1997年普通高等学校招生全国统考试
数学(文史类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷12页．第Ⅱ卷38页．150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡．
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷．
3．考试结束监考试卷答题卡收回．
选择题：题15题第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
(1) 设集合M{x|0≤x<2}集合N{x|x2－2x－3<0}集合M∩N ( )
(A) {x|0≤x<1}
(B) {x|0≤x<2}
(C) {x|0≤x≤1}
(D) {x|0≤x≤2}
(2) 果直线ax+2y+20直线3x－y－20行系数a ( )
(A) －3
(B) －6
(C) －
(D)
(3) 函数ytg周期图 ( )
(4) 已知三棱锥D—ABC三侧面底面全等ABACBC2BC棱面BCD面BCA面二面角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 函数ysin(－2x)+sin2x正周期 ( )
(A)
(B)π
(C) 2π
(D) 4π
(6) 满足tg a≥ctg a角a取值区间 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 设函数yf(x)定义实数集函数yf(x－1)yf(1－x)图关 ( )
(A) 直线y0称
(B) 直线x0称
(C) 直线y1称
(D) 直线x1称
(8) 长方体顶点三条棱长分345八顶点球面球表面积 ( )
(A) 20π
(B) 25π
(C) 50π
(D) 200π
(9) 果直线l圆：x2+y2－2x－4y0分通第四象限l斜率取值范围 ( )
(A) [02]
(B) [01]
(C) [0]
(D)
(10) 函数ycos2x－3cosx+2值 ( )
(A) 2
(B) 0
(C) －
(D) 6
(11) 椭圆C椭圆关直线x+y0称椭圆C方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12) 圆台底面积分π4π侧面积6π圆台体积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(13) 定义区间(－∞+∞)奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间图f(x)图重合．设a>b>0出列等式 ( )
① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)② f(b)－f(－a) < g(a)－g(－b)
③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)④ f(a)－f(－b)(A) ①④
(B) ②③
(C) ①③
(D) ②④
(14) 等式组解集 ( )
(A) {x|0(B) {x|0(C) {x|0(D) {x|0(15) 四面体顶点A顶点棱中点中取3点点A面取法 ( )
(A) 30种
(B) 33种
(C) 36种
(D) 39种
第Ⅱ卷(非选择题 85分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷6页钢笔圆珠笔直接答试题卷中．
2．答卷前密封线项目填写清楚．
二填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
(16)已知展开式中x3系数常数a值___________
(17)已知直线x－y2抛物线y24x交AB两点线段中点坐标_______
(18)值__________
(19)已知ml直线αβ面出列命题：
①l垂直α两条相交直线l⊥α
②l行αl行α直线
③mαlβl⊥mα⊥β
④lβl⊥αα⊥β
⑤mαlβα∥βm∥l．
中正确命题序号___________ (注：认正确命题序号填)
三解答题：题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(20)(题满分10分)
已知复数．求复数模辐角值．
(21)(题满分11分)
设Sn等差数列{an}前n项．已知等中项等差中项1．求等差数列{an}通项an．
(22)(题满分12分)
甲乙两相距s千米汽车甲匀速行驶乙速度超c千米时．已知汽车时运输成(元单位)变部分固定部分组成：变部分速度v(千米时)方成正例系数b固定部分a元．
(Ⅰ)全程运输成y(元)表示速度v(千米时)函数指出函数定义域
(Ⅱ)全程运输成汽车应速度行驶？
(23)(题满分12分)
图正方体ABCD－A1B1C1D1中EF分BB1CD中点．
(Ⅰ)证明AD⊥D1F
(Ⅱ)求AED1F成角
(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1
(Ⅳ)设AA12求三棱锥E－AA1F体积．
(24)(题满分12分)
已知原点O条直线函数ylog8x图交AB两点分点AB作y轴行线函数ylog2x图交CD两点．
(Ⅰ)证明点CD原点O条直线
(Ⅱ)BC行x轴时求点A坐标．
(25)(题满分12分)
已知圆满足：①截y轴弦长2②x轴分成两段圆弧弧长3：1③圆心直线l：x－2y0距离．求该圆方程．
1997年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(文史类)参考解答评分标准
说明：
．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
二．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
三．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
四．整数分数．选择题填空题中间分．
选择题：题考查基知识基运算．第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分．满分65分．
(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B
二填空题：题考查基知识基运算．题4分满分16分．
(16)4 (17) (42) (18)2－ (19)①④
注：第(19)题填漏填错填均0分．
三解答题
(20)题考查复数基概念复数运算等基础知识考查利三角公式进行变形技运算力．满分10分．
解法：已知复数化复数三角形式：
题意zω+zω3
(cos+isin)+(cos+isin)
(cos+cos)+i(sin+sin)
2cos(cos+isin)
复数zω+zω3模辐角值．
解法二：zω+zω3
zω(1+ω2)
(+i)(+i)(1+i)
(－i+i)
(cos+isin)
(21)题考查等差数列等数列方程组等基础知识考查运算力．满分11分．
解：设等差数列{an}首项a1a公差d通项
an a+(n－1)d
前n项
题意
中S5≠0．
整理
解方程组
an1
an4－(n－1)
－n．
验证知时an1S55时S5－4均适合题意．
求等差数列通项an1．
(22)题考查建立函数关系等式性质值值等基础知识考查综合应学数学知识思想方法解决实际问题力．满分12分．
解：(1)题意知汽车甲匀速行驶乙时间全程运输成
ya·+bv2·S(+bv)
求函数定义域
y S(+bv)v∈
(Ⅱ)题意知Sabv正数
S(+bv)≥2．
仅时式中等号成立．
时全程运输成y．
时
S(+bv)－S(+bc) S[(－)+(bv－bc)](c－v)(a－bcv)．
c－v≥0a>bc2
a－bcv≥a－bc2>0
S(+bv)≥S(+bc)仅vc时等号成立．
vc时全程运输成y．
综知全程运输成y时行驶速度应时行驶速度应．
(23)题考查直线直线直线面面面位置关系考查逻辑推理空间想象力．满分12分．
解：(Ⅰ) ∵ AC1正方体
∴ AD⊥面DC1．
D1F面DC1
∴ AD⊥D1F．
(Ⅱ)取AB中点G连结A1GFG．
FCD中点GFAD行相等A1D1AD行相等GFA1D1行相等GFD1A1行四边形
A1G∥D1F．
设A1GAE相交点H∠AHA1AED1F成角．
EBB1中点
Rt△A1AG≌Rt△ABE∠GA1A∠GAH
∠AHA190º
直线AED1F成角直角．
(Ⅲ)(Ⅰ)知AD⊥D1F(Ⅱ)知AE⊥D1FAD∩AEA
D1F⊥面AED．
D1F面A1FD1面AED⊥面A1FD1．
(Ⅳ)∵ 体积
FG⊥面ABB1A1三棱锥F－AA1E高FGAA12
面积 S□×222．
∴××FG×2×2
(24)题考查数函数图数换底公式数方程指数方程等基础知识考查运算力分析问题力满分12分．
解：(Ⅰ)设点AB横坐标分x1x2题设知x1>1x2>1．点AB坐标分log8x1log8x2．
AB点O直线
点CD坐标分(x1log2x1)(x2log2x2)．
log2x1－3 log8x1
log2x23log8x2
OC斜率
OD斜率 ．
知k1k2
OCD条直线．
(Ⅱ)BC行x轴知
log2x1 log8x2
log2x1log2x2
∴ x2．
代入x2log8x1x1log8x2
log8x13x1log8x1．
x1>1知log8x1≠0
∴ 3x1．
考虑x1>1解x1．
点A坐标(log8)．
(25)题考查轨迹思想考查综合运知识建立曲线方程力．满分12分．
解：设圆P圆心P(ab)半径点Px轴y轴距离分|b||a|．题设知圆P截x轴劣弧圆心角90º知圆P截x轴弦长．
r22b2
圆Py轴截弦长2
r2a2+1．
2b2－a21．
P(ab)直线x－2y0距离
a－2b±1
解方程组
r22b22
求圆方程
(x+1)2+(y+1)22(x－1)2+(y－1)22．
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数学(文史类)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷12页．第Ⅱ卷38页．150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题65分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前考生务必姓名准考证号考试科目铅笔涂写答题卡．
2．题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案答试题卷．
3．考试结束监考试卷答题卡收回．
选择题：题15题第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分65分．题出四选项中项符合题目求
(1) 设集合M{x|0≤x<2}集合N{x|x2－2x－3<0}集合M∩N ( )
(A) {x|0≤x<1}
(B) {x|0≤x<2}
(C) {x|0≤x≤1}
(D) {x|0≤x≤2}
(2) 果直线ax+2y+20直线3x－y－20行系数a ( )
(A) －3
(B) －6
(C) －
(D)
(3) 函数ytg周期图 ( )
(4) 已知三棱锥D—ABC三侧面底面全等ABACBC2BC棱面BCD面BCA面二面角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5) 函数ysin(－2x)+sin2x正周期 ( )
(A)
(B)π
(C) 2π
(D) 4π
(6) 满足tg a≥ctg a角a取值区间 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 设函数yf(x)定义实数集函数yf(x－1)yf(1－x)图关 ( )
(A) 直线y0称
(B) 直线x0称
(C) 直线y1称
(D) 直线x1称
(8) 长方体顶点三条棱长分345八顶点球面球表面积 ( )
(A) 20π
(B) 25π
(C) 50π
(D) 200π
(9) 果直线l圆：x2+y2－2x－4y0分通第四象限l斜率取值范围 ( )
(A) [02]
(B) [01]
(C) [0]
(D)
(10) 函数ycos2x－3cosx+2值 ( )
(A) 2
(B) 0
(C) －
(D) 6
(11) 椭圆C椭圆关直线x+y0称椭圆C方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12) 圆台底面积分π4π侧面积6π圆台体积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(13) 定义区间(－∞+∞)奇函数f(x)增函数偶函数g(x)区间图f(x)图重合．设a>b>0出列等式 ( )
① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)② f(b)－f(－a) < g(a)－g(－b)
③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)④ f(a)－f(－b)
(B) ②③
(C) ①③
(D) ②④
(14) 等式组解集 ( )
(A) {x|0
(A) 30种
(B) 33种
(C) 36种
(D) 39种
第Ⅱ卷(非选择题 85分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷6页钢笔圆珠笔直接答试题卷中．
2．答卷前密封线项目填写清楚．
二填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
(16)已知展开式中x3系数常数a值___________
(17)已知直线x－y2抛物线y24x交AB两点线段中点坐标_______
(18)值__________
(19)已知ml直线αβ面出列命题：
①l垂直α两条相交直线l⊥α
②l行αl行α直线
③mαlβl⊥mα⊥β
④lβl⊥αα⊥β
⑤mαlβα∥βm∥l．
中正确命题序号___________ (注：认正确命题序号填)
三解答题：题6题69分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(20)(题满分10分)
已知复数．求复数模辐角值．
(21)(题满分11分)
设Sn等差数列{an}前n项．已知等中项等差中项1．求等差数列{an}通项an．
(22)(题满分12分)
甲乙两相距s千米汽车甲匀速行驶乙速度超c千米时．已知汽车时运输成(元单位)变部分固定部分组成：变部分速度v(千米时)方成正例系数b固定部分a元．
(Ⅰ)全程运输成y(元)表示速度v(千米时)函数指出函数定义域
(Ⅱ)全程运输成汽车应速度行驶？
(23)(题满分12分)
图正方体ABCD－A1B1C1D1中EF分BB1CD中点．
(Ⅰ)证明AD⊥D1F
(Ⅱ)求AED1F成角
(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1
(Ⅳ)设AA12求三棱锥E－AA1F体积．
(24)(题满分12分)
已知原点O条直线函数ylog8x图交AB两点分点AB作y轴行线函数ylog2x图交CD两点．
(Ⅰ)证明点CD原点O条直线
(Ⅱ)BC行x轴时求点A坐标．
(25)(题满分12分)
已知圆满足：①截y轴弦长2②x轴分成两段圆弧弧长3：1③圆心直线l：x－2y0距离．求该圆方程．
1997年普通高等学校招生全国统考试
数学试题(文史类)参考解答评分标准
说明：
．解答指出题考查知识力出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
二．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
三．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
四．整数分数．选择题填空题中间分．
选择题：题考查基知识基运算．第(1)—(10)题题4分第(11)—(15)题题5分．满分65分．
(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B
二填空题：题考查基知识基运算．题4分满分16分．
(16)4 (17) (42) (18)2－ (19)①④
注：第(19)题填漏填错填均0分．
三解答题
(20)题考查复数基概念复数运算等基础知识考查利三角公式进行变形技运算力．满分10分．
解法：已知复数化复数三角形式：
题意zω+zω3
(cos+isin)+(cos+isin)
(cos+cos)+i(sin+sin)
2cos(cos+isin)
复数zω+zω3模辐角值．
解法二：zω+zω3
zω(1+ω2)
(+i)(+i)(1+i)
(－i+i)
(cos+isin)
(21)题考查等差数列等数列方程组等基础知识考查运算力．满分11分．
解：设等差数列{an}首项a1a公差d通项
an a+(n－1)d
前n项
题意
中S5≠0．
整理
解方程组
an1
an4－(n－1)
－n．
验证知时an1S55时S5－4均适合题意．
求等差数列通项an1．
(22)题考查建立函数关系等式性质值值等基础知识考查综合应学数学知识思想方法解决实际问题力．满分12分．
解：(1)题意知汽车甲匀速行驶乙时间全程运输成
ya·+bv2·S(+bv)
求函数定义域
y S(+bv)v∈
(Ⅱ)题意知Sabv正数
S(+bv)≥2．
仅时式中等号成立．
时全程运输成y．
时
S(+bv)－S(+bc) S[(－)+(bv－bc)](c－v)(a－bcv)．
c－v≥0a>bc2
a－bcv≥a－bc2>0
S(+bv)≥S(+bc)仅vc时等号成立．
vc时全程运输成y．
综知全程运输成y时行驶速度应时行驶速度应．
(23)题考查直线直线直线面面面位置关系考查逻辑推理空间想象力．满分12分．
解：(Ⅰ) ∵ AC1正方体
∴ AD⊥面DC1．
D1F面DC1
∴ AD⊥D1F．
(Ⅱ)取AB中点G连结A1GFG．
FCD中点GFAD行相等A1D1AD行相等GFA1D1行相等GFD1A1行四边形
A1G∥D1F．
设A1GAE相交点H∠AHA1AED1F成角．
EBB1中点
Rt△A1AG≌Rt△ABE∠GA1A∠GAH
∠AHA190º
直线AED1F成角直角．
(Ⅲ)(Ⅰ)知AD⊥D1F(Ⅱ)知AE⊥D1FAD∩AEA
D1F⊥面AED．
D1F面A1FD1面AED⊥面A1FD1．
(Ⅳ)∵ 体积
FG⊥面ABB1A1三棱锥F－AA1E高FGAA12
面积 S□×222．
∴××FG×2×2
(24)题考查数函数图数换底公式数方程指数方程等基础知识考查运算力分析问题力满分12分．
解：(Ⅰ)设点AB横坐标分x1x2题设知x1>1x2>1．点AB坐标分log8x1log8x2．
AB点O直线
点CD坐标分(x1log2x1)(x2log2x2)．
log2x1－3 log8x1
log2x23log8x2
OC斜率
OD斜率 ．
知k1k2
OCD条直线．
(Ⅱ)BC行x轴知
log2x1 log8x2
log2x1log2x2
∴ x2．
代入x2log8x1x1log8x2
log8x13x1log8x1．
x1>1知log8x1≠0
∴ 3x1．
考虑x1>1解x1．
点A坐标(log8)．
(25)题考查轨迹思想考查综合运知识建立曲线方程力．满分12分．
解：设圆P圆心P(ab)半径点Px轴y轴距离分|b||a|．题设知圆P截x轴劣弧圆心角90º知圆P截x轴弦长．
r22b2
圆Py轴截弦长2
r2a2+1．
2b2－a21．
P(ab)直线x－2y0距离
a－2b±1
解方程组
r22b22
求圆方程
(x+1)2+(y+1)22(x－1)2+(y－1)22．
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