中学高考——2014·北京（文科数学） （1）

2014·北京卷(文科数学)
1． [2014·北京卷] 集合A＝{0124}B＝{123}A∩B＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．{01234} B．{04}
C．{12} D．{3}
1．C　[解析] A∩B＝{0124}∩{123}＝{12}．
2． [2014·北京卷] 列函数中定义域R增函数(　　)
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
2．B　[解析] 定义域R排选项C函数单调递增排选项AD
3． [2014·北京卷] 已知量a＝(24)b＝(－11)2a－b＝(　　)
A．(57) B．(59)
C．(37) D．(39)
3．A　[解析] 2a－b＝2(24)－(－11)＝(57)．
4． [2014·北京卷] 执行图1­1示程序框图输出S值(　　)

图1­1
A．1 B．3
C．7 D．15
4．C　[解析] S＝20＋21＋22＝7
5． [2014·北京卷] 设ab实数a＞ba2＞b2(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充分必条件
D．充分必条件
5．D　[解析] ab<0时a>b定推出a2>b2反成立．
6． [2014·北京卷] 已知函数f(x)＝－log2x列区间中包含f(x)零点区间(　　)
A．(01) B．(12)
C．(24) D．(4＋∞)
6．C　[解析] 方法：函数f(x)＝－log2xf(2)＝2>0f(4)＝－05<0根零点存性定理知选C
方法二：坐标系中作出函数h(x)＝g(x)＝log2x致图图示f(x)零点区间(24)．

7． [2014·北京卷] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1两点A(－m0)B(m0)(m＞0)．圆C存点P∠APB＝90°m值(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
7．B　[解析] 图知圆C存点P∠APB＝90°圆CAB直径圆公点－1≤m≤＋14≤m≤6

8． [2014·北京卷] 加工爆米花时爆开糊粒数占加工总粒数百分称食率．特定条件食率p加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(abc常数)图1­2记录三次实验数．根述函数模型实验数佳加工时间(　　)

图1­2
A．350分钟 B．375分钟
C．400分钟 D．425分钟
8．B　[解析] 题意解
∴p＝－02t2＋15t－2＝－02(t－375)2＋08125t＝375时p值．
9． [2014·北京卷] (x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)x＝________．
9．2　[解析] ∵(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i∴x＝2
10． [2014·北京卷] 设双曲线C两焦点(－0)(0)顶点(10)C方程________．
10．x2－y2＝1　[解析] 题意设双曲线方程x2－＝1(b>0)∵1＋b2＝()2∴b2＝1双曲线C方程x2－y2＝1
11． [2014·北京卷] 某三棱锥三视图图1­3示该三棱锥长棱棱长________．

图1­3
11．2　[解析] 该三棱锥直观图图示PB⊥面ABCPB＝2AB＝2AC＝BC＝PA＝＝2PC＝＝PA长．

12． [2014·北京卷] △ABC中a＝1b＝2cos C＝c＝________sin A＝________．
12．2　　[解析] 余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×2×1×＝4c＝2cos A＝＝＝∴sin A＝＝
13． [2014·北京卷] xy满足z＝x＋y值________．
13．1　[解析] 行域图目标函数线z＝y＋x行域A点时z值联立A(01)zmin＝×0＋1×1＝1

14． [2014·北京卷] 顾客请位工艺师AB两件玉石原料制成件工艺品．工艺师带位徒弟完成项务．件原料先徒弟完成粗加工工艺师进行精加工完成制作两件工艺品完成交付顾客．两件原料道工序需时间(单位：工作日)：
工序时间原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
短交货期________工作日．
14．42　[解析] 交货期短应先徒弟加工原料B交货期6＋21＋15＝42工作日．
15． [2014·北京卷] 已知{an}等差数列满足a1＝3a4＝12数列{bn}满足b1＝4b4＝20{bn－an}等数列．
(1)求数列{an}{bn}通项公式
(2)求数列{bn}前n项．
15．解：(1)设等差数列{an}公差d题意
d＝＝＝3
an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝12…)．
设等数列{bn－an}公q题意
q3＝＝＝8解q＝2
bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1
bn＝3n＋2n－1(n＝12…)．
(2)(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝12…)．
数列{3n}前n项n(n＋1)数列{2n－1}前n项1×＝2n－1
数列{bn}前n项n(n＋1)＋2n－1
16． [2014·北京卷] 函数f(x)＝3sin部分图图1­4示．

图1­4
(1)写出f(x)正周期图中x0y0值
(2)求f(x)区间值值．
16．解：(1)f(x)正周期π
x0＝y0＝3
(2)x∈2x＋∈
2x＋＝0
x＝－时f(x)取值0
2x＋＝－
x＝－时f(x)取值－3
17． [2014·北京卷] 图1­5三棱柱ABC ­A1B1C1中侧棱垂直底面AB⊥BCAA1＝AC＝2BC＝1EF分A1C1BC中点．

图1­5
(1)求证：面ABE⊥面B1BCC1
(2)求证：C1F∥面ABE
(3)求三棱锥E ­ ABC体积．
17．解：(1)证明：三棱柱ABC ­ A1B1C1中BB1⊥底面ABC
BB1⊥AB
AB⊥BC
AB⊥面B1BCC1
面ABE⊥面B1BCC1
(2)证明：取AB中点G连接EGFG

EFG分A1C1BCAB中点
FG∥ACFG＝ACEC1＝A1C1
AC∥A1C1AC＝A1C1
FG∥EC1FG＝EC1
四边形FGEC1行四边形
C1F∥EG
EG⊂面ABEC1F⊄面ABE
C1F∥面ABE
(3)AA1＝AC＝2BC＝1AB⊥BC
AB＝＝
三棱锥E ­ ABC体积
V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝
18． [2014·北京卷] 某校机抽取100名学生获周课外阅读时间(单位：时)数整理数分组频数分布表频率分布直方图(图1­6)．

组号
分组
频数
1
[02)
6
2
[24)
8
3
[46)
17
4
[68)
22
5
[810)
25
6
[1012)
12
7
[1214)
6
8
[1416)
2
9
[1618)
2
合计
100



图1­6
(1)该校机选取名学生试估计名学生该周课外阅读时间少12时概率
(2)求频率分布直方图中ab值
(3)假设组中数该组区间中点值代试估计样中100名学生该周课外阅读时间均数第组．(需写出结)
18．解：(1)根频数分布表100名学生中课外阅读时间少12时学生6＋2＋2＝10(名)样中学生课外阅读时间少12时频率1－＝09
该校机选取名学生估计课外阅读时间少12时概率09
(2)课外阅读时间落组[46)17频率017a＝＝＝0085
课外阅读时间落组[810)25频率025b＝＝＝0125
(3)样中100名学生课外阅读时间均数第4组．
19． [2014·北京卷] 已知椭圆C：x2＋2y2＝4
(1)求椭圆C离心率
(2)设O原点点A直线y＝2点B椭圆COA⊥OB求线段AB长度值．
19．解：(1)题意椭圆C标准方程＋＝1
a2＝4b2＝2c2＝a2－b2＝2
a＝2c＝
椭圆C离心率e＝＝
(2)设点AB坐标分(t2)(x0y0)
中x0≠0
OA⊥OB·＝0
tx0＋2y0＝0解t＝－
x＋2y＝4
|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝＋(y0－2)2
＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4
＝＋＋4　(0＜x≤4)．
＋≥4(0＜x≤4)x＝4时等号成立|AB|2≥8
线段AB长度值2
20． [2014·北京卷] 已知函数f(x)＝2x3－3x
(1)求f(x)区间[－21]值
(2)点P(1t)存3条直线曲线y＝f(x)相切求t取值范围
(3)问点A(－12)B(210)C(02)分存条直线曲线y＝f(x)相切？(需写出结)
20．解：(1)f(x)＝2x3－3xf′(x)＝6x2－3
令f′(x)＝0x＝－x＝
f(－2)＝－10f＝f＝－f(1)＝－1
f(x)区间[－21]值f＝
(2)设点P(1t)直线曲线y＝f(x)相切点(x0y0)
y0＝2x－3x0切线斜率k＝6x－3
切线方程y－y0＝(6x－3)(x－x0)
t－y0＝(6x－3)(1－x0)
整理4x－6x＋t＋3＝0
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3
点P(1t)存3条直线曲线y＝f(x)相切等价g(x)3零点．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
x变化时g(x)g′(x)变化情况：

x
(－∞0)
0
(01)
1
(1＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

t＋3

t＋1

g(0)＝t＋3g(x)极值g(1)＝t＋1g(x)极值．
结合图知g(x)3零点时解－3点P(1t)存3条直线曲线y＝f(x)相切时t取值范围(－3－1)．
(3)点A(－12)存3条直线曲线y＝f(x)相切
点B(210)存2条直线曲线y＝f(x)相切
点C(02)存1条直线曲线y＝f(x)相切．


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