133 等腰三角形
基础巩固
1．等腰三角形底角72°顶角( )
A．108° B．72°
C．54° D．36°
2．图△ABC中AB＝ACAD＝BD＝BC∠C＝( )
A．72° B．60°
C．75° D．45°
3．等腰三角形周长26 cm边11 cm腰长( )
A．11 cm B．75 cm
C．11 cm75 cm D．
4．列三角形：①两角等60°三角形②角等60°等腰三角形③三外角(顶点处取外角)相等三角形④腰中线条腰高等腰三角形．中等边三角形( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
5．图示已知∠1＝∠2BD＝CD应增加条件( )
①AB＝AC ②∠B＝∠C ③AD⊥BC ④AB＝BC
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
6．图示△ABC中∠ACB＝90°∠B＝30°CD⊥AB点DAD＝2AB＝__________
力提升
7．图△ABC中AB＝ACBDCD分∠ABC∠ACB分线EFD点EF∥BC图中等腰三角形( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．图示正方形网格中网格线交点称格点．已知AB两格点果C图中格点△ABC等腰三角形点C数( )
A．6 B．7 C．8 D．9
9．图D△ABC中BC边点AB＝AC＝BD∠1∠2关系( )
A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°
C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1
10．图△ABC中AB＝AC∠C＝30°DA⊥BAABC＝42 cmAD＝__________
11．图△ABC中∠C＝90°∠CAB＝60°步骤作图：
(1)分AB圆心长半径做弧两弧相交点PQ
(2)作直线PQ交AB点D交BC点E连接AECE＝4AE＝__________
12．图示∠AOP＝∠BOP＝15°PC∥OAPD⊥OAPC＝4求PD长．
13．图示△ABC中AB＝AC点ECA延长线∠AEF＝∠AFE求证：EF⊥BC
14．图△ABC中∠ACB＝45°∠A＝90°BD∠ABC角分线CH⊥BD交BD延长线H求证：BD＝2CH
15．图△ABC边长6等边三角形PAC边动点AC运动(AC重合)QCB延长线点点P时相速度BCB延长线方运动(QB重合)P作PE⊥ABE连接PQ交ABD
(1)∠BQD＝30°时求AP长
(2)运动程中线段ED长否发生变化？果变求出线段ED长果变化请说明理．
参考答案
1．D 点拨：等腰三角形两底角相等顶角36°选D
2．A 点拨：设∠A＝x已知知∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x
∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
x＋2x＋2x＝180°
解x＝36°∠C＝72°选A
3．C 点拨：边长11 cm边长腰底分两种情况讨．种情况腰长11 cm种情况底边11 cm时腰长75 cm两种情况成立选C
4．D 点拨：①②判定定理③外角相等120°角60°④腰中线条腰高说明条线段直线条腰垂直分线腰等底等边三角形四成立选D
5．C 点拨：①②说明△ABC等腰三角形三线合知BD＝CD③△ABD≌△ACDBD＝CD④BD＝CD选C
6．8 点拨：题意知Rt△ACDRt△ABC中∠ACD＝∠B＝30°
AC＝2ADAB＝2AC
AB＝4AD＝4×2＝8
7．D 点拨：题意知AB＝ACAE＝AFBE＝DECF＝DFBD＝CD三角形等腰三角形5选D
8．C 点拨：图8格点．注意38选C
9．D 点拨：AB＝BD
∠B＝180°－2∠1∠C＝∠1－∠2
AB＝AC∠B＝∠C
180°－2∠1＝∠1－∠2
整理180°＋∠2＝3∠1选D
10．14 cm 点拨：已知推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°AD＝DCDA⊥BAABD＝2AD
BC＝3DC＝3AD＝42(cm)．
AD＝14 cm
11．8 点拨：题意出：PQAB垂直分线∴AE＝BE
∵△ABC中∠C＝90°∠CAB＝60°
∴∠CBA＝30°∴∠EAB＝∠CAE＝30°
∴∴AE＝8
12．解：图P作PE⊥OB垂足E
∵∠AOP＝∠BOP＝15°PD⊥OA
∴PD＝PE
∵PC∥OA∴∠CPO＝∠AOP＝15°
∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°
Rt△CPE中∠ECP＝30°
∴
∴PD＝PE＝2
13．证明：图A作AD⊥BC垂足D∵AB＝AC
∴
∵∠AEF＝∠AFE
∠BAC＝∠AEF＋∠AFE
∴
∴∠EFA＝∠BAD
∴EF∥AD∴EF⊥BC
14．证明：图分延长CHBA交点E
∵CH⊥BDBD∠ABC角分线
∴∠CHB＝∠EHB＝90°∠CBH＝∠EBH
∵BH＝BH∴△CBH≌△EBH
∴CH＝EH∴CE＝2CH
∵∠ACB＝45°∠CAB＝90°
∴∠ABC＝45°
∴∠ACB＝∠ABC∴AC＝AB
∵∠CAB＝∠CAE＝90°
∴∠E＋∠ECA＝90°
∵CH⊥BD∴∠E＋∠EBH＝90°
∴∠ECA＝∠EBH∴△ECA≌△DBA
∴CE＝BD∴BD＝2CH
15．解：(1)∵△ABC边长6等边三角形∴∠ACB＝60°
∵∠BQD＝30°∴∠QPC＝90°
设AP＝xPC＝6－xQB＝x
∴QC＝QB＋BC＝6＋x
∵Rt△QCP中∠BQD＝30°
∴
解x＝2∴AP＝2
(2)点PQ运动时线段DE长度会改变．理：
作QF⊥AB交AB延长线点F连接QEPF∵PE⊥ABE
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°
∵点PQ速度相∴AP＝BQ
∵△ABC等边三角形
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°
△APE△BQF中
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°
∴∠APE＝∠BQF
△APE△BQF中
∠AEP＝∠BFQ∠A＝∠FBQAP＝BQ
∴△APE≌△BQF(AAS)．
∴AE＝BFPE＝QFPE∥QF
∴四边形PEQF行四边形．
∴
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB
∴
∵等边△ABC边长6∴DE＝3
∴点PQ运动时线段DE长度会改变．
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基础巩固
1．等腰三角形底角72°顶角( )
A．108° B．72°
C．54° D．36°
2．图△ABC中AB＝ACAD＝BD＝BC∠C＝( )
A．72° B．60°
C．75° D．45°
3．等腰三角形周长26 cm边11 cm腰长( )
A．11 cm B．75 cm
C．11 cm75 cm D．
4．列三角形：①两角等60°三角形②角等60°等腰三角形③三外角(顶点处取外角)相等三角形④腰中线条腰高等腰三角形．中等边三角形( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
5．图示已知∠1＝∠2BD＝CD应增加条件( )
①AB＝AC ②∠B＝∠C ③AD⊥BC ④AB＝BC
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
6．图示△ABC中∠ACB＝90°∠B＝30°CD⊥AB点DAD＝2AB＝__________
力提升
7．图△ABC中AB＝ACBDCD分∠ABC∠ACB分线EFD点EF∥BC图中等腰三角形( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．图示正方形网格中网格线交点称格点．已知AB两格点果C图中格点△ABC等腰三角形点C数( )
A．6 B．7 C．8 D．9
9．图D△ABC中BC边点AB＝AC＝BD∠1∠2关系( )
A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°
C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1
10．图△ABC中AB＝AC∠C＝30°DA⊥BAABC＝42 cmAD＝__________
11．图△ABC中∠C＝90°∠CAB＝60°步骤作图：
(1)分AB圆心长半径做弧两弧相交点PQ
(2)作直线PQ交AB点D交BC点E连接AECE＝4AE＝__________
12．图示∠AOP＝∠BOP＝15°PC∥OAPD⊥OAPC＝4求PD长．
13．图示△ABC中AB＝AC点ECA延长线∠AEF＝∠AFE求证：EF⊥BC
14．图△ABC中∠ACB＝45°∠A＝90°BD∠ABC角分线CH⊥BD交BD延长线H求证：BD＝2CH
15．图△ABC边长6等边三角形PAC边动点AC运动(AC重合)QCB延长线点点P时相速度BCB延长线方运动(QB重合)P作PE⊥ABE连接PQ交ABD
(1)∠BQD＝30°时求AP长
(2)运动程中线段ED长否发生变化？果变求出线段ED长果变化请说明理．
参考答案
1．D 点拨：等腰三角形两底角相等顶角36°选D
2．A 点拨：设∠A＝x已知知∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x
∠A＋∠ABC＋∠C＝180°
x＋2x＋2x＝180°
解x＝36°∠C＝72°选A
3．C 点拨：边长11 cm边长腰底分两种情况讨．种情况腰长11 cm种情况底边11 cm时腰长75 cm两种情况成立选C
4．D 点拨：①②判定定理③外角相等120°角60°④腰中线条腰高说明条线段直线条腰垂直分线腰等底等边三角形四成立选D
5．C 点拨：①②说明△ABC等腰三角形三线合知BD＝CD③△ABD≌△ACDBD＝CD④BD＝CD选C
6．8 点拨：题意知Rt△ACDRt△ABC中∠ACD＝∠B＝30°
AC＝2ADAB＝2AC
AB＝4AD＝4×2＝8
7．D 点拨：题意知AB＝ACAE＝AFBE＝DECF＝DFBD＝CD三角形等腰三角形5选D
8．C 点拨：图8格点．注意38选C
9．D 点拨：AB＝BD
∠B＝180°－2∠1∠C＝∠1－∠2
AB＝AC∠B＝∠C
180°－2∠1＝∠1－∠2
整理180°＋∠2＝3∠1选D
10．14 cm 点拨：已知推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°AD＝DCDA⊥BAABD＝2AD
BC＝3DC＝3AD＝42(cm)．
AD＝14 cm
11．8 点拨：题意出：PQAB垂直分线∴AE＝BE
∵△ABC中∠C＝90°∠CAB＝60°
∴∠CBA＝30°∴∠EAB＝∠CAE＝30°
∴∴AE＝8
12．解：图P作PE⊥OB垂足E
∵∠AOP＝∠BOP＝15°PD⊥OA
∴PD＝PE
∵PC∥OA∴∠CPO＝∠AOP＝15°
∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°
Rt△CPE中∠ECP＝30°
∴
∴PD＝PE＝2
13．证明：图A作AD⊥BC垂足D∵AB＝AC
∴
∵∠AEF＝∠AFE
∠BAC＝∠AEF＋∠AFE
∴
∴∠EFA＝∠BAD
∴EF∥AD∴EF⊥BC
14．证明：图分延长CHBA交点E
∵CH⊥BDBD∠ABC角分线
∴∠CHB＝∠EHB＝90°∠CBH＝∠EBH
∵BH＝BH∴△CBH≌△EBH
∴CH＝EH∴CE＝2CH
∵∠ACB＝45°∠CAB＝90°
∴∠ABC＝45°
∴∠ACB＝∠ABC∴AC＝AB
∵∠CAB＝∠CAE＝90°
∴∠E＋∠ECA＝90°
∵CH⊥BD∴∠E＋∠EBH＝90°
∴∠ECA＝∠EBH∴△ECA≌△DBA
∴CE＝BD∴BD＝2CH
15．解：(1)∵△ABC边长6等边三角形∴∠ACB＝60°
∵∠BQD＝30°∴∠QPC＝90°
设AP＝xPC＝6－xQB＝x
∴QC＝QB＋BC＝6＋x
∵Rt△QCP中∠BQD＝30°
∴
解x＝2∴AP＝2
(2)点PQ运动时线段DE长度会改变．理：
作QF⊥AB交AB延长线点F连接QEPF∵PE⊥ABE
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°
∵点PQ速度相∴AP＝BQ
∵△ABC等边三角形
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°
△APE△BQF中
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°
∴∠APE＝∠BQF
△APE△BQF中
∠AEP＝∠BFQ∠A＝∠FBQAP＝BQ
∴△APE≌△BQF(AAS)．
∴AE＝BFPE＝QFPE∥QF
∴四边形PEQF行四边形．
∴
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB
∴
∵等边△ABC边长6∴DE＝3
∴点PQ运动时线段DE长度会改变．
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