2014·江西卷(文科数学)
1．[2014·江西卷] 复数z满足z(1＋i)＝2i(i虚数单位)|z|＝( )
A．1 B．2 C D
1．C [解析] z＝＝＝1＋i|z|＝|1＋i|＝＝
2．[2014·江西卷] 设全集R集合A＝{x|x2－9<0}B＝{x|－1A．(－30) B．(－3－1)
C．(－3－1] D．(－33)
2．C [解析] ∵A＝(－33)∁RB＝(－∞－1]∪(5＋∞)
∴A∩(∁RB)＝(－3－1]．
3．[2014·江西卷] 掷两颗均匀骰子点数5概率等( )
A B C D
3．B [解析] 掷两颗均匀骰子36种情况点数5(14)(23)(32)(41)4种点数5概率＝
4．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a∈R)．f[f(－1)]＝1a＝( )
A B C．1 D．2
4．A [解析] f(－1)＝21＝2f(2)＝a·22＝4a＝1a＝
5．[2014·江西卷] △ABC中角ABC边分abc3a＝2b值( )
A．－ B C．1 D
5．D [解析] 正弦定理原式＝＝2－1＝2×－1＝
6．[2014·江西卷] 列叙述中正确( )
A．abc∈Rax2＋bx＋c≥0充分条件b2－4ac≤0
B．abc∈Rab2>cb2充条件a>c
C．命题意x∈Rx2≥0否定存x∈Rx2≥0
D．l条直线αβ两面l⊥αl⊥βα∥β
6．D [解析] 选项Aa>0b2－4ac≤0时ax2＋bx＋c≥0成立A错．
选项Ba>cb≠0时ab2>cb2成立B错．
选项C命题否定存x∈Rx2<0
C错．
选项D垂直条直线两面相互行D正确．
7．[2014·江西卷] 某研究中学生性成绩视力智商阅读量4变量关系机抽查52名中学生统计数表1表4性关联性变量( )
表1 表2
成绩
性
格
格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力
性
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3 表4
智商
性
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
阅读量
性
丰富
丰
富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
7．D [解析] 通计算表1中χ2≈0009表2中χ2≈1769表3中χ2＝1300表4中χ2≈23481选D
8．[2014·江西卷] 阅读程序框图运行相应程序程序运行输出结果( )
A．7 B．9
C．10 D．11
8．B [解析] 初始值S＝0i＝1接运算进行：
第次循环S＝lg>－1次进入循环时i＝3
第二次循环S＝lg＋lg＝lg>－1次进入循环时i＝5
第三次循环S＝lg＋lg＝lg>－1次进入循环时i＝7
第四次循环S＝lg＋lg＝lg>－1次进入循环时i＝9
第五次循环S＝lg＋lg＝lg<－1退出循环时i＝9
9．[2014·江西卷] 双曲线C：－＝1右顶点作x轴垂线C条渐线相交点AC右焦点圆心半径4圆AO两点(O坐标原点)双曲线C方程( )
A－＝1 B－＝1
C－＝1 D－＝1
9．A [解析] 直线方程x＝a渐线方程y＝x联立解A(ab)．
C右焦点圆心4半径圆原点Oc＝4右焦点F(40)．
该圆A点|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2
8a＝16a＝2b2＝c2－a2＝16－4＝12双曲线C方程－＝1
10．[2014·江西卷] 直角坐标系中函数y＝ax2－x＋y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)图( )
A B
C D
10．B [解析] a＝0时D选项．
a≠0时抛物线称轴直线x＝函数导数y′＝3a2x2－4ax＋1令y′＝0解该函数两极值点分x1＝x2＝直介间排法知选B
11．[2014·江西卷] 曲线y＝xln x点P处切线行直线2x－y＋1＝0点P坐标________．
11．(ee) [解析] 题意知y′＝ln x＋1直线斜率2导数意义知令ln x＋1＝2x＝ey＝eln e＝eP(ee)．
12．[2014·江西卷] 已知单位量e1e2夹角αcos α＝量a＝3e1－2e2|a|＝________．
12．3 [解析] |a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×＋4×1＝9|a|＝3
13．[2014·江西卷] 等差数列{an}中a1＝7公差d前n项Sn仅n＝8时Sn取值d取值范围________．
13 [解析] 题知a8>0a9<07＋7d>07＋8d<0－114．[2014·江西卷] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)左右焦点分F1F2F2作x轴垂线C相交AB两点F1By轴相交点DAD⊥F1B椭圆C离心率等________．
14 [解析] 题意ABF1(－c0)直线F1B方程y－0＝(x＋c)．
令x＝0y＝－D
量DA＝＝
AD⊥F1B·＝2c2－＝0
2ac＝b2＝(a2－c2)
整理(e－1)(e＋)＝0e＝(e>0)．
椭圆C离心率
15．[2014·江西卷] xy∈R|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2x＋y取值范围________．
15．[02] [解析] ⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2⇒⇒⇒0≤x＋y≤2
16．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)奇函数f＝0中a∈Rθ∈(0π)．
(1)求aθ值
(2)f＝－α∈求sin值．
16．解：(1)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)奇函数y1＝a＋2cos2x偶函数y2＝cos(2x＋θ)奇函数．θ∈(0π)θ＝
f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．
f＝0－(a＋1)＝0a＝－1
(2)(1)f(x)＝－sin 4x
f＝－sin α＝－
sin α＝α∈
cos α＝－
sin＝sin αcos＋cos αsin＝
17．[2014·江西卷] 已知数列{an}前n项Sn＝n∈N*
(1)求数列{an}通项公式
(2)证明：意n>1存m∈N*a1anam成等数列．
17．解：(1)Sn＝a1＝S1＝1n≥2时an＝Sn－Sn－1＝3n－2a1符合式数列{an}通项公式an＝3n－2
(2)证明：a1anam成等数列需a＝a1·am(3n－2)2＝1·(3m－2)m＝3n2－4n＋2时m∈N*m＞n
意n＞1存m∈N*a1anam成等数列．
18．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)中a<0
(1)a＝－4时求f(x)单调递增区间
(2)f(x)区间[14]值8求a值．
18．解：(1)a＝－4时f′(x)＝＝0x＝x＝2f′(x)＞0x∈
x∈(2＋∞)．
函数f(x)单调递增区间(2＋∞)．
(2)f′(x)＝a＜0
f′(x)＝0x＝－x＝－
x∈时f(x)单调递增x∈时f(x)单调递减x∈时f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0f＝0
①－≤1－2≤a＜0时f(x)[14]值f(1)f(1)＝4＋4a＋a2＝8a＝±2－2均符合题意．
②1<－≤4时－8≤a＜－2时f(x)[14]时值f＝0符合题意．
③－＞4时a＜－8时f(x)[14]值x＝1x＝4时取f(1)≠8f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8a＝－10a＝－6(舍)．
a＝－10时f(x)(14)单调递减f(x)[14]值f(4)＝8符合题意．
综a＝－10
19．[2014·江西卷] 图11示三棱柱ABC A1B1C1中AA1⊥BCA1B⊥BB1
(1)求证：A1C⊥CC1
(2)AB＝2AC＝BC＝问AA1值时三棱柱ABC A1B1C1体积求值．
图11
19．解：(1)证明：AA1⊥BC知BB1⊥BCBB1⊥A1BBB1⊥面BCA1BB1⊥A1C
BB1∥CC1A1C⊥CC1
(2)方法：设AA1＝x
Rt△A1BB1中A1B＝＝
理A1C＝＝
△A1BC中
cos∠BA1C＝＝
－
sin∠BA1C＝
S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝
三棱柱ABC A1B1C1体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝
x＝＝
x＝＝AA1＝时体积V取值
(2)方法二：A1作BC垂线垂足D连接AD
AA1⊥BCA1D⊥BCBC⊥面AA1DBC⊥AD∠BAC＝90°
S△ABC＝AD·BC＝AB·ACAD＝
设AA1＝xRt△AA1D中
A1D＝＝
S△A1BC＝A1D·BC＝
三棱柱ABC A1B1C1体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝x＝＝
x＝＝AA1＝时体积V取值
20． [2014·江西卷] 图12示已知抛物线C：x2＝4y点M(02)作直线C相交AB两点点B作y轴行线直线AO相交点D(O坐标原点)．
(1)证明：动点D定直线．
(2)作C意条切线l(含x轴)直线y＝2相交点N1(1)中定直线相交点N2证明：|MN2|2－|MN1|2定值求定值．
图12
20．解：(1)题意设AB方程y＝kx＋2代入x2＝4yx2＝4(kx＋2)x2－4kx－8＝0
设A(x1y1)B(x2y2)x1x2＝－8
直线AO方程y＝xBD方程x＝x2
解交点D坐标
注意x1x2＝－8x＝4y1y＝＝＝－2
D点定直线y＝－2(x≠0)．
(2)题意切线l斜率存等0
设切线l方程y＝ax＋b(a≠0)代入x2＝4yx2＝4(ax＋b)x2－4ax－4b＝0
Δ＝0(4a)2＋16b＝0化简整理b＝－a2
切线l方程写y＝ax－a2
分令y＝2y＝－2N1N2坐标N1N2
|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8
|MN2|2－|MN1|2定值8
21．[2014·江西卷] 连续正整数12…n(n∈N*)排列构成数123…nF(n)数位数(n＝12时数12345678910111215数字F(12)＝15)现数中机取数字p(n)恰取0概率．
(1)求p(100)
(2)n≤2014时求F(n)表达式
(3)令g(n)数中数字0数f(n)数中数字9数h(n)＝f(n)－g(n)S＝{n|h(n)＝1n≤100n∈N*}求n∈S时p(n)值．
21．解：(1)n＝100时数中总192数字中数字0数11恰取0概率p(100)＝
(2)F(n)＝
(3)n＝b(1≤b≤9b∈N*)g(n)＝0
n＝10k＋b(1≤k≤90≤b≤9k∈N*b∈N)时g(n)＝k
n＝100时g(n)＝11g(n)＝
1≤k≤90≤b≤9k∈N*b∈N
理f(n)＝
h(n)＝f(n)－g(n)＝1知n＝9192939495969798990
n≤100时S＝{9192939495969798990}．
n＝9时p(9)＝0
n＝90时p(90)＝＝＝
n＝10k＋9(1≤k≤8k∈N*)时p(n)＝＝＝y＝关k单调递增n＝10k＋9(1≤k≤8k∈N*)时p(n)值p(89)＝
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1．[2014·江西卷] 复数z满足z(1＋i)＝2i(i虚数单位)|z|＝( )
A．1 B．2 C D
1．C [解析] z＝＝＝1＋i|z|＝|1＋i|＝＝
2．[2014·江西卷] 设全集R集合A＝{x|x2－9<0}B＝{x|－1
C．(－3－1] D．(－33)
2．C [解析] ∵A＝(－33)∁RB＝(－∞－1]∪(5＋∞)
∴A∩(∁RB)＝(－3－1]．
3．[2014·江西卷] 掷两颗均匀骰子点数5概率等( )
A B C D
3．B [解析] 掷两颗均匀骰子36种情况点数5(14)(23)(32)(41)4种点数5概率＝
4．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a∈R)．f[f(－1)]＝1a＝( )
A B C．1 D．2
4．A [解析] f(－1)＝21＝2f(2)＝a·22＝4a＝1a＝
5．[2014·江西卷] △ABC中角ABC边分abc3a＝2b值( )
A．－ B C．1 D
5．D [解析] 正弦定理原式＝＝2－1＝2×－1＝
6．[2014·江西卷] 列叙述中正确( )
A．abc∈Rax2＋bx＋c≥0充分条件b2－4ac≤0
B．abc∈Rab2>cb2充条件a>c
C．命题意x∈Rx2≥0否定存x∈Rx2≥0
D．l条直线αβ两面l⊥αl⊥βα∥β
6．D [解析] 选项Aa>0b2－4ac≤0时ax2＋bx＋c≥0成立A错．
选项Ba>cb≠0时ab2>cb2成立B错．
选项C命题否定存x∈Rx2<0
C错．
选项D垂直条直线两面相互行D正确．
7．[2014·江西卷] 某研究中学生性成绩视力智商阅读量4变量关系机抽查52名中学生统计数表1表4性关联性变量( )
表1 表2
成绩
性
格
格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
视力
性
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3 表4
智商
性
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
阅读量
性
丰富
丰
富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
7．D [解析] 通计算表1中χ2≈0009表2中χ2≈1769表3中χ2＝1300表4中χ2≈23481选D
8．[2014·江西卷] 阅读程序框图运行相应程序程序运行输出结果( )
A．7 B．9
C．10 D．11
8．B [解析] 初始值S＝0i＝1接运算进行：
第次循环S＝lg>－1次进入循环时i＝3
第二次循环S＝lg＋lg＝lg>－1次进入循环时i＝5
第三次循环S＝lg＋lg＝lg>－1次进入循环时i＝7
第四次循环S＝lg＋lg＝lg>－1次进入循环时i＝9
第五次循环S＝lg＋lg＝lg<－1退出循环时i＝9
9．[2014·江西卷] 双曲线C：－＝1右顶点作x轴垂线C条渐线相交点AC右焦点圆心半径4圆AO两点(O坐标原点)双曲线C方程( )
A－＝1 B－＝1
C－＝1 D－＝1
9．A [解析] 直线方程x＝a渐线方程y＝x联立解A(ab)．
C右焦点圆心4半径圆原点Oc＝4右焦点F(40)．
该圆A点|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2
8a＝16a＝2b2＝c2－a2＝16－4＝12双曲线C方程－＝1
10．[2014·江西卷] 直角坐标系中函数y＝ax2－x＋y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)图( )
A B
C D
10．B [解析] a＝0时D选项．
a≠0时抛物线称轴直线x＝函数导数y′＝3a2x2－4ax＋1令y′＝0解该函数两极值点分x1＝x2＝直介间排法知选B
11．[2014·江西卷] 曲线y＝xln x点P处切线行直线2x－y＋1＝0点P坐标________．
11．(ee) [解析] 题意知y′＝ln x＋1直线斜率2导数意义知令ln x＋1＝2x＝ey＝eln e＝eP(ee)．
12．[2014·江西卷] 已知单位量e1e2夹角αcos α＝量a＝3e1－2e2|a|＝________．
12．3 [解析] |a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×＋4×1＝9|a|＝3
13．[2014·江西卷] 等差数列{an}中a1＝7公差d前n项Sn仅n＝8时Sn取值d取值范围________．
13 [解析] 题知a8>0a9<07＋7d>07＋8d<0－1
14 [解析] 题意ABF1(－c0)直线F1B方程y－0＝(x＋c)．
令x＝0y＝－D
量DA＝＝
AD⊥F1B·＝2c2－＝0
2ac＝b2＝(a2－c2)
整理(e－1)(e＋)＝0e＝(e>0)．
椭圆C离心率
15．[2014·江西卷] xy∈R|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2x＋y取值范围________．
15．[02] [解析] ⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2⇒⇒⇒0≤x＋y≤2
16．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)奇函数f＝0中a∈Rθ∈(0π)．
(1)求aθ值
(2)f＝－α∈求sin值．
16．解：(1)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)奇函数y1＝a＋2cos2x偶函数y2＝cos(2x＋θ)奇函数．θ∈(0π)θ＝
f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)．
f＝0－(a＋1)＝0a＝－1
(2)(1)f(x)＝－sin 4x
f＝－sin α＝－
sin α＝α∈
cos α＝－
sin＝sin αcos＋cos αsin＝
17．[2014·江西卷] 已知数列{an}前n项Sn＝n∈N*
(1)求数列{an}通项公式
(2)证明：意n>1存m∈N*a1anam成等数列．
17．解：(1)Sn＝a1＝S1＝1n≥2时an＝Sn－Sn－1＝3n－2a1符合式数列{an}通项公式an＝3n－2
(2)证明：a1anam成等数列需a＝a1·am(3n－2)2＝1·(3m－2)m＝3n2－4n＋2时m∈N*m＞n
意n＞1存m∈N*a1anam成等数列．
18．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)中a<0
(1)a＝－4时求f(x)单调递增区间
(2)f(x)区间[14]值8求a值．
18．解：(1)a＝－4时f′(x)＝＝0x＝x＝2f′(x)＞0x∈
x∈(2＋∞)．
函数f(x)单调递增区间(2＋∞)．
(2)f′(x)＝a＜0
f′(x)＝0x＝－x＝－
x∈时f(x)单调递增x∈时f(x)单调递减x∈时f(x)单调递增．
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0f＝0
①－≤1－2≤a＜0时f(x)[14]值f(1)f(1)＝4＋4a＋a2＝8a＝±2－2均符合题意．
②1<－≤4时－8≤a＜－2时f(x)[14]时值f＝0符合题意．
③－＞4时a＜－8时f(x)[14]值x＝1x＝4时取f(1)≠8f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8a＝－10a＝－6(舍)．
a＝－10时f(x)(14)单调递减f(x)[14]值f(4)＝8符合题意．
综a＝－10
19．[2014·江西卷] 图11示三棱柱ABC A1B1C1中AA1⊥BCA1B⊥BB1
(1)求证：A1C⊥CC1
(2)AB＝2AC＝BC＝问AA1值时三棱柱ABC A1B1C1体积求值．
图11
19．解：(1)证明：AA1⊥BC知BB1⊥BCBB1⊥A1BBB1⊥面BCA1BB1⊥A1C
BB1∥CC1A1C⊥CC1
(2)方法：设AA1＝x
Rt△A1BB1中A1B＝＝
理A1C＝＝
△A1BC中
cos∠BA1C＝＝
－
sin∠BA1C＝
S△A1BC＝A1B·A1C·sin∠BA1C＝
三棱柱ABC A1B1C1体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝
x＝＝
x＝＝AA1＝时体积V取值
(2)方法二：A1作BC垂线垂足D连接AD
AA1⊥BCA1D⊥BCBC⊥面AA1DBC⊥AD∠BAC＝90°
S△ABC＝AD·BC＝AB·ACAD＝
设AA1＝xRt△AA1D中
A1D＝＝
S△A1BC＝A1D·BC＝
三棱柱ABC A1B1C1体积V＝S直·l＝S△A1BC·AA1＝x＝＝
x＝＝AA1＝时体积V取值
20． [2014·江西卷] 图12示已知抛物线C：x2＝4y点M(02)作直线C相交AB两点点B作y轴行线直线AO相交点D(O坐标原点)．
(1)证明：动点D定直线．
(2)作C意条切线l(含x轴)直线y＝2相交点N1(1)中定直线相交点N2证明：|MN2|2－|MN1|2定值求定值．
图12
20．解：(1)题意设AB方程y＝kx＋2代入x2＝4yx2＝4(kx＋2)x2－4kx－8＝0
设A(x1y1)B(x2y2)x1x2＝－8
直线AO方程y＝xBD方程x＝x2
解交点D坐标
注意x1x2＝－8x＝4y1y＝＝＝－2
D点定直线y＝－2(x≠0)．
(2)题意切线l斜率存等0
设切线l方程y＝ax＋b(a≠0)代入x2＝4yx2＝4(ax＋b)x2－4ax－4b＝0
Δ＝0(4a)2＋16b＝0化简整理b＝－a2
切线l方程写y＝ax－a2
分令y＝2y＝－2N1N2坐标N1N2
|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8
|MN2|2－|MN1|2定值8
21．[2014·江西卷] 连续正整数12…n(n∈N*)排列构成数123…nF(n)数位数(n＝12时数12345678910111215数字F(12)＝15)现数中机取数字p(n)恰取0概率．
(1)求p(100)
(2)n≤2014时求F(n)表达式
(3)令g(n)数中数字0数f(n)数中数字9数h(n)＝f(n)－g(n)S＝{n|h(n)＝1n≤100n∈N*}求n∈S时p(n)值．
21．解：(1)n＝100时数中总192数字中数字0数11恰取0概率p(100)＝
(2)F(n)＝
(3)n＝b(1≤b≤9b∈N*)g(n)＝0
n＝10k＋b(1≤k≤90≤b≤9k∈N*b∈N)时g(n)＝k
n＝100时g(n)＝11g(n)＝
1≤k≤90≤b≤9k∈N*b∈N
理f(n)＝
h(n)＝f(n)－g(n)＝1知n＝9192939495969798990
n≤100时S＝{9192939495969798990}．
n＝9时p(9)＝0
n＝90时p(90)＝＝＝
n＝10k＋9(1≤k≤8k∈N*)时p(n)＝＝＝y＝关k单调递增n＝10k＋9(1≤k≤8k∈N*)时p(n)值p(89)＝
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