2014·陕西卷(文科数学)
1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0x∈R}N＝{x|x2＜1x∈R}M∩N＝( )
A．[01] B．(01) C．(01] D．[01)
1．D [解析] M＝{x|x≥0}N＝{x|x2<1}＝{x|－12．[2014·陕西卷] 函数f(x)＝cos正周期( )
A B．π C．2π D．4π
2．B [解析] T＝＝π
3．[2014·陕西卷] 已知复数z＝2－iz·值( )
A．5 B C．3 D
3．A [解析] ∵z＝2－i∴＝2＋i∴z·＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5
4．[2014·陕西卷] 根图11示框图2整数N输出数列通项公式( )
图11
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
4．C [解析] 阅读题中程序框图知输出数列22×2＝222×22＝232×23＝24…2×2N－1＝2N通项公式an＝2n
5．[2014·陕西卷] 边长1正方形边直线旋转轴旋转周体侧面积( )
A．4π B．3π C．2π D．π
5．C [解析] 题意知旋转体底面半径1高1圆柱侧面积2π×1×1＝2π
6．[2014·陕西卷] 正方形四顶点中心5点中取2点2点距离该正方形边长概率( )
A B C D
6．B [解析] 古典概型特点知5点中选取2点全部情况10种中选取2点
距离该正方形边长情况4种求概率P＝＝
7．[2014·陕西卷] 列函数中满足f(x＋y)＝
f(x)f(y)单调递增函数( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝
7．B [解析] f(x＋y)＝f(x)f(y)排选项ACf(x)＝单调递减函数排选项D
8．[2014·陕西卷] 原命题＜ann∈N＋{an}递减数列关逆命题否命题逆否命题真假性判断次正确( )
A．真真真 B．假假真
C．真真假 D．假假假
8．A [解析]9．[2014·陕西卷] 某公司10位员工月工资(单位：元)x1x2…x10均值方差分s2月起位员工月工资增加100元10位员工月工资均值方差分( )
As2＋1002 B＋100s2＋1002
Cs2 D＋100s2
9．D [解析] 题目中数知x
妨设10位员工月工资均值＝＝＋100易知方差没发生变化．
10．[2014·陕西卷] 图12示修建条公路需段环湖弯曲路段两条直道滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段某三次函数图部分该函数解析式( )
图12
A．y＝x3－x2－x
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
10．A [解析] 题意知该三次函数图原点常数项0妨设解析式y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cxf′(x)＝3ax2＋2bx＋c∴f′(0)＝－1f′(2)＝3c＝－13a＋b＝1y＝ax3＋bx2＋cx点(20)∴4a＋2b＝1∴a＝b＝－c＝－1∴y＝f(x)＝x3－x2－x
11．[2014·陕西卷] 抛物线y2＝4x准线方程________．
11．x＝－1 [解析] 易知抛物线y2＝4x准线方程x＝－＝－1
12．[2014·陕西卷] 已知4a＝2lg x＝ax＝________．
12 [解析] 4a＝222a＝2a＝lg x＝x＝10＝
13．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜量a＝(sin 2θcos θ)b＝(1－cos θ)a·b＝0tan θ＝______
13 [解析] a·b＝0sin 2 θ＝cos2θ0<θ<∴cos θ≠0∴2sin θ＝cos θtan θ＝
14．[2014·陕西卷] 已知f(x)＝x≥0f1(x)＝f(x)fn＋1(x)＝f(fn(x))n∈N＋f2014(x)表达式________．
14 [解析] 题意f1(x)＝f(x)＝
f2(x)＝＝f3(x)＝…
纳推理f2014(x)＝
15．[2014·陕西卷] A(等式选做题)设abmn∈Ra2＋b2＝5ma＋nb＝5值________．
B(证明选做题)图13示△ABC中BC＝6BC直径半圆分交ABAC点EFAC＝2AEEF＝________．
图13
C(坐标系参数方程选做题)极坐标系中点直线ρ sin＝1距离________．
15．A B．3 C．1 [解析] A．柯西等式知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)25(m2＋n2)≥25仅an＝bm时等号成立 ≥
B．题目中图形位置关系知∠AEF＝∠ACB∠A＝∠A△AEF∽△ACB＝AC＝2AEBC＝6EF＝3
C．易知点直角坐标(1)直线ρsin＝1直角坐标方程x－y＋2＝0点直线距离公式d＝＝1
16．[2014·陕西卷] △ABC角ABC边分abc
(1)abc成等差数列证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)
(2)abc成等数列c＝2a求cos B值．
16．解： (1)∵abc成等差数列∴a＋c＝2b正弦定理sin A＋sin C＝2sin B
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)题设b2＝acc＝2a
∴b＝a
余弦定理cos B＝＝＝
17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD三视图图14示行棱ADBC面分交四面体棱ABBDDCCA点EFGH
图14
(1)求四面体ABCD体积
(2)证明：四边形EFGH矩形．
17．解：(1)该四面体三视图知
BD⊥DCBD⊥ADAD⊥DCBD＝DC＝2AD＝1
∴AD⊥面BDC
∴四面体ABCD体积V＝××2×2×1＝
(2)证明：∵BC∥面EFGH面EFGH∩面BDC＝FG面EFGH∩ 面ABC＝EH
∴BC∥FGBC∥EH∴FG∥EH
理EF∥ADHG∥AD∴EF∥HG
∴四边形EFGH行四边形．
∵AD⊥面BDC∴AD⊥BC∴EF⊥FG
∴四边形EFGH矩形．
18．[2014·陕西卷] 直角坐标系xOy中已知点A(11)B(23)C(32)点P(xy) △ABC三边围成区域(含边界)＝m＋n(mn∈R)．
(1)m＝n＝求||
(2)xy表示m－n求m－n值．
18．解： (1)∵m＝n＝＝(12)＝(21)
∴＝(12)＋(21)＝(22)
∴||＝＝2
(2)∵＝m(12)＋n(21)＝(m＋2n2m＋n)
∴
两式相减m－n＝y－x
令y－x＝t图知直线y＝x＋t点B(23)时t取值1m－n值1
19．[2014·陕西卷] 某保险公司利简单机抽样方法投保车辆进行抽样样车辆中辆车赔付结果统计：
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)辆车投保金额均2800元估计赔付金额投保金额概率
(2)样车辆中车新司机占10赔付金额4000元样车辆中车新司机占20估计已投保车辆中新司机获赔金额4000元概率．
19．解：(1)设A表示事件赔付金额3000元B表示事件赔付金额4000元频率估计概率
P(A)＝＝015P(B)＝＝012
投保金额2800元赔付金额投保金额概率
P(A)＋P(B)＝015＋012＝027
(2)设C表示事件投保车辆中新司机获赔4000元已知样车辆中车新司机01×1000＝100(辆)赔付金额4000元车辆中车新司机02×120＝24(辆)样车辆中新司机车获赔金额4000元频率＝024频率估计概率P(C)＝024
20．[2014·陕西卷] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)点(0)离心率左右焦点分F1(－c0)F2(c0)．
(1)求椭圆方程
(2)直线l：y＝－x＋m椭圆交AB两点F1F2直径圆交CD两点满足＝求直线l方程．
图15
20．解： (1)题设知解
∴椭圆方程＋＝1
(2)题设F1F2直径圆方程x2＋y2＝1
∴圆心(00)直线l距离d＝
d<1|m|<(*)
∴|CD|＝2＝2＝
设A(x1y1)B(x2y2)
x2－mx＋m2－3＝0
根系数关系x1＋x2＝mx1x2＝m2－3
∴|AB|＝＝
＝＝1
解m＝±满足(*)．
∴直线l方程y＝－x＋
y＝－x－
21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln x＋m∈R
(1)m＝e(e然数底数)时求f(x)极值
(2)讨函数g(x)＝f′(x)－零点数
(3)意b＞a＞0＜1恒成立求m取值范围．
21．解：(1)题设m＝e时f(x)＝ln x＋f′(x)＝
∴x∈(0e)时f′(x)<0f(x)(0e)单调递减
x∈(e＋∞)时f′(x)>0f(x)(e＋∞)单调递增．
∴x＝e时f(x)取极值f(e)＝ln e＋＝2
∴f(x)极值2
(2)题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)
令g(x)＝0m＝－x3＋x(x>0)
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)
φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)
x∈(01)时φ′(x)>0φ(x)(01)单调递增
x∈(1＋∞)时φ′(x)<0φ(x)(1＋∞)单调递减．
∴x＝1φ(x)唯极值点极值点x＝1φ(x)值点
∴φ(x)值φ(1)＝
φ(0)＝0结合y＝φ(x)图(图示)知
①m >时函数g(x)零点
②m＝时函数g(x)零点
③0④m≤0时函数g(x)零点．
综述m>时函数g(x)零点
m＝m≤0时函数g(x)零点
0(3)意b>a>0<1恒成立
等价f(b)－b设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)
∴(*)等价h(x)(0＋∞)单调递减．
h′(x)＝－－1≤0(0＋∞)恒成立
m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立
∴m≥
∴m取值范围
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1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0x∈R}N＝{x|x2＜1x∈R}M∩N＝( )
A．[01] B．(01) C．(01] D．[01)
1．D [解析] M＝{x|x≥0}N＝{x|x2<1}＝{x|－1
A B．π C．2π D．4π
2．B [解析] T＝＝π
3．[2014·陕西卷] 已知复数z＝2－iz·值( )
A．5 B C．3 D
3．A [解析] ∵z＝2－i∴＝2＋i∴z·＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5
4．[2014·陕西卷] 根图11示框图2整数N输出数列通项公式( )
图11
A．an＝2n B．an＝2(n－1)
C．an＝2n D．an＝2n－1
4．C [解析] 阅读题中程序框图知输出数列22×2＝222×22＝232×23＝24…2×2N－1＝2N通项公式an＝2n
5．[2014·陕西卷] 边长1正方形边直线旋转轴旋转周体侧面积( )
A．4π B．3π C．2π D．π
5．C [解析] 题意知旋转体底面半径1高1圆柱侧面积2π×1×1＝2π
6．[2014·陕西卷] 正方形四顶点中心5点中取2点2点距离该正方形边长概率( )
A B C D
6．B [解析] 古典概型特点知5点中选取2点全部情况10种中选取2点
距离该正方形边长情况4种求概率P＝＝
7．[2014·陕西卷] 列函数中满足f(x＋y)＝
f(x)f(y)单调递增函数( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝
7．B [解析] f(x＋y)＝f(x)f(y)排选项ACf(x)＝单调递减函数排选项D
8．[2014·陕西卷] 原命题＜ann∈N＋{an}递减数列关逆命题否命题逆否命题真假性判断次正确( )
A．真真真 B．假假真
C．真真假 D．假假假
8．A [解析]
As2＋1002 B＋100s2＋1002
Cs2 D＋100s2
9．D [解析] 题目中数知x
妨设10位员工月工资均值＝＝＋100易知方差没发生变化．
10．[2014·陕西卷] 图12示修建条公路需段环湖弯曲路段两条直道滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段某三次函数图部分该函数解析式( )
图12
A．y＝x3－x2－x
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
10．A [解析] 题意知该三次函数图原点常数项0妨设解析式y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cxf′(x)＝3ax2＋2bx＋c∴f′(0)＝－1f′(2)＝3c＝－13a＋b＝1y＝ax3＋bx2＋cx点(20)∴4a＋2b＝1∴a＝b＝－c＝－1∴y＝f(x)＝x3－x2－x
11．[2014·陕西卷] 抛物线y2＝4x准线方程________．
11．x＝－1 [解析] 易知抛物线y2＝4x准线方程x＝－＝－1
12．[2014·陕西卷] 已知4a＝2lg x＝ax＝________．
12 [解析] 4a＝222a＝2a＝lg x＝x＝10＝
13．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜量a＝(sin 2θcos θ)b＝(1－cos θ)a·b＝0tan θ＝______
13 [解析] a·b＝0sin 2 θ＝cos2θ0<θ<∴cos θ≠0∴2sin θ＝cos θtan θ＝
14．[2014·陕西卷] 已知f(x)＝x≥0f1(x)＝f(x)fn＋1(x)＝f(fn(x))n∈N＋f2014(x)表达式________．
14 [解析] 题意f1(x)＝f(x)＝
f2(x)＝＝f3(x)＝…
纳推理f2014(x)＝
15．[2014·陕西卷] A(等式选做题)设abmn∈Ra2＋b2＝5ma＋nb＝5值________．
B(证明选做题)图13示△ABC中BC＝6BC直径半圆分交ABAC点EFAC＝2AEEF＝________．
图13
C(坐标系参数方程选做题)极坐标系中点直线ρ sin＝1距离________．
15．A B．3 C．1 [解析] A．柯西等式知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)25(m2＋n2)≥25仅an＝bm时等号成立 ≥
B．题目中图形位置关系知∠AEF＝∠ACB∠A＝∠A△AEF∽△ACB＝AC＝2AEBC＝6EF＝3
C．易知点直角坐标(1)直线ρsin＝1直角坐标方程x－y＋2＝0点直线距离公式d＝＝1
16．[2014·陕西卷] △ABC角ABC边分abc
(1)abc成等差数列证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)
(2)abc成等数列c＝2a求cos B值．
16．解： (1)∵abc成等差数列∴a＋c＝2b正弦定理sin A＋sin C＝2sin B
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)题设b2＝acc＝2a
∴b＝a
余弦定理cos B＝＝＝
17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD三视图图14示行棱ADBC面分交四面体棱ABBDDCCA点EFGH
图14
(1)求四面体ABCD体积
(2)证明：四边形EFGH矩形．
17．解：(1)该四面体三视图知
BD⊥DCBD⊥ADAD⊥DCBD＝DC＝2AD＝1
∴AD⊥面BDC
∴四面体ABCD体积V＝××2×2×1＝
(2)证明：∵BC∥面EFGH面EFGH∩面BDC＝FG面EFGH∩ 面ABC＝EH
∴BC∥FGBC∥EH∴FG∥EH
理EF∥ADHG∥AD∴EF∥HG
∴四边形EFGH行四边形．
∵AD⊥面BDC∴AD⊥BC∴EF⊥FG
∴四边形EFGH矩形．
18．[2014·陕西卷] 直角坐标系xOy中已知点A(11)B(23)C(32)点P(xy) △ABC三边围成区域(含边界)＝m＋n(mn∈R)．
(1)m＝n＝求||
(2)xy表示m－n求m－n值．
18．解： (1)∵m＝n＝＝(12)＝(21)
∴＝(12)＋(21)＝(22)
∴||＝＝2
(2)∵＝m(12)＋n(21)＝(m＋2n2m＋n)
∴
两式相减m－n＝y－x
令y－x＝t图知直线y＝x＋t点B(23)时t取值1m－n值1
19．[2014·陕西卷] 某保险公司利简单机抽样方法投保车辆进行抽样样车辆中辆车赔付结果统计：
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)辆车投保金额均2800元估计赔付金额投保金额概率
(2)样车辆中车新司机占10赔付金额4000元样车辆中车新司机占20估计已投保车辆中新司机获赔金额4000元概率．
19．解：(1)设A表示事件赔付金额3000元B表示事件赔付金额4000元频率估计概率
P(A)＝＝015P(B)＝＝012
投保金额2800元赔付金额投保金额概率
P(A)＋P(B)＝015＋012＝027
(2)设C表示事件投保车辆中新司机获赔4000元已知样车辆中车新司机01×1000＝100(辆)赔付金额4000元车辆中车新司机02×120＝24(辆)样车辆中新司机车获赔金额4000元频率＝024频率估计概率P(C)＝024
20．[2014·陕西卷] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)点(0)离心率左右焦点分F1(－c0)F2(c0)．
(1)求椭圆方程
(2)直线l：y＝－x＋m椭圆交AB两点F1F2直径圆交CD两点满足＝求直线l方程．
图15
20．解： (1)题设知解
∴椭圆方程＋＝1
(2)题设F1F2直径圆方程x2＋y2＝1
∴圆心(00)直线l距离d＝
d<1|m|<(*)
∴|CD|＝2＝2＝
设A(x1y1)B(x2y2)
x2－mx＋m2－3＝0
根系数关系x1＋x2＝mx1x2＝m2－3
∴|AB|＝＝
＝＝1
解m＝±满足(*)．
∴直线l方程y＝－x＋
y＝－x－
21．[2014·陕西卷] 设函数f(x)＝ln x＋m∈R
(1)m＝e(e然数底数)时求f(x)极值
(2)讨函数g(x)＝f′(x)－零点数
(3)意b＞a＞0＜1恒成立求m取值范围．
21．解：(1)题设m＝e时f(x)＝ln x＋f′(x)＝
∴x∈(0e)时f′(x)<0f(x)(0e)单调递减
x∈(e＋∞)时f′(x)>0f(x)(e＋∞)单调递增．
∴x＝e时f(x)取极值f(e)＝ln e＋＝2
∴f(x)极值2
(2)题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)
令g(x)＝0m＝－x3＋x(x>0)
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)
φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)
x∈(01)时φ′(x)>0φ(x)(01)单调递增
x∈(1＋∞)时φ′(x)<0φ(x)(1＋∞)单调递减．
∴x＝1φ(x)唯极值点极值点x＝1φ(x)值点
∴φ(x)值φ(1)＝
φ(0)＝0结合y＝φ(x)图(图示)知
①m >时函数g(x)零点
②m＝时函数g(x)零点
③0
综述m>时函数g(x)零点
m＝m≤0时函数g(x)零点
0
等价f(b)－b
∴(*)等价h(x)(0＋∞)单调递减．
h′(x)＝－－1≤0(0＋∞)恒成立
m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立
∴m≥
∴m取值范围
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