．ACBD推导出条件条件．例ABCD正方形菱形等
19．②③
三解答题
20．题考查正弦定理角三角函数基公式诱导公式等基础知识考查利三角公式进行恒等变形技运算力．
解：正弦定理已知条件a+c2b sinA+sinC2sinB
差化积公式2sincos2sinB
A+B+Cπ sincos
A－C cossinB
cos2sincos
0<sin
cos
sinB
21．题考查根条件选择适坐标系求曲线方程解析基思想．考查抛物线概念性质曲线方程关系综合运知识力．
解法：图建立坐标系l1x轴MN垂直分线y轴点O坐标原点．
题意知：曲线段C点N焦点l2准线抛物线段中AB分C端点．
设曲线段C方程
y22px（p>0）（xA≤x≤xBy>0）中xAxB分AB横坐标p|MN|
M（0）N（0）
|AM| |AN|3
（xA+）2+2pxA17 ①
（xA－）2+2pxA9 ②
①②两式联立解xA 代入①式p>0解
ΔAMN锐角三角形> xA舍
p4xA 1
点B曲线段CxB |BN|－4
综曲线段C方程
y28x（1≤x≤4y>0）
解法二：图建立坐标系分l1l2xy轴M坐标原点．
作AE l1AD l2BF l2垂足分EDF
设A（xAyA）B（xByB）N（xN0）
题意
xA |ME||DA||AN|3
yA |DM|
ΔAMN锐角三角形
xN |ME|+|EN|
|ME|+4
xB |BF||BN|6
设点P（xy）曲线段C点题意知P属集合
｛（xy）|（x－xN）2+y2x2xA≤x≤xBy>0｝
曲线段C方程
y28（x－2）（3≤x≤6y>0）
22．题考查综合应学数学知识思想方法解决实际问题力考查建立函数关系等式性质值值等基础知识．
解法：设y流出水中杂质质量分数y中k>0例系数题意求ab值y值
根题设4b+2ab+2a60（a>0b>0）
b（0 y
≥
a+2时取等号y达值
时a6a－10（舍）
a6代入①式b3
a6米b3米时沉淀流出水中该杂质质量分数
解法二：题意求ab值ab
题设知 4b+2ab+2a60（a>0b>0）
a+2b+ab30（a>0b>0）
a+2b≥2
+ab≤30
仅a2b时式取等号
a>0b>0解0a2b时ab取值值18
2b218解b3a6
a6米b3米时沉淀流出水中该杂质质量分数．
23．题考查直线直线直线面面面位置关系棱柱性质空间角距离概念逻辑思维力空间想象力运算力．
Ⅰ．解：作A1DAC垂足D面A1ACC1面ABCA1D面ABC
∠A1ADA1A面ABC成角
AA1A1CAA1A1C
∠A1AD 45º求
Ⅱ．解：作DEAB垂足E连A1EA1D面ABCA1EAB
∠A1ED面A1ABB1面ABC成二面角面角
已知ABBCED∥BC
DAC中点BC2AC2
DE1ADA1D tg∠A1ED
∠A1ED60º求
Ⅲ．解法：点C作面A1ABB1垂线垂足HCH长C面A1ABB1距离
连结HBABBCABHB
A1EAB知HB∥A1EBC∥ED
∠HBC∠A1ED60º
CHBCsin60º求
解法二：连结A1B
根定义点C面A1ABB1距离三棱锥C－A1AB高h
求
24．题考查函数图方程曲线曲线移称相交等基础知识考查运动变换等数学思想方法综合运数学知识解决问题力
Ⅰ．解：曲线C1方程
y（x－t）3－（x－t）+s
Ⅱ．证明：曲线C取点B1（x1y1）设B2（x2y2）B1关点A称点
x1t－x2 y1s－y2
代入曲线C方程x2y2满足方程：
s－y2（t－x2）3－（t－x2）
y2（x2－t）3－（x2－t）+ s
知点B2（x2y2）曲线C1
反样证明曲线C1点关点A称点曲线C
曲线CC1关点A称
Ⅲ．证明：曲线CC1仅公点方程组
仅组解
消y整理
3tx2－3t2x+（t3－t－s）0
关x元二次方程仅根
t≠0根判式
Δ9t4－12t（t3－t－s）0
t≠0
25．题考查等差数列基概念通项求法考查数函数性质考查纳推理力数学纳法进行证力
解：Ⅰ．设数列{bn}公差d题意
解
bn 3n－2
Ⅱ．bn 3n－2知
Snloga（1+1）+ loga（1+）+…+ loga（1+）
loga[（1+1）（1+）……（1+）]
loga bn+1 loga
较Snloga bn+1先较（1+1）（1+）……（1+）
取n1（1+1）>
取n2（1+1）（1+）>
……
推测（1+1）（1+）……（1+）> ①
①式成立数函数性质断定：
a>1时Sn>loga bn+1
0面数学纳法证明①式
（ⅰ）n1时已验证①式成立
（ⅱ）假设nk（k≥1）时①式成立
（1+1）（1+）……（1+）>
nk+1时
（1+1）（1+）……（1+）（1+）>（1+）
（3k+2）
（3k+2）>
（1+1）（1+）……（1+）（1+）>
说①式nk+1时成立
（ⅰ）（ⅱ）知①式正整数n成立
证：
a>1时Sn>loga bn+1
0
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数学（理工农医类）
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分考试120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
．选择题：题15题第1—10题题4分第11— 15题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
(1) sin600º值 ( )
(A)
(B) －
(C)
(D) －
(2) 函数ya|x|(a＞1)图 ( )
（A） （B） （C） （D）
1
1
1
(3) 曲线极坐标方程ρ4sinθ化成直角坐标方程 ( )
(A) x2＋(y＋2)24
(B) x2＋(y－2)24
(C) (x－2)2＋y24
(D) (x＋2)2＋y24
(4) 两条直线A1x＋B1y＋C10A2x＋B2y＋C20垂直充条件 ( )
(A) A1A2＋B1B20
(B) A1A2－B1B20
(C)
(D)
(5) 函数f(x)( x≠0)反函数f－1(x) ( )
(A) x(x≠0)
(B) (x≠0)
(C) －x(x≠0)
(D) －(x≠0)
(6) 已知点P(sinα－cosαtgα)第象限α取值 ( )
(A) ()∪()
(B) ()∪()
(C) ()∪()
(D) ()∪()
(7) 已知圆锥全面积底面积3倍该圆锥侧面展开图扇形圆心角 ( )
(A) 120º
(B) 150º
(C) 180º
(D) 240º
(8) 复数－i立方根i外两立方根 ( )
(A)i
(B) －i
(C) ±i
(D) ±i
h
V
H
0
(9) 果棱台两底面积分SS′中截面面积S0 ( )
(A) 2
(B) S0
(C) 2 S0S＋S′
(D)
(10) 高H水瓶中注水注满止果注水量V水深h函数关系图图示水瓶形状 ( )
(11) 3名医生6名护士分配3学校学生体检校分配1名医生2名护士．分配方法 ( )
(A) 90种
(B) 180种
(C) 270种
(D) 540种
(12) 椭圆1焦点F1F2点P椭圆果线段PF1中点y轴|P F1||P F2| ( )
(A) 7倍
(B) 5倍
(C) 4倍
(D) 3倍
(13) 球面3点中意两点球面距离等圆周长3点圆周长4π球半径 ( )
(A) 4
(B)2
(C) 2
(D)
(14) 直角三角形三角正弦值成等数列角 ( )
(A) arccos
(B) arcsin
(C) arccos
(D) arcsin
(15) 等数列{an}中a1>1前n项Sn满足Sna1取值范围 ( )
(A)(1＋∞)
(B)(14)
(C) (12)
(D)(1)
第Ⅱ卷(非选择题85分)
二填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
16．设圆双曲线顶点焦点圆心双曲线圆心双曲线中心距离_________
17．(x＋2)10(x2－1)展开式中x10系数____________（数字作答）
18．图直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中底面四边形ABCD满足条件____________时A1 C⊥B1 D1．(注：填认正确种条件必考虑情形)
19．关函数f(x)4sin(2x＋)(x∈R)列命题
①f(x1) f(x2)0x1－x2必π整数倍
②yf(x)表达式改写y4cos(2x－)
③yf(x)图关点(－0)称
④yf(x)图关直线x－称．
中正确命题序号_______ (注：认正确命题序号填．)
三解答题：题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(20)(题满分10分)
△ABC中abc分角ABC边设a＋c2bA－C．求sinB值．
公式供解题时参考：
sinθ＋sin 2sincos
sinθ－sin2cossin
cosθ＋cos2coscos
cosθ－cos－2sinsin
(21)(题满分11分)
图直线l1l2相交点Ml1 ⊥l2点N∈l1．A B端点曲线段C点l2距离点N距离相等．△AMN锐角三角形|AM||AN|3|BN|6．建立适坐标系求曲线段C方程．
(22)(题满分12分)
图处理含某种杂质污水制造底宽2米盖长方体沉淀箱污水A孔流入沉淀B孔流出．设箱体长度a米高度b米．已知流出水中该杂质质量分数ab积ab成反．现制箱材料60方米．问ab少米时沉淀流出水中该杂质质量分数(AB孔面积忽略计)．
(23)(题满分12分)
已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1侧面A1 ACC1底面ABC垂直∠ABC90ºBC2AC2AA1 ⊥A1CAA1 A1 C．
Ⅰ．求侧棱A1A底面ABC成角
Ⅱ．求侧面A1 ABB1 底面ABC成二面角
Ⅲ．求顶点C侧面A1 ABB1距离．
(24)(题满分12分)
设曲线C方程yx3－xCx轴y轴正分行移动ts单位长度曲线C1．
Ⅰ．写出曲线C1方程
Ⅱ．证明曲线CC1关点A()称
Ⅲ．果曲线CC1仅公点证明s－tt≠0．
(25)(题满分12分)
已知数列{bn}等差数列b11b1＋b2＋…＋b10145．
Ⅰ．求数列{bn}通项bn
Ⅱ．设数列{an}通项an loga(1＋)(中a＞0a≠1)记Sn数列{an}前n项．试较Snlogabn+1证明结．
1998年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（理工农医类）参考答案
选择题（题考查基知识基运算．）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D
二填空题（题考查基知识基运算．）
16． 17．179
18．ACBD推导出条件条件．例ABCD正方形菱形等
19．②③
三解答题
20．题考查正弦定理角三角函数基公式诱导公式等基础知识考查利三角公式进行恒等变形技运算力．
解：正弦定理已知条件a+c2b sinA+sinC2sinB
差化积公式2sincos2sinB
A+B+Cπ sincos
A－C cossinB
cos2sincos
0<
cos
sinB
21．题考查根条件选择适坐标系求曲线方程解析基思想．考查抛物线概念性质曲线方程关系综合运知识力．
解法：图建立坐标系l1x轴MN垂直分线y轴点O坐标原点．
题意知：曲线段C点N焦点l2准线抛物线段中AB分C端点．
设曲线段C方程
y22px（p>0）（xA≤x≤xBy>0）中xAxB分AB横坐标p|MN|
M（0）N（0）
|AM| |AN|3
（xA+）2+2pxA17 ①
（xA－）2+2pxA9 ②
①②两式联立解xA 代入①式p>0解
ΔAMN锐角三角形> xA舍
p4xA 1
点B曲线段CxB |BN|－4
综曲线段C方程
y28x（1≤x≤4y>0）
解法二：图建立坐标系分l1l2xy轴M坐标原点．
作AE l1AD l2BF l2垂足分EDF
设A（xAyA）B（xByB）N（xN0）
题意
xA |ME||DA||AN|3
yA |DM|
ΔAMN锐角三角形
xN |ME|+|EN|
|ME|+4
xB |BF||BN|6
设点P（xy）曲线段C点题意知P属集合
｛（xy）|（x－xN）2+y2x2xA≤x≤xBy>0｝
曲线段C方程
y28（x－2）（3≤x≤6y>0）
22．题考查综合应学数学知识思想方法解决实际问题力考查建立函数关系等式性质值值等基础知识．
解法：设y流出水中杂质质量分数y中k>0例系数题意求ab值y值
根题设4b+2ab+2a60（a>0b>0）
b（0
≥
a+2时取等号y达值
时a6a－10（舍）
a6代入①式b3
a6米b3米时沉淀流出水中该杂质质量分数
解法二：题意求ab值ab
题设知 4b+2ab+2a60（a>0b>0）
a+2b+ab30（a>0b>0）
a+2b≥2
+ab≤30
仅a2b时式取等号
a>0b>0解0
2b218解b3a6
a6米b3米时沉淀流出水中该杂质质量分数．
23．题考查直线直线直线面面面位置关系棱柱性质空间角距离概念逻辑思维力空间想象力运算力．
Ⅰ．解：作A1DAC垂足D面A1ACC1面ABCA1D面ABC
∠A1ADA1A面ABC成角
AA1A1CAA1A1C
∠A1AD 45º求
Ⅱ．解：作DEAB垂足E连A1EA1D面ABCA1EAB
∠A1ED面A1ABB1面ABC成二面角面角
已知ABBCED∥BC
DAC中点BC2AC2
DE1ADA1D tg∠A1ED
∠A1ED60º求
Ⅲ．解法：点C作面A1ABB1垂线垂足HCH长C面A1ABB1距离
连结HBABBCABHB
A1EAB知HB∥A1EBC∥ED
∠HBC∠A1ED60º
CHBCsin60º求
解法二：连结A1B
根定义点C面A1ABB1距离三棱锥C－A1AB高h
求
24．题考查函数图方程曲线曲线移称相交等基础知识考查运动变换等数学思想方法综合运数学知识解决问题力
Ⅰ．解：曲线C1方程
y（x－t）3－（x－t）+s
Ⅱ．证明：曲线C取点B1（x1y1）设B2（x2y2）B1关点A称点
x1t－x2 y1s－y2
代入曲线C方程x2y2满足方程：
s－y2（t－x2）3－（t－x2）
y2（x2－t）3－（x2－t）+ s
知点B2（x2y2）曲线C1
反样证明曲线C1点关点A称点曲线C
曲线CC1关点A称
Ⅲ．证明：曲线CC1仅公点方程组
仅组解
消y整理
3tx2－3t2x+（t3－t－s）0
关x元二次方程仅根
t≠0根判式
Δ9t4－12t（t3－t－s）0
t≠0
25．题考查等差数列基概念通项求法考查数函数性质考查纳推理力数学纳法进行证力
解：Ⅰ．设数列{bn}公差d题意
解
bn 3n－2
Ⅱ．bn 3n－2知
Snloga（1+1）+ loga（1+）+…+ loga（1+）
loga[（1+1）（1+）……（1+）]
loga bn+1 loga
较Snloga bn+1先较（1+1）（1+）……（1+）
取n1（1+1）>
取n2（1+1）（1+）>
……
推测（1+1）（1+）……（1+）> ①
①式成立数函数性质断定：
a>1时Sn>loga bn+1
0
（ⅰ）n1时已验证①式成立
（ⅱ）假设nk（k≥1）时①式成立
（1+1）（1+）……（1+）>
nk+1时
（1+1）（1+）……（1+）（1+）>（1+）
（3k+2）
（3k+2）>
（1+1）（1+）……（1+）（1+）>
说①式nk+1时成立
（ⅰ）（ⅱ）知①式正整数n成立
证：
a>1时Sn>loga bn+1
0
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