短路径问题
——军饮马问题延伸
短路径问题
教学容解析：
节课容利轴称研究某短路径问题短路径问题现实生活中常遇初中阶段两点间线段短三角形两边第三边知识基础时助轴称移变换进行研究
节课数学史中典事军饮马问题载体开展短路径问题课题研究学生历实际问题抽象数学线段问题利轴称线段问题转化两点间线段短问题
教学目标设置：
1 利轴称解决短路径问题
2 解题程总结出解题方法进行定延伸
3体会轴称桥梁作感悟转化数学思想
教学重点难点：
重点：利轴称短路径问题转化两点间线段短问题
难点：利轴称短路径问题转化线段问题
学情分析：
1八年级学生观察操作猜想力较强演绎推理纳运数学意识思想较薄弱探究合作学力需课堂教学中进步引导年龄段学生具定探究精神合作意识定亲身历体验中获取定数学新知识数学说理规范集合演绎推理力加强
2学生已学 两点间线段短垂线段短刚刚学轴称垂直分线性质作节知识基础
教学条件分析
初次解决问题时学生出现种方法通测量发现利轴称侧两点转化异侧两点求线段较短进利PPT动画演示实验验证结般性通逻辑推理证明
教具准备：直尺ppt
教学程：
环 节
教师活动
学生活动
设计意图
复
引
入
1问题：图片回忆学数学知识解释问题？
2样问题称短路径问题
1两点间线段短
2两边第三边
学生已学知识入手进步丰富完善知识结构做铺垫
二
探
究
新
知
1探究：
事引入：唐诗李颀古军行中写道：白日登山峰火黄昏饮马傍交河．诗中隐含着趣数学问题古时候位军天军营回家条笔直河军马天河边喝水问题
问题：样走总路程短呢？
认真读题仔细思考
实际问题中点河抽象数学中点线实际问题抽象线段问题
异侧问题入手简难逐步深入
二
探
究
新
知
2探究二：
变换情境：军家搬河面带马先河边喝水然回家应该样走总路程短呢？
（1）转化：实际问题抽象数学问题？
（2）展示：
学生猜想画出图形
巡视发现学生作法（）分展示组作法
予学生定提示
（3）度量：判断种猜想正确呢？（测量）画板中分度量出ACBC长度计算AC+BC学生观察数值变化反思作法否正确
回答：学生思考回答实际问题转化数学问题
已知：直线L侧两点AB
求作：直线L点CC满足AC+BC值
学生展示：
作法1：
作法2：：
作法3：
学生反思：第1种作法利垂线段短AC短利两点间线段短BC短确定AC+BC短
第2种作法说明河l取点AB两距离相等AC＝BC说明AC+BC短
第3种作法应该正确
学生动探索充分发挥学生动性
展示种方法产生思维突引发学生进步探究学欲
二
探
究
新
知
3解决问题
追问第3种作法学样想作点B关直线L称点？什作称点？
果做点B关直线L称点点B移侧满足BC＝BC’实直线L点BB’距离相等
根垂直分线性质L线段BB’垂直分线垂直分线点线段两端点距离相等
利轴称侧线段短转化异侧线段短问题助轴称折线转化线段长求解
学生进步体会做法正确性提高逻辑思维力
学生反思程中体会轴称作感悟转化思想丰富数学活动验
（4）推理证：证明AC+BC短呢？
提示：没较会产生通常直线取点C＇（点C重合）证明AC＇+BC＇〉AC+BC
老师动手操作验证结正确性
（1）学生证明教师纠错
（2）师生分析学生说明证明程教师版书
（3）完成证明程
认真观察思考想确认AC+BC短直线l取点C’（点C重合）
1独立纠错
2兵教兵
学生进步体会作法正确性提高逻辑思维力
通动画演示特殊般验证前面结
三
发
散
思
维
作点B关直线l称点外没作法？
作点A关直线l称点
发散思维培养学生题解力
四
出
结
问题：解决军饮马问题？
先实际问题转化数学问题然作中点关直线l称点连接称点点直线交点满足短距离点位置
学生反思刚探究程培养数学思维时总结学知识惯
五 变式巩固
问题：图已知：PQ△ABC边AB AC点BC确定点R △PQR周长短？
具体问题中实践已模型固化已模型进步丰富完善知识结构做铺垫
六 拓展提升
问题：图位军骑马驻A出发先牵马草 OM吃草牵马河边ON喝水 回驻A问：位军样走路程短？
问题：图A马厩B帐篷军某天马厩牵出马先草边某处牧马河边饮马然回帐篷请帮助确定天短路线
七
巩
固
练
1 题目：图已知： MON两点AB
求作：点C点D点COM点DONAC+CD+BD+AB短
2 题目：图图OMCN矩形台球桌面黑白两球分位BA两点位置试问样撞击白球白球A次碰撞球台边OMON反弹击中黑球？
题难度易难逐步深入学生进步巩固解决短路径问题基策略基方法
八
课
堂
结
1问题：节课研究问题基程什？
遇实际问题首先实际问题变成数学问题（群答）抽象成数学模型样帮助进行实验观察进运合情推理猜想然通严谨逻辑证明验证猜想出结结运实际问题里
2问题：天学短路径相关问题应该样找短路径呢？
先确定称轴找出定点称点然连接称点点确定求位置点（连接称点确定求位置点）
先实际问题变成数学问题然观察实验提出猜想通证明验证猜想出结结运实际问题里
求解
培养学生总结课题学基思路
九
课
拓
展
问题：矩形ABCD中边角线ADBD两动点MNMN运动处时BM+MN短？
根解题方法进行深度拓展（难度）
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——军饮马问题延伸
短路径问题
教学容解析：
节课容利轴称研究某短路径问题短路径问题现实生活中常遇初中阶段两点间线段短三角形两边第三边知识基础时助轴称移变换进行研究
节课数学史中典事军饮马问题载体开展短路径问题课题研究学生历实际问题抽象数学线段问题利轴称线段问题转化两点间线段短问题
教学目标设置：
1 利轴称解决短路径问题
2 解题程总结出解题方法进行定延伸
3体会轴称桥梁作感悟转化数学思想
教学重点难点：
重点：利轴称短路径问题转化两点间线段短问题
难点：利轴称短路径问题转化线段问题
学情分析：
1八年级学生观察操作猜想力较强演绎推理纳运数学意识思想较薄弱探究合作学力需课堂教学中进步引导年龄段学生具定探究精神合作意识定亲身历体验中获取定数学新知识数学说理规范集合演绎推理力加强
2学生已学 两点间线段短垂线段短刚刚学轴称垂直分线性质作节知识基础
教学条件分析
初次解决问题时学生出现种方法通测量发现利轴称侧两点转化异侧两点求线段较短进利PPT动画演示实验验证结般性通逻辑推理证明
教具准备：直尺ppt
教学程：
环 节
教师活动
学生活动
设计意图
复
引
入
1问题：图片回忆学数学知识解释问题？
2样问题称短路径问题
1两点间线段短
2两边第三边
学生已学知识入手进步丰富完善知识结构做铺垫
二
探
究
新
知
1探究：
事引入：唐诗李颀古军行中写道：白日登山峰火黄昏饮马傍交河．诗中隐含着趣数学问题古时候位军天军营回家条笔直河军马天河边喝水问题
问题：样走总路程短呢？
认真读题仔细思考
实际问题中点河抽象数学中点线实际问题抽象线段问题
异侧问题入手简难逐步深入
二
探
究
新
知
2探究二：
变换情境：军家搬河面带马先河边喝水然回家应该样走总路程短呢？
（1）转化：实际问题抽象数学问题？
（2）展示：
学生猜想画出图形
巡视发现学生作法（）分展示组作法
予学生定提示
（3）度量：判断种猜想正确呢？（测量）画板中分度量出ACBC长度计算AC+BC学生观察数值变化反思作法否正确
回答：学生思考回答实际问题转化数学问题
已知：直线L侧两点AB
求作：直线L点CC满足AC+BC值
学生展示：
作法1：
作法2：：
作法3：
学生反思：第1种作法利垂线段短AC短利两点间线段短BC短确定AC+BC短
第2种作法说明河l取点AB两距离相等AC＝BC说明AC+BC短
第3种作法应该正确
学生动探索充分发挥学生动性
展示种方法产生思维突引发学生进步探究学欲
二
探
究
新
知
3解决问题
追问第3种作法学样想作点B关直线L称点？什作称点？
果做点B关直线L称点点B移侧满足BC＝BC’实直线L点BB’距离相等
根垂直分线性质L线段BB’垂直分线垂直分线点线段两端点距离相等
利轴称侧线段短转化异侧线段短问题助轴称折线转化线段长求解
学生进步体会做法正确性提高逻辑思维力
学生反思程中体会轴称作感悟转化思想丰富数学活动验
（4）推理证：证明AC+BC短呢？
提示：没较会产生通常直线取点C＇（点C重合）证明AC＇+BC＇〉AC+BC
老师动手操作验证结正确性
（1）学生证明教师纠错
（2）师生分析学生说明证明程教师版书
（3）完成证明程
认真观察思考想确认AC+BC短直线l取点C’（点C重合）
1独立纠错
2兵教兵
学生进步体会作法正确性提高逻辑思维力
通动画演示特殊般验证前面结
三
发
散
思
维
作点B关直线l称点外没作法？
作点A关直线l称点
发散思维培养学生题解力
四
出
结
问题：解决军饮马问题？
先实际问题转化数学问题然作中点关直线l称点连接称点点直线交点满足短距离点位置
学生反思刚探究程培养数学思维时总结学知识惯
五 变式巩固
问题：图已知：PQ△ABC边AB AC点BC确定点R △PQR周长短？
具体问题中实践已模型固化已模型进步丰富完善知识结构做铺垫
六 拓展提升
问题：图位军骑马驻A出发先牵马草 OM吃草牵马河边ON喝水 回驻A问：位军样走路程短？
问题：图A马厩B帐篷军某天马厩牵出马先草边某处牧马河边饮马然回帐篷请帮助确定天短路线
七
巩
固
练
1 题目：图已知： MON两点AB
求作：点C点D点COM点DONAC+CD+BD+AB短
2 题目：图图OMCN矩形台球桌面黑白两球分位BA两点位置试问样撞击白球白球A次碰撞球台边OMON反弹击中黑球？
题难度易难逐步深入学生进步巩固解决短路径问题基策略基方法
八
课
堂
结
1问题：节课研究问题基程什？
遇实际问题首先实际问题变成数学问题（群答）抽象成数学模型样帮助进行实验观察进运合情推理猜想然通严谨逻辑证明验证猜想出结结运实际问题里
2问题：天学短路径相关问题应该样找短路径呢？
先确定称轴找出定点称点然连接称点点确定求位置点（连接称点确定求位置点）
先实际问题变成数学问题然观察实验提出猜想通证明验证猜想出结结运实际问题里
求解
培养学生总结课题学基思路
九
课
拓
展
问题：矩形ABCD中边角线ADBD两动点MNMN运动处时BM+MN短？
根解题方法进行深度拓展（难度）
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