中学高考——2014· 安徽（理科数学）

2014·安徽卷(理科数学)
1．[2014·安徽卷] 设i虚数单位表示复数z轭复数．z＝1＋i＋i·＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
1．C　[解析] z＝1＋i＋i·＝(－i＋1)＋i＋1＝2
2．[2014·安徽卷] x＜0ln(x＋1)＜0(　　)
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
2．B　[解析] ln(x＋1)<0⇔0<1＋x<1⇔－13．[2014·安徽卷] 图1­1示程序框图(算法流程图)输出结果(　　)

图1­1
A．34 B．53 C．78 D．89
3．B　[解析] 程序框图知变量取值情况：
第次循环x＝1y＝1z＝2
第二次循环x＝1y＝2z＝3
第三次循环x＝2y＝3z＝5
第四次循环x＝3y＝5z＝8
第五次循环x＝5y＝8z＝13
第六次循环x＝8y＝13z＝21
第七次循环x＝13y＝21z＝34
第八次循环x＝21y＝34z＝55满足条件跳出循环．
4．[2014·安徽卷] 面直角坐标系原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系两种坐标系中取相长度单位．已知直线l参数方程(t参数)圆C极坐标方程ρ＝4cos θ直线l圆C截弦长(　　)
A B．2
C D．2
4．D　[解析] 直线l普通方程y＝x－4圆C直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4圆心(20)直线l距离d＝＝直线l圆C截弦长2＝2

5．[2014·安徽卷] xy满足约束条件z＝y－ax取值优解唯实数a值(　　)
A－1 B．2
C．21 D．2－1
5．D　[解析]

方法：画出行域图中阴影部分示知点A(02)B(20)C(－2－2) zA＝2zB＝－2azc＝2a－2
应值优解数组
zA＝zB>zCzA＝zC>zBzB＝zC>zA
解a＝－1a＝2
方法二：画出行域图中阴影部分示z＝y－ax变y＝ax＋z令l0：y＝ax题意知l0∥ABl0∥ACa＝－1a＝2
6．[2014·安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．0≤x<π时f(x)＝0f＝(　　)
A B
C．0 D．－
6．A　[解析] 已知f＝f＋sin＝f＋sin＋sin ＝f＋sin＋sin＋sin＝2sin ＋sin＝sin＝
7．[2014·安徽卷] 面体三视图图1­2示该面体表面积(　　)
A．21＋ B．8＋
C．21 D．18

图1­2
7．A　[解析] 图三视图知该体棱长2正方体截两三棱锥余部分表面积S＝6×4－×6＋2×××＝21＋



8．[2014·安徽卷] 正方体六面角线中取两条作中成角60°(　　)
A．24 B．30
C．48 D．60
8．C　[解析] 方法(直接法)：底面中选B1D1四侧面中面角线成60°8样A1C1应角线8理底面1632．左右侧面前侧面中16面角线成角60°符合条件48．
方法二(间接法)：正方体12条面角线中意两条垂直行成角60°成角60°面角线C－6－12＝48
9．[2014·安徽卷] 函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|值3实数a值(　　)
A．58 B．－15
C．－1－4 D．－48
9．D　[解析] a≥2时
f(x)＝

图知x＝－时fmin(x)＝f＝－1＝3a＝8
a<2时f(x)

图知x＝－时fmin(x)＝f＝－＋1＝3a＝－4综知a值－48
10．[2014·安徽卷] 面直角坐标系xOy中已知量ab|a|＝|b|＝1a·b＝0点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ0≤θ<2π}区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤Rr＜R}．C∩Ω两段分离曲线(　　)
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
10．A　[解析]已知设＝a＝(10)＝b＝(01)P(xy)＝()|OQ|＝2
曲线C＝{P|＝(cos θsin θ)0≤θ<2π}
C：x2＋y2＝1
区域Ω＝{P|0圆P1：(x－)2＋(y－)2＝r2P2：(x－)2＋(y－)2＝R2形成圆环图示．

C∩Ω两段分离曲线111．[2014·安徽卷] 函数f(x)＝sin图右移φ单位图关y轴称φ正值________．
11　[解析] 方法：f(x)＝sin图右移φ单位y＝sin图该函数图关y轴称知sin＝±1sin＝±12φ－＝kπ＋k∈Zφ＝＋k∈Zφ>0时φmin＝
方法二：f(x)＝sin图右移φ单位图关y轴称知－2φ＝＋kπk∈Zφ>0φmin＝
12．[2014·安徽卷] 数列{an}等差数列a1＋1a3＋3a5＋5构成公q等数列q＝________
12．1　[解析] 数列{an}等差数列a1＋1a3＋3a5＋5成等差数列． a1＋1a3＋3a5＋5构公q等数列a1＋1a3＋3a5＋5常数列q＝1
13．[2014·安徽卷] 设a≠0n1然数展开式a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn点Ai(iai)(i＝012)位置图1­3示a＝________

图1­3
13．3　[解析] 图知a0＝1a1＝3a2＝4组合原理知
解
14．[2014·安徽卷] 设F1F2分椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)左右焦点点F1直线交椭圆EAB两点．|AF1|＝3|F1B|AF2⊥x轴椭圆E方程________．
14．x2＋y2＝1　[解析]

设F1(－c0)F2(c0)中c＝
设A(cb2)B(x0y0)|AF1|＝3|F1B|
＝3代入椭圆方程＋b2＝1解b2＝椭圆方程x2＋＝1
15．[2014·安徽卷] 已知两相等非零量ab两组量均2a3b排列成．记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5Smin表示S取值中值列命题正确________(写出正确命题编号)．
①S5值
②a⊥bSmin|a|关
③a∥bSmin|b|关
④|b|＞4|a|Smin＞0
⑤|b|＝2|a|Smin＝8|a|2ab夹角
15．②④　[解析] S取值3种情况：S1＝2＋3＝＋2＋2a·bS3＝＋4a·bS3值．
ab相等量S1－S3＝2＋2－4a·b＝2(a－b)>0S1－S2＝＋－2a·b＝(a－b)2>0S2－S3＝(a－b)>0S3①知明显错误
②a⊥b时 Smin|a|关②正确
③a∥b时Smin|b|关③错误
④设ab夹角θSmin＝b2＋4a·b＝|b2|＋4|a||b|cos θ>||－4|a||b|>16|a|2－|a|2＝0Smin>0④正确
⑤|b|＝2|a|Smin＝4|a|2＋8|a|2cos θ＝8|a|2cos θ＝θ∈[0π]θ＝⑤错误．
16．[2014·安徽卷] 设△ABC角ABC边长分abcb＝3c＝1A＝2B
(1)求a值
(2)求sin值．
16．解： (1)A＝2Bsin A＝sin 2B＝2sin Bcos B余弦定理cos B＝＝正弦定理a＝2b·
b＝3c＝1a2＝12a＝2
(2)余弦定理cos A＝＝＝
－0sin＝sin Acos＋cos Asin＝×＋×＝
17．[2014·安徽卷] 甲乙两进行围棋赛约定先连胜两局者直接赢赛赛完5局未出现连胜判定获胜局数者赢赛．假设局甲获胜概率乙获胜概率局赛结果相互独立．
(1)求甲4局(含4局)赢赛概率
(2)记X赛决出胜负时总局数求X分布列均值(数学期)．
17．解： A表示甲4局(含4局)赢赛Ak表示第k局甲获胜Bk表示第k局乙获胜P(Ak)＝P(Bk)＝k＝12345
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝＋×＋
××＝
(2)X取值2345
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝
P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝
X分布列

X
2
3
4
5
P




EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝
18．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3中a＞0
(1)讨f(x)定义域单调性
(2)x∈[01]时 求f(x)取值值时x值．
18．解： (1)f(x)定义域(－∞＋∞)
f′(x)＝1＋a－2x－3x2
令f′(x)＝0x1＝
x2＝x1f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
xx2时f′(x)<0
x10
f(x) 单调递减
单调递增．
(2)a>0x1<0x2>0
①a≥4时x2≥1
(1)知f(x)[01]单调递增
f(x)x＝0x＝1处分取值值．
②0(1)知f(x)[0x2]单调递增[x21]单调递减
f(x)x＝x2＝处取值．
f(0)＝1f(1)＝a
0a＝1时f(x)x＝0x＝1处时取值
119．[2014·安徽卷] 图1­4已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)E2：y2＝2p2x(p2＞0)原点O两条直线l1l2l1E1E2分交A1A2两点l2E1E2分交B1B2两点．

图1­4
(1)证明：A1B1∥A2B2
(2)O作直线l(异l1l2)E1E2分交C1C2两点记△A1B1C1△A2B2C2面积分S1S2求值．
19．解：(1)证明：设直线l1l2方程分y＝k1xy＝k2x(k1k2≠0)
A1
A2
理B1B2
＝＝2p1
＝＝2p2
＝A1B1∥A2B2
(2)(1)知A1B1∥A2B2理B1C1∥B2C2C1A1∥C2A2△A1B1C1∽△A2B2C2
＝
(1)中＝||知＝
＝
20．[2014·安徽卷] 图1­5四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中A1A⊥底面ABCD四边形ABCD梯形AD∥BCAD＝2BCA1CD三点面记αBB1α交点Q

图1­5
(1)证明：QBB1中点
(2)求四棱柱面α分成两部分体积
(3)AA1＝4CD＝2梯形ABCD面积6求面α底面ABCD成二面角．
20．解： (1)证明：BQ∥AA1BC∥AD
BC∩BQ＝BAD∩AA1＝A
面QBC∥面A1AD
面A1CD两面交线相互行
QC∥A1D
△QBC△A1AD应边相互行
△QBC∽△A1AD
＝＝＝QBB1中点．
(2)图1示连接QAQD设AA1＝h梯形ABCD 高d四棱柱面α分成两部分体积分VVBC＝aAD＝2a

图1
V三棱锥Q ­A1AD＝×·2a·h·d＝ahd
V四棱锥Q ­ABCD＝··d·＝ahd
V＝V三棱锥Q ­A1AD＋V四棱锥Q ­ABCD＝ahd
V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD＝ahd
V＝V四棱柱A1B1C1D1 ­ABCD－V＝ahd－ahd＝ahd＝
(3)方法：图1示△ADC中作AE⊥DC垂足E连接A1E
DE⊥AA1AA1∩AE＝A
DE⊥面AEA1DE⊥A1E
∠AEA1面α底面ABCD成二面角面角．
BC∥ADAD＝2BCS△ADC＝2S△BCA
梯形ABCD面积6DC＝2
S△ADC＝4AE＝4
tan∠AEA1＝＝1∠AEA1＝
面α底面ABCD成二面角
方法二：图2示D原点DA分x轴z轴正方建立空间直角坐标系．
设∠CDA＝θBC＝aAD＝2a
S四边形ABCD＝·2sin θ＝6
a＝

图2
C(2cos θ2sin θ0)A1
DC＝(2cos θ2sin θ0)＝
设面A1DC法量n＝(xy1)


n＝(－sin θcos θ1)．
面ABCD法量m＝(001)
cos〈nm〉＝＝
面α底面ABCD成二面角
21．[2014·安徽卷] 设实数c＞0整数p＞1n∈N*
(1)证明：x＞－1x≠0时(1＋x)p＞1＋px
(2)数列{an}满足a1＞can＋1＝an＋a证明：an＞an＋1＞c
21．证明：(1)数学纳法证明．
①p＝2时(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x原等式成立．
②假设p＝k(k≥2k∈N*)时等式(1＋x)k>1＋kx成立．
p＝k＋1时(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x
p＝k＋1时原等式成立．
综合①②x>－1x≠0时切整数p>1等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)方法：先数学纳法证明an>c
①n＝1时题设知a1>c成立．
②假设n＝k(k≥1k∈N*)时等式ak>c成立．
an＋1＝an＋a易知an>0n∈N*
n＝k＋1时＝＋a＝
1＋
ak>c>0－1<－<<0
(1)中结＝>1＋p· ＝
a>cak＋1>c
n＝k＋1时等式an>c成立．
综合①②切正整数n等式an>c均成立．
＝1＋<1
an＋1综述an>an＋1>cn∈N*
方法二：设f(x)＝x＋x1－px≥cxp≥c
f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0
f(x)[c＋∞)单调递增x>c时f(x)>f(c)＝c
①n＝1时a1>c>0a>c知
a2＝a1＋a＝a1ca1>a2>c
n＝1时等式an>an＋1>c成立．
②假设n＝k(k≥1k∈N*)时等式ak>ak＋1>c成立n＝k＋1时f(ak)>f(ak＋1)>f(c)
ak＋1>ak＋2>c
n＝k＋1时原等式成立．
综合①②切正整数n等式an>an＋1>c均成立．

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