二元次方程组应13种类型
二元次方程组应
点突破：
应二元次方程组解决实际问题基步骤回顾 关键
（1）理解问题 （审题搞清已知未知分析数量关系）
（2）制定计划 （考虑根等量关系设元列出方程组）
（3）执行计划 （列出方程组求解答案）
（4）回顾 （检查反思解题程检验答案正确性否符合题意）
列方程组思想：
找出相等关系未知转化已知未知数列出方程列方程必须满足：(1)方程两边表示类量(2)类量单位统(3)方程两边数值相等
（1） 行程问题：（2）工程问题（3）销售中盈亏问题（4）储蓄问题（5）产品配套问题（6）增长率问题（7）差倍分问题（8）数字问题 （9）浓度问题 （10）问题 （11）年龄问题（12）优化方案问题
行程问题
（1） 三基量关系：
路程s速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t
（2） 三类型：
① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
② 追问题：快行距－慢行距＝原距
③ 航行问题：水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度速–逆速 2水速
速 + 逆速 2船速 水路程 逆水路程
相遇问题 两运动物体作相运动环形跑道作背运动着时间发展必然面面相遇类问题做相遇问题特点两运动物体走完整路程
A车路程
B车路程
A车路程+B车路程相距路程 总路程（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间总路程÷（甲速+乙速）
速度甲乙速度已知速度
甲乙两相距18千米两时出发相行1时48分相遇果甲乙早出发40分钟乙出发1时30分时两相遇求甲乙两速度
练：学校距活动站670米明学校前活动站分钟行80米2分钟丽活动站学校走分钟行90米明出发少分钟丽相遇？相遇时二行少米？
追问题两物体速度方运动两物体时运动前前相隔路程做追路程追前时间追时间
A车行路程
B车追击路程
A车先行路程
追击
关系式： 追路程÷速度差＝追时间
速–逆速 2水速速 + 逆速 2船速 水路程 逆水路程
AB两相距28千米甲乙两车时分AB两方开出甲车时行32千米乙车时行25千米乙车前甲车时甲车追乙车？
甲乙二相距6km二行甲3时追乙相行1时相遇二均速度少？ 解：设甲时走x千米乙时走y千米
题中两相等关系：
1行：甲路程乙路程+ 列方程：
2相行：甲路程+ 列方程：
变式
1甲乙两相距160千米辆汽车辆拖拉机时甲乙两相行1时20分相遇 相遇拖拉机继续前进汽车相遇处停留1时调转车头原速返回汽车次出发半时追拖拉机 时汽车拖拉机行驶少千米？
2 甲5kmh速度进行氧体育锻炼2h乙骑行车出发条路追赶甲根两约定乙快早1h追甲慢晚1h15min追甲乙骑车速度应控制什范围？
3 甲乙路段坡段路段3千米长坡果保持坡时走3千米
路时走4千米坡时走5千米甲乙需90分乙甲需102分甲乙全程少？
4 甲乙两分甲乙两时相出发甲超中点50米处甲乙两第次相遇甲乙达乙甲两立返身回走结果甲乙两距甲100米处第二次相遇求甲乙两路程
5 两列火车时相距910千米两相出发10时相遇果第列车第1二列车早出发4时20分第二列火车出发8时相遇求两列火车速度
6 某班学18千米北山郊游辆汽车需分两组甲组先车乙组步行车行A处甲组车步行汽车返回接乙组两组时达北山站已知汽车速度60千米时步行速度4千米时求A点距北山站距离
7 通讯员规定时间达某时走15千米提前24分钟达某果时走12千米迟15分钟求通讯员达某路程少千米？原定时间少时？
总结升华：根题意画出示意图根路程时间速度关系找出等量关系行程问题常解决策略
船河中航行水速时2千米静水中航行时8千米水航行时行少千米？逆水航行时行少千米？水航行50千米需少时？
练： 1某船静水中速度时7千米水流速度时2千米逆水中速度少？逆水航行3时航行少千米？
2 某船水速度时17千米逆水航行速度时10千米船静水速度时少千米？水流速度时行少千米？
3 两相距280千米艘船间航行流14时逆流20时求船静水中速度水流速度
二 工程问题
三基量关系：
工作总量＝工作时间×工作效率 工作时间＝工作总量÷工作效率
工作效率＝工作总量÷工作时间 甲工作量＋乙工作量＝甲乙合作工作总量
注：工作总量未出具体数量时常设总工作量1
家商店进行装修请甲乙两装修组时施工8天完成需付两组费3520元先请甲组单独做6天请乙组单独做12天完成需付两组费3480元问：(1)甲乙两组工作天商店应付少元？(2)已知甲组单独做需12天完成乙组单独做需24天完成单独请组商店付费少？
总结升华：工作效率单位时间里完成工作量题目中时间单位必须统般工作总量设1设a需根题目特点合理选工程问题常利线段图列表法进行分析
变式明家准备装修套新住房甲乙两装饰公司合作6周完成需工钱52万元甲公司单独做4周剩乙公司做需9周完成需工钱48万元选公司单独完成节约开支角度考虑明家应选甲公司乙公司？请说明理
1 现加工400机器零件甲先做1天然两做2天60未完成两齐心合作3天超产20问甲乙两天做少零件
2 某检测站规定时间检测批仪器原计划天检测30台种仪器规定时间检测完总数七分三现天实际检测40台结果原计划提前天完成务检测25台问规定时间少天？批仪器少台？
3 甲乙两时加工批零件前3时两加工126件5时甲先花1时修理工具甲时前加工10件结果段时间甲乙加工10件甲乙两原时加工少件？
5 项工程甲单独做12天完成乙队单独做15天完成丙队单独20天完成计划求7天完成现甲乙先合作干天丙队时加入项工作样原定时间提前天完成务甲乙两队合做少天？丙队做少天？
6 甲乙两车间原计划装车床180台甲车间完成计划112 乙车间完成计划110 样装机床200台两车间计划完成少台？
7 某蔬菜公司收购蔬菜进行销售获利情况表示：
销售方式
直接销售
粗加工销售
精加工销售
吨获利（元）
100
250
450
8 现该公司收购140吨蔬菜已知该公司天精加工蔬菜6吨粗加工蔬菜16吨（两种加工时进行）．（1）果求18天全部销售完140吨蔬菜请完成列表格：
销售方式
全部直接销售
全部粗加工销售
量精加工剩余部分直接销售
获利（元）
（2）果先进行精加工然进行粗加工求15天刚加工完140吨蔬菜应分配加工时间？
三：商品销售利润问题
利润问题：利润售价—进价利润率（售价—进价）÷进价×100
甲乙两件商品甲商品利润率5乙商品利润率4获利46元价格调整甲商品利润率4乙商品利润率5获利44元两件商品进价分少元？
变式1 某商场36万元购进AB两种商品销售完获利6万元进价售价表：
A
B
进价（元件）
1200
1000
售价（元件）
1380
1200
求该商场购进AB两种商品少件
3 种饮料包装3种1中瓶2瓶便宜2角1瓶1中瓶加1瓶贵4角中买1瓶需9元6角3种包装饮料瓶少元？
捐款
10
15
30
50
数
18
4
3 2008年5月12日四川省汶川县发生里氏80级强烈震民造成巨损失．全国迅速组织捐款支援灾区校七年级(1)班55名学捐款830元捐款情况右表．表中捐款2元5元数心墨水污染已清楚请帮助确定表中数说明理．
4 甲乙两种商品进价100元促销折出售甲商品8折乙商品6折赚50元甲商品6折乙商品8折赚195元求甲乙两种商品原定价少元
5甲乙两件服装成500元商店老板获取利润决定甲服装50％利润定价乙服装40％利润定价．实际出售时应顾客求两件服装均9折出售样商店获利157元求甲乙两件服装成少元？
6甲乙两种电饭锅原单价200元现市场销售情况变化甲商品商品降价15乙商品单价提高40调价两种电饭锅单价原单价提高125甲乙两种商品原单价少
四银行储蓄问题
银行利率问题：免税利息金×利率×时间
税利息金×利率×时间—金×利率×时间×税率
4．明妈妈准备明年高中费现两种方式银行存2000元钱种年利率225％教育储蓄种年利率225％年定期存款年取出204275元问两种储蓄存少钱？（利息税＝利息金额×20教育储蓄没利息税）
总结升华 解涉行程收入支出增长率等实际问题时时候容易找出等量关系时候助图表法分析具体问题中蕴涵数量关系题目中相等关系浮现出
变式1 敏爸爸筹备高中费银行时两种方式存4000元钱第种年期整存整取反复存3次次存款数相种存款银行利率年息225第二种三年期整存整取种存款银行年利率270三年时取出利息30375元(计利息税)问敏爸爸两种存款存入少元？
2 某原料供应商购买原料顾客实行优惠办法：（1）次购买金额超1万元予优惠（2）次购买金额超1万元超3万元九折优惠（3）次购买金额超3万元中3万元九折优惠超3万元部分八折优惠某厂库存原第次该供应商处购买原料付款7800元第二次购买付款26100元果次性购买样原料少付款（ ）
A1460元 B1540元 C1560元 D2000元
五生产中配套问题
产品配套问题：加工总量成例
某服装厂生产批某种款式秋装已知2米某种布料做衣衣身3衣袖5 现计划132米种布料生产批秋装(考虑布料损耗)应分少布料做衣身衣袖恰配套？
总结升华：生产中配套问题螺钉螺母配套盒身盒底配套桌面桌腿配套衣身衣袖配套等 种配套数量例次设未知数未知数间数量关系表示出方程组问题解决确定等量关系解题关键
变式1 张方桌1桌面4条桌腿组成果1立方米木料做桌面50做桌腿300条现5立方米木料少立方米木料做桌面少立方米木料做桌腿做出桌面桌腿恰配成方桌？配少张方桌？
2 某厂120名生产工工天生产螺栓25螺母20果螺栓两螺母配成套天安排名工生产螺栓少名工生产螺母天生产出产品配成套？
3张桌子桌面四条脚组成1立方米木材制成桌面50张制作桌脚300条现5立方米木材问应分配木材桌面桌脚配套？
4白铁皮做罐头盒张铁皮制盒身16制盒底43盒身两盒底配成套罐头盒现150张白铁皮少张制盒身少张制盒底刚配套？
5 某车间28名工参见生产某种特制螺丝螺母已知均天生产螺丝12螺母18
果螺栓两螺母配成套天安排名工生产螺栓少名工生产螺母天生产出产品配成套？
六增长率问题
增长率问题：原量×（1＋增长率）增长量 原量×（1＋减少率）减少量
某工厂年利润（总产值—总支出）200万元年总产值年增加20总支出年减少10年利润780万元年总产值总支出少万元？
（1）条件变求年总产值总支出少万元？
变式某城市现口42万估计年城镇口增加08农村口增加11样全市口增加1求城市城镇口农村口
2 某出租汽车公司出租车100辆均天车消耗汽油费80元．减少环境污染市场推出种CNG 改烧汽油天然气装置辆车改装价格4000元．公司第次改装部分车辆核算：已改装车辆天燃料费占剩未改装车辆天燃料费二十分三公司第二次改装样车辆改装车辆天燃料费占剩未改装车辆天燃料费五分二．问：
（1）公司改装少辆出租车？改装辆出租车均天燃料费改装前燃料费降百分少？
（2）公司次性全部出租车改装少天节省燃料费中收回成？
七差倍分问题
差倍总分问题：较量较量+余量总量倍数×倍量
爱心帐篷厂温暖帐篷厂原计划周生产帐篷9千顶现某震灾区急需帐篷14千顶两厂决定周赶制出批帐篷．全体职工加班加点爱心帐篷厂温暖帐篷厂周制作帐篷数分达原16倍15倍恰时完成项务．求赶制帐篷周爱心帐篷厂温暖帐篷厂生产帐篷少千顶？
变式1 游泳池中群朋友男孩戴蓝色游泳帽女孩戴红色游泳帽果位男孩蓝色红色游泳帽样位女孩蓝色游泳帽红色1倍知道男孩女孩少？
2 某市现42万口计划年城镇口增加08％农村口增加工厂11％样全市口增加1％求市现城镇口农村口
解：市现城镇口x万农村口y万题中两相等关系：
1现城镇口+ 现全市总口 列方程：
2明年增加城镇口+ 明年全市总口
列方程：（1+08％）x+
3 某老翁根长草绳剪成前中三段中段长等前段长加段长段长等前段长加中段长半现知道前段长5m该草绳中段段长少米？
4 青团中央部门发起保护母亲河行动某校九年级两班115名学生积极参已知九班三分学生捐10元九二班五分二学生捐十元两班余学生捐5元两班捐款总额785元问两班少名学生
八：数字问题
首先正确掌握然数奇数偶数等关概念特征表示
两两位数68较两位数右边接着写较两位数四位数较两位数左边写较两位数四位数已知前四位数四位数2178求两两位数
变式1 两位数十位数字位数字5果十位数字位数字交换位置新两位数原两位数半少9求两位数？
2 某三位数中间数字0余两数位数字9果百位数字减1位数字加1新三位数正原三位数位数字倒序排列求原三位数
3两位数十位数位数9果交换十位数位数两位数原两位数27求两位数．
分析：设两位数十位数x位数y两位数新两位数
十位数
位数
应两位数
原两位数
x
y
新两位数
y
ｘ
4 两位数十位数字位数字5果十位数字位数字交换位置新两位数原两位数半少9求两位数？
5已知三位数中十位数字位3十位数字百位数字4十位数字撤掉两位数原340求原三位数
九：浓度问题
溶液×浓度溶质
现两种酒精溶液甲种酒精溶液酒精水3∶7乙种酒精溶液酒精水4∶1酒精水3∶2酒精溶液50kg问甲乙两种酒精溶液应取少？
总结升华：解类问题常相等关系：混合前含溶质相等混合前含溶剂相等时候需设间接未知数时候需设辅助未知数
变式1 种35新农药稀释175时治虫效少千克浓度35农药加水少千克配成175农药800千克？
2 配浓度45盐水12千克现10盐水85盐水两种盐水需少？
解：设含盐10盐水x千克含盐85盐水y千克 题中两相等关系 ：
1含盐10盐水中盐重量+含盐85盐水中盐重量
列方程：10x+
2含盐10盐水重量+含盐85盐水重量
列方程：x+y
3甲乙两块合金含银铜分甲4：3乙7：9两块合金中取少千克含银84千克含铜82千克新合金？
4甲乙两种铜银合金甲种合金含银25乙种合金含银375现熔制含银30合金100千克两种合金应取少？
十问题
必须掌握图形性质周长面积等计算公式
图8块相长方形砖拼成长方形块长方形砖长宽分少？
总结升华：应题相等关系般隐藏某图形性质中解答类问题时应注意认真分析图形特点找出图形位置关系数量关系列出方程求解
变式长48厘米铁丝弯成矩形矩形长边剪掉3厘米补较短边正方形求正方形面积矩形面积少？
2 图中长方形正方形纸板作侧面底面做成图二中竖式横式两种盖纸盒现仓库里1500张正方形纸板1001张长方形纸板 问两种纸盒做少恰库存纸板完？
图
图二
十年龄问题
解类问题基关系抓住两年龄增长数相等年龄问题特点：时间发生变化年龄增长年龄差始终变年龄问题差差倍等问题综合应解题时定抓住年龄差变解题关键
例 父子年龄差30岁五年父亲年龄正子3倍问年父亲子少岁？
举反三：
1 1998年甲年龄乙年龄4倍2002年甲年龄乙年龄3倍问甲乙二2000年年龄分少岁
2学生问老师：您年少岁？老师风趣说：样时候出生时已37岁试求老师学生年龄少？
提示：设老师X岁学生Y岁（1）老师年龄增加时学生年龄增加样时候知老师Y岁老师Y岁增加X岁增加XY岁学生1岁增加Y增加Y1岁增加年份相等量：XYY1（2）老师X岁37岁时增长量37Y学生Y岁增加X岁增长量XY二者相等XY37Y
3甲乙两聊天甲乙说：岁数现岁数时4岁乙甲说：岁数现岁数时61岁算出两岁？
4 傅徒弟说：岁数现岁数时4岁样时已52岁老算出两岁？
5 现父亲年龄子年龄3倍7年前父亲年龄子年龄5倍问父亲子现年龄分少岁？
6姐姐年龄妹妹年龄3倍1岁妹妹5年龄姐姐3年前年龄1岁求姐姐妹妹年龄少？
7年李年龄爷爷五分李发现12年年龄变成爷爷三分试求出年李年龄
十二优化方案问题：
某校师生甲乙两工厂参加劳动果甲厂抽9乙厂两厂数相果乙厂抽5甲厂甲厂数乙厂2倍两工厂数少？
解：设甲工厂数x乙工厂数y题中两相等关系：
1 需少千克售42元糖果千克售34元糖果混合成千克售36元杂拌糖200千克？
2 批货物运某货准备租汽运公司甲乙两种货车已知租两种汽车运货情况左表示现租该公司5辆甲种货车6辆乙种货车次刚运完批货物问批货物少吨？
某生产种绿色蔬菜市场直接销售吨利润1000元粗加工销售吨利润达4500元精加工销售吨利润涨7500元 家农工商公司收获种蔬菜140吨该公司加工厂生产力：果蔬菜进行粗加工天加工16吨果进行细加工天加工6吨 两种加工方式时进行 受季节条件限制公司必须15天批蔬菜全部销售加工完毕公司研制三种加工方案
方案：蔬菜全部进行粗加工
方案二：蔬菜进行精加工没加工蔬菜市场直接销售
方案三：部分蔬菜进行精加工余蔬菜进行粗加工恰15天完成
认选择种方案获利？什？
总结升华：优化方案问题首先列举出方案题求分求出方案具体结果进行较中选择优方案
变式1某商场计划拨款9万元厂家购进50台电视机已知厂家生产三种型号电视机出厂价分：甲种台1500元乙种台2100元丙种台2500元
(1)商场时购进中两种型号电视机50台9万元请研究商场进货方案
(2)商场销售台甲乙丙电视机分获利150元200元250元方案中获利选择种进货方案？
2牛奶加工厂现鲜奶8吨市场直接销售鲜奶（天销售8吨）吨获利润500元制成酸奶销售加工1吨鲜奶获利润1200元制成奶片销售加工1吨鲜奶获利润2000元．该厂生产力：制酸奶天加工3吨鲜奶制奶片天加工1吨鲜奶受员设备限制两种加工方式时进行受气温条件限制批牛奶必须4天全部销售加工完毕．
请帮牛奶加工厂设计种方案8吨鲜奶4天全部销售加工完毕获认利润．
3某市剧院举办型文艺演出门票价格：等席300元／二等席200元／三等席150元／某公司组织员工36观计划5850元购买2种门票请帮助公司设计购票方案
4明家搬新居购买新冰箱明妈妈商场中甲乙两种冰箱．中甲冰箱价格2100元日耗电量1度乙冰箱节型新产品价格2220元日耗电量05度两种冰箱效果相老板说甲冰箱折乙冰箱折请价格方面计算说明甲冰箱少折时购买甲冰箱较合算？（度电05元两种冰箱寿命均10年均年300天）
5某公司扩营决定购进6台机器生产某种活塞现甲乙两种机器供选择中种机器价格台机器日生产活塞数量表示预算次购买机器耗资金超34万元
甲
乙
价格（万元台）
7
5
日产量（）
100
60
（1） 该公司求种购买方案？2该公司购进6台机器日生产力低380节约资金应选择种方案？
古代问题
1．古题：问开店李三公众客店中房七客七客房九客房空．_______间房_____位客．
2．盛米桶5桶加1桶盛3斛米1桶加5桶盛2斛米求桶盛少米（斛：量器名古时）．设桶盛x斛米桶盛y斛米列方程组__________．
3．鸡兔笼三十五头九十四足问鸡兔．题目意：现鸡兔笼子里边数35头边数94脚求鸡兔少．
4．希腊文集中童话形式写成数学题．驴骡子驮货物道题数学家欧拉改编题目样：驴骡子驮着货物排走路驴住埋怨驮货物太重压受．骡子驴说：发什牢骚啊驮货物重假货物口袋驮货驮重倍口袋俩驮样．驴骡子驮口袋货物？
方程组解问题？
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二元次方程组应
点突破：
应二元次方程组解决实际问题基步骤回顾 关键
（1）理解问题 （审题搞清已知未知分析数量关系）
（2）制定计划 （考虑根等量关系设元列出方程组）
（3）执行计划 （列出方程组求解答案）
（4）回顾 （检查反思解题程检验答案正确性否符合题意）
列方程组思想：
找出相等关系未知转化已知未知数列出方程列方程必须满足：(1)方程两边表示类量(2)类量单位统(3)方程两边数值相等
（1） 行程问题：（2）工程问题（3）销售中盈亏问题（4）储蓄问题（5）产品配套问题（6）增长率问题（7）差倍分问题（8）数字问题 （9）浓度问题 （10）问题 （11）年龄问题（12）优化方案问题
行程问题
（1） 三基量关系：
路程s速度v×时间t 时间t＝路程s÷速度V 速度V＝路程s÷时间t
（2） 三类型：
① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距
② 追问题：快行距－慢行距＝原距
③ 航行问题：水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度速–逆速 2水速
速 + 逆速 2船速 水路程 逆水路程
相遇问题 两运动物体作相运动环形跑道作背运动着时间发展必然面面相遇类问题做相遇问题特点两运动物体走完整路程
A车路程
B车路程
A车路程+B车路程相距路程 总路程（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间总路程÷（甲速+乙速）
速度甲乙速度已知速度
甲乙两相距18千米两时出发相行1时48分相遇果甲乙早出发40分钟乙出发1时30分时两相遇求甲乙两速度
练：学校距活动站670米明学校前活动站分钟行80米2分钟丽活动站学校走分钟行90米明出发少分钟丽相遇？相遇时二行少米？
追问题两物体速度方运动两物体时运动前前相隔路程做追路程追前时间追时间
A车行路程
B车追击路程
A车先行路程
追击
关系式： 追路程÷速度差＝追时间
速–逆速 2水速速 + 逆速 2船速 水路程 逆水路程
AB两相距28千米甲乙两车时分AB两方开出甲车时行32千米乙车时行25千米乙车前甲车时甲车追乙车？
甲乙二相距6km二行甲3时追乙相行1时相遇二均速度少？ 解：设甲时走x千米乙时走y千米
题中两相等关系：
1行：甲路程乙路程+ 列方程：
2相行：甲路程+ 列方程：
变式
1甲乙两相距160千米辆汽车辆拖拉机时甲乙两相行1时20分相遇 相遇拖拉机继续前进汽车相遇处停留1时调转车头原速返回汽车次出发半时追拖拉机 时汽车拖拉机行驶少千米？
2 甲5kmh速度进行氧体育锻炼2h乙骑行车出发条路追赶甲根两约定乙快早1h追甲慢晚1h15min追甲乙骑车速度应控制什范围？
3 甲乙路段坡段路段3千米长坡果保持坡时走3千米
路时走4千米坡时走5千米甲乙需90分乙甲需102分甲乙全程少？
4 甲乙两分甲乙两时相出发甲超中点50米处甲乙两第次相遇甲乙达乙甲两立返身回走结果甲乙两距甲100米处第二次相遇求甲乙两路程
5 两列火车时相距910千米两相出发10时相遇果第列车第1二列车早出发4时20分第二列火车出发8时相遇求两列火车速度
6 某班学18千米北山郊游辆汽车需分两组甲组先车乙组步行车行A处甲组车步行汽车返回接乙组两组时达北山站已知汽车速度60千米时步行速度4千米时求A点距北山站距离
7 通讯员规定时间达某时走15千米提前24分钟达某果时走12千米迟15分钟求通讯员达某路程少千米？原定时间少时？
总结升华：根题意画出示意图根路程时间速度关系找出等量关系行程问题常解决策略
船河中航行水速时2千米静水中航行时8千米水航行时行少千米？逆水航行时行少千米？水航行50千米需少时？
练： 1某船静水中速度时7千米水流速度时2千米逆水中速度少？逆水航行3时航行少千米？
2 某船水速度时17千米逆水航行速度时10千米船静水速度时少千米？水流速度时行少千米？
3 两相距280千米艘船间航行流14时逆流20时求船静水中速度水流速度
二 工程问题
三基量关系：
工作总量＝工作时间×工作效率 工作时间＝工作总量÷工作效率
工作效率＝工作总量÷工作时间 甲工作量＋乙工作量＝甲乙合作工作总量
注：工作总量未出具体数量时常设总工作量1
家商店进行装修请甲乙两装修组时施工8天完成需付两组费3520元先请甲组单独做6天请乙组单独做12天完成需付两组费3480元问：(1)甲乙两组工作天商店应付少元？(2)已知甲组单独做需12天完成乙组单独做需24天完成单独请组商店付费少？
总结升华：工作效率单位时间里完成工作量题目中时间单位必须统般工作总量设1设a需根题目特点合理选工程问题常利线段图列表法进行分析
变式明家准备装修套新住房甲乙两装饰公司合作6周完成需工钱52万元甲公司单独做4周剩乙公司做需9周完成需工钱48万元选公司单独完成节约开支角度考虑明家应选甲公司乙公司？请说明理
1 现加工400机器零件甲先做1天然两做2天60未完成两齐心合作3天超产20问甲乙两天做少零件
2 某检测站规定时间检测批仪器原计划天检测30台种仪器规定时间检测完总数七分三现天实际检测40台结果原计划提前天完成务检测25台问规定时间少天？批仪器少台？
3 甲乙两时加工批零件前3时两加工126件5时甲先花1时修理工具甲时前加工10件结果段时间甲乙加工10件甲乙两原时加工少件？
5 项工程甲单独做12天完成乙队单独做15天完成丙队单独20天完成计划求7天完成现甲乙先合作干天丙队时加入项工作样原定时间提前天完成务甲乙两队合做少天？丙队做少天？
6 甲乙两车间原计划装车床180台甲车间完成计划112 乙车间完成计划110 样装机床200台两车间计划完成少台？
7 某蔬菜公司收购蔬菜进行销售获利情况表示：
销售方式
直接销售
粗加工销售
精加工销售
吨获利（元）
100
250
450
8 现该公司收购140吨蔬菜已知该公司天精加工蔬菜6吨粗加工蔬菜16吨（两种加工时进行）．（1）果求18天全部销售完140吨蔬菜请完成列表格：
销售方式
全部直接销售
全部粗加工销售
量精加工剩余部分直接销售
获利（元）
（2）果先进行精加工然进行粗加工求15天刚加工完140吨蔬菜应分配加工时间？
三：商品销售利润问题
利润问题：利润售价—进价利润率（售价—进价）÷进价×100
甲乙两件商品甲商品利润率5乙商品利润率4获利46元价格调整甲商品利润率4乙商品利润率5获利44元两件商品进价分少元？
变式1 某商场36万元购进AB两种商品销售完获利6万元进价售价表：
A
B
进价（元件）
1200
1000
售价（元件）
1380
1200
求该商场购进AB两种商品少件
3 种饮料包装3种1中瓶2瓶便宜2角1瓶1中瓶加1瓶贵4角中买1瓶需9元6角3种包装饮料瓶少元？
捐款
10
15
30
50
数
18
4
3 2008年5月12日四川省汶川县发生里氏80级强烈震民造成巨损失．全国迅速组织捐款支援灾区校七年级(1)班55名学捐款830元捐款情况右表．表中捐款2元5元数心墨水污染已清楚请帮助确定表中数说明理．
4 甲乙两种商品进价100元促销折出售甲商品8折乙商品6折赚50元甲商品6折乙商品8折赚195元求甲乙两种商品原定价少元
5甲乙两件服装成500元商店老板获取利润决定甲服装50％利润定价乙服装40％利润定价．实际出售时应顾客求两件服装均9折出售样商店获利157元求甲乙两件服装成少元？
6甲乙两种电饭锅原单价200元现市场销售情况变化甲商品商品降价15乙商品单价提高40调价两种电饭锅单价原单价提高125甲乙两种商品原单价少
四银行储蓄问题
银行利率问题：免税利息金×利率×时间
税利息金×利率×时间—金×利率×时间×税率
4．明妈妈准备明年高中费现两种方式银行存2000元钱种年利率225％教育储蓄种年利率225％年定期存款年取出204275元问两种储蓄存少钱？（利息税＝利息金额×20教育储蓄没利息税）
总结升华 解涉行程收入支出增长率等实际问题时时候容易找出等量关系时候助图表法分析具体问题中蕴涵数量关系题目中相等关系浮现出
变式1 敏爸爸筹备高中费银行时两种方式存4000元钱第种年期整存整取反复存3次次存款数相种存款银行利率年息225第二种三年期整存整取种存款银行年利率270三年时取出利息30375元(计利息税)问敏爸爸两种存款存入少元？
2 某原料供应商购买原料顾客实行优惠办法：（1）次购买金额超1万元予优惠（2）次购买金额超1万元超3万元九折优惠（3）次购买金额超3万元中3万元九折优惠超3万元部分八折优惠某厂库存原第次该供应商处购买原料付款7800元第二次购买付款26100元果次性购买样原料少付款（ ）
A1460元 B1540元 C1560元 D2000元
五生产中配套问题
产品配套问题：加工总量成例
某服装厂生产批某种款式秋装已知2米某种布料做衣衣身3衣袖5 现计划132米种布料生产批秋装(考虑布料损耗)应分少布料做衣身衣袖恰配套？
总结升华：生产中配套问题螺钉螺母配套盒身盒底配套桌面桌腿配套衣身衣袖配套等 种配套数量例次设未知数未知数间数量关系表示出方程组问题解决确定等量关系解题关键
变式1 张方桌1桌面4条桌腿组成果1立方米木料做桌面50做桌腿300条现5立方米木料少立方米木料做桌面少立方米木料做桌腿做出桌面桌腿恰配成方桌？配少张方桌？
2 某厂120名生产工工天生产螺栓25螺母20果螺栓两螺母配成套天安排名工生产螺栓少名工生产螺母天生产出产品配成套？
3张桌子桌面四条脚组成1立方米木材制成桌面50张制作桌脚300条现5立方米木材问应分配木材桌面桌脚配套？
4白铁皮做罐头盒张铁皮制盒身16制盒底43盒身两盒底配成套罐头盒现150张白铁皮少张制盒身少张制盒底刚配套？
5 某车间28名工参见生产某种特制螺丝螺母已知均天生产螺丝12螺母18
果螺栓两螺母配成套天安排名工生产螺栓少名工生产螺母天生产出产品配成套？
六增长率问题
增长率问题：原量×（1＋增长率）增长量 原量×（1＋减少率）减少量
某工厂年利润（总产值—总支出）200万元年总产值年增加20总支出年减少10年利润780万元年总产值总支出少万元？
（1）条件变求年总产值总支出少万元？
变式某城市现口42万估计年城镇口增加08农村口增加11样全市口增加1求城市城镇口农村口
2 某出租汽车公司出租车100辆均天车消耗汽油费80元．减少环境污染市场推出种CNG 改烧汽油天然气装置辆车改装价格4000元．公司第次改装部分车辆核算：已改装车辆天燃料费占剩未改装车辆天燃料费二十分三公司第二次改装样车辆改装车辆天燃料费占剩未改装车辆天燃料费五分二．问：
（1）公司改装少辆出租车？改装辆出租车均天燃料费改装前燃料费降百分少？
（2）公司次性全部出租车改装少天节省燃料费中收回成？
七差倍分问题
差倍总分问题：较量较量+余量总量倍数×倍量
爱心帐篷厂温暖帐篷厂原计划周生产帐篷9千顶现某震灾区急需帐篷14千顶两厂决定周赶制出批帐篷．全体职工加班加点爱心帐篷厂温暖帐篷厂周制作帐篷数分达原16倍15倍恰时完成项务．求赶制帐篷周爱心帐篷厂温暖帐篷厂生产帐篷少千顶？
变式1 游泳池中群朋友男孩戴蓝色游泳帽女孩戴红色游泳帽果位男孩蓝色红色游泳帽样位女孩蓝色游泳帽红色1倍知道男孩女孩少？
2 某市现42万口计划年城镇口增加08％农村口增加工厂11％样全市口增加1％求市现城镇口农村口
解：市现城镇口x万农村口y万题中两相等关系：
1现城镇口+ 现全市总口 列方程：
2明年增加城镇口+ 明年全市总口
列方程：（1+08％）x+
3 某老翁根长草绳剪成前中三段中段长等前段长加段长段长等前段长加中段长半现知道前段长5m该草绳中段段长少米？
4 青团中央部门发起保护母亲河行动某校九年级两班115名学生积极参已知九班三分学生捐10元九二班五分二学生捐十元两班余学生捐5元两班捐款总额785元问两班少名学生
八：数字问题
首先正确掌握然数奇数偶数等关概念特征表示
两两位数68较两位数右边接着写较两位数四位数较两位数左边写较两位数四位数已知前四位数四位数2178求两两位数
变式1 两位数十位数字位数字5果十位数字位数字交换位置新两位数原两位数半少9求两位数？
2 某三位数中间数字0余两数位数字9果百位数字减1位数字加1新三位数正原三位数位数字倒序排列求原三位数
3两位数十位数位数9果交换十位数位数两位数原两位数27求两位数．
分析：设两位数十位数x位数y两位数新两位数
十位数
位数
应两位数
原两位数
x
y
新两位数
y
ｘ
4 两位数十位数字位数字5果十位数字位数字交换位置新两位数原两位数半少9求两位数？
5已知三位数中十位数字位3十位数字百位数字4十位数字撤掉两位数原340求原三位数
九：浓度问题
溶液×浓度溶质
现两种酒精溶液甲种酒精溶液酒精水3∶7乙种酒精溶液酒精水4∶1酒精水3∶2酒精溶液50kg问甲乙两种酒精溶液应取少？
总结升华：解类问题常相等关系：混合前含溶质相等混合前含溶剂相等时候需设间接未知数时候需设辅助未知数
变式1 种35新农药稀释175时治虫效少千克浓度35农药加水少千克配成175农药800千克？
2 配浓度45盐水12千克现10盐水85盐水两种盐水需少？
解：设含盐10盐水x千克含盐85盐水y千克 题中两相等关系 ：
1含盐10盐水中盐重量+含盐85盐水中盐重量
列方程：10x+
2含盐10盐水重量+含盐85盐水重量
列方程：x+y
3甲乙两块合金含银铜分甲4：3乙7：9两块合金中取少千克含银84千克含铜82千克新合金？
4甲乙两种铜银合金甲种合金含银25乙种合金含银375现熔制含银30合金100千克两种合金应取少？
十问题
必须掌握图形性质周长面积等计算公式
图8块相长方形砖拼成长方形块长方形砖长宽分少？
总结升华：应题相等关系般隐藏某图形性质中解答类问题时应注意认真分析图形特点找出图形位置关系数量关系列出方程求解
变式长48厘米铁丝弯成矩形矩形长边剪掉3厘米补较短边正方形求正方形面积矩形面积少？
2 图中长方形正方形纸板作侧面底面做成图二中竖式横式两种盖纸盒现仓库里1500张正方形纸板1001张长方形纸板 问两种纸盒做少恰库存纸板完？
图
图二
十年龄问题
解类问题基关系抓住两年龄增长数相等年龄问题特点：时间发生变化年龄增长年龄差始终变年龄问题差差倍等问题综合应解题时定抓住年龄差变解题关键
例 父子年龄差30岁五年父亲年龄正子3倍问年父亲子少岁？
举反三：
1 1998年甲年龄乙年龄4倍2002年甲年龄乙年龄3倍问甲乙二2000年年龄分少岁
2学生问老师：您年少岁？老师风趣说：样时候出生时已37岁试求老师学生年龄少？
提示：设老师X岁学生Y岁（1）老师年龄增加时学生年龄增加样时候知老师Y岁老师Y岁增加X岁增加XY岁学生1岁增加Y增加Y1岁增加年份相等量：XYY1（2）老师X岁37岁时增长量37Y学生Y岁增加X岁增长量XY二者相等XY37Y
3甲乙两聊天甲乙说：岁数现岁数时4岁乙甲说：岁数现岁数时61岁算出两岁？
4 傅徒弟说：岁数现岁数时4岁样时已52岁老算出两岁？
5 现父亲年龄子年龄3倍7年前父亲年龄子年龄5倍问父亲子现年龄分少岁？
6姐姐年龄妹妹年龄3倍1岁妹妹5年龄姐姐3年前年龄1岁求姐姐妹妹年龄少？
7年李年龄爷爷五分李发现12年年龄变成爷爷三分试求出年李年龄
十二优化方案问题：
某校师生甲乙两工厂参加劳动果甲厂抽9乙厂两厂数相果乙厂抽5甲厂甲厂数乙厂2倍两工厂数少？
解：设甲工厂数x乙工厂数y题中两相等关系：
1 需少千克售42元糖果千克售34元糖果混合成千克售36元杂拌糖200千克？
2 批货物运某货准备租汽运公司甲乙两种货车已知租两种汽车运货情况左表示现租该公司5辆甲种货车6辆乙种货车次刚运完批货物问批货物少吨？
某生产种绿色蔬菜市场直接销售吨利润1000元粗加工销售吨利润达4500元精加工销售吨利润涨7500元 家农工商公司收获种蔬菜140吨该公司加工厂生产力：果蔬菜进行粗加工天加工16吨果进行细加工天加工6吨 两种加工方式时进行 受季节条件限制公司必须15天批蔬菜全部销售加工完毕公司研制三种加工方案
方案：蔬菜全部进行粗加工
方案二：蔬菜进行精加工没加工蔬菜市场直接销售
方案三：部分蔬菜进行精加工余蔬菜进行粗加工恰15天完成
认选择种方案获利？什？
总结升华：优化方案问题首先列举出方案题求分求出方案具体结果进行较中选择优方案
变式1某商场计划拨款9万元厂家购进50台电视机已知厂家生产三种型号电视机出厂价分：甲种台1500元乙种台2100元丙种台2500元
(1)商场时购进中两种型号电视机50台9万元请研究商场进货方案
(2)商场销售台甲乙丙电视机分获利150元200元250元方案中获利选择种进货方案？
2牛奶加工厂现鲜奶8吨市场直接销售鲜奶（天销售8吨）吨获利润500元制成酸奶销售加工1吨鲜奶获利润1200元制成奶片销售加工1吨鲜奶获利润2000元．该厂生产力：制酸奶天加工3吨鲜奶制奶片天加工1吨鲜奶受员设备限制两种加工方式时进行受气温条件限制批牛奶必须4天全部销售加工完毕．
请帮牛奶加工厂设计种方案8吨鲜奶4天全部销售加工完毕获认利润．
3某市剧院举办型文艺演出门票价格：等席300元／二等席200元／三等席150元／某公司组织员工36观计划5850元购买2种门票请帮助公司设计购票方案
4明家搬新居购买新冰箱明妈妈商场中甲乙两种冰箱．中甲冰箱价格2100元日耗电量1度乙冰箱节型新产品价格2220元日耗电量05度两种冰箱效果相老板说甲冰箱折乙冰箱折请价格方面计算说明甲冰箱少折时购买甲冰箱较合算？（度电05元两种冰箱寿命均10年均年300天）
5某公司扩营决定购进6台机器生产某种活塞现甲乙两种机器供选择中种机器价格台机器日生产活塞数量表示预算次购买机器耗资金超34万元
甲
乙
价格（万元台）
7
5
日产量（）
100
60
（1） 该公司求种购买方案？2该公司购进6台机器日生产力低380节约资金应选择种方案？
古代问题
1．古题：问开店李三公众客店中房七客七客房九客房空．_______间房_____位客．
2．盛米桶5桶加1桶盛3斛米1桶加5桶盛2斛米求桶盛少米（斛：量器名古时）．设桶盛x斛米桶盛y斛米列方程组__________．
3．鸡兔笼三十五头九十四足问鸡兔．题目意：现鸡兔笼子里边数35头边数94脚求鸡兔少．
4．希腊文集中童话形式写成数学题．驴骡子驮货物道题数学家欧拉改编题目样：驴骡子驮着货物排走路驴住埋怨驮货物太重压受．骡子驴说：发什牢骚啊驮货物重假货物口袋驮货驮重倍口袋俩驮样．驴骡子驮口袋货物？
方程组解问题？
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