42 量方法研究立体中位置关系
1a(23m)b(2n68)ab线量m+n值( )
A7 B52
C6 D8
2已知直线l1方量a(22x)直线l2方量b(2y2)|a|3l1⊥l2xy值( )
A40
B41
C4
D0
3图F正方体ABCDA1B1C1D1棱CD中点EBB1点D1F⊥DE( )
AB1EEB BB1E2EB
CB1E12EB DEB重合
4设u(22t)v(644)分面αβ法量α⊥βt等( )
A3 B4 C5 D6
5已知两重合面α面ABC面α法量n1(231)量AB(102)AC(111)( )
A面α∥面ABC
B面α⊥面ABC
C面α面ABC相交垂直
D均
6已知V矩形ABCD面外点VAVBVCVDVP13VCVM23VBVN23VDVA面PMN位置关系
7已知AB(152)BC(31z)AB⊥BCBP(x1y3)BP⊥面ABC实数x+y
8图直三棱柱ABCA1B1C1中AC3BC4AB5AA14点DAB中点
(1)证明AC⊥BC1
(2)证明AC1∥面CDB1
9图示直三棱柱ABCA1B1C1中侧面AA1C1C侧面AA1B1B正方形互相垂直MAA1中点NBC1中点求证
(1)MN∥面A1B1C1
(2)面MBC1⊥面BB1C1C
力达标
10图已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长4PAA1中点点M侧面AA1B1B(含边界)D1M⊥CP△BCM面积值( )
A8 B4 C82 D855
11设直线l1l2方量分a(122)b(23m)l1⊥l2实数m等( )
A1 B2 C3 D4
12面αβ法量分n1(235)n2(314)( )
Aα∥β
Bα⊥β
Cαβ相交垂直
D均正确
13图示正方体ABCDA1B1C1D1中点EF分A1DACA1E23A1DAF13AC( )
AEFA1DAC垂直
BEF⊥A1DEF⊥AC
CEFBD1相交
DEFBD1异面
14正方体ABCDA1B1C1D1中EA1C1中点直线CE垂直( )
AAC BBD CA1D DA1A
15图示四棱锥P ABCD底面ABCD边长1正方形PD⊥底面ABCDPD1EF分PBAD中点直线EF面PBC位置关系
16图示已知矩形ABCDAB1BCaPA⊥面ABCDBC点Q满足PQ⊥QDa值等
17图示四棱锥PABCD中底面ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC∠PAD90°侧面PAD⊥底面ABCDPAABBC12AD
(1)求证CD⊥面PAC
(2)侧棱PA否存点EBE∥面PCD存求出点E位置证明存请说明理
18图三棱柱 ABC A1B1C1中侧棱AA1⊥底面A1B1C1∠BAC90°ABACAA11D棱CC1中点PAD延长线A1C1延长线交点点Q线段B1P列结正确( )
AQ线段B1P中点时DQ⊥面A1BD
BQ线段B1P三等分点时DQ⊥面A1BD
C线段B1P延长线存点QDQ⊥面A1BD
D存点QDQ⊥面A1BD
1a(23m)b(2n68)ab线量m+n值( )
A7 B52
C6 D8
答案C
解析ab线量知n≠022n36m8
解m4n2m+n6选C
2已知直线l1方量a(22x)直线l2方量b(2y2)|a|3l1⊥l2xy值( )
A40
B41
C4
D0
答案A
3图F正方体ABCDA1B1C1D1棱CD中点EBB1点D1F⊥DE( )
AB1EEB BB1E2EB
CB1E12EB DEB重合
答案A
解析D坐标原点分DADCDD1直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体棱长2D(000)F(010)D1(002)设E(22z)D1F(012)DE(22z)∵D1F·DE0×2+1×22z0∴z1∴B1EEB
4设u(22t)v(644)分面αβ法量α⊥βt等( )
A3 B4 C5 D6
答案C
解析∵α⊥β∴u·v2×6+2×(4)+4t0∴t5
5已知两重合面α面ABC面α法量n1(231)量AB(102)AC(111)( )
A面α∥面ABC
B面α⊥面ABC
C面α面ABC相交垂直
D均
答案A
解析∵n1·AB2×1+(3)×0+1×(2)0n1·AC2×13×1+1×10
∴n1⊥ABn1⊥AC∵AB∩ACA∴n1面ABC法量
面α面ABC重合∴面α面ABC行选A
6已知V矩形ABCD面外点VAVBVCVDVP13VCVM23VBVN23VDVA面PMN位置关系
答案行
解析图设VAaVBbVCcVDa+cb
题意知PM23b13c
PN23VD13VC23a23b+13c
VA32PM+32PN
VAPMPN面
VA⊄面PMNVA∥面PMN
7已知AB(152)BC(31z)AB⊥BCBP(x1y3)BP⊥面ABC实数x+y
答案257
解析条件3+52z0x1+5y+603(x1)+y3z0
解x407y157z4∴x+y407157257
8图直三棱柱ABCA1B1C1中AC3BC4AB5AA14点DAB中点
(1)证明AC⊥BC1
(2)证明AC1∥面CDB1
证明题△ABC直角三角形AC⊥BC
ACBCC1C两两垂直
图C坐标原点直线CACBCC1直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系C(000)A(300)B(040)C1(004)A1(304)B1(044)D3220
(1)AC(300)BC1(044)
AC·BC10AC⊥BC1
(2)设CB1C1B交点E连接DEE(022)DE3202AC1(304)
DE12AC1DE∥AC1
DE⊂面CDB1AC1⊄面CDB1
AC1∥面CDB1
9图示直三棱柱ABCA1B1C1中侧面AA1C1C侧面AA1B1B正方形互相垂直MAA1中点NBC1中点求证
(1)MN∥面A1B1C1
(2)面MBC1⊥面BB1C1C
证明题意知AA1ABAC两两垂直A坐标原点分AA1ABAC直线x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系
设正方形AA1C1C边长2
A(000)A1(200)B(020)B1(220)C(002)C1(202)M(100)N(111)
(1)题意知AA1⊥A1B1AA1⊥A1C1
A1B1∩A1C1A1A1B1A1C1⊂面A1B1C1
AA1⊥面A1B1C1
AA1(200)MN(011)
MN·AA10MN⊥AA1
MN⊄面A1B1C1
MN∥面A1B1C1
(2)设面MBC1面BB1C1C法量分n1(x1y1z1)n2(x2y2z2)
MB(120)MC1(102)
n1·MB0n1·MC10x1+2y10x1+2z10
令x12面MBC1法量n1(211)
理面BB1C1C法量n2(011)
n1·n22×0+1×1+(1)×10
n1⊥n2面MBC1⊥面BB1C1C
力达标
10图已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长4PAA1中点点M侧面AA1B1B(含边界)D1M⊥CP△BCM面积值( )
A8 B4 C82 D855
答案D
解析D原点DA直线x轴DC直线y轴DD1直线z轴建立空间直角坐标系图
P(402)C(040)D1(004)B(440)
设M(4ab)(ab∈[04])
D1M(4ab4)CP(442)
∵D1M⊥CP
∴D1M·CP164a+2b80b2a4
∴M(4a2a4)
∴|BM|(44)2+(a4)2+(2a4)2
5a1252+165
a125时|BM|取值455BC4BC⊥BM
∴△BCM面积值455×4×12855选D
11设直线l1l2方量分a(122)b(23m)l1⊥l2实数m等( )
A1 B2 C3 D4
答案B
解析l1⊥l2a⊥ba·b2+62m42m0解m2选B
12面αβ法量分n1(235)n2(314)( )
Aα∥β
Bα⊥β
Cαβ相交垂直
D均正确
答案C
13图示正方体ABCDA1B1C1D1中点EF分A1DACA1E23A1DAF13AC( )
AEFA1DAC垂直
BEF⊥A1DEF⊥AC
CEFBD1相交
DEFBD1异面
答案B
解析建立D坐标原点分DADCDD1直线x轴y轴z轴空间直角坐标系(图略)妨设正方体棱长1DA1(101)AC(110)E13013F23130EF131313∴EF·DA10EF·AC0∴EF⊥A1DEF⊥ACBD1(111)∴BD13EFEFBD1行
14正方体ABCDA1B1C1D1中EA1C1中点直线CE垂直( )
AAC BBD CA1D DA1A
答案B
解析
图D坐标原点DADCDD1直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系Dxyz
设正方体棱长2C(020)A1(202)D(000)E(112)A(200)B(220)CE(112)AC(220)DB(220)A1D(202)AA1(002)CE·AC22+04≠0CEAC垂直CE·DB1×2+(1)×2+2×00CE⊥BD
15图示四棱锥P ABCD底面ABCD边长1正方形PD⊥底面ABCDPD1EF分PBAD中点直线EF面PBC位置关系
答案垂直
解析D原点DADCDP直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系B(110)C(010)P(001)E121212F1200∴EF01212PB(111)CP(011)设面PBC法量n(xyz)n·PB0n·CP0x+yz0y+z0取y1z1x0∴n(011)
∵EF12n∴EF∥n∴EF⊥面PBC
16图示已知矩形ABCDAB1BCaPA⊥面ABCDBC点Q满足PQ⊥QDa值等
答案2
解析A原点建立图示空间直角坐标系A(000)B(100)D(0a0)C(1a0)设Q(1x0)P(00z)PQ(1xz)QD(1ax0)
PQ·QD01+x(ax)0x2ax+10Δa240a2时点Q
17图示四棱锥PABCD中底面ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC∠PAD90°侧面PAD⊥底面ABCDPAABBC12AD
(1)求证CD⊥面PAC
(2)侧棱PA否存点EBE∥面PCD存求出点E位置证明存请说明理
解∠PAD90°PA⊥AD
侧面PAD⊥底面ABCD侧面PAD∩底面ABCDAD
PA⊥底面ABCD∠BAD90°
ABADAP两两垂直A坐标原点分ABADAP直线x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系
设AD2A(000)B(100)C(110)D(020)P(001)
(1)证明AP(001)AC(110)CD(110)
AP·CD0AC·CD0
AP⊥CDAC⊥CD
AP∩ACACD⊥面PAC
(2)设侧棱PA中点E
E0012BE1012
设面PCD法量n(xyz)
n·CD0n·PD0CD(110)PD(021)x+y02yz0
取x1y1z2面PCD法量n(112)
n·BE(112)·10120
n⊥BE
BE⊄面PCDBE∥面PCD
综述EPA中点时BE∥面PCD
18图三棱柱 ABC A1B1C1中侧棱AA1⊥底面A1B1C1∠BAC90°ABACAA11D棱CC1中点PAD延长线A1C1延长线交点点Q线段B1P列结正确( )
AQ线段B1P中点时DQ⊥面A1BD
BQ线段B1P三等分点时DQ⊥面A1BD
C线段B1P延长线存点QDQ⊥面A1BD
D存点QDQ⊥面A1BD
答案D
解析点A1坐标原点A1B1A1C1A1A直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系已知A1(000)B1(100)C1(010)B(101)D0112P(020)
A1B(101)A1D0112B1P(120)DB11112
设面A1BD法量n(xyz)
n·A1Bx+z0n·A1Dy+12z0
取z2x2y1
面A1BD法量n(212)
假设DQ⊥面A1BD
B1QλB1Pλ(120)(λ2λ0)
DQDB1+B1Q1λ1+2λ12
DQ面A1BD法量
n(212)DQ1λ1+2λ12线
1λ21+2λ112214成立
1λ21+2λ1+2λ14
关λ方程组解
存点QDQ⊥面A1BD选D
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1a(23m)b(2n68)ab线量m+n值( )
A7 B52
C6 D8
2已知直线l1方量a(22x)直线l2方量b(2y2)|a|3l1⊥l2xy值( )
A40
B41
C4
D0
3图F正方体ABCDA1B1C1D1棱CD中点EBB1点D1F⊥DE( )
AB1EEB BB1E2EB
CB1E12EB DEB重合
4设u(22t)v(644)分面αβ法量α⊥βt等( )
A3 B4 C5 D6
5已知两重合面α面ABC面α法量n1(231)量AB(102)AC(111)( )
A面α∥面ABC
B面α⊥面ABC
C面α面ABC相交垂直
D均
6已知V矩形ABCD面外点VAVBVCVDVP13VCVM23VBVN23VDVA面PMN位置关系
7已知AB(152)BC(31z)AB⊥BCBP(x1y3)BP⊥面ABC实数x+y
8图直三棱柱ABCA1B1C1中AC3BC4AB5AA14点DAB中点
(1)证明AC⊥BC1
(2)证明AC1∥面CDB1
9图示直三棱柱ABCA1B1C1中侧面AA1C1C侧面AA1B1B正方形互相垂直MAA1中点NBC1中点求证
(1)MN∥面A1B1C1
(2)面MBC1⊥面BB1C1C
力达标
10图已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长4PAA1中点点M侧面AA1B1B(含边界)D1M⊥CP△BCM面积值( )
A8 B4 C82 D855
11设直线l1l2方量分a(122)b(23m)l1⊥l2实数m等( )
A1 B2 C3 D4
12面αβ法量分n1(235)n2(314)( )
Aα∥β
Bα⊥β
Cαβ相交垂直
D均正确
13图示正方体ABCDA1B1C1D1中点EF分A1DACA1E23A1DAF13AC( )
AEFA1DAC垂直
BEF⊥A1DEF⊥AC
CEFBD1相交
DEFBD1异面
14正方体ABCDA1B1C1D1中EA1C1中点直线CE垂直( )
AAC BBD CA1D DA1A
15图示四棱锥P ABCD底面ABCD边长1正方形PD⊥底面ABCDPD1EF分PBAD中点直线EF面PBC位置关系
16图示已知矩形ABCDAB1BCaPA⊥面ABCDBC点Q满足PQ⊥QDa值等
17图示四棱锥PABCD中底面ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC∠PAD90°侧面PAD⊥底面ABCDPAABBC12AD
(1)求证CD⊥面PAC
(2)侧棱PA否存点EBE∥面PCD存求出点E位置证明存请说明理
18图三棱柱 ABC A1B1C1中侧棱AA1⊥底面A1B1C1∠BAC90°ABACAA11D棱CC1中点PAD延长线A1C1延长线交点点Q线段B1P列结正确( )
AQ线段B1P中点时DQ⊥面A1BD
BQ线段B1P三等分点时DQ⊥面A1BD
C线段B1P延长线存点QDQ⊥面A1BD
D存点QDQ⊥面A1BD
1a(23m)b(2n68)ab线量m+n值( )
A7 B52
C6 D8
答案C
解析ab线量知n≠022n36m8
解m4n2m+n6选C
2已知直线l1方量a(22x)直线l2方量b(2y2)|a|3l1⊥l2xy值( )
A40
B41
C4
D0
答案A
3图F正方体ABCDA1B1C1D1棱CD中点EBB1点D1F⊥DE( )
AB1EEB BB1E2EB
CB1E12EB DEB重合
答案A
解析D坐标原点分DADCDD1直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体棱长2D(000)F(010)D1(002)设E(22z)D1F(012)DE(22z)∵D1F·DE0×2+1×22z0∴z1∴B1EEB
4设u(22t)v(644)分面αβ法量α⊥βt等( )
A3 B4 C5 D6
答案C
解析∵α⊥β∴u·v2×6+2×(4)+4t0∴t5
5已知两重合面α面ABC面α法量n1(231)量AB(102)AC(111)( )
A面α∥面ABC
B面α⊥面ABC
C面α面ABC相交垂直
D均
答案A
解析∵n1·AB2×1+(3)×0+1×(2)0n1·AC2×13×1+1×10
∴n1⊥ABn1⊥AC∵AB∩ACA∴n1面ABC法量
面α面ABC重合∴面α面ABC行选A
6已知V矩形ABCD面外点VAVBVCVDVP13VCVM23VBVN23VDVA面PMN位置关系
答案行
解析图设VAaVBbVCcVDa+cb
题意知PM23b13c
PN23VD13VC23a23b+13c
VA32PM+32PN
VAPMPN面
VA⊄面PMNVA∥面PMN
7已知AB(152)BC(31z)AB⊥BCBP(x1y3)BP⊥面ABC实数x+y
答案257
解析条件3+52z0x1+5y+603(x1)+y3z0
解x407y157z4∴x+y407157257
8图直三棱柱ABCA1B1C1中AC3BC4AB5AA14点DAB中点
(1)证明AC⊥BC1
(2)证明AC1∥面CDB1
证明题△ABC直角三角形AC⊥BC
ACBCC1C两两垂直
图C坐标原点直线CACBCC1直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系C(000)A(300)B(040)C1(004)A1(304)B1(044)D3220
(1)AC(300)BC1(044)
AC·BC10AC⊥BC1
(2)设CB1C1B交点E连接DEE(022)DE3202AC1(304)
DE12AC1DE∥AC1
DE⊂面CDB1AC1⊄面CDB1
AC1∥面CDB1
9图示直三棱柱ABCA1B1C1中侧面AA1C1C侧面AA1B1B正方形互相垂直MAA1中点NBC1中点求证
(1)MN∥面A1B1C1
(2)面MBC1⊥面BB1C1C
证明题意知AA1ABAC两两垂直A坐标原点分AA1ABAC直线x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系
设正方形AA1C1C边长2
A(000)A1(200)B(020)B1(220)C(002)C1(202)M(100)N(111)
(1)题意知AA1⊥A1B1AA1⊥A1C1
A1B1∩A1C1A1A1B1A1C1⊂面A1B1C1
AA1⊥面A1B1C1
AA1(200)MN(011)
MN·AA10MN⊥AA1
MN⊄面A1B1C1
MN∥面A1B1C1
(2)设面MBC1面BB1C1C法量分n1(x1y1z1)n2(x2y2z2)
MB(120)MC1(102)
n1·MB0n1·MC10x1+2y10x1+2z10
令x12面MBC1法量n1(211)
理面BB1C1C法量n2(011)
n1·n22×0+1×1+(1)×10
n1⊥n2面MBC1⊥面BB1C1C
力达标
10图已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长4PAA1中点点M侧面AA1B1B(含边界)D1M⊥CP△BCM面积值( )
A8 B4 C82 D855
答案D
解析D原点DA直线x轴DC直线y轴DD1直线z轴建立空间直角坐标系图
P(402)C(040)D1(004)B(440)
设M(4ab)(ab∈[04])
D1M(4ab4)CP(442)
∵D1M⊥CP
∴D1M·CP164a+2b80b2a4
∴M(4a2a4)
∴|BM|(44)2+(a4)2+(2a4)2
5a1252+165
a125时|BM|取值455BC4BC⊥BM
∴△BCM面积值455×4×12855选D
11设直线l1l2方量分a(122)b(23m)l1⊥l2实数m等( )
A1 B2 C3 D4
答案B
解析l1⊥l2a⊥ba·b2+62m42m0解m2选B
12面αβ法量分n1(235)n2(314)( )
Aα∥β
Bα⊥β
Cαβ相交垂直
D均正确
答案C
13图示正方体ABCDA1B1C1D1中点EF分A1DACA1E23A1DAF13AC( )
AEFA1DAC垂直
BEF⊥A1DEF⊥AC
CEFBD1相交
DEFBD1异面
答案B
解析建立D坐标原点分DADCDD1直线x轴y轴z轴空间直角坐标系(图略)妨设正方体棱长1DA1(101)AC(110)E13013F23130EF131313∴EF·DA10EF·AC0∴EF⊥A1DEF⊥ACBD1(111)∴BD13EFEFBD1行
14正方体ABCDA1B1C1D1中EA1C1中点直线CE垂直( )
AAC BBD CA1D DA1A
答案B
解析
图D坐标原点DADCDD1直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系Dxyz
设正方体棱长2C(020)A1(202)D(000)E(112)A(200)B(220)CE(112)AC(220)DB(220)A1D(202)AA1(002)CE·AC22+04≠0CEAC垂直CE·DB1×2+(1)×2+2×00CE⊥BD
15图示四棱锥P ABCD底面ABCD边长1正方形PD⊥底面ABCDPD1EF分PBAD中点直线EF面PBC位置关系
答案垂直
解析D原点DADCDP直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系B(110)C(010)P(001)E121212F1200∴EF01212PB(111)CP(011)设面PBC法量n(xyz)n·PB0n·CP0x+yz0y+z0取y1z1x0∴n(011)
∵EF12n∴EF∥n∴EF⊥面PBC
16图示已知矩形ABCDAB1BCaPA⊥面ABCDBC点Q满足PQ⊥QDa值等
答案2
解析A原点建立图示空间直角坐标系A(000)B(100)D(0a0)C(1a0)设Q(1x0)P(00z)PQ(1xz)QD(1ax0)
PQ·QD01+x(ax)0x2ax+10Δa240a2时点Q
17图示四棱锥PABCD中底面ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC∠PAD90°侧面PAD⊥底面ABCDPAABBC12AD
(1)求证CD⊥面PAC
(2)侧棱PA否存点EBE∥面PCD存求出点E位置证明存请说明理
解∠PAD90°PA⊥AD
侧面PAD⊥底面ABCD侧面PAD∩底面ABCDAD
PA⊥底面ABCD∠BAD90°
ABADAP两两垂直A坐标原点分ABADAP直线x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系
设AD2A(000)B(100)C(110)D(020)P(001)
(1)证明AP(001)AC(110)CD(110)
AP·CD0AC·CD0
AP⊥CDAC⊥CD
AP∩ACACD⊥面PAC
(2)设侧棱PA中点E
E0012BE1012
设面PCD法量n(xyz)
n·CD0n·PD0CD(110)PD(021)x+y02yz0
取x1y1z2面PCD法量n(112)
n·BE(112)·10120
n⊥BE
BE⊄面PCDBE∥面PCD
综述EPA中点时BE∥面PCD
18图三棱柱 ABC A1B1C1中侧棱AA1⊥底面A1B1C1∠BAC90°ABACAA11D棱CC1中点PAD延长线A1C1延长线交点点Q线段B1P列结正确( )
AQ线段B1P中点时DQ⊥面A1BD
BQ线段B1P三等分点时DQ⊥面A1BD
C线段B1P延长线存点QDQ⊥面A1BD
D存点QDQ⊥面A1BD
答案D
解析点A1坐标原点A1B1A1C1A1A直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系已知A1(000)B1(100)C1(010)B(101)D0112P(020)
A1B(101)A1D0112B1P(120)DB11112
设面A1BD法量n(xyz)
n·A1Bx+z0n·A1Dy+12z0
取z2x2y1
面A1BD法量n(212)
假设DQ⊥面A1BD
B1QλB1Pλ(120)(λ2λ0)
DQDB1+B1Q1λ1+2λ12
DQ面A1BD法量
n(212)DQ1λ1+2λ12线
1λ21+2λ112214成立
1λ21+2λ1+2λ14
关λ方程组解
存点QDQ⊥面A1BD选D
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