中学高考——2014·福建（文科数学）

2014·福建卷(文科数学)
1． [2014·福建卷] 集合P＝{x|2≤x<4}Q＝{x|x≥3}P∩Q等(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　

A．{x|3≤x<4} B．{x|3C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}
1．A　[解析] 集合P＝{x|2≤x<4}Q＝{x|x≥3}数轴表示出P∩Q＝{x|3≤x<4}选A
2． [2014·福建卷] 复数(3＋2i)i等(　　)
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
2．B　[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i选B
3． [2014·福建卷] 边长1正方形边直线旋转轴该正方形旋转周圆柱侧面积等(　　)
A．2π B．π C．2 D．1
3．A　[解析] 题意知该正方形旋转周圆柱底面半径r＝1高h＝1该圆柱侧面积S＝2πrh＝2π选A
4． [2014·福建卷] 阅读图1­1示程序框图运行相应程序输出n值(　　)

图1­1
A．1 B．2 C．3 D．4
4．B　[解析] n＝1时21>12成立执行循环n＝2n＝2时22>22成立结束循环输出n＝2选B
5． [2014·福建卷] 命题∀x∈[0＋∞)x3＋x≥0否定(　　)
A．∀x∈(－∞0)x3＋x<0
B．∀x∈(－∞0)x3＋x≥0
C．∃x0∈[0＋∞)x＋x0<0
D．∃x0∈[0＋∞)x＋x0≥0
5．C　[解析] ∀x∈[0＋∞)x3＋x≥0含全称量词命题否定∃x0∈[0＋∞)x＋x0<0选C
6． [2014·福建卷] 已知直线l圆x2＋(y－3)2＝4圆心直线x＋y＋1＝0垂直l方程(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
6．D　[解析] 直线l直线x＋y＋1＝0垂直设直线l方程x－y＋m＝0
直线l圆x2＋(y－3)2＝4圆心(03)m＝3直线l方程x－y＋3＝0选D
7． [2014·福建卷] 函数y＝sin x图左移单位函数y＝f(x)图列说法正确(　　)
A．y＝f(x)奇函数
B．y＝f(x)周期π
C．y＝f(x)图关直线x＝称
D．y＝f(x)图关点称
7．D　[解析] 函数y＝sin x图左移单位函数y＝f(x)＝sin图f(x)＝cos x．余弦函数图性质知f(x)偶函数正周期2π图关直线x＝kπ(k∈Z)称关点(k∈Z)称选D

图1­2
8． [2014·福建卷] 函数y＝logax(a>0a≠1)图图1­2示列函数图正确(　　)


图1­2
　　　　A　　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　　D图1­3
8．B　[解析] 函数y＝logax图点(31)a＝3
选项A中函数y＝函数图正确选项B中函数y＝x3函数图正确选项C中函数y＝(－x)3函数图正确选项D中函数y＝log3(－x)函数图正确选B
9． [2014·福建卷] 制作容积4 m3高1 m盖长方体容器．已知该容器底面造价方米20元侧面造价方米10元该容器低总造价(　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
9．C　[解析] 设底面矩形边长x容器容积4 m3高1 m．边长 m
记容器总造价y元
y＝4×20＋2×1×10
＝80＋20
≥80＋20×2
＝160
仅x＝x＝2时等号成立．
x＝2时y取值160容器低总造价160元选C
10． [2014·福建卷] 设M行四边形ABCD角线交点O行四边形ABCD面意点＋＋＋等(　　)
A B．2
C．3 D．4
10．D　[解析] 图示M行四边形ABCD角线交点MACBD中点＝－＝－
△OAC中＋＝(＋)＋(＋)＝2
△OBD中＋＝(＋)＋(＋)＝2
＋＋＋＝4选D

11． [2014·福建卷] 已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1面区域Ω：圆心C∈Ω圆Cx轴相切a2＋b2值(　　)
A．5 B．29
C．37 D．49
11．C　[解析] 作出等式组表示面区域Ω(图阴影部分示含边界)圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1圆心坐标(ab)半径1圆Cx轴相切b
＝1解方程组直线x＋y－7＝0直线y＝1交点坐标(61)设点P

点C∈Ω点CP重合时a取值
a2＋b2值62＋12＝37选C

12． [2014·福建卷] 面直角坐标系中两点P1(x1y1)P2(x2y2)间L­距离定义||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|面x轴两定点F1F2L­距离等定值(||F1F2||)点轨迹(　　)
　　　　　
　　　A　　　　　　　　　　　　B
　　　　　
　　　C　　　　　　　　　　　　D


图1­4
12．A　[解析] 设M(xy)轨迹意点F1(－c0)F2(c0)||MF1|＋|MF2||＝2a中a常数a>c>0
L－距离定义
|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a|y|＝(2a－|x＋c|－|x－c|)
y≥0时y＝
y<0时y＝
满足述关系图选项A
13． [2014·福建卷] 图1­5示边长1正方形中机撒1000粒豆子180粒落阴影部分估计阴影部分面积________．

图1­5
13．018　[解析] 设阴影部分面积S机撒1000粒豆子粒豆子落正方形点等落区域豆子数区域面积似成正
≈＝＝018
估计阴影部分面积018
14． [2014·福建卷] △ABC中A＝60°AC＝2BC＝AB等________．
(边文请需手工删加)
14．1　[解析] ＝sin B＝＝1
B＝90°△ABCABBC直角边直角三角形
AB＝＝＝1AB等1
15． [2014·福建卷] 函数f(x)＝零点数________．
15．2　[解析] x≤0时f(x)＝x2－2
令x2－2＝0x＝(舍)x＝－
区间(－∞0)函数零点．
x>0时f(x)＝2x－6＋ln x
令2x－6＋ln x＝0ln x＝6－2x
作出函数y＝ln xy＝6－2x区间(0＋∞)图
两函数图交点函数f(x)＝2x－6＋ln x(x>0)零点．
综知函数f(x)零点数2
16． [2014·福建卷] 已知集合{abc}＝{012}列三关系：①a≠2②b＝2③c≠0正确100a＋10b＋c等________．
16．201　[解析] (i)①正确②③正确③正确c＝0①正确a＝1b＝2②正确矛盾①正确．
(ii)②正确①③正确①正确a＝2②正确矛盾②正确．
(iii)③正确①②正确①正确a＝2②正确③正确b＝0c＝1③正确．
100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201
17． [2014·福建卷] 等数列{an}中a2＝3a5＝81
(1)求an
(2)设bn＝log3an求数列{bn}前n项Sn
17．解：(1)设{an}公q题意
解
an＝3n－1
(2)bn＝log3an＝n－1
数列{bn}前n项Sn＝＝
18． [2014·福建卷] 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f值
(2)求函数f(x)正周期单调递增区间．

18．解：方法：
(1)f＝2cos
＝－2cos＝2
(2)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1
T＝＝π函数f(x)正周期π
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z
kπ－≤x≤kπ＋k∈Z
f(x)单调递增区间k∈Z
方法二：f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1
(1)f＝sin＋1
＝sin＋1
＝2
(2)T＝＝π函数f(x)正周期π
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z
kπ－≤x≤kπ＋k∈Z
f(x)单调递增区间k∈Z
19． [2014·福建卷] 图1­6示三棱锥A ­ BCD中AB⊥面BCDCD⊥BD
(1)求证：CD⊥面ABD
(2)AB＝BD＝CD＝1MAD中点求三棱锥A ­ MBC体积．

图1­6
19．解：方法：(1)证明：∵AB⊥面BCDCD⊂面BCD
∴AB⊥CD
∵CD⊥BDAB∩BD＝B
AB⊂面ABDBD⊂面ABD
∴CD⊥面ABD
(2)AB⊥面BCD

AB⊥BD
∵AB＝BD＝1∴S△ABD＝
∵MAD中点
∴S△ABM＝S△ABD＝
(1)知CD⊥面ABD
∴三棱锥C ­ ABM高h＝CD＝1
三棱锥A ­ MBC体积
VA ­ MBC＝VC ­ ABM＝S△ABM·h＝

方法二：(1)方法．
(2)AB⊥面BCD面ABD⊥面BCD
面ABD∩面BCD＝BD
图示点M作MN⊥BD交BD点N
MN⊥面BCDMN＝AB＝
CD⊥BDBD＝CD＝1∴S△BCD＝
∴三棱锥A ­ MBC体积
VA ­ MBC＝VA ­ BCD－VM ­ BCD
＝AB·S△BCD－MN·S△BCD
＝
20． [2014·福建卷] 根世行2013年新标准均GDP低1035美元低收入国家均GDP1035～4085美元中等偏收入国家均GDP4085～12 616美元中等偏收入国家均GDP低12 616美元高收入国家．某城市5行政区区口占该城市口例均GDP表：

行政区
区口占城市口例
区均GDP(单位：美元)
A
25
8000
B
30
4000
C
15
6000
D
10
3000
E
20
10 000
(1)判断该城市均GDP否达中等偏收入国家标准
(2)现该城市5行政区中机抽取2求抽2行政区均GDP达中等偏收入国家标准概率．
20．解：(1)设该城市口总数a该城市均GDP
＝
6400(美元)．
6400∈[408512 616)
该城市均GDP达中等偏收入国家标准．
(2)5行政区中机抽取2基事件：
{AB}{AC}{AD}{AE}{BC}{BD}{BE}{CD}{CE}{DE}10．
设事件M抽2行政区均GDP达中等偏收入国家标准
事件M包含基事件：{AC}{AE}{CE}3．
求概率P(M)＝
21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ点点F(01)距离直线y＝－3距离2
(1)求曲线Γ方程．
(2)曲线Γ点P处切线lx轴交点A直线y＝3分直线ly轴交点MNMN直径作圆C点A作圆C切线切点B试探究：点P曲线Γ运动(点P原点重合)时线段AB长度否发生变化？证明结．
21．解：方法：(1)设S(xy)曲线Γ意点．
题意点S点F(01)距离直线y＝－1距离相等
曲线Γ点F(01)焦点直线y＝－1准线抛物线
曲线Γ方程x2＝4y

(2)点P曲线Γ运动时线段AB长度变．证明：
(1)知抛物线Γ方程y＝x2
设P(x0y0)(x0≠0)y0＝x
y′＝x切线l斜率k＝y′|x＝x0＝x0
切线l方程y－y0＝x0(x－x0)y＝x0x－x
A
M
N(03)圆心C
半径r＝|MN|＝
|AB|＝
＝
＝
点P曲线Γ运动时线段AB长度变．
方法二：(1)设S(xy)曲线Γ意点
|y－(－3)|－＝2
题意点S(xy)直线y＝－3方y＞－3
＝y＋1
化简曲线Γ方程x2＝4y
(2)方法．
22． [2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a常数)图y轴交点A曲线y＝f(x)点A处切线斜率－1
(1)求a值函数f(x)极值
(2)证明：x＞0时x2＜ex
(3)证明：意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x＜cex
22．解：方法：(1)f(x)＝ex－ax
f′(x)＝ex－a
f′(0)＝1－a＝－1a＝2
f(x)＝ex－2xf′(x)＝ex－2
令f′(x)＝0x＝ln 2
x＜ln 2时f′(x)＜0f(x)单调递减
x＞ln 2时f′(x)＞0f(x)单调递增．
x＝ln 2时f(x)极值
极值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4
f(x)极值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2g′(x)＝ex－2x
(1)g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0
g′(x)＞0
g(x)R单调递增g(0)＝1＞0
x＞0时g(x)＞g(0)＞0x2＜ex
(3)证明：意定正数c取x0＝
(2)知x＞0时x2＜ex
x＞x0时ex＞x2＞xx意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x＜cex
方法二：(1)方法．
(2)方法．
(3)证明：令k＝(k＞0)等式x＜cex成立ex＞kx成立．
ex＞kx成立需x>ln(kx)
x＞ln x＋ln k成立．
①0＜k≤1ln k≤0易知x＞0时x＞ln x≥ln x＋ln k成立．
意c∈[1＋∞)取x0＝0
x∈(x0＋∞)时恒x＜cex
②k＞1令h(x)＝x－ln x－ln kh′(x)＝1－＝
x＞1时h′(x)＞0h(x)(1＋∞)单调递增．
取x0＝4kh(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)
易知k＞ln kk＞ln 2h(x0)＞0
意c∈(01)取x0＝x∈(x0＋∞)时恒x＜cex
综意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x＜cex
方法三：(1)方法．
(2)方法．
(3)证明：①c≥1取x0＝0
(2)证明程知ex＞2x
x∈(x0＋∞)时cex≥ex＞2x＞x
x＜cex
②0＜c＜1
令h(x)＝cex－xh′(x)＝cex－1
令h′(x)＝0x＝ln
x＞ln时h′(x)＞0h(x)单调递增．
取x0＝2ln
h(x0)＝ce2ln－2ln＝2
易知－ln＞0h(x)(x0＋∞)单调递增
x∈(x0＋∞)时恒h(x)＞h(x0)＞0
x＜cex
综意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x＜cex


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