1996年普通高等学校招生全国统考试
数学(理工农医类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷12页．第Ⅱ卷38页．150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡．
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷．
3．考试结束监考试卷答题卡收回．
．选择题：题15题第1—10题题4分第11—15题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
(1) 已知全集IN集合A{x│x2nn∈N}B{x│x4nn∈N} ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) a>1时坐标系中函数ya－xylogax图 ( )
(3) sin2x>cos2xx取值范围 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 复数等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 果直线面满足：∥⊥必 ( )
(A)α⊥γl⊥m (B)α⊥γm∥β
(C)m∥βl⊥m (D)α∥βα⊥γ
(6) ( )
(A) 值1值－1
(B) 值1值－
(C) 值2值－2
(D) 值2值－1
(7) 椭圆两焦点坐标 ( )
(A) (－35)(－3－3)
(B) (33)(3－5)
(C) (11)(－71)
(D) (7－1)(－1－1)
等 ( )
(A)
(B) －
(C) －2
(D) －－2
(9) 边长a正方形ABCD角线AC折起BDa三棱锥D－ABC体积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 等数列首项a1－1前n项S n 等 ( )
(A)
(B) －
(C) 2
(D) －2
(11) 椭圆极坐标方程短轴两顶点极坐标
( )
(A) (30)(1)
(B) ()()
(C) (2)(2)
(D) ()()
(12) 等差数列前m项30前2m项100前3m项 ( )
(A) 130
(B) 170
(C) 210
(D) 260
(13) 设双曲线半焦距c直线l两点已知原点直线l距离双曲线离心率 ( )
(A) 2
(B)
(C)
(D)
(14) 母线长1圆锥体积时侧面展开图圆心角等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(15) 设f(x)(－∞+∞)奇函数f(x+2)－f(x)0≤x≤1时f(x)xf(75)
等 ( )
(A) 05
(B) －05
(C) 15
(D) －15
第Ⅱ卷(非选择题85分)
二．填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
(16)已知圆抛物线准线相切P
(17)正六边形中心顶点7点中3点顶点三角形 （数字作答）
(18) 值
(19)图正方形ABCD面正方形ABEF面成60°二面角异面直线ADBF成角余弦值
三．解答题：题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(20)解等式．
(21)已知△ABC三角ABC满足：求值．
22．图正三棱柱ABC－A1B1C1中E∈BB1截面A1EC⊥侧面AC1．
(Ⅰ)求证：BEEB1
(Ⅱ)AA1A1B1求面A1EC面A1B1C1成二面角(锐角)度数．
注意：面横线填写适容成(Ⅰ)完整证明解答(Ⅱ)．(右图)
(Ⅰ)证明：截面A1ECE作EG⊥A1CG垂足．
① ∵
∴EG⊥侧面AC1取AC中点F连结BFFGABBCBF⊥AC
② ∵
∴BF⊥侧面AC1BF∥EGBFEG确定面交侧面AC1FG．
③ ∵
∴BE∥FG四边形BEGF行四边形BEFG
④ ∵
∴FG∥AA1△AA1C∽△FGC
⑤ ∵
∴
23．某现耕10000公顷规划10年粮食单产现增加22均粮食占量现提高10．果口年增长率1耕均年减少少公顷（精确1公顷）
（粮食单产均粮食占量）
24．已知l1l2点两条互相垂直直线l1l2双曲线两交点分A1B1A2B2．
(Ⅰ)求l1斜率k1取值范围
(Ⅱ)l2方程
25．已知abc实数函数f(x)ax2+bx+cg(x)ax+b－1≤x≤1时│f(x)│≤1．
(Ⅰ)证明：│c│≤1
(Ⅱ)证明：－1≤x≤1时│g(x)│≤2
(Ⅲ)设a>0－1≤x≤1时g(x)值2求f(x)．
1996年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答评分标准
说明：
．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
二．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
三．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
四．整数分数．选择题填空题中间分．
．选择题：题考查基知识基运算．第(1)－(10)题题4分第(11)－(15)题题5分．满分65分．
(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B
二．填空题：题考查基知识基运算．题4分满分16分．
（16）2 （17）32 （18） （19）
三．解答题
(20)题考查数函数性质数等式解法分类讨方法运算力．满分11分．
解：(Ⅰ)a＞1时原等式等价等式组：
——2分
．
1－a<0x<0
∴ ——5分
(Ⅱ)0——7分
①
②
①x>1x<0
②
∴ ——10分
综时等式解集
时等式解集 ——11分
(21)题考查三角函数基础知识利三角公式进行恒等变形运算力．满分12分．
解法：题设条件知B60°A+C120°． ——2分
∵
∴
式化
利差化积积化差公式式化
——6分
代入式
代入式整理
——9分
∵
∴
——12分
解法二：题设条件知B60°A+C120°．
设 ——3分
——7分
题设条件
∵
∴
整理 ——9分
∵
∴．
． ——12分
(22)题考查空间线面关系正三棱柱性质逻辑思维力空间想象力运算力．满分12分．
(Ⅰ) ①∵面A1EC⊥侧面AC1 ——2分
②∵面ABC⊥侧面AC1 ——3分
③∵BE∥侧面AC1 ——4分
④∵BE∥AA1 ——5分
⑤∵AFFC ——6分
(Ⅱ)解：分延长CEC1B1交点D连结A1D．
∵∥
∴
∵∠B1A1C1∠B1 C1A160°
∠DA1B1∠A1DB1（180°－∠D B1A1）30°
∴∠DA1C1∠DA1B1+∠B1A1C190°⊥ ——9分
∵CC1⊥面A1C1B1A1C1A1C面A1C1D射影根三垂线定理DA1⊥A1C
∠CA1C1求二面角面角． ——11分
∵CC1AA1A1B1A1C1∠A1C1C90°
∴∠CA1C145°求二面角45° ——12分
(23)题考查运数学知识方法解决实际问题力指数函数二项式定理应似计算方法力．满分10分．
解：设耕均年减少x公顷设该区现口P粮食单产M吨公顷．
题意等式
——5分
化简 ——7分
∵
—— 9分
∴x≤4（公顷）．
答：规划该区耕均年减少4公顷． ——10分
(24)题考查直线双曲线性质解析基思想综合运知识力．满分12分．
解：（I）题设l1l2斜率存l1点P双曲线两交点方程组
① ——1分
两解．方程组①中消y整理
②
方程组①解l1双曲线交点题设矛盾方程②判式
设斜率点双曲线两交点方程组
③
两解．方程组③中消y整理
④
理
l1⊥l2k1·k2－1． ——4分
l1l2双曲线两交点等价
解 ——6分
∴ ——7分
(Ⅱ)设方程②知
∴│A1B1│2(x1－x2)2+(y1－y2)2
⑤ ——9分
理方程④求整理 ⑥
⑤⑥代入式
解
取时
取时． ——12分
(25)题考查函数性质含绝值等式性质综合运数学知识分析问题解决问题力．满分12分．
(Ⅰ)证明：条件－1≤x≤1时│f(x)│≤1取x0
│c││f(0)│≤1
│c│≤1． ——2分
(Ⅱ)证法：
a>0时g(x)ax+b[－11]增函数
∴g(－1)≤g(x)≤g(1)
∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)│c│≤1
∴g(1)a+bf(1)－c≤│f(1)│+│c│≤2
g(－1)－a+b－f(－1)+c≥－(│f(－1)│+│c│)≥－2
│g(x)│≤2 ——5分
a<0时g(x)ax+b[－11]减函数
∴g(－1)≥g(x)≥g(1)
∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)│c│≤1
∴g(－1)－a+b－f(－1)+c≤│f(－1)│+│c│≤2
g(1)a+bf(1)－c≥－(│f(1)│+│c│)≥－2
│g(x)│≤2 ——7分
a0时g(x)bf(x)bx+c．
∵－1≤x≤1
∴│g(x)││f(1)－c│≤│f(1)│+│c│≤2．
综│g(x)│≤2． ——8分
证法二：
——6分
－1≤x≤1时
根含绝值等式性质
│g(x)│≤2． ——8分
(Ⅲ)a>0g(x)[－11]增函数x1时取值2
g(1)a+bf(1)－f(0)2． ①
∵－1≤f(0)f(1)－2≤1－2－1
∴cf(0)－1． ——10分
－1≤x≤1时f(x)≥－1f(x)≥f(0)
根二次函数性质直线x0f(x)图称轴
① a2．
f(x)2x2－1． ——12分
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数学(理工农医类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷12页．第Ⅱ卷38页．150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡．
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷．
3．考试结束监考试卷答题卡收回．
．选择题：题15题第1—10题题4分第11—15题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
(1) 已知全集IN集合A{x│x2nn∈N}B{x│x4nn∈N} ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) a>1时坐标系中函数ya－xylogax图 ( )
(3) sin2x>cos2xx取值范围 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 复数等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 果直线面满足：∥⊥必 ( )
(A)α⊥γl⊥m (B)α⊥γm∥β
(C)m∥βl⊥m (D)α∥βα⊥γ
(6) ( )
(A) 值1值－1
(B) 值1值－
(C) 值2值－2
(D) 值2值－1
(7) 椭圆两焦点坐标 ( )
(A) (－35)(－3－3)
(B) (33)(3－5)
(C) (11)(－71)
(D) (7－1)(－1－1)
等 ( )
(A)
(B) －
(C) －2
(D) －－2
(9) 边长a正方形ABCD角线AC折起BDa三棱锥D－ABC体积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 等数列首项a1－1前n项S n 等 ( )
(A)
(B) －
(C) 2
(D) －2
(11) 椭圆极坐标方程短轴两顶点极坐标
( )
(A) (30)(1)
(B) ()()
(C) (2)(2)
(D) ()()
(12) 等差数列前m项30前2m项100前3m项 ( )
(A) 130
(B) 170
(C) 210
(D) 260
(13) 设双曲线半焦距c直线l两点已知原点直线l距离双曲线离心率 ( )
(A) 2
(B)
(C)
(D)
(14) 母线长1圆锥体积时侧面展开图圆心角等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(15) 设f(x)(－∞+∞)奇函数f(x+2)－f(x)0≤x≤1时f(x)xf(75)
等 ( )
(A) 05
(B) －05
(C) 15
(D) －15
第Ⅱ卷(非选择题85分)
二．填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
(16)已知圆抛物线准线相切P
(17)正六边形中心顶点7点中3点顶点三角形 （数字作答）
(18) 值
(19)图正方形ABCD面正方形ABEF面成60°二面角异面直线ADBF成角余弦值
三．解答题：题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(20)解等式．
(21)已知△ABC三角ABC满足：求值．
22．图正三棱柱ABC－A1B1C1中E∈BB1截面A1EC⊥侧面AC1．
(Ⅰ)求证：BEEB1
(Ⅱ)AA1A1B1求面A1EC面A1B1C1成二面角(锐角)度数．
注意：面横线填写适容成(Ⅰ)完整证明解答(Ⅱ)．(右图)
(Ⅰ)证明：截面A1ECE作EG⊥A1CG垂足．
① ∵
∴EG⊥侧面AC1取AC中点F连结BFFGABBCBF⊥AC
② ∵
∴BF⊥侧面AC1BF∥EGBFEG确定面交侧面AC1FG．
③ ∵
∴BE∥FG四边形BEGF行四边形BEFG
④ ∵
∴FG∥AA1△AA1C∽△FGC
⑤ ∵
∴
23．某现耕10000公顷规划10年粮食单产现增加22均粮食占量现提高10．果口年增长率1耕均年减少少公顷（精确1公顷）
（粮食单产均粮食占量）
24．已知l1l2点两条互相垂直直线l1l2双曲线两交点分A1B1A2B2．
(Ⅰ)求l1斜率k1取值范围
(Ⅱ)l2方程
25．已知abc实数函数f(x)ax2+bx+cg(x)ax+b－1≤x≤1时│f(x)│≤1．
(Ⅰ)证明：│c│≤1
(Ⅱ)证明：－1≤x≤1时│g(x)│≤2
(Ⅲ)设a>0－1≤x≤1时g(x)值2求f(x)．
1996年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(理工农医类)参考解答评分标准
说明：
．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
二．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
三．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
四．整数分数．选择题填空题中间分．
．选择题：题考查基知识基运算．第(1)－(10)题题4分第(11)－(15)题题5分．满分65分．
(1)C (2)A (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)A (9)D (10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B
二．填空题：题考查基知识基运算．题4分满分16分．
（16）2 （17）32 （18） （19）
三．解答题
(20)题考查数函数性质数等式解法分类讨方法运算力．满分11分．
解：(Ⅰ)a＞1时原等式等价等式组：
——2分
．
1－a<0x<0
∴ ——5分
(Ⅱ)0
①
②
①x>1x<0
②
∴ ——10分
综时等式解集
时等式解集 ——11分
(21)题考查三角函数基础知识利三角公式进行恒等变形运算力．满分12分．
解法：题设条件知B60°A+C120°． ——2分
∵
∴
式化
利差化积积化差公式式化
——6分
代入式
代入式整理
——9分
∵
∴
——12分
解法二：题设条件知B60°A+C120°．
设 ——3分
——7分
题设条件
∵
∴
整理 ——9分
∵
∴．
． ——12分
(22)题考查空间线面关系正三棱柱性质逻辑思维力空间想象力运算力．满分12分．
(Ⅰ) ①∵面A1EC⊥侧面AC1 ——2分
②∵面ABC⊥侧面AC1 ——3分
③∵BE∥侧面AC1 ——4分
④∵BE∥AA1 ——5分
⑤∵AFFC ——6分
(Ⅱ)解：分延长CEC1B1交点D连结A1D．
∵∥
∴
∵∠B1A1C1∠B1 C1A160°
∠DA1B1∠A1DB1（180°－∠D B1A1）30°
∴∠DA1C1∠DA1B1+∠B1A1C190°⊥ ——9分
∵CC1⊥面A1C1B1A1C1A1C面A1C1D射影根三垂线定理DA1⊥A1C
∠CA1C1求二面角面角． ——11分
∵CC1AA1A1B1A1C1∠A1C1C90°
∴∠CA1C145°求二面角45° ——12分
(23)题考查运数学知识方法解决实际问题力指数函数二项式定理应似计算方法力．满分10分．
解：设耕均年减少x公顷设该区现口P粮食单产M吨公顷．
题意等式
——5分
化简 ——7分
∵
—— 9分
∴x≤4（公顷）．
答：规划该区耕均年减少4公顷． ——10分
(24)题考查直线双曲线性质解析基思想综合运知识力．满分12分．
解：（I）题设l1l2斜率存l1点P双曲线两交点方程组
① ——1分
两解．方程组①中消y整理
②
方程组①解l1双曲线交点题设矛盾方程②判式
设斜率点双曲线两交点方程组
③
两解．方程组③中消y整理
④
理
l1⊥l2k1·k2－1． ——4分
l1l2双曲线两交点等价
解 ——6分
∴ ——7分
(Ⅱ)设方程②知
∴│A1B1│2(x1－x2)2+(y1－y2)2
⑤ ——9分
理方程④求整理 ⑥
⑤⑥代入式
解
取时
取时． ——12分
(25)题考查函数性质含绝值等式性质综合运数学知识分析问题解决问题力．满分12分．
(Ⅰ)证明：条件－1≤x≤1时│f(x)│≤1取x0
│c││f(0)│≤1
│c│≤1． ——2分
(Ⅱ)证法：
a>0时g(x)ax+b[－11]增函数
∴g(－1)≤g(x)≤g(1)
∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)│c│≤1
∴g(1)a+bf(1)－c≤│f(1)│+│c│≤2
g(－1)－a+b－f(－1)+c≥－(│f(－1)│+│c│)≥－2
│g(x)│≤2 ——5分
a<0时g(x)ax+b[－11]减函数
∴g(－1)≥g(x)≥g(1)
∵│f(x)│≤1 (－1≤x≤1)│c│≤1
∴g(－1)－a+b－f(－1)+c≤│f(－1)│+│c│≤2
g(1)a+bf(1)－c≥－(│f(1)│+│c│)≥－2
│g(x)│≤2 ——7分
a0时g(x)bf(x)bx+c．
∵－1≤x≤1
∴│g(x)││f(1)－c│≤│f(1)│+│c│≤2．
综│g(x)│≤2． ——8分
证法二：
——6分
－1≤x≤1时
根含绝值等式性质
│g(x)│≤2． ——8分
(Ⅲ)a>0g(x)[－11]增函数x1时取值2
g(1)a+bf(1)－f(0)2． ①
∵－1≤f(0)f(1)－2≤1－2－1
∴cf(0)－1． ——10分
－1≤x≤1时f(x)≥－1f(x)≥f(0)
根二次函数性质直线x0f(x)图称轴
① a2．
f(x)2x2－1． ——12分
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