新教版九年级册数学知识点纳
第二十章 元二次方程
211 元二次方程
等式中含未知数未知数高次数2次整式方程做元二次方程
元二次方程四特点：(1)含未知数(2)未知数次数高次数2(3)整式方程．判断方程否元二次方程先否整式方程进行整理．果整理 ax2+bx+c0(a≠0)形式方程元二次方程． （4）方程化般形式：ax2+bx+c0时应满足（a≠0）
212 降次——解元二次方程
解元二次方程基思想方法通降次化两元次方程元二次方程四种解法：
1直接开方法：
直接开方法解形(xm)2n (n≥0)方程解x± m
直接开方法方逆运算通常根号表示运算结果
2配方法
通配成完全方式方法元二次方程根方法种解元二次方程方法称配方法配方完全方公式
1转化： 元二次方程化ax^2+bx+c0形式(元二次方程般形式）
2系数化1： 二次项系数化1
3移项： 常数项移等号右侧
4配方： 等号左右两边时加次项系数半方
5变形： 等号左边代数式写成完全方形式
6开方： 左右时开方
7求解： 整理原方程根
3公式法
公式法：元二次方程化成般形式然计算判式△b24ac值b24ac≥0时项系数a b c值代入求根公式x(b24ac≥0)方程根
式分解法：方程变形边零边二次三项式分解成两次式积形式两次式分等零两元次方程解两元次方程根原方程两根种解元二次方程方法做式分解法
213 实际问题元二次方程
列元二次方程解应题列元次方程解应题继续发展
列方程解应题方法讲列出元二次方程解应题列出元次方程解应题非常相似元次方程未知数次类问题部分通算术方法解决．果未知数出现二次算术方法困难正未知数二次元二次方程解决关面积问题两次增长均增长率问题数学问题中涉积问题营决策问题等等．
第二十二章 二次函数
221二次函数图
二次函数（quadratic function）指未知数高次数二次项式函数二次函数表示yax2+bx+c(a0)图条轴行y轴抛物线
般变量x变量y间存关系：
般式 yax2+bx+c(a≠0abc常数)顶点坐标(b2a(b24ac)4a)
顶点式
ya(xh)2+k(a≠0ahk常数)ya(xh)２+k(a≠0ahk常数)顶点坐标（hk）称轴xh顶点位置特征图开口方函数ｙ＝ax２图相时题目会指出配方法般式化成顶点式
交点式
ya(xx1)(xx2) [仅限x轴交点A（x10） B（x20）抛物线]
重概念：abc常数a≠0a决定函数开口方a>0时开口方a<0时开口方a绝值决定开口a绝值越开口越a绝值越开口越
y
面直角坐标系中作出二次函数yx2方图
出二次函数图条永止境抛物线
二次函数图
果画图形准确误二次函数般式移
x
轴称
1抛物线轴称图形称轴直线x b2a
称轴抛物线唯交点抛物线顶点P 特b0时抛物线称轴y轴（直线x0）
顶点
2抛物线顶点P坐标P ( b2a 4acb2)4a )
b2a0时Py轴Δ b24ac0时Px轴
开口
3二次项系数a决定抛物线开口方
a＞0时抛物线开口a＜0时抛物线开口
|a|越抛物线开口越
决定称轴位置素
4次项系数b二次项系数a决定称轴位置
ab号时（ab＞0）称轴y轴左 称轴左边称轴0 b2a<0b2a0ab号
ab异号时（ab＜0）称轴y轴右称轴右边称轴0 b2a>0 b2a0ab异号
简单记忆左右异ab号时（ab＞0）称轴y轴左ab异号时
ab＜ 0 ）称轴y轴右
事实b身意义：抛物线y轴交点处该抛物线切线函数解析式（次函数）
斜率k值通二次函数求导
决定抛物线y轴交点素
5常数项c决定抛物线y轴交点
抛物线y轴交（0c）
抛物线x轴交点数
6抛物线x轴交点数
Δ b24ac＞0时抛物线x轴2交点 Δ b24ac0时抛物线x轴1交点
Δ b24ac＜0时抛物线x轴没交点
a>0时函数x b2a处取值a<0时函数x b2a处取值
b0时抛物线称轴y轴
7特殊值形式
①x１时 ya+b+c ②x1时 yab+c ③x2时 y4a+2b+c
④x2时 y4a2b+c
函数观点元二次方程
1 果抛物线x轴公点公点横坐标时函数值0方程根
2 二次函数图象x轴位置关系三种：没公点公点两公点应着元二次方程根三种情况：没实数根两相等实数根两等实数根
实际问题二次函数
日常生活生产科研中求材料省时间少效率高等问题结求二次函数值值
第二十三章 旋转
231 图形旋转
1 图形旋转
（1）定义：面圆形绕定点某方（时针逆时针）转动角度样图形运动做旋转定点做旋转中心转动角称旋转角
（2）生活中旋转现象致两类：类物体旋转运动时钟时针分针秒针转动风车转动等类某基图形通旋转形成图案香港特行政区区旗紫荆花图案
（3）图形旋转改变图形形状旋转旋转中心旋转角决定旋转中心图形图形外
（4）会找应点应线段应角
2 旋转基特征：
（1）图形旋转时图形中点绕旋转中心旋转样角度
（2）图形旋转时应点旋转中心距离相等应线段相等应角相等
（3）图形旋转时图形形状没发生改变
3 点说明：
（1）理解旋转特征时首先图形找出旋转中心旋转方应点旋转角
（2）旋转角度应线段夹角应顶点旋转中心连线夹角
（3）旋转中心确定分两种情况图形图形外图形点旋转程中位置没改变点旋转中心图形外应点连线垂直分线交点旋转中心
232 中心称
中心称：图形绕着某点旋转180°假够图形重合刘遇图形关点称中心称
中心称性质：①关中心称刘遇图形应点连线段称中心称中心分②关中心称刘遇图形全等形
中心称图形：图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形重合图形做中心称图形
称点坐标规律：①关x轴称：横坐标变坐标互相反数②关y轴称：横坐标互相反数坐标变③关原点称：横坐标坐标互相反数
233 课题学 图案设计
灵活运移旋转轴称等变换进行图案设计．
图案设计通图形变换(移旋转轴称种组合)基图形组成具定意义新图形图案设计时仅否正确图形变换图案否体现设计意图．
第二十四章 圆
241 圆
定义：（1）面定点距离等定长点组成图形做圆
（2)面条线段绕端旋转360°留轨迹圆
圆心：（1）定义（1）中该定点圆心
（2）定义（2）中绕端端点圆心
（3）圆意两条称轴交点圆心
（4） 垂直圆意条弦两端点圆线段二分点圆心
注：圆心般字母O表示
直径：通圆心两端圆线段做圆直径直径般字母d表示
半径：连接圆心圆意点线段做圆半径半径般字母r表示
圆直径半径数条圆轴称图形条直径直线圆称轴圆等圆中：直径半径2倍半径直径二分d2rr二分d
圆半径直径决定圆圆心决定圆位置
圆周长：围成圆曲线长度做圆周长字母C表示
圆周长直径值做圆周率
圆周长直径商固定数做圆周率限循环数（理数）字母π表示计算时通常取似值π≈314
直径圆周角直角90°圆周角弦直径
圆面积公式：圆占面做圆面积πr^2字母S表示
条弧圆周角圆心角二分
圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等弦心距相等
圆等圆中果两条弧相等圆心角相等弦相等弦心距相等
圆等圆中果两条弦相等圆心角相等弧相等弦心距相等
周长计算公式
1已知直径：Cπd 2已知半径：C2πr 3已知周长：Dc＼π
4圆周长半1＼2周长(曲线) 5半圆长：1＼2周长+直径
面积计算公式：
1已知半径：Sπr方 2已知直径：Sπ（d＼2）方 3已知周长：Sπ(c＼2π)方
242 点直线圆圆位置关系
1 点圆位置关系
① 点圆点圆心距离半径 ② 点圆点圆心距离等半径
③ 点圆外点圆心距离半径
2 三点圆直线三点确定圆
3 外接圆外心
三角形三顶点做圆圆做三角形外接圆
外接圆圆心三角形三条边垂直分线交点做三角形外心
4 直线圆位置关系
相交：直线圆两公点条直线圆相交条直线做圆割线
相切：直线圆公点条直线圆相切条直线做圆切线点做切点
相离：直线圆没公点条直线圆相离
5 直线圆位置关系性质判定
果⊙O半径r圆心O直线距离d
① 直线⊙O相交② 直线⊙O相切③ 直线⊙O相离
圆圆
定义：
两圆没公点圆点圆外部时做两圆外离
两圆唯公点公点外圆点圆外部做两圆外切
两圆两交点做两圆相交
两圆唯公点公点外圆点圆部做两圆切
两圆没公点圆点圆部时做两圆含
原理：
圆心距半径数量关系：
两圆外离＜＝＞ d＞R+r 两圆外切＜＝＞ dR+r
两圆相交＜＝＞ Rr＝r) 两圆切＜＝＞ dRr(R>r)
两圆含＜＝＞ dr)
243 正边形圆
1正边形概念：边相等角相等边形做正边形
2正边形圆关系：
(1)圆n(n≥3)等分(助量角器)次连结等分点边形圆接正边形
(2)圆正边形外接圆
3正边形关概念：
(1)正边形中心——正边形外接圆圆心
(2)正边形半径——正边形外接圆半径
(3)正边形边心距——正边形中心正边形边距离
(4)正边形中心角——正边形边外接圆圆心角
4正边形性质：
(1)正边形外接圆
(2)正边形轴称图形边数偶数时中心称图形正n边形称轴n条
(3)边数相正边形相似
重点：正边形关计算
知识讲解
1正边形定义：边相等角相等边形正边形
例：正三角形正四边形(正方形)正六边形等等果正边形n条边边形正n边形
：矩形正边形具角相等边定相等菱形正边形具边相等角定相等
2正边形圆关系
正边形圆密切关系圆分成n(n≥3)等份次连结分点边形圆接正n边形
相邻分点间弧相等弦(正边形边)相等相邻两弦夹角(边形角)相等出连边形满足边相等角相等边形正边形
：圆6等分AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA
观察∠A∠B∠C∠D∠E∠F弧发现相等弧∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F
圆6等分次连结分点⊙O接正六边形
3正边形关计算
(1)首先明确正边形计算关概念：正边形中心O正边形半径Rn——外接圆半径正边形边心距rn正边形中心角αn正边形边长an
(2)正n边形n条半径正n边形分成n全等等腰三角形等腰三角形顶角正n边形中心角等果作出正n边形边边心距边心距n等腰三角形分成2n全等直角三角形
图：正n边形ABCD……根讲解分析RtΔAOM基元素：
斜边OA——正n边形半径Rn
条直角边OM——正n边形边心距rn
条直角边AM——正n边形边长an半AM＝an
锐角∠AOM——正n边形中心角αn半∠AOM＝
锐角∠OAM——正n边形角半∠OAM＝[(n－2)·180°]
直角三角形中元素恰反映正n边形元素
正n边形关计算纳解直角三角形问题
4正边形关作图
(1)量角器等分圆
圆中相等圆心角弧相等作相等圆心角(等分顶点圆心周角)等分圆根圆中相等弧弦相等次连接分点画出相应正n边形
(2)尺规等分圆
特殊正n边形圆规直尺作出图形
①正四八边形
⊙O中尺规作两条互相垂直直径圆分成4等份作出正四边形 逐次分边弧(作∠AOB分线交 E) 作出正八边形正十六边形等边数逐次倍增正边形
②正六三十二边形作法
通简单计算知正六边形边长半径相等⊙O中画条直径AB分AB圆心⊙O半径半径画弧⊙O相交CDEFACEBFD⊙O6等分点
显然AEF(CBD)⊙O3等分点
样图(3)中分条边弧⊙O12等分……
5正边形称性
正边形轴称图形正n边形n条称轴条称轴通正n边形中心果正边形偶数条边中心称图形中心称中心
：正三角形正方形
244 弧长扇形面积
知识点1弧长公式
360°圆心角弧长圆周长C＝2R1°圆心角弧长半径R圆中n°圆心角弧长l计算公式：
说明：（1）弧长公式中n表示1°圆心角倍数n180带单位度例圆半径R＝10计算20°圆心角弧长l时错写成
（2）弧长公式中已知lnR中意两量求出第三量
知识点2扇形面积
图示阴影部分面积半径R圆心角n°扇形面积显然扇形面积圆面积部分圆心角360°扇形面积等圆面积圆心角1°扇形面积圆心角n°扇形面积计算公式
扇形弧长扇形面积扇形面积计算公式：
知识点3弓形面积
（1）弓形定义：弦弧（包括劣弧优弧半圆）组成图形做弓形
（2）弓形周长＝弦长＋弧长
（3）弓形面积
图示圆中阴影部分面积弓形面积图中出扇形OAmB面积△AOB面积计算出弓形AmB面积
弓形含弧劣弧时图1示
弓形含弧优弧时图2示
弓形含弧半圆时图3示
注意：（1）圆周长弧长圆面积扇形面积计算公式
圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
公
式
（2）扇形弓形联系区
（2）扇形弓形联系区
图
示
面
积
知识点4圆锥侧面积
圆锥侧面展开图扇形图示设圆锥母线长l底面圆半径r扇形半径l扇形弧长2圆锥侧面积圆锥全面积
说明：（1）圆锥侧面积底面积称圆锥全面积
（2）研究关圆锥侧面积全面积计算问题关键理解圆锥侧面积公式明确圆锥全面积侧面积间关系
知识点5圆柱侧面积
圆柱侧面积展开图矩形图示两邻边分圆柱高圆柱底面圆周长圆柱底面半径r高h圆柱侧面积圆柱全面积
知识结：
圆锥圆柱较
名称
圆锥
圆柱
图形
图形形成程
直角三角形旋转Rt△SOA绕直线SO旋转周
矩形旋转矩形ABCD绕直线AB旋转周
图形组成
底面侧面
两底面侧面
侧面展开图特征
扇形
矩形
面积计算方法
第二十五章 概率初步
251 机事件概率
1．机试验样空间
具列三特性试验称机试验：
(1) 试验相条件重复进行 ·
(2) 次试验结果止事先知道次试验结果
(3) 次试验前确定结果会出现．
试验结果组成集合样空间表示中结果表示称样空间中样点记作．
2．机事件
机试验中次试验中发生发生量重复试验中呈现某 种规律性事情称机事件(简称事件)．通常必然事件(记作)事件(记作)
作特殊机事件．
3．频率概率定义
(1) 频率定义
设机事件An次重复试验中发生次值／n称机事件A发生频率记作
(2) 概率统计定义
进行量重复试验中机事件A发生频率具稳定性试验次数n时频率稳定值(0<<1)附摆动规定事件A发生频率稳定值概率．
(3) 古典概率定义
具列两特征机试验数学模型称古典概型：
(i) 试验样空间限集妨记作
(ii) 次试验中样点(）出现概率相
．
古典概型中规定事件A概率
．
(4) 概率定义
果机试验样空间区域(直线区间面空间中区域)样空间中试验结果出现具等性规定事件Ａ概率
·
252 列举法求概率
1次试验中出现结果限种结果发生性相等时关注结果全部试验结果中占分析出事件中该结果发生概率时采列举法．
2列举法数象列举出分析求解方法．时列举出情况数目时需考虑排合理情况减少列举问题解数目
3利列表法树形图法求概率关键：①注意种情况出现性务必相②中某事件发生概率③考查种情况出现次数某事件发生次数时重复遗漏
4列表法树形图法求概率理概率实验估计值频率通常受实验次数影响产生波动两者定致实验次数较时频率稳定概率完全等概率
253 频率估计概率
做量重复试验时着试验次数增加机事件出现频率应该稳定该事件发生概率事件发生频率概率区联系：事件发生频率定相变数事件发生概率常数间密切联系着试验次数增加频率越越稳定概率
具体操作程中家发现：然次试验结果频率逐渐稳定概率做少次试验两者间存着定偏差应该注意：种偏差存常正常外受某素影响通试验估计结果太理想甚出现极端情况时应正确样结果尝试着结果进行合理解释试验结果频率理概率偏差理解形成机观念重环节
实际应中试验次数越时出现极端情况性越常常通做量重复试验获事件发生频率作概率估计值试验次数越估计结果越
第二十六章 反例函数
261知识点1 反例函数定义
般形（k常数）函数称反例函数方面理解：
⑴x变量yx反例函数
⑵变量x取值范围切实数函数值取值范围
⑶例系数反例函数定义重组成部分
⑷反例函数三种表达式：
①（）
②（）
③（定值）（）
⑸函数（）（）等价yx反例函数时xy反例函数
（k常数）反例函数部分k0时反例函数反例函数（）中定系数组应值求出k值确定反例函数表达式
262知识点2定系数法求反例函数解析式
反例函数（）中定系数组应值求出k值确定反例函数表达式
263知识点3反例函数图画法
反例函数图双曲线两分支两分支分位第第三象限第二第四象限原点称反例函数中变量函数中变量函数值图x轴y轴没交点双曲线两分支限接坐标轴永远达坐标轴
反例画法分三步骤：⑴列表⑵描点⑶连线
作反例函数图时应注意点：
①列表时选取数值宜称选取
②列表时选取数值越画图越精确
③连线时必须根变量左右（右左）光滑曲线连接切忌画成折线
④画图时两分支应全部画出切忌图坐标轴相交
264知识点4反例函数性质
☆关反例函数性质研究图位置函数值增减情况表：
反例函数
（）
符号
图
性质
①取值范围y取值范围
②时函数图两分支分第第三象限象限yx增减
①取值范围y取值范围
②时函数图两分支分第二第四象限象限yx增增
注意：描述函数值增减情况时必须指出象限……否笼统说时yx增减会事实符矛盾
反例函数图位置函数增减性反例函数系数k符号决定反反例函数图（双曲线）位置函数增减性推断出k符号第第三象限知
☆反例函数（）中例系数k绝值意义
图示双曲线点P（xy）分作x轴y轴垂线EF分垂足
☆ 反例函数（）中越双曲线越远离坐标原点越双曲线越坐标原点
☆ 双曲线中心称图形称中心坐标原点双曲线轴称图形称轴直线yx直线y－x
第二十七章 相似
27．1 图形相似
概述
果两图形形状相定相等两图形相似（相似符号：∽）
判定
果两边形满足应角相等应边相等两边形相似
相似
相似边形应边相似相似1时相似两图形全等
性质
相似边形应角相等应边相等相似边形周长等相似
相似边形面积等相似方
27．2 相似三角形
判定
1两三角形两角应相等
2两边应成例夹角相等
3三边应成例
4行三角形边直线两边两边延长线相交构成三角形原三角形相似
例题
∵∠A∠A＇ ∠B∠B＇
∴△ABC∽△A＇B＇C＇
性质
1相似三角形切应线段(应高应中线应角分线外接圆半径切圆半径等）等相似
2相似三角形周长等相似
3相似三角形面积等相似方
27．3 位似
果两图形仅相似图形组应点连线交点应边互相行两图形做位似图形点做位似中心时相似称位似
性质
位似图形应点位似中心直线位似中心距离等相似
位似边形应边行线
位似图形放缩
位似图形中心意点位似图形会着位似中心位变位变
根位似中心作两关已知图形定位似位似图形两图形分布位似中心两侧关位似中心称
注意
1位似种具位置关系相似两图形位似图形必定相似图形相似图形定位似图形
2两位似图形位似中心
3两位似图形位位似中心两侧位位似中心侧
4位似相似．利位似图形定义判断两图形否位似
5行三角形边直线两边相交构成三角形原三角形位似
第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
锐角角A正弦（sin）余弦（cos）正切（tan）余切（cot）正割（sec）（余割csc）做角A锐角三角函数
正弦（sin）等边斜边 余弦（cos）等邻边斜边 正切（tan）等边邻边
直角三角形ABC中
角A正弦值等角A边斜边 余弦等角A邻边斜边 正切等边邻边
28．2 解直角三角形
勾股定理适直角三角形（外国毕达哥拉斯定理）
a^2+b^2c^2 中ab分直角三角形两直角边c斜边
勾股弦数指组勾股定理关系成立三正整数：345分345倍数
A
B
C
D
直角三角形特征
⑴直角三角形两锐角互余
⑵直角三角形斜边中线等斜边半
⑶直角三角形中30°直角边等斜边半
⑷勾股定理：直角三角形中两直角边方等斜边方：
Rt△ABC中∠C＝90°a2+b2c2
A
B
C
a
c
b
⑸勾股定理逆定理：果三角形条边方等外两条边方三角形直角三角形：△ABC中a2+b2c2∠C＝90°
⑹射影定理：AC2ADABBC2BDABCD2DADB．
锐角三角函数定义：
图Rt△ABC中∠C＝90°
∠A∠B∠C边分abc
sinAcosAtanAcotA
特殊角三角函数值：（会观察三角函数值变化情况）
sin
cos
tan
cot
30°
45°
1
1
60°
1．
解直角三角形（Rt△ABC∠C＝90°）
⑴三边间关系：a2+b2c2．
⑵两锐角间关系：∠A＋∠B＝90°．．
⑶边角间关系：sinAcosA． tanA
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知边锐角．②已知两边．③解直角三角形应．
第二十九章 投影视图
29．1 投影
般光线射物体某面（面墙壁等）影子做物体投影（projection）射光线做投影线投影面做投影面
时光线组互相行射线例太阳光探灯光束光中光线行光线形成投影行投影（parallel projection)
点（点光源发出光线）形成投影做中心投影（center projection)投影线垂直投影面产生投影做正投影
投影线行投影面产生投影做行投影
物体正投影形状相投影面位置关
29．2 三视图
三视图观测者三位置观察空间体画出图形
视线规定行投影线然正着物体见物体轮廓正投影法绘制出该图形称视图物体六视图：物体前面面投射视图称视图——反映物体前面形状物体面面投射视图称俯视图——反映物体面形状物体左面右面投射视图称左视图——反映物体左面形状
三视图常三视图视图俯视图左视图总称
特点：视图反映物体方位形状完整反映物体结构形状三视图三方物体进行投射结果外剖面图半剖面图等做辅助基完整表达物体结构
视俯视 长正
物体投影
视左视 高齐
左视俯视 宽相等
许情况投影加注解完整清晰表达确定形体形状结构图示三形体方投影完全相三形体空间结构相见方投影表达形体形状行般必须形体方投影完整清晰表达出形体形状结构
视图反映物体方位形状完整反映物体结构形状三视图三方物体进行投射结果外剖面图半剖面图等做辅助基完整表达物体结构
画法：根形体投影规律逐画出形体三视图画形体序：般先实（实形体）空（挖形体）先（形体）（形体）先画轮廓画细节画
形体时三视图联系起画反映形体特征视图画起投影规律画出两视图称图形半圆半圆圆弧画出称中心线回转体定画出轴线称中心线轴线细点划线画出
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第二十章 元二次方程
211 元二次方程
等式中含未知数未知数高次数2次整式方程做元二次方程
元二次方程四特点：(1)含未知数(2)未知数次数高次数2(3)整式方程．判断方程否元二次方程先否整式方程进行整理．果整理 ax2+bx+c0(a≠0)形式方程元二次方程． （4）方程化般形式：ax2+bx+c0时应满足（a≠0）
212 降次——解元二次方程
解元二次方程基思想方法通降次化两元次方程元二次方程四种解法：
1直接开方法：
直接开方法解形(xm)2n (n≥0)方程解x± m
直接开方法方逆运算通常根号表示运算结果
2配方法
通配成完全方式方法元二次方程根方法种解元二次方程方法称配方法配方完全方公式
1转化： 元二次方程化ax^2+bx+c0形式(元二次方程般形式）
2系数化1： 二次项系数化1
3移项： 常数项移等号右侧
4配方： 等号左右两边时加次项系数半方
5变形： 等号左边代数式写成完全方形式
6开方： 左右时开方
7求解： 整理原方程根
3公式法
公式法：元二次方程化成般形式然计算判式△b24ac值b24ac≥0时项系数a b c值代入求根公式x(b24ac≥0)方程根
式分解法：方程变形边零边二次三项式分解成两次式积形式两次式分等零两元次方程解两元次方程根原方程两根种解元二次方程方法做式分解法
213 实际问题元二次方程
列元二次方程解应题列元次方程解应题继续发展
列方程解应题方法讲列出元二次方程解应题列出元次方程解应题非常相似元次方程未知数次类问题部分通算术方法解决．果未知数出现二次算术方法困难正未知数二次元二次方程解决关面积问题两次增长均增长率问题数学问题中涉积问题营决策问题等等．
第二十二章 二次函数
221二次函数图
二次函数（quadratic function）指未知数高次数二次项式函数二次函数表示yax2+bx+c(a0)图条轴行y轴抛物线
般变量x变量y间存关系：
般式 yax2+bx+c(a≠0abc常数)顶点坐标(b2a(b24ac)4a)
顶点式
ya(xh)2+k(a≠0ahk常数)ya(xh)２+k(a≠0ahk常数)顶点坐标（hk）称轴xh顶点位置特征图开口方函数ｙ＝ax２图相时题目会指出配方法般式化成顶点式
交点式
ya(xx1)(xx2) [仅限x轴交点A（x10） B（x20）抛物线]
重概念：abc常数a≠0a决定函数开口方a>0时开口方a<0时开口方a绝值决定开口a绝值越开口越a绝值越开口越
y
面直角坐标系中作出二次函数yx2方图
出二次函数图条永止境抛物线
二次函数图
果画图形准确误二次函数般式移
x
轴称
1抛物线轴称图形称轴直线x b2a
称轴抛物线唯交点抛物线顶点P 特b0时抛物线称轴y轴（直线x0）
顶点
2抛物线顶点P坐标P ( b2a 4acb2)4a )
b2a0时Py轴Δ b24ac0时Px轴
开口
3二次项系数a决定抛物线开口方
a＞0时抛物线开口a＜0时抛物线开口
|a|越抛物线开口越
决定称轴位置素
4次项系数b二次项系数a决定称轴位置
ab号时（ab＞0）称轴y轴左 称轴左边称轴0 b2a<0b2a0ab号
ab异号时（ab＜0）称轴y轴右称轴右边称轴0 b2a>0 b2a0ab异号
简单记忆左右异ab号时（ab＞0）称轴y轴左ab异号时
ab＜ 0 ）称轴y轴右
事实b身意义：抛物线y轴交点处该抛物线切线函数解析式（次函数）
斜率k值通二次函数求导
决定抛物线y轴交点素
5常数项c决定抛物线y轴交点
抛物线y轴交（0c）
抛物线x轴交点数
6抛物线x轴交点数
Δ b24ac＞0时抛物线x轴2交点 Δ b24ac0时抛物线x轴1交点
Δ b24ac＜0时抛物线x轴没交点
a>0时函数x b2a处取值a<0时函数x b2a处取值
b0时抛物线称轴y轴
7特殊值形式
①x１时 ya+b+c ②x1时 yab+c ③x2时 y4a+2b+c
④x2时 y4a2b+c
函数观点元二次方程
1 果抛物线x轴公点公点横坐标时函数值0方程根
2 二次函数图象x轴位置关系三种：没公点公点两公点应着元二次方程根三种情况：没实数根两相等实数根两等实数根
实际问题二次函数
日常生活生产科研中求材料省时间少效率高等问题结求二次函数值值
第二十三章 旋转
231 图形旋转
1 图形旋转
（1）定义：面圆形绕定点某方（时针逆时针）转动角度样图形运动做旋转定点做旋转中心转动角称旋转角
（2）生活中旋转现象致两类：类物体旋转运动时钟时针分针秒针转动风车转动等类某基图形通旋转形成图案香港特行政区区旗紫荆花图案
（3）图形旋转改变图形形状旋转旋转中心旋转角决定旋转中心图形图形外
（4）会找应点应线段应角
2 旋转基特征：
（1）图形旋转时图形中点绕旋转中心旋转样角度
（2）图形旋转时应点旋转中心距离相等应线段相等应角相等
（3）图形旋转时图形形状没发生改变
3 点说明：
（1）理解旋转特征时首先图形找出旋转中心旋转方应点旋转角
（2）旋转角度应线段夹角应顶点旋转中心连线夹角
（3）旋转中心确定分两种情况图形图形外图形点旋转程中位置没改变点旋转中心图形外应点连线垂直分线交点旋转中心
232 中心称
中心称：图形绕着某点旋转180°假够图形重合刘遇图形关点称中心称
中心称性质：①关中心称刘遇图形应点连线段称中心称中心分②关中心称刘遇图形全等形
中心称图形：图形绕着某点旋转180°果旋转图形够原图形重合图形做中心称图形
称点坐标规律：①关x轴称：横坐标变坐标互相反数②关y轴称：横坐标互相反数坐标变③关原点称：横坐标坐标互相反数
233 课题学 图案设计
灵活运移旋转轴称等变换进行图案设计．
图案设计通图形变换(移旋转轴称种组合)基图形组成具定意义新图形图案设计时仅否正确图形变换图案否体现设计意图．
第二十四章 圆
241 圆
定义：（1）面定点距离等定长点组成图形做圆
（2)面条线段绕端旋转360°留轨迹圆
圆心：（1）定义（1）中该定点圆心
（2）定义（2）中绕端端点圆心
（3）圆意两条称轴交点圆心
（4） 垂直圆意条弦两端点圆线段二分点圆心
注：圆心般字母O表示
直径：通圆心两端圆线段做圆直径直径般字母d表示
半径：连接圆心圆意点线段做圆半径半径般字母r表示
圆直径半径数条圆轴称图形条直径直线圆称轴圆等圆中：直径半径2倍半径直径二分d2rr二分d
圆半径直径决定圆圆心决定圆位置
圆周长：围成圆曲线长度做圆周长字母C表示
圆周长直径值做圆周率
圆周长直径商固定数做圆周率限循环数（理数）字母π表示计算时通常取似值π≈314
直径圆周角直角90°圆周角弦直径
圆面积公式：圆占面做圆面积πr^2字母S表示
条弧圆周角圆心角二分
圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等弦心距相等
圆等圆中果两条弧相等圆心角相等弦相等弦心距相等
圆等圆中果两条弦相等圆心角相等弧相等弦心距相等
周长计算公式
1已知直径：Cπd 2已知半径：C2πr 3已知周长：Dc＼π
4圆周长半1＼2周长(曲线) 5半圆长：1＼2周长+直径
面积计算公式：
1已知半径：Sπr方 2已知直径：Sπ（d＼2）方 3已知周长：Sπ(c＼2π)方
242 点直线圆圆位置关系
1 点圆位置关系
① 点圆点圆心距离半径 ② 点圆点圆心距离等半径
③ 点圆外点圆心距离半径
2 三点圆直线三点确定圆
3 外接圆外心
三角形三顶点做圆圆做三角形外接圆
外接圆圆心三角形三条边垂直分线交点做三角形外心
4 直线圆位置关系
相交：直线圆两公点条直线圆相交条直线做圆割线
相切：直线圆公点条直线圆相切条直线做圆切线点做切点
相离：直线圆没公点条直线圆相离
5 直线圆位置关系性质判定
果⊙O半径r圆心O直线距离d
① 直线⊙O相交② 直线⊙O相切③ 直线⊙O相离
圆圆
定义：
两圆没公点圆点圆外部时做两圆外离
两圆唯公点公点外圆点圆外部做两圆外切
两圆两交点做两圆相交
两圆唯公点公点外圆点圆部做两圆切
两圆没公点圆点圆部时做两圆含
原理：
圆心距半径数量关系：
两圆外离＜＝＞ d＞R+r 两圆外切＜＝＞ dR+r
两圆相交＜＝＞ Rr
两圆含＜＝＞ d
243 正边形圆
1正边形概念：边相等角相等边形做正边形
2正边形圆关系：
(1)圆n(n≥3)等分(助量角器)次连结等分点边形圆接正边形
(2)圆正边形外接圆
3正边形关概念：
(1)正边形中心——正边形外接圆圆心
(2)正边形半径——正边形外接圆半径
(3)正边形边心距——正边形中心正边形边距离
(4)正边形中心角——正边形边外接圆圆心角
4正边形性质：
(1)正边形外接圆
(2)正边形轴称图形边数偶数时中心称图形正n边形称轴n条
(3)边数相正边形相似
重点：正边形关计算
知识讲解
1正边形定义：边相等角相等边形正边形
例：正三角形正四边形(正方形)正六边形等等果正边形n条边边形正n边形
：矩形正边形具角相等边定相等菱形正边形具边相等角定相等
2正边形圆关系
正边形圆密切关系圆分成n(n≥3)等份次连结分点边形圆接正n边形
相邻分点间弧相等弦(正边形边)相等相邻两弦夹角(边形角)相等出连边形满足边相等角相等边形正边形
：圆6等分AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA
观察∠A∠B∠C∠D∠E∠F弧发现相等弧∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F
圆6等分次连结分点⊙O接正六边形
3正边形关计算
(1)首先明确正边形计算关概念：正边形中心O正边形半径Rn——外接圆半径正边形边心距rn正边形中心角αn正边形边长an
(2)正n边形n条半径正n边形分成n全等等腰三角形等腰三角形顶角正n边形中心角等果作出正n边形边边心距边心距n等腰三角形分成2n全等直角三角形
图：正n边形ABCD……根讲解分析RtΔAOM基元素：
斜边OA——正n边形半径Rn
条直角边OM——正n边形边心距rn
条直角边AM——正n边形边长an半AM＝an
锐角∠AOM——正n边形中心角αn半∠AOM＝
锐角∠OAM——正n边形角半∠OAM＝[(n－2)·180°]
直角三角形中元素恰反映正n边形元素
正n边形关计算纳解直角三角形问题
4正边形关作图
(1)量角器等分圆
圆中相等圆心角弧相等作相等圆心角(等分顶点圆心周角)等分圆根圆中相等弧弦相等次连接分点画出相应正n边形
(2)尺规等分圆
特殊正n边形圆规直尺作出图形
①正四八边形
⊙O中尺规作两条互相垂直直径圆分成4等份作出正四边形 逐次分边弧(作∠AOB分线交 E) 作出正八边形正十六边形等边数逐次倍增正边形
②正六三十二边形作法
通简单计算知正六边形边长半径相等⊙O中画条直径AB分AB圆心⊙O半径半径画弧⊙O相交CDEFACEBFD⊙O6等分点
显然AEF(CBD)⊙O3等分点
样图(3)中分条边弧⊙O12等分……
5正边形称性
正边形轴称图形正n边形n条称轴条称轴通正n边形中心果正边形偶数条边中心称图形中心称中心
：正三角形正方形
244 弧长扇形面积
知识点1弧长公式
360°圆心角弧长圆周长C＝2R1°圆心角弧长半径R圆中n°圆心角弧长l计算公式：
说明：（1）弧长公式中n表示1°圆心角倍数n180带单位度例圆半径R＝10计算20°圆心角弧长l时错写成
（2）弧长公式中已知lnR中意两量求出第三量
知识点2扇形面积
图示阴影部分面积半径R圆心角n°扇形面积显然扇形面积圆面积部分圆心角360°扇形面积等圆面积圆心角1°扇形面积圆心角n°扇形面积计算公式
扇形弧长扇形面积扇形面积计算公式：
知识点3弓形面积
（1）弓形定义：弦弧（包括劣弧优弧半圆）组成图形做弓形
（2）弓形周长＝弦长＋弧长
（3）弓形面积
图示圆中阴影部分面积弓形面积图中出扇形OAmB面积△AOB面积计算出弓形AmB面积
弓形含弧劣弧时图1示
弓形含弧优弧时图2示
弓形含弧半圆时图3示
注意：（1）圆周长弧长圆面积扇形面积计算公式
圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
公
式
（2）扇形弓形联系区
（2）扇形弓形联系区
图
示
面
积
知识点4圆锥侧面积
圆锥侧面展开图扇形图示设圆锥母线长l底面圆半径r扇形半径l扇形弧长2圆锥侧面积圆锥全面积
说明：（1）圆锥侧面积底面积称圆锥全面积
（2）研究关圆锥侧面积全面积计算问题关键理解圆锥侧面积公式明确圆锥全面积侧面积间关系
知识点5圆柱侧面积
圆柱侧面积展开图矩形图示两邻边分圆柱高圆柱底面圆周长圆柱底面半径r高h圆柱侧面积圆柱全面积
知识结：
圆锥圆柱较
名称
圆锥
圆柱
图形
图形形成程
直角三角形旋转Rt△SOA绕直线SO旋转周
矩形旋转矩形ABCD绕直线AB旋转周
图形组成
底面侧面
两底面侧面
侧面展开图特征
扇形
矩形
面积计算方法
第二十五章 概率初步
251 机事件概率
1．机试验样空间
具列三特性试验称机试验：
(1) 试验相条件重复进行 ·
(2) 次试验结果止事先知道次试验结果
(3) 次试验前确定结果会出现．
试验结果组成集合样空间表示中结果表示称样空间中样点记作．
2．机事件
机试验中次试验中发生发生量重复试验中呈现某 种规律性事情称机事件(简称事件)．通常必然事件(记作)事件(记作)
作特殊机事件．
3．频率概率定义
(1) 频率定义
设机事件An次重复试验中发生次值／n称机事件A发生频率记作
(2) 概率统计定义
进行量重复试验中机事件A发生频率具稳定性试验次数n时频率稳定值(0<<1)附摆动规定事件A发生频率稳定值概率．
(3) 古典概率定义
具列两特征机试验数学模型称古典概型：
(i) 试验样空间限集妨记作
(ii) 次试验中样点(）出现概率相
．
古典概型中规定事件A概率
．
(4) 概率定义
果机试验样空间区域(直线区间面空间中区域)样空间中试验结果出现具等性规定事件Ａ概率
·
252 列举法求概率
1次试验中出现结果限种结果发生性相等时关注结果全部试验结果中占分析出事件中该结果发生概率时采列举法．
2列举法数象列举出分析求解方法．时列举出情况数目时需考虑排合理情况减少列举问题解数目
3利列表法树形图法求概率关键：①注意种情况出现性务必相②中某事件发生概率③考查种情况出现次数某事件发生次数时重复遗漏
4列表法树形图法求概率理概率实验估计值频率通常受实验次数影响产生波动两者定致实验次数较时频率稳定概率完全等概率
253 频率估计概率
做量重复试验时着试验次数增加机事件出现频率应该稳定该事件发生概率事件发生频率概率区联系：事件发生频率定相变数事件发生概率常数间密切联系着试验次数增加频率越越稳定概率
具体操作程中家发现：然次试验结果频率逐渐稳定概率做少次试验两者间存着定偏差应该注意：种偏差存常正常外受某素影响通试验估计结果太理想甚出现极端情况时应正确样结果尝试着结果进行合理解释试验结果频率理概率偏差理解形成机观念重环节
实际应中试验次数越时出现极端情况性越常常通做量重复试验获事件发生频率作概率估计值试验次数越估计结果越
第二十六章 反例函数
261知识点1 反例函数定义
般形（k常数）函数称反例函数方面理解：
⑴x变量yx反例函数
⑵变量x取值范围切实数函数值取值范围
⑶例系数反例函数定义重组成部分
⑷反例函数三种表达式：
①（）
②（）
③（定值）（）
⑸函数（）（）等价yx反例函数时xy反例函数
（k常数）反例函数部分k0时反例函数反例函数（）中定系数组应值求出k值确定反例函数表达式
262知识点2定系数法求反例函数解析式
反例函数（）中定系数组应值求出k值确定反例函数表达式
263知识点3反例函数图画法
反例函数图双曲线两分支两分支分位第第三象限第二第四象限原点称反例函数中变量函数中变量函数值图x轴y轴没交点双曲线两分支限接坐标轴永远达坐标轴
反例画法分三步骤：⑴列表⑵描点⑶连线
作反例函数图时应注意点：
①列表时选取数值宜称选取
②列表时选取数值越画图越精确
③连线时必须根变量左右（右左）光滑曲线连接切忌画成折线
④画图时两分支应全部画出切忌图坐标轴相交
264知识点4反例函数性质
☆关反例函数性质研究图位置函数值增减情况表：
反例函数
（）
符号
图
性质
①取值范围y取值范围
②时函数图两分支分第第三象限象限yx增减
①取值范围y取值范围
②时函数图两分支分第二第四象限象限yx增增
注意：描述函数值增减情况时必须指出象限……否笼统说时yx增减会事实符矛盾
反例函数图位置函数增减性反例函数系数k符号决定反反例函数图（双曲线）位置函数增减性推断出k符号第第三象限知
☆反例函数（）中例系数k绝值意义
图示双曲线点P（xy）分作x轴y轴垂线EF分垂足
☆ 反例函数（）中越双曲线越远离坐标原点越双曲线越坐标原点
☆ 双曲线中心称图形称中心坐标原点双曲线轴称图形称轴直线yx直线y－x
第二十七章 相似
27．1 图形相似
概述
果两图形形状相定相等两图形相似（相似符号：∽）
判定
果两边形满足应角相等应边相等两边形相似
相似
相似边形应边相似相似1时相似两图形全等
性质
相似边形应角相等应边相等相似边形周长等相似
相似边形面积等相似方
27．2 相似三角形
判定
1两三角形两角应相等
2两边应成例夹角相等
3三边应成例
4行三角形边直线两边两边延长线相交构成三角形原三角形相似
例题
∵∠A∠A＇ ∠B∠B＇
∴△ABC∽△A＇B＇C＇
性质
1相似三角形切应线段(应高应中线应角分线外接圆半径切圆半径等）等相似
2相似三角形周长等相似
3相似三角形面积等相似方
27．3 位似
果两图形仅相似图形组应点连线交点应边互相行两图形做位似图形点做位似中心时相似称位似
性质
位似图形应点位似中心直线位似中心距离等相似
位似边形应边行线
位似图形放缩
位似图形中心意点位似图形会着位似中心位变位变
根位似中心作两关已知图形定位似位似图形两图形分布位似中心两侧关位似中心称
注意
1位似种具位置关系相似两图形位似图形必定相似图形相似图形定位似图形
2两位似图形位似中心
3两位似图形位位似中心两侧位位似中心侧
4位似相似．利位似图形定义判断两图形否位似
5行三角形边直线两边相交构成三角形原三角形位似
第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
锐角角A正弦（sin）余弦（cos）正切（tan）余切（cot）正割（sec）（余割csc）做角A锐角三角函数
正弦（sin）等边斜边 余弦（cos）等邻边斜边 正切（tan）等边邻边
直角三角形ABC中
角A正弦值等角A边斜边 余弦等角A邻边斜边 正切等边邻边
28．2 解直角三角形
勾股定理适直角三角形（外国毕达哥拉斯定理）
a^2+b^2c^2 中ab分直角三角形两直角边c斜边
勾股弦数指组勾股定理关系成立三正整数：345分345倍数
A
B
C
D
直角三角形特征
⑴直角三角形两锐角互余
⑵直角三角形斜边中线等斜边半
⑶直角三角形中30°直角边等斜边半
⑷勾股定理：直角三角形中两直角边方等斜边方：
Rt△ABC中∠C＝90°a2+b2c2
A
B
C
a
c
b
⑸勾股定理逆定理：果三角形条边方等外两条边方三角形直角三角形：△ABC中a2+b2c2∠C＝90°
⑹射影定理：AC2ADABBC2BDABCD2DADB．
锐角三角函数定义：
图Rt△ABC中∠C＝90°
∠A∠B∠C边分abc
sinAcosAtanAcotA
特殊角三角函数值：（会观察三角函数值变化情况）
sin
cos
tan
cot
30°
45°
1
1
60°
1．
解直角三角形（Rt△ABC∠C＝90°）
⑴三边间关系：a2+b2c2．
⑵两锐角间关系：∠A＋∠B＝90°．．
⑶边角间关系：sinAcosA． tanA
⑷解直角三角形中常见类型：
①已知边锐角．②已知两边．③解直角三角形应．
第二十九章 投影视图
29．1 投影
般光线射物体某面（面墙壁等）影子做物体投影（projection）射光线做投影线投影面做投影面
时光线组互相行射线例太阳光探灯光束光中光线行光线形成投影行投影（parallel projection)
点（点光源发出光线）形成投影做中心投影（center projection)投影线垂直投影面产生投影做正投影
投影线行投影面产生投影做行投影
物体正投影形状相投影面位置关
29．2 三视图
三视图观测者三位置观察空间体画出图形
视线规定行投影线然正着物体见物体轮廓正投影法绘制出该图形称视图物体六视图：物体前面面投射视图称视图——反映物体前面形状物体面面投射视图称俯视图——反映物体面形状物体左面右面投射视图称左视图——反映物体左面形状
三视图常三视图视图俯视图左视图总称
特点：视图反映物体方位形状完整反映物体结构形状三视图三方物体进行投射结果外剖面图半剖面图等做辅助基完整表达物体结构
视俯视 长正
物体投影
视左视 高齐
左视俯视 宽相等
许情况投影加注解完整清晰表达确定形体形状结构图示三形体方投影完全相三形体空间结构相见方投影表达形体形状行般必须形体方投影完整清晰表达出形体形状结构
视图反映物体方位形状完整反映物体结构形状三视图三方物体进行投射结果外剖面图半剖面图等做辅助基完整表达物体结构
画法：根形体投影规律逐画出形体三视图画形体序：般先实（实形体）空（挖形体）先（形体）（形体）先画轮廓画细节画
形体时三视图联系起画反映形体特征视图画起投影规律画出两视图称图形半圆半圆圆弧画出称中心线回转体定画出轴线称中心线轴线细点划线画出
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