1999年普通高等学校招生全国统考试
数学（理工农医类）
试卷分第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分满分150分考试时间120分钟
第I卷（选择题60分）
选择题：题14题第1～10题题4分第11～14题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1图I全集MPSI3子集阴影部分表示集合 ( )
(A) （M∩P）∩S
(B) （M∩P）∪S
(C) （M∩P）∩
(D) （M∩P）∪
2已知映射：中集合
集合B中元素A中元素映射象意B中应元素集合B中元素数 ( )
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
3 函数反函数等 ( )
(A) a
(B)
(C)
(D)
4函数区间增函数函数 ( )
(A) 增函数
(B) 减函数
(C) 取值M
(D) 取值
5周期奇函数 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6极坐标系中曲线关 ( )
(A) 直线轴称
(B) 直线轴称
(C) 点中心称
(D) 极点中心称
7干毫升水倒入底面半径圆柱形器皿中量水面高度水倒入轴截面正三角形倒圆锥形器皿中水面高度 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8值 ( )
(A) 1
(B) －1
(C) 0
(D) 2
9直线截圆劣弧圆心角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
10图面体ABCDEF中已知面ABCD边长3正方形EF∥ABEFEF面AC距离2该面体体积 ( )
(A)
(B) 5
(C) 6
(D)
11 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
12果圆台底面半径5底面半径R中截面圆台分两圆台侧面积1：2R ( )
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
13已知两点出列曲线方程：
① ② ③ ④
曲线存点P满足|MP||NP|曲线方程 ( )
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
14某电脑户计划超500元资金购买单价分60元70元单片软件盒装磁盘根需软件少买3片磁盘少买2盒选购方式 ( )
(A) 5种
(B) 6种
(C) 7种
(D) 8种
第II卷（非选择题90分）
二．填空题：题4题题4分16分答案填题中横线
15设椭圆右焦点右准线垂直轴弦长等点距离椭圆率心率_____
16块排10垄田中选择2垄分种植AB两种作物种作物种植垄利作物生长求AB两种作物间隔6垄选垄方法___________种（数字作答）
17正数满足取值范围______________
18 两面面 外两条直线出四断：
①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥
中三断作条件余断作结写出认正确命题：________________________________
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
19（题满分10分）
解等式
20（题满分12分）
设复数求函数值应值
21（题满分12分）
图已知正四棱柱点棱截面∥面底面成角
Ⅰ求截面面积
Ⅱ求异面直线AC间距离
Ⅲ求三棱锥体积
22（题满分12分）
右图台冷轧机示意图冷轧机干轧辊组成带钢端输入轧辊逐步减薄输出
Ⅰ输入带钢厚度输出带钢厚度轧辊减薄率超问冷轧机少需安装少轧辊？
（轧辊减薄率）
Ⅱ已知台冷轧机4减薄率20轧辊轧辊周长均1600第轧辊缺陷滚动周带钢压出疵点冷轧机输出带钢疵点间距便检修请计算填入表（轧钢程中带钢宽度变考虑损耗）
轧锟序号
1
2
3
4
疵点间距（单位：）
1600
23（题满分14分）
已知函数图原点出发条折线时该图斜率线段（中正常数）设数列定义
Ⅰ求表达式
Ⅱ求表达式写出定义域
Ⅲ证明：图图没横坐标1交点
24（题满分14分）
图出定点直线直线动点角分线交点求点轨迹方程讨方程表示曲线类型值关系
1999年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（理工农医类）参考解答
选择题（题考查基础知识基础运算）
1 C 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 B 8 A 9 C
10 D 11B 12 D 13D 14 C
二填空题（题考查基知识基运算）
15 16 12 17
18
三解答题
19 题考查数函数性质数等式理等式解法等基础知识考查分类讨思想
①
②
③
解：原等式等价
①
②
③
时求解
时求解
20题考查复数基概念三角公式等式等基础知识考查综合运学数学知识解决问题力
解：
仅时时式取等号
时函数取值
正切函数递增函数函数取值
21题考查空间线面关系二面角距离概念逻辑思维力空间想象力运算力
Ⅰ 解：图连结BD交ACO连结EO
底面ABCD正方形
DO⊥AC
ED⊥底面AC
EO⊥AC
∠EOD面EAC底面AC成二面角面角
II 解：题设正四棱柱⊥底面AC⊥AC
⊥
异面直线AC间公垂线
∥面EAC面面EAC交线EO
∥EO
ODB中点
E中点2EO 2
异面直线AC间距离
Ⅲ 解法：图连结
DB
正方形
连结交P交EOQ
⊥EO∥
⊥EO
AC⊥EOAC⊥ED
AC⊥面
⊥AC
⊥面EAC
三棱锥高
DQPQ
三棱锥体积
解法二：连结
AO⊥面
AO三棱锥高AO
正方形中EO分DB中点（右图）
∴
三棱锥体积
22 题考查等数列数计算等基知识考查综合运数学知识方法解决实际问题力
Ⅰ解：厚度带钢减薄率均轧辊厚度
输出带钢厚度超冷轧机轧辊数（单位）应满足
式两端取数
少需安装整数轧辊
Ⅱ 解法：第轧辊出口处疵点间距离轧辊周长处出口两疵点间带钢体积
宽度
冷轧机出口处两疵点间带钢体积
宽度
宽度相等损耗体积相等
填表
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600
解法二：第3轧辊出口处疵点间距轧辊周长处出口两疵点间带钢体积冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等宽度变
理
填表
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600
23题考查函数基概念等数列数列极限基础知识考查纳推理综合力
Ⅰ解：题意时函数图斜率线段
时函数图斜率线段
记函数图中第段线段斜率
知数列等数列首项1公
Ⅱ 解：Ⅰ知时
时时Ⅰ知
求函数定义域须
进行讨
时
时趋穷
综时定义域
时定义域
Ⅲ 证法：首先证明时恒成立
数学纳法证明：
（ⅰ）Ⅱ知时
成立
（ⅱ）假设时恒成立
成立
(ⅰ)(ⅱ)知然数成立
时恒
次仿述证明知时恒成立
函数图图没横坐标1交点
证法二首先证明时恒成立
意存时
成立
次仿述证明知时恒成立
函数图图没横坐标1交点
24 题考查曲线方程直线圆锥曲线等基础知识求动点轨迹基技综合运数学知识解决问题力
解法：题意记直线OAOB方程分
设点OC分∠AOB知点COAOB距离相等根点直线距离公式
①
题设点C直线AB
②
②式代入①式
整理
点C坐标（00）满足式
综点C轨迹方程
（ⅰ）时轨迹方程化 ③
时方程③表示抛物线弧段
（ⅱ）时轨迹方程化
④
时方程④表示椭圆弧段
时方程④表示双曲线支弧段
解法二：图设D轴交点点C作CE⊥轴E垂足
（ⅰ）| BD |≠0时设点C（）
CE∥BD
∠COA∠COB
∠COD－∠BOD
－∠COA－∠BOD
2∠COA－∠BOD
整理
（ⅱ）| BD | 0时∠BOA 点C坐标（00）满足式
综合（ⅰ）（ⅱ）点C轨迹方程
解法
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数学（理工农医类）
试卷分第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分满分150分考试时间120分钟
第I卷（选择题60分）
选择题：题14题第1～10题题4分第11～14题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1图I全集MPSI3子集阴影部分表示集合 ( )
(A) （M∩P）∩S
(B) （M∩P）∪S
(C) （M∩P）∩
(D) （M∩P）∪
2已知映射：中集合
集合B中元素A中元素映射象意B中应元素集合B中元素数 ( )
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
3 函数反函数等 ( )
(A) a
(B)
(C)
(D)
4函数区间增函数函数 ( )
(A) 增函数
(B) 减函数
(C) 取值M
(D) 取值
5周期奇函数 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6极坐标系中曲线关 ( )
(A) 直线轴称
(B) 直线轴称
(C) 点中心称
(D) 极点中心称
7干毫升水倒入底面半径圆柱形器皿中量水面高度水倒入轴截面正三角形倒圆锥形器皿中水面高度 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8值 ( )
(A) 1
(B) －1
(C) 0
(D) 2
9直线截圆劣弧圆心角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
10图面体ABCDEF中已知面ABCD边长3正方形EF∥ABEFEF面AC距离2该面体体积 ( )
(A)
(B) 5
(C) 6
(D)
11 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
12果圆台底面半径5底面半径R中截面圆台分两圆台侧面积1：2R ( )
(A) 10
(B) 15
(C) 20
(D) 25
13已知两点出列曲线方程：
① ② ③ ④
曲线存点P满足|MP||NP|曲线方程 ( )
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
14某电脑户计划超500元资金购买单价分60元70元单片软件盒装磁盘根需软件少买3片磁盘少买2盒选购方式 ( )
(A) 5种
(B) 6种
(C) 7种
(D) 8种
第II卷（非选择题90分）
二．填空题：题4题题4分16分答案填题中横线
15设椭圆右焦点右准线垂直轴弦长等点距离椭圆率心率_____
16块排10垄田中选择2垄分种植AB两种作物种作物种植垄利作物生长求AB两种作物间隔6垄选垄方法___________种（数字作答）
17正数满足取值范围______________
18 两面面 外两条直线出四断：
①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥
中三断作条件余断作结写出认正确命题：________________________________
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
19（题满分10分）
解等式
20（题满分12分）
设复数求函数值应值
21（题满分12分）
图已知正四棱柱点棱截面∥面底面成角
Ⅰ求截面面积
Ⅱ求异面直线AC间距离
Ⅲ求三棱锥体积
22（题满分12分）
右图台冷轧机示意图冷轧机干轧辊组成带钢端输入轧辊逐步减薄输出
Ⅰ输入带钢厚度输出带钢厚度轧辊减薄率超问冷轧机少需安装少轧辊？
（轧辊减薄率）
Ⅱ已知台冷轧机4减薄率20轧辊轧辊周长均1600第轧辊缺陷滚动周带钢压出疵点冷轧机输出带钢疵点间距便检修请计算填入表（轧钢程中带钢宽度变考虑损耗）
轧锟序号
1
2
3
4
疵点间距（单位：）
1600
23（题满分14分）
已知函数图原点出发条折线时该图斜率线段（中正常数）设数列定义
Ⅰ求表达式
Ⅱ求表达式写出定义域
Ⅲ证明：图图没横坐标1交点
24（题满分14分）
图出定点直线直线动点角分线交点求点轨迹方程讨方程表示曲线类型值关系
1999年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（理工农医类）参考解答
选择题（题考查基础知识基础运算）
1 C 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 B 8 A 9 C
10 D 11B 12 D 13D 14 C
二填空题（题考查基知识基运算）
15 16 12 17
18
三解答题
19 题考查数函数性质数等式理等式解法等基础知识考查分类讨思想
①
②
③
解：原等式等价
①
②
③
时求解
时求解
20题考查复数基概念三角公式等式等基础知识考查综合运学数学知识解决问题力
解：
仅时时式取等号
时函数取值
正切函数递增函数函数取值
21题考查空间线面关系二面角距离概念逻辑思维力空间想象力运算力
Ⅰ 解：图连结BD交ACO连结EO
底面ABCD正方形
DO⊥AC
ED⊥底面AC
EO⊥AC
∠EOD面EAC底面AC成二面角面角
II 解：题设正四棱柱⊥底面AC⊥AC
⊥
异面直线AC间公垂线
∥面EAC面面EAC交线EO
∥EO
ODB中点
E中点2EO 2
异面直线AC间距离
Ⅲ 解法：图连结
DB
正方形
连结交P交EOQ
⊥EO∥
⊥EO
AC⊥EOAC⊥ED
AC⊥面
⊥AC
⊥面EAC
三棱锥高
DQPQ
三棱锥体积
解法二：连结
AO⊥面
AO三棱锥高AO
正方形中EO分DB中点（右图）
∴
三棱锥体积
22 题考查等数列数计算等基知识考查综合运数学知识方法解决实际问题力
Ⅰ解：厚度带钢减薄率均轧辊厚度
输出带钢厚度超冷轧机轧辊数（单位）应满足
式两端取数
少需安装整数轧辊
Ⅱ 解法：第轧辊出口处疵点间距离轧辊周长处出口两疵点间带钢体积
宽度
冷轧机出口处两疵点间带钢体积
宽度
宽度相等损耗体积相等
填表
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600
解法二：第3轧辊出口处疵点间距轧辊周长处出口两疵点间带钢体积冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等宽度变
理
填表
轧锟序号 1 2 3 4
疵点间距（单位：） 3125 2500 2000 1600
23题考查函数基概念等数列数列极限基础知识考查纳推理综合力
Ⅰ解：题意时函数图斜率线段
时函数图斜率线段
记函数图中第段线段斜率
知数列等数列首项1公
Ⅱ 解：Ⅰ知时
时时Ⅰ知
求函数定义域须
进行讨
时
时趋穷
综时定义域
时定义域
Ⅲ 证法：首先证明时恒成立
数学纳法证明：
（ⅰ）Ⅱ知时
成立
（ⅱ）假设时恒成立
成立
(ⅰ)(ⅱ)知然数成立
时恒
次仿述证明知时恒成立
函数图图没横坐标1交点
证法二首先证明时恒成立
意存时
成立
次仿述证明知时恒成立
函数图图没横坐标1交点
24 题考查曲线方程直线圆锥曲线等基础知识求动点轨迹基技综合运数学知识解决问题力
解法：题意记直线OAOB方程分
设点OC分∠AOB知点COAOB距离相等根点直线距离公式
①
题设点C直线AB
②
②式代入①式
整理
点C坐标（00）满足式
综点C轨迹方程
（ⅰ）时轨迹方程化 ③
时方程③表示抛物线弧段
（ⅱ）时轨迹方程化
④
时方程④表示椭圆弧段
时方程④表示双曲线支弧段
解法二：图设D轴交点点C作CE⊥轴E垂足
（ⅰ）| BD |≠0时设点C（）
CE∥BD
∠COA∠COB
∠COD－∠BOD
－∠COA－∠BOD
2∠COA－∠BOD
整理
（ⅱ）| BD | 0时∠BOA 点C坐标（00）满足式
综合（ⅰ）（ⅱ）点C轨迹方程
解法
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