2014·全国卷(文科数学)
1．[2014·全国卷] 设集合M＝{12468}N＝{123567}M∩N中元素数( )
A．2 B．3
C．5 D．7
1．B [解析] 根题意知M∩N＝{12468}∩{123567}＝{126}M∩N中元素数3
2．[2014·全国卷] 已知角α终边点(－43)cos α＝( )
A B
C．－ D．－
2．D [解析] 根题意cos α＝＝－
3．[2014·全国卷] 等式组解集( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
3．C [解析] 04．[2014·全国卷] 已知正四面体ABCD中EAB中点异面直线CEBD成角余弦值( )
A B
C D
4．B [解析] 图示取AD中点F连接EFCFEF∥BDEFCE成角异面直线CEBD成角．设正四面体棱长2CE＝CF＝EF＝1△CEF中cos ∠CEF＝＝＝异面直线CEBD成角余弦值
5．[2014·全国卷] 函数y＝ln(＋1)(x＞－1)反函数( )
A．y＝(1－ex)3(x＞－1)
B．y＝(ex－1)3(x＞－1)
C．y＝(1－ex)3(x∈R)
D．y＝(ex－1)3(x∈R)
5．D [解析] y＝ln(＋1)x＝(ey－1)3x>－1y∈R函数y＝ln(＋1)(x>－1)反函数y＝(ex－1)3(x∈R)．
6．[2014·全国卷] 已知ab单位量夹角60°(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
6．B [解析] ab单位量夹角60°(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0
7．[2014·全国卷] 6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
7．C [解析] 题意6名男医生中选出2名5名女医生中选出1名组成医疗组选法CC＝75(种)．
8．[2014·全国卷] 设等数列{an}前n项SnS2＝3S4＝15S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
8．C [解析] 设等数列{an}首项a公q易知q≠1根题意解q2＝4＝－1S6＝＝(－1)(1－43)＝63
9．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点．△AF1B周长4 C方程( )
A＋＝1 B＋y2＝1
C＋＝1 D＋＝1
9．A [解析] 根题意△AF1B周长4|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4a＝椭圆离心率e＝＝c＝1b2＝a2－c2＝3－1＝2椭圆C方程＋＝1
10．[2014·全国卷] 正四棱锥顶点球面．该棱锥高4底面边长2该球表面积( )
A B．16π
C．9π D
10．A [解析] 图示正四棱锥底面边长2AE＝AC＝设球心O球半径ROE＝4－ROA＝R△AOE直角三角形OA2＝OE2＋AE
2R2＝(4－R)2＋2解R＝该球表面积S＝4πR2＝4π2＝
11．[2014·全国卷] 双曲线C：－＝1(a＞0b＞0)离心率2焦点渐线距离C焦距等( )
A．2 B．2
C．4 D．4
11．C [解析] 易知双曲线－＝1渐线方程y＝±x妨设焦点(c0)中条渐线x－y＝0距离＝整理b＝双曲线C离心率e＝＝2c2＝a2＋b2c＝22c＝4双曲线C焦距等4
12．[2014·全国卷] 奇函数f(x)定义域Rf(x＋2)偶函数f(1)＝1f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
12．D [解析] f(x＋2)偶函数称轴直线x＝0函数f(x)图称轴直线x＝2函数f(x)奇函数定义域Rf(0)＝0f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1
13．[2014·全国卷] (x－2)6展开式中x3系数________．(数字作答)
13．－160 [解析] (x－2)6展开式通项Tr＋1＝Cx6－r(－2)r令6－r＝3解r＝3C(－2)3＝－160x3系数－160
14．[2014·全国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x值________．
14 [解析] y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2＋sin x＝时函数y＝cos 2x＋2sin x取值值
15．[2014·全国卷] 设xy满足约束条件z＝x＋4y值________．
15．5 [解析] 图示满足约束条件行域△ABC部(包括边界)z＝x＋4y值直线y＝－x＋z截距时z值．结合题意知y＝－x＋z点A时z取值联立x－y＝0x＋2y＝3点A坐标(11)zmax＝1＋4＝5
16．[2014·全国卷] 直线l1l2圆x2＋y2＝2两条切线．l1l2交点(13)l1l2夹角正切值等________．
16 [解析] 图示根题意知OA⊥PAOA＝OP＝PA＝＝2 tan ∠OPA＝＝＝tan ∠APB＝＝l1l2夹角正切值等
17．[2014·全国卷] 数列{an}满足a1＝1a2＝2an＋2＝2an＋1－an＋2
(1)设bn＝an＋1－an证明{bn}等差数列
(2)求{an}通项公式．
17．解：(1)an＋2＝2an＋1－an＋2
an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2
bn＋1＝bn＋2
b1＝a2－a1＝1
{bn}首项1公差2等差数列．
(2)(1)bn＝1＋2(n－1)
an＋1－an＝2n－1
(2k－1)
an＋1－a1＝n2
an＋1＝n2＋a1
a1＝1{an}通项公式an＝n2－2n＋2
18．[2014·全国卷] △ABC角ABC边分abc已知3acos C＝2ccos Atan A＝求B
18．解：题设正弦定理3sin Acos C＝2sin Ccos A
3tan Acos C＝2sin C
tan A＝
cos C＝2sin C
tan C＝
tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1
B＝135°
19．[2014·全国卷] 图11示三棱柱ABC A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB＝90°BC＝1AC＝CC1＝2
(1)证明：AC1⊥A1B
(2)设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1 AB C．
图11
19．解：方法：(1)证明：A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C面AA1C1C⊥面ABCBC⊥AC面AA1C1C∩面ABC＝ACBC⊥面AA1C1C
连接A1C侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
三垂线定理AC1⊥A1B
(2)BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1
面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1A1E直线AA1面BCC1B1距离A1E＝
A1C∠ACC1分线A1D＝A1E＝
作DF⊥ABF垂足连接A1F三垂线定理A1F⊥AB
∠A1FD二面角A1 AB C面角．
AD＝＝1DAC中点
DF＝tan∠A1FD＝＝
cos∠A1FD＝
二面角A1 AB Carccos
方法二：C坐标原点射线CAx轴正半轴CB长单位长建立图示空间直线坐标系C xyz题设知A1Dz轴行z轴面AA1C1C．
(1)证明：设A1(a0c)题设a≤2A(200)B(010)＝(－210)＝(－200)＝(a－20c)＝＋＝(a－40c)＝(a－1c)．
||＝2＝2
a2－4a＋c2＝0 ①
·＝a2－4a＋c2＝0AC1⊥A1B
(2)设面BCC1B1法量m＝(xyz)
m⊥m⊥m·CB＝0m·＝0
＝(010)＝＝(a－20c)y＝0(a－2)x＋cz＝0
令x＝cz＝2－am＝(c02－a)点A面BCC1B1距离||·|cos〈m〉|＝＝＝c
题设A面BCC1B1距离
c＝
代入①解a＝3(舍)a＝1
＝(－10)．
设面ABA1 法量n＝(pqr)n⊥n⊥n·＝0n·＝0
－p＋r＝0－2p＋q＝0令p＝q＝2 r＝1n＝(2 1)．
p＝(001)面ABC法量
cos〈np〉＝＝
二面角A1 AB Carccos
20．[2014·全国卷] 设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
(1)求工作日少3需设备概率
(2)实验室计划购买k台设备供甲乙丙丁．求工作日需设备数k概率01求k值．
20．解：记A1表示事件：工作日乙丙中恰i需设备i＝012
B表示事件：甲需设备．
C表示事件：丁需设备．
D表示事件：工作日少3需设备．
E表示事件：工作日4需设备．
F表示事件：工作日需设备数k
(1)P(B)＝06P(C)＝04P(Ai)＝C×052i＝012
P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝031
(2)(1)知k＝2P(F)＝031＞01
P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝006
k＝3P(F)＝006＜01
k值3
21．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨f(x)单调性
(2)f(x)区间(12)增函数求a取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3f′(x)＝0判式Δ＝36(1－a)．
(i)a≥1f′(x)≥0f′(x)＝0仅a＝1x＝－1时成立．时f(x)R增函数．
(ii)a≠0a＜1时f′(x)＝0两根
x1＝x2＝
0＜a＜1x∈(－∞x2)x∈(x1＋∞)时f′(x)＞0f(x)分(－∞x2)(x1＋∞)增函数
x∈(x2x1)时f′(x)<0f(x)(x2x1)减函数．
a＜0x∈(－∞x1)(x2＋∞)时f′(x)＜0f(x)分(－∞x1)(x2＋∞)减函数
x∈(x1x2)时f′(x)＞0f(x)(x1x2)增函数．
(2)a＞0x＞0时f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0a＞0时f(x)区间(12)增函数．
a＜0时f(x)区间(12)增函数仅f′(1)≥0f′(2)≥0解－≤a＜0
综a取值范围∪(0＋∞)．
22．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)焦点F直线y＝4 y轴交点
PC交点Q|QF|＝|PQ|
(1)求C方程
(2)F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
22．解：(1)设Q(x04)代入y2＝2pxx0＝
|PQ|＝|QF|＝＋x0＝＋
题设＋＝×解p＝－2(舍)p＝2
C方程y2＝4x
(2)题意知l坐标轴垂直设l方程x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4xy2－4my－4＝0
设A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝4my1y2＝－4
线段AB中点D(2m2＋12m)
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
直线l′斜率－ml′方程x＝－y＋2m2＋3
式代入y2＝4x整理y2＋ y－4(2m2＋3)＝0
设M(x3y3)N(x4y4)y3＋y4＝－y3y4＝－4(2m2＋3)．
线段MN中点E
|MN|＝|y3－y4|＝
线段MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE|＝|BE|＝|MN|
|AB|2＋|DE|2＝|MN|2
4(m2＋1)2＋＋＝
化简m2－1＝0解m＝1m＝－1
求直线l方程x－y－1＝0x＋y－1＝0
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1．[2014·全国卷] 设集合M＝{12468}N＝{123567}M∩N中元素数( )
A．2 B．3
C．5 D．7
1．B [解析] 根题意知M∩N＝{12468}∩{123567}＝{126}M∩N中元素数3
2．[2014·全国卷] 已知角α终边点(－43)cos α＝( )
A B
C．－ D．－
2．D [解析] 根题意cos α＝＝－
3．[2014·全国卷] 等式组解集( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}
3．C [解析] 0
A B
C D
4．B [解析] 图示取AD中点F连接EFCFEF∥BDEFCE成角异面直线CEBD成角．设正四面体棱长2CE＝CF＝EF＝1△CEF中cos ∠CEF＝＝＝异面直线CEBD成角余弦值
5．[2014·全国卷] 函数y＝ln(＋1)(x＞－1)反函数( )
A．y＝(1－ex)3(x＞－1)
B．y＝(ex－1)3(x＞－1)
C．y＝(1－ex)3(x∈R)
D．y＝(ex－1)3(x∈R)
5．D [解析] y＝ln(＋1)x＝(ey－1)3x>－1y∈R函数y＝ln(＋1)(x>－1)反函数y＝(ex－1)3(x∈R)．
6．[2014·全国卷] 已知ab单位量夹角60°(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
6．B [解析] ab单位量夹角60°(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0
7．[2014·全国卷] 6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
7．C [解析] 题意6名男医生中选出2名5名女医生中选出1名组成医疗组选法CC＝75(种)．
8．[2014·全国卷] 设等数列{an}前n项SnS2＝3S4＝15S6＝( )
A．31 B．32
C．63 D．64
8．C [解析] 设等数列{an}首项a公q易知q≠1根题意解q2＝4＝－1S6＝＝(－1)(1－43)＝63
9．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点．△AF1B周长4 C方程( )
A＋＝1 B＋y2＝1
C＋＝1 D＋＝1
9．A [解析] 根题意△AF1B周长4|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4a＝椭圆离心率e＝＝c＝1b2＝a2－c2＝3－1＝2椭圆C方程＋＝1
10．[2014·全国卷] 正四棱锥顶点球面．该棱锥高4底面边长2该球表面积( )
A B．16π
C．9π D
10．A [解析] 图示正四棱锥底面边长2AE＝AC＝设球心O球半径ROE＝4－ROA＝R△AOE直角三角形OA2＝OE2＋AE
2R2＝(4－R)2＋2解R＝该球表面积S＝4πR2＝4π2＝
11．[2014·全国卷] 双曲线C：－＝1(a＞0b＞0)离心率2焦点渐线距离C焦距等( )
A．2 B．2
C．4 D．4
11．C [解析] 易知双曲线－＝1渐线方程y＝±x妨设焦点(c0)中条渐线x－y＝0距离＝整理b＝双曲线C离心率e＝＝2c2＝a2＋b2c＝22c＝4双曲线C焦距等4
12．[2014·全国卷] 奇函数f(x)定义域Rf(x＋2)偶函数f(1)＝1f(8)＋f(9)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
12．D [解析] f(x＋2)偶函数称轴直线x＝0函数f(x)图称轴直线x＝2函数f(x)奇函数定义域Rf(0)＝0f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1
13．[2014·全国卷] (x－2)6展开式中x3系数________．(数字作答)
13．－160 [解析] (x－2)6展开式通项Tr＋1＝Cx6－r(－2)r令6－r＝3解r＝3C(－2)3＝－160x3系数－160
14．[2014·全国卷] 函数y＝cos 2x＋2sin x值________．
14 [解析] y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2＋sin x＝时函数y＝cos 2x＋2sin x取值值
15．[2014·全国卷] 设xy满足约束条件z＝x＋4y值________．
15．5 [解析] 图示满足约束条件行域△ABC部(包括边界)z＝x＋4y值直线y＝－x＋z截距时z值．结合题意知y＝－x＋z点A时z取值联立x－y＝0x＋2y＝3点A坐标(11)zmax＝1＋4＝5
16．[2014·全国卷] 直线l1l2圆x2＋y2＝2两条切线．l1l2交点(13)l1l2夹角正切值等________．
16 [解析] 图示根题意知OA⊥PAOA＝OP＝PA＝＝2 tan ∠OPA＝＝＝tan ∠APB＝＝l1l2夹角正切值等
17．[2014·全国卷] 数列{an}满足a1＝1a2＝2an＋2＝2an＋1－an＋2
(1)设bn＝an＋1－an证明{bn}等差数列
(2)求{an}通项公式．
17．解：(1)an＋2＝2an＋1－an＋2
an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2
bn＋1＝bn＋2
b1＝a2－a1＝1
{bn}首项1公差2等差数列．
(2)(1)bn＝1＋2(n－1)
an＋1－an＝2n－1
(2k－1)
an＋1－a1＝n2
an＋1＝n2＋a1
a1＝1{an}通项公式an＝n2－2n＋2
18．[2014·全国卷] △ABC角ABC边分abc已知3acos C＝2ccos Atan A＝求B
18．解：题设正弦定理3sin Acos C＝2sin Ccos A
3tan Acos C＝2sin C
tan A＝
cos C＝2sin C
tan C＝
tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1
B＝135°
19．[2014·全国卷] 图11示三棱柱ABC A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB＝90°BC＝1AC＝CC1＝2
(1)证明：AC1⊥A1B
(2)设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1 AB C．
图11
19．解：方法：(1)证明：A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C面AA1C1C⊥面ABCBC⊥AC面AA1C1C∩面ABC＝ACBC⊥面AA1C1C
连接A1C侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
三垂线定理AC1⊥A1B
(2)BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1
面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1A1E直线AA1面BCC1B1距离A1E＝
A1C∠ACC1分线A1D＝A1E＝
作DF⊥ABF垂足连接A1F三垂线定理A1F⊥AB
∠A1FD二面角A1 AB C面角．
AD＝＝1DAC中点
DF＝tan∠A1FD＝＝
cos∠A1FD＝
二面角A1 AB Carccos
方法二：C坐标原点射线CAx轴正半轴CB长单位长建立图示空间直线坐标系C xyz题设知A1Dz轴行z轴面AA1C1C．
(1)证明：设A1(a0c)题设a≤2A(200)B(010)＝(－210)＝(－200)＝(a－20c)＝＋＝(a－40c)＝(a－1c)．
||＝2＝2
a2－4a＋c2＝0 ①
·＝a2－4a＋c2＝0AC1⊥A1B
(2)设面BCC1B1法量m＝(xyz)
m⊥m⊥m·CB＝0m·＝0
＝(010)＝＝(a－20c)y＝0(a－2)x＋cz＝0
令x＝cz＝2－am＝(c02－a)点A面BCC1B1距离||·|cos〈m〉|＝＝＝c
题设A面BCC1B1距离
c＝
代入①解a＝3(舍)a＝1
＝(－10)．
设面ABA1 法量n＝(pqr)n⊥n⊥n·＝0n·＝0
－p＋r＝0－2p＋q＝0令p＝q＝2 r＝1n＝(2 1)．
p＝(001)面ABC法量
cos〈np〉＝＝
二面角A1 AB Carccos
20．[2014·全国卷] 设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
(1)求工作日少3需设备概率
(2)实验室计划购买k台设备供甲乙丙丁．求工作日需设备数k概率01求k值．
20．解：记A1表示事件：工作日乙丙中恰i需设备i＝012
B表示事件：甲需设备．
C表示事件：丁需设备．
D表示事件：工作日少3需设备．
E表示事件：工作日4需设备．
F表示事件：工作日需设备数k
(1)P(B)＝06P(C)＝04P(Ai)＝C×052i＝012
P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝031
(2)(1)知k＝2P(F)＝031＞01
P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝006
k＝3P(F)＝006＜01
k值3
21．[2014·全国卷] 函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨f(x)单调性
(2)f(x)区间(12)增函数求a取值范围．
21．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3f′(x)＝0判式Δ＝36(1－a)．
(i)a≥1f′(x)≥0f′(x)＝0仅a＝1x＝－1时成立．时f(x)R增函数．
(ii)a≠0a＜1时f′(x)＝0两根
x1＝x2＝
0＜a＜1x∈(－∞x2)x∈(x1＋∞)时f′(x)＞0f(x)分(－∞x2)(x1＋∞)增函数
x∈(x2x1)时f′(x)<0f(x)(x2x1)减函数．
a＜0x∈(－∞x1)(x2＋∞)时f′(x)＜0f(x)分(－∞x1)(x2＋∞)减函数
x∈(x1x2)时f′(x)＞0f(x)(x1x2)增函数．
(2)a＞0x＞0时f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0a＞0时f(x)区间(12)增函数．
a＜0时f(x)区间(12)增函数仅f′(1)≥0f′(2)≥0解－≤a＜0
综a取值范围∪(0＋∞)．
22．[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)焦点F直线y＝4 y轴交点
PC交点Q|QF|＝|PQ|
(1)求C方程
(2)F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
22．解：(1)设Q(x04)代入y2＝2pxx0＝
|PQ|＝|QF|＝＋x0＝＋
题设＋＝×解p＝－2(舍)p＝2
C方程y2＝4x
(2)题意知l坐标轴垂直设l方程x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4xy2－4my－4＝0
设A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝4my1y2＝－4
线段AB中点D(2m2＋12m)
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
直线l′斜率－ml′方程x＝－y＋2m2＋3
式代入y2＝4x整理y2＋ y－4(2m2＋3)＝0
设M(x3y3)N(x4y4)y3＋y4＝－y3y4＝－4(2m2＋3)．
线段MN中点E
|MN|＝|y3－y4|＝
线段MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE|＝|BE|＝|MN|
|AB|2＋|DE|2＝|MN|2
4(m2＋1)2＋＋＝
化简m2－1＝0解m＝1m＝－1
求直线l方程x－y－1＝0x＋y－1＝0
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