.选择题(6题)
1.等腰三角形面积24方厘米腰长8厘米.底边动点PP两腰距离( )
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
2.图△ABC中AB=ACAD⊥BCDBE⊥ACE两角关系中成立( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠2 C.∠4=∠5 D.∠4=∠C
3.图△ABC中AB=BC点DACBD⊥BC.设∠BDC=α∠ABD=β( )
A.3α+β=180° B.2α+β=180° C.3α﹣β=90° D.2α﹣β=90°
4.等腰三角形腰高腰夹角等30°等腰三角形顶角等( )
A.30° B.60° C.30°150° D.60°120°
5.等腰三角形周长16cm中边长4cm该等腰三角形腰长( )
A.4cm B.6cm C.4cm6cm D.4cm8cm
6.等腰三角形角角30°等腰三角形顶角度数( )
A.80° B.40° C.80°40° D.法确定
二.填空题(10题)
7.已知△ABC中AB=AC∠B=50°果D边BC中点∠CAD= 度.
8.图△ABC中AB=AC=2PBC意点PE⊥AB点EPF⊥AC点FS△ABC=1PE+PF= .
9.图Rt△ABC中∠C=90°AF=EF.∠CFE=72°∠B= °.
10.△ABC中DEBCEA=EBDA=DC∠EAD=30°∠BAC= .
11.等腰三角形角70°等腰三角形顶角 .
12.图△ABC中AD分∠BAC点P线段AD动点PE⊥AD交BC延长线点E.∠ACB=84°BD=DA∠E= °.(补充知识:等腰三角形两底角相等.)
13.图示等腰三角形ABC底边8cm腰长5cm动点P(BC重合)底边BC1cms速度移动P运动 秒时△ACP直角三角形.
14.已知△ABC中AB=ACADBC边中线∠BAD=40°.点E边AC点△ADE等腰三角形∠EDC度数 .
15.图△ABC中AB=AC∠B=40°D线段BC动点(点BC重合)连接AD作∠ADE=40°DE交线段ACE.四结:
①∠CDE=∠BAD
②DBC中点时DE⊥AC
③△ADE等腰三角形时∠BAD=20°
④∠BAD=30°时BD=CE.
中正确结 (认正确结序号填).
16.图△ABA1中∠B=28°AB=A1BA1B取点C延长AA1A2A1A2=A1C连接A2C.完成列问题:
(1)∠A1A2C度数等 度
(2)果继续A2C取点D延长A1A2A3A2A3=A2D连接A3D…进行An顶点锐角度数等 度.
三.解答题(8题)
17.图BE△ABC角分线AB取点DDB=DE.
(1)求证:DE∥BC
(2)∠A=65°∠AED=45°求∠EBC度数.
18.图△ABC中∠A=∠ABCDE垂直分BC交BC点D交AC点E.
(1)AB=5BC=8求△ABE周长
(2)BE=BA求∠C度数.
19.图△ABC中∠ABC=70°AB=AC=8DBC中点点N线段ADNM∥AC交AB点MBN=3.
(1)求∠CAD度数
(2)求△BMN周长.
20.图△ABC中AB=ACAB垂直分线交AB点N交BC延长线点M∠BAC=40°.
(1)∠NMB=
(2)果题中∠BAC度数改70°余条件变∠NMB=
(3)发现什样规律性?试证明
(4)题中∠BAC改钝角规律性认识否需加修改?
21.已知△ABC中∠ABC=∠ACB点D射线CB点点D作DE⊥AC点E.
(1)图1点D线段BC时请直接写出∠BAC∠EDC数量关系: .
(2)图2点DCB延长线时画出图形探究∠BAC∠EDC数量关系说明理.
(3)(2)条件点F线段BC点点F作FG⊥AC点G连接AF∠AFG=∠CFG∠BAF=∠BFA延长EDAB交点K求∠EKA度数.
22.已知:图△ABC中CD⊥BA交BA延长线点D∠ABC=∠ACB.
(1)∠DCB=64°求∠BAC度数.
(2)图2点B作BE∥AC交DC延长线点E连接AE交BC点G.∠DCA=2∠CAE求∠CGE度数.
(3)图3(2)条件点E作EF⊥BC交BC延长线点F.MNAE两点CM⊥CN∠ACM=15°∠CNM+∠NCF=145°求∠CAE度数.
23.图已知等腰△ABC中AB=AC∠A<90°CD△ABC高BE△ABC角分线CDBE交点P.
(1)∠A=44°时求∠BPD度数
(2)设∠A=x°∠EPC=y°请含x代数式表示y说明理.
24. △ABC中AB=ACAC边中线BD三角形周长分1018两部分求腰长AB.
参考答案
.选择题(6题)
1.解:已知:△ABC中PE⊥ABEPF⊥ACFAB=AC=8厘米△ABC面积24方厘米P底边BC动点.
求:PE+PF值.
解:连接AP
∵PE⊥ABPF⊥AC
∴S△ABP=AB•PES△ACP=AC•PF
∵S△ABP+S△ACP=S△ABCS△ABC=24
∴AB•PE+AC•PF=24
∴AB(PE+PF)=24
∴PE+PF==6cm
选:B.
2.解:∵△ABC中AB=ACAD⊥BC
∴AD分∠BAC
∴∠1=∠2
A正确符合题意
∵AD⊥BCDBE⊥AC
∴∠ADC=∠BEC
∵∠C=∠C
∴∠3=∠2
B正确符合题意
∵∠4△ABF外角
∴∠4≠∠5
C错误符合题意
Rt△AEF中∠4=90°﹣∠2
Rt△ADC中∠C=90°﹣∠2
∴∠4=∠C
D正确符合题意
选:C.
3.解:∵AB=BC
∴∠A=∠C
∵α﹣∠A=βα+∠C=90°
∴2α=90°+β
∴2α﹣β=90°
选:D.
4.解:高三角形部时图1
∵∠ABD=30°BD⊥AC
∴∠A=60°
∴顶角60°
高三角形外部时图2
∵∠ABD=30°BD⊥ACD
∴∠BAD=60°
∴∠BAC=180°﹣60°=120°
∴顶角120°.
选:D.
5.解:4cm腰长时底边16﹣4×2=8(cm)
∵4+4=8
∴4cm4cm8cm组成三角形
4cm底边时腰长×(16﹣4)=6(cm)
4cm6cm6cm够组成三角形
综述腰长6cm.
选:B.
6.解:△ABC中设∠A=x∠B=x+30°分情况讨:
∠A=∠C底角时2x+(x+30°)=180°解x=50°顶角∠B=80°
∠B=∠C底角时2(x+30°)+x=180°解x=40°顶角∠A=40°.
等腰三角形顶角度数80°40°.
选:C.
二.填空题(10题)
7.解:∵AB=AC∠B=50°
∴∠C=∠B=50°
∵D边BC中点
∴AD⊥BC
∴∠CAD=40°
答案:40.
8.解:图示连接APS△ABC=S△ACP+S△ABP
∵PE⊥AB点EPF⊥AC点F
∴S△ACP=AC×PFS△ABP=AB×PE
∵S△ABC=1AB=AC=2
∴1=AC×PF+AB×PE
1=×2×PF+×2×PE
∴PE+PF=1
答案:1.
9.解:∵AF=EF
∴∠A=∠AEF
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°
∴∠A=×72°=36°
Rt△ABC中∠A=36°
∴∠B=90°﹣36°=54°.
答案:54.
10.解:∵∠EAD=30°
∴∠AED+∠ADE=150°
∵EA=EBDA=DC
∴∠B=∠BAE∠C=∠CAD
∵∠AED+∠ADE=∠B+∠BAE+∠C+∠CAD
∴∠BAE+∠CAD=75°
∴∠BAC=105°.
答案:105°.
11.解:题分两种情况
①70°角顶角时顶角度数70°
②70°角底角时顶角度数180°﹣2×70°=40°
∴等腰三角形顶角40°70°.
答案:70°40°.
12.解:∵BD=AD
∴∠B=∠BAD
∵AD分∠BAC
∴∠BAC=2∠BAD=2∠B
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°∠ACB=84°
∴∠B+2∠B+84°=180°
解∠B=32°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B
∴∠ADC=64°
∵PE⊥AD交BC延长线点E.
∴∠E+∠ADC=90°
解∠E=26°.
答案26.
13.解:A作AD⊥BCD
∵AB=AC=5cm
∴BD=CD=BC=4(cm)
∴AD===3(cm)
分两种情况:
①点P运动t秒PA⊥AC时图1
PB=tPC=8﹣t
∵AP2=PC2﹣AC2=PD2+AD2
∴(8﹣t)2﹣52=(4﹣t)2+32
解:t=175s
②AP⊥BC时图2
∵AB=AC
∴PB=PC=BC=4(cm)
∴t=4s
综述P运动175s4s秒时△ACP直角三角形
答案:1754.
14.解:∵AB=ACADBC边中线∠BAD=40°
∴∠CAD=∠BAD=40°∠ADC=90°
①AE1=DE1时
∠ADE1=∠CAD=40°
∠E1DC=90°﹣40°=50°
②AE2=AD时
∠ADE2=∠AE2D=(180°﹣40°)÷2=70°
∠E2DC=90°﹣70°=20°.
∠EDC度数50°20°.
答案:50°20°.
15.解:①∵AB=AC
∴∠B=∠C=40°
∴∠BAD=180°﹣40°﹣∠ADB∠CDE=180°﹣40°﹣∠ADB
∴∠BAD=∠CDE①正确
②∵DBC中点AB=AC
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠CDE=50°
∵∠C=40°
∴∠DEC=90°
∴DE⊥AC②正确
③∵∠C=40°
∴∠AED>40°
∴∠ADE≠∠AED
∵△ADE等腰三角形
∴AE=DE
∴∠DAE=∠ADE=40°
∵∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°
∴∠BAD=60°③错误
④∵∠BAD=30°
∴∠CDE=30°
∴∠ADC=70°
∴∠CAD=180°﹣70°﹣40°=70°
∴∠DAC=∠ADC
∴CD=AC
∵AB=AC
∴CD=AB
∴△ABD≌△DCE(ASA)
∴BD=CE④正确
答案:①②④.
16.解:(1)△ABA1中∠B=28°AB=A1B
∴∠BA1A===76°
∵A1A2=A1C∠BA1A△A1A2C外角
∴∠A1A2C=∠BA1A=×76°=38°
(2)理∠DA3A2=19°∠EA4A3=95°
∴An顶点锐角度数等度.
答案:38.
三.解答题(8题)
17.解:(1)∵BE△ABC角分线
∴∠DBE=∠EBC
∵DB=DE
∴∠DEB=∠DBE
∴∠DEB=∠EBC
∴DE∥BC
(2)∵DE∥BC
∴∠C=∠AED=45°
△ABC中∠A+∠ABC+∠C=180°
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣65°﹣45°=70°.
∵BE△ABC角分线
∴∠DBE=∠EBC=.
18.解:(1)∵∠A=∠ABC
∴AC=BC
∵DEBC垂直分线
∴BE=CE
∴△ABE周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC=AB+BC
∵AB=5BC=8
∴△ABE周长=5+8=13
(2)∵BE=BA
∴∠A=∠AEB
∵BE=CE
∴∠EBC=∠C
∴∠A=∠AEB=∠EBC+∠C=2∠C
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠C=180°
解:∠C=36°.
19.解:(1)∵AB=AC
∴△ABC等腰三角形
∵∠ABC=70°
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°
∵DBC中点
∴AD分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°
∠CAD度数20°.
(2)∵NM∥AC
∴∠ANM=∠CAD
∵∠CAD=∠BAD
∴∠ANM=∠BAD
∴AM=NM
∴△BMN周长=MB+BN+NM=AB+BN
∵AB=8BN=3
∴△BMN周长=8+3=11.
△BMN周长11.
20.解:(1)∵AB=AC∠BAC=40°
∴
∴∠CDM=∠ADN=90°﹣∠A=50°
∴∠NMB=∠ACB﹣∠CDM=20°.
答案:20°.
(2)∵AB=AC∠BAC=70°
∴
∴∠CDM=∠ADN=90°﹣∠A=20°
∴∠NMB=∠ACB﹣∠CDM=35°.
答案:35°.
(3)述规律:等腰三角形腰垂直分线底边相交成锐角等顶角半.
证明:设∠A=α
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠B=(180°﹣∠A)=(180°﹣α)
∵∠BNM=90°
∴∠NMB=90°﹣∠B=90°﹣(180°﹣α)=α
(4)(1)中∠A改钝角(3)中猜想结然成立.
证明:设∠A=α
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠B=(180°﹣∠A)=(180°﹣α)
∵∠BNM=90°
∴∠NMB=90°﹣∠B=90°﹣(180°﹣α)=α.
21.(1)图1中作AH⊥BCH.
∵AB=ACAH⊥BC
∴∠BAH=∠CAH
∵DE⊥AC
∴∠AHC=∠CED=90°
∴∠C+∠CAH=90°∠C+∠EDC=90°
∴∠CAH=∠EDC
∴∠BAC=2∠EDC.
答案∠BAC=2∠EDC.
(2)图2中结:∠BAC=2∠EDC.
理:∵AB=ACAH⊥BC
∴∠BAH=∠CAH
∵DE⊥AC
∴∠AHC=∠CED=90°
∴∠C+∠CAH=90°∠C+∠EDC=90°
∴∠CAH=∠EDC
∴∠BAC=2∠EDC.
(3)图2中设∠C=∠FAC=∠ABC=x∠BAF=∠BFA=2x
∴5x=180°
∴x=36°
∴∠EAK=∠ABC+∠C=72°
∵KE⊥EC
∴∠E=90°
∴∠EKA=90°﹣72°=18°.
22.(1)解:图1中作AH⊥BCH.
∵∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
∵AH⊥BC
∴∠BAH=∠CAH
∵∠ADC=∠AHC=90°
∴∠HAD+∠DCB=180°
∵∠BAH+∠HAD=180°
∴∠BAH=∠DCB
∵∠BAC=2∠BAH
∴∠BAC=2∠DCB=128°.
(2)解:图2中
∵AC∥BE
∴∠CAE=∠AEB∠ACB=∠CBE∠DCA=∠DEB
∵∠DCA=2∠CAE∠ABC=∠ACB
∴∠ABC=∠CBE=∠DBE∠BED=2∠AEB
∴∠AEC=∠AEB=∠DEB
∴∠CGE=∠AEB+∠CBE=∠DEB+∠DBE=×90°=45°.
(3)解:设∠ABC=∠ACB=x∠AEB=∠AEC=∠CAE=y∠CNG=z.
∵∠CNG+∠NCF=145°∠NCF=∠CGN+∠CNG∠CGN=∠CAG+∠ACG
∴z+x+y+z=145°①
∵∠CMN+∠CNM=90°
∴x+15°+z=90°②
∵∠DAC=∠ABC+∠ACB=2x∠DCA=∠CAE+∠AEC=2y
∴2x+2y=90°③
①②③x=25°y=20°z=50°
∴∠CAE=20°.
23.解:(1)∵AB=AC∠A=44°
∴∠ABC=∠ACB=(180﹣44)°÷2=68°
∵CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∵BE分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE=34°
∴∠BPD=90°﹣34°=56°
(2)∵∠A=x°
∴∠ABC=(180﹣x)°÷2=(90﹣)°
(1):∠ABP=∠ABC=(45﹣)°∠BDC=90°
∴∠EPC=y°=∠BPD=90°﹣(45﹣)°=(45+)°
yx关系式y=45+.
24.解:图示设等腰三角形腰长AB=AC=2xBC=y
∵BD腰中线
∴AD=DC=x
AB+AD长102x+x=10
解x=
x+y=18
+y=18
解y=时组成三角形应舍.
AB+AD长182x+x=18
解x=6
x+y=10
6+y=10
解y=4
等腰三角形腰长12.
答案:12.
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