高考卷 05高考理科数学（湖南卷）试题及答案

2005年高考理科数学湖南卷试题答案
选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合题目求
1．复数z＝i＋i2＋i3＋i4值　 （　　）
　 A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．i
2．函数f(x)＝定义域　 （　 ）
　　A．－∞0]　　 B．[0＋∞　 C．（－∞0）　 D．（－∞＋∞）
3．已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）等差数列a1＝3a2＝5
　　 （　 ）
　　A．2　　 B．　　 C．1　　 D．
4．已知点P（xy）等式组表示面区域运动z＝x－y取值范围　　（　　）
A．[－2－1]　　 B．[－21]　 C．[－12] D．[12]
5．图正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1O底面A1B1C1D1中心O面AB C1D1距离　（　）
A．　 B．　
C．　 D．
6．设f0(x)＝sinxf1(x)＝f0′(x)f2(x)＝f1′(x)…fn＋1(x)＝fn′(x)n∈Nf2005(x)＝（　）
　　A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx　 D．－cosx
7．已知双曲线－＝1（a＞0b＞0）右焦点F右准线条渐线交点A△OAF面积（O原点）两条渐线夹角　 （ 　）
　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º
8．集合A＝｛x|＜0＝B＝｛x || x b|＜aa＝1A∩B≠充分条件
b取值范围 （ 　）
　 A．－2≤b＜0　 B．0＜b≤2　 C．－3＜b＜－1　 D．－1≤b＜2
9．4位学参加某种形式竞赛竞赛规规定：位学必须甲．乙两道题中选题作答选甲题答100分答错－100分选乙题答90分答错－90分4位学总分04位学分情况种数 （　 ）
　　A．48　　 B．36　　 C．24　　 D．18
10．设P△ABC意点S△ABC表示△ABC面积λ1＝ λ2＝
λ3＝定义f(P)(λ1 λ λ3)G△ABC重心f(Q)＝（）（　 ）
A．点Q△GAB　 B．点Q△GBC　
C．点Q△GCA　 D．点Q点G重合
第Ⅱ卷（非选择题）
二填空题：题5题题4分（第15题空2分）20分答案填答题卡中应题号横线
11．工厂生产某种产品16800件甲．乙．丙3条生产线检查批产品质量决定采分层抽样方法进行抽样已知甲．乙．丙三条生产线抽取体数组成等差数列乙生产线生产　　　 件产品
12．展开式中x 2项系数　　　　（数字作答）
13．已知直线ax＋by＋c＝0圆O：x2＋y2＝1相交AB两点|AB|＝　＝　　
14．设函数f(x)图象关点（12）称存反函数f (4)＝0＝　
15．设函数f (x)图象直线x ax bx轴围成图形面积称函数f(x)[ab]面积已知函数y＝sinnx[0]面积（n∈N*）（i）y＝sin3x[0]面积　　　（ii）y＝sin（3x－π）＋1[]面积　　 　
三解答题：题6题80分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
16．（题满分12分）
已知△ABC中sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0sinB＋cos2C＝0求角ABC



17．（题满分12分）
　 图1已知ABCD．底边长分26高等腰梯形称轴OO1折成直二面角图2
图1
图2
　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1

图1 图2







18．（题满分14分）
某城市甲乙丙3旅游景点位客游览三景点概率分040506客否游览景点互影响设ξ表示客离开该城市时游览景点数没游览景点数差绝值
（Ⅰ）求ξ分布数学期
（Ⅱ）记函数f(x)＝x2－3ξx＋1区间[2＋∞单调递增事件A求事件A概率










19．（题满分14分）
　 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）左．右焦点F1F2离心率e 直线
l：y＝ex＋ax轴．y轴分交点ABM直线l椭圆C公点P点F1关直线l称点设＝λ
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2
（Ⅱ）确定λ值△PF1F2等腰三角形



20．（题满分14分）
　　 然状态鱼类种生资源持续利资源需宏观考察生力捕捞强度鱼群总量影响 xn表示某鱼群第n年年初总量n∈N*x1＞0考虑素设第n年鱼群繁殖量捕捞量xn成正死亡量xn2成正例系数次正常数abc
（Ⅰ）求xn+1xn关系式
（Ⅱ）猜测：仅x1abc满足什条件时年年初鱼群总量保持变？（
求证明）
　 （Ⅱ）设a＝2b＝1保证意x1∈（02）xn＞0n∈N*捕捞强度b
允许值少？证明结










21．（题满分14分）
已知函数f(x)＝lnxg(x)＝ax2＋bxa≠0
（Ⅰ）b＝2h(x)＝f(x)－g(x)存单调递减区间求a取值范围
（Ⅱ）设函数f(x)图象C1函数g(x)图象C2交点PQ线段PQ中点作x轴垂线分交C1C2点MN证明C1点M处切线C2点N处切线行
















2005年高考理科数学湖南卷试题答案
参考答案
选择题：1—5：BACCB 6—10： CDDBA
二填空题：
11．5600 12．35 13． 14．－2
15．
解：函数y＝sinnx[0]面积（n∈N*）函数y＝sinnx半周期图x轴围成封闭图形面积
（i）y＝sin3x[0]面积图示两封闭图形面积


（ii）y＝sin（3x－π）＋1＝－[]面积图示面积：



三解答题：
16．解法




知



解法二：





知B+2C合求

17．解法（I）证明 题设知OA⊥OO1OB⊥OO1
∠AOB折成直二面角面角
OA⊥OB O原点OAOBOO1
图3
直线分轴y轴z轴建立空间直角坐标系
图3相关点坐标A（300）
B（030）C（01）
O1（00）


AC⊥BO1
（II）解：BO1⊥OC
（I）AC⊥BO1BO1⊥面OAC面OAC法量
设0面O1AC法量

设二面角O—AC—O1方知>
cos>
二面角O—AC—O1
解法二（I）证明 题设知OA⊥OO1OB⊥OO1
∠AOB折成直二面角面角
OA⊥OB AO⊥面OBCO1
OCAC面OBCO1射影

∠OO1B60°∠O1OC30°OC⊥BO1
图4
三垂线定理AC⊥BO1
（II）解 （I）AC⊥BO1OC⊥BO1知BO1⊥面AOC
设OC∩O1BE点E作EF⊥ACF连结O1F（图4）EFO1F面AOC
射影三垂线定理O1F⊥AC
∠O1FE二面角O—AC—O1面角
题设知OA3OO1O1C1

O1EOO1·sin30°
二面角O—AC—O1
18．解：（I）分记客游览甲景点客游览乙景点客游览丙景点
事件A1A2A3 已知A1A2A3相互独立P（A1）04P（A2）05
P（A3）06
客游览景点数取值0123 相应客没游览景点数取
值3210取值13
P（3）P（A1·A2·A3）+ P（）
P（A1）P（A2）P（A3）+P（）
2×04×05×06024

1
3
P
076
024

P（1）1－024076
分布列
E1×076+3×024148
（Ⅱ）解法
函数单调递增
单调递增仅

解法二：取值13
1时函数单调递增
3时函数单调递增0

19．（Ⅰ）证法：AB分直线l：x轴y轴交点AB坐标分
点M坐标（）

证法二：AB分直线l：x轴y轴交点AB坐标分设M坐标


点M椭圆


解
（Ⅱ）解法：PF1⊥l∠PF1F290°+∠BAF1钝角△PF1F2等腰三角形必|PF1||F1F2|
设点F1l距离d



△PF1F2等腰三角形
解法二：PF1⊥l∠PF1F290°+∠BAF1钝角△PF1F2等腰三角形必|PF1||F1F2|
设点P坐标

|PF1||F1F2|
两边时4a2化简


时△PF1F2等腰三角形
20．解（I）第n年初第n+1年初鱼群繁殖量axn捕捞量bxn死亡量


（II）年年初鱼群总量保持变xn恒等x1 n∈N*（*）式

x1>0a>b
猜测：仅a>b时年年初鱼群总量保持变
（Ⅲ）b值xn>0n∈N*
xn+1xn(3－b－xn) n∈N* 知
0 x1∈(0 2)
猜测b允许值1
证 x1∈(0 2) b1时xn∈(0 2) n∈N*
①n1时结显然成立
②假设nk时结成立xk∈(0 2)
nk+1时xk+1xk(2－xk)>0
xk+1xk(2－xk)－(xk－1)2+1≤1<2
xk+1∈(0 2)nk+1时结成立
①②知意n∈N*xn∈(02)
综述保证意x1∈(0 2) xn>0 n∈N*捕捞强度b允许值1
21．解：（I）

函数h(x)存单调递减区间<0解
x>0时ax2+2x－1>0x>0解
①a>0时yax2+2x－1开口抛物线ax2+2x－1>0总x>0解
②a<0时yax2+2x－1开口抛物线ax2+2x－1>0总x>0解
△4+4a>0方程ax2+2x－10少正根时－1 综述a取值范围（－10）∪（0+∞）
（II）证法 设点PQ坐标分（x1 y1）（x2 y2）0 点MN横坐标
C1点M处切线斜率
C2点N处切线斜率
假设C1点M处切线C2点N处切线行k1k2



设①
令
时）单调递增
①矛盾假设成立
C1点M处切线C2点N处切线行
证法二：证法

令 ②
令
时
[1+单调递增
[1+单调递增
②矛盾假设成立
C1点M处切线C2点N处切线行



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