特殊四边形专题(较难)
.选择题
1.图▱ABCD中AB=6AD=8△ACD角线AC折叠△ACEAEBC交点F列说法正确( )
A.∠B=90°时EF=2
B.F恰BC中点时▱ABCD面积12
C.折叠程中△ABF周长△CEF2倍
D.AE⊥BC时连接BE四边形ABEC菱形
2.图E正方形ABCD边CD点连接BEAC.EC=12∠ABE=3∠ACBAB=( )
A. B. C. D.
3.图点AB函数y=(x>0k>0k常数)图象点A点B左侧点A作AM⊥x轴垂足M点B作BN⊥y轴垂足NAMBN交点C连接ABMN.△CMN△ABC面积分14k值( )
A.4 B.4 C. D.6
4.图分Rt△ABC斜边AB直角边AC边外作等边△ABD△ACEFAB中点DEAB相交点G.连接EF∠BAC=30°列结:①EF⊥AC②四边形ADFE菱形③AD=4AG④△DBF≌△EFA.正确结序号( )
A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④
5.图正方形ABCD中AB=4E边BC中点PBD动点PC+PE值( )
A. B. C. D.
6.已知点M行四边形ABCD点(含边界)设∠MAD=θ1∠MBA=θ2∠MCB=θ3∠MDC=θ4.∠AMB=110°∠CMD=90°∠BCD=60°.( )
A.θ1+θ4﹣θ2﹣θ3=10° B.θ2+θ4﹣θ1﹣θ3=30°
C.θ1+θ4﹣θ2﹣θ3=30° D.θ2+θ4﹣θ1﹣θ3=40°
7.图点P矩形ABCD角线AC点点P作EF∥BC分交ABCDEF连接PBPD.AE=2PF=8.图中阴影部分面积( )
A.10 B.12 C.16 D.18
8.矩形ABCD矩形CEFG图放置点BCE线点CDG线连接AF取AF中点H连接GH.BC=EF=3CD=CE=1GH=( )
A. B. C.2 D.
二.填空题
9.图▱ABCD面积32EF分ABAD中点△CEF面积 .
10.图正方形ABCD边长4E边AD动点连接BECECE边右侧作正方形CEFG.
(1)BE=5正方形CEFG面积
(2)连接DFDG△DFG面积值 .
11.图菱形ABCD边长2点EF分边ADCD两动点满足AE+CF=BD=2设△BEF面积SS取值范围 .
12.图四边形ABCD中AB=2CD=6EFM分边BCAD角线BD中点.连接EFFMFM= 线段EF值 .
13.图矩形ABCD中AB=5AD=7连接BD线段BD绕点D逆时针方旋转90°线段DQ.BC边取点PBP=2连接PQ交DC延长线点E线段DE长 .
14.三角形ABC中点DEF分BCABAC中点AH⊥BC点H∠DEF=50°∠CFH= .
15.图张三角形纸片中∠C=90°∠A=30°BC=3纸片裁出矩形求裁出矩形四顶点三角形边面积2该矩形周长值= .
16.已知:图△ABC中∠ACB=60°AC=3BC=5分ABAC边外侧作等边三角形ABM等边三角形ACN连接MNDEFG分MBBCCNMN中点四边形DEFG周长 .
17.图七边形ABCDEFG中ABED延长线相交O点.图中∠1∠2∠3∠4外角角度220°∠BOD度数 .
18.直线y=a分直线y=x双曲线y=交DA两点点AD分作x轴垂线段垂足点BC.四边形ABCD正方形a值 .
19.图矩形ABCD中ECD点FAB点分AECF折叠DB两点刚落矩形点P∠APC=120°AB:AD= .
20.图矩形ABCD中点GAD中点GE⊥CG交ABEBE=BC连接CE交BGF∠BFC等 .
三.解答题
21.图①已知正方形ABCD中EF分边ADCD点(点EF端点重合)AE=DFBEAF交点P点C作CH⊥BE交BE点H.
(1)求证:AF∥CH.
(2)AB=2AE=2试求线段PH长.
(3)图②连接CP延长交AD点Q点HBP中点试求值.
22.图矩形ABCD中已知AB=4BC=2EAB中点设点P∠DAB分线动点(点A重合).
(1)证明:PD=PE.
(2)连接PC求PC值.
(3)设点O矩形ABCD称中心否存点P∠DPO=90°?存请直接写出AP长.
23.k值相时正例函数y=x反例函数y=做关联函数.
(1)图k>0两函数图象交点分AB求点AB坐标(k表示)
(2)k=1点P函数y=第象限图象动点(点PB重合)设点P坐标(m)中m>0m≠2.作直线PAPB分x轴交点CD△PCD等腰三角形请说明理
(3)(2)基础否存点P△PCD直角三角形?存请求出点P坐标存请说明理.
24.图矩形ABCD中BC>ABEAD点△ABEBE折叠点A恰落线段CE点F处.
(1)求证:CF=DE.
(2)设=m.
①m=试求∠ABE度数
②设=k试求mk满足关系.
25.图正方形ABCD中G角线BD动点连接AGG作GE⊥CDGF⊥BCEF分垂足
(1)求证:GE+GF=AB
(2)①写出GEGFAG三条线段满足等量关系证明
②求AB=6AG=时BG长.
26.图E正方形ABCD角线BD动点(BD两点重合)连接AE作EF⊥AEE交直线CBF.
(1)图1点F线段CB时通观察测量猜想△AEF形状证明猜想
(2)图2点F线段CB延长线时条件变(1)中结成立?成立请出证明成立请说明理
(3)AE△ABD面积分成1:2两部分求AF:CF值.
27.图正方形ABCD中角线AC点E连接BE作EF⊥BE交AD点F.点E作直线CD称点G连接CGDGEG.
(1)求证:△BEC≌△DGC
(2)求证:四边形FEGD行四边形
(3)AB=4▱FEGD成菱形?果时CE长果请说明理.
28.矩形ABCD中AB=3BC=4.点EF角线AC点MN分边ADBC.
(1)图1AE=CF=1MN分ADBC中点.求证:四边形EMFN矩形.
(2)图2AE=CF=05AM=CN=x(0<x<2)四边形EMFN矩形求x值.
29.图行四边形ABCD中点EAC点点E点F关CD称.
(1)ED∥CF
①求证:四边形ECFD菱形.
②点EAC中点求证:AD=EF.
(2)连接BDBEBF四边形ABCD正方形△BDF直角三角形求值.
30.(1)图1矩形纸片ABCD着EF折叠CE交AF点G点G作GH∥EF交线段BE点H.
①判断EGEH否相等说明理.
②判断GH否分∠AGE说明理.
(2)图2果(1)中已知条件改折叠三角形纸片ABC条件变.
①判断EGEH否相等说明理.
②判断GH否分∠AGE果分请说明理果分请等式表示∠EGH∠AGH∠C数量关系说明理.
参考答案
.选择题
1.解:A图1中
∵∠B=90°四边形ABCD行四边形
∴四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵∠DAC=∠CAE
∴∠ACF=∠CAF
∴AF=CF设AF=CF=x
Rt△ABF中x2=62+(8﹣x)2
解x=
∴EF=8﹣=选项A符合题意.
B图2中
BF=CF时
∵AF=CF=BF
∴∠BAC=90°
∴AC===2
∴S行四边形ABCD=AB•AC=6×2=12选项B符合题意.
C折叠程中△ABF△EFC周长相等选项C符合题意.
D图3中
AE⊥BC时四边形ABEC等腰梯形选项D符合题意.
选:B.
2.解:图ACBE交点F
∵四边形ABCD正方形
∴∠ACB=∠BAC=45°
∵2∠ABE=3∠ACB
∴∠ABE==675°
∴∠AFB=180°﹣∠ABF﹣∠BAC=180°﹣675°﹣45°=675°
∴∠ABE=∠AFB
∴AB=AF
∵AB∥CE
∴∠ABF=∠CEF=675°
∵∠CFE=∠AFB=675°
∴∠CFE=∠CEF
∴CE=CF
设AB=xAC=x+1Rt△ABC中AC=
∴x+1=
解x=+1
选:B.
3.解:设点M(a0)N(0b)
∵AM⊥x轴点A反例函数y=(x>0k>0k常数)图象
∴点A坐标(a)
BN⊥y轴理:B(b)
点C(ab)
s△CMN==ab=1
∴ab=2
∵AC=BC=
==4
ab=2
(k﹣2)2=16
解:k=6k=﹣2(舍)
选:D.
4.解:连接FC图示:
∵∠ACB=90°FAB中点
∴FA=FB=FC
∵△ACE等边三角形
∴EA=EC
∵FA=FCEA=EC
∴点F点E线段AC垂直分线
∴EF垂直分ACEF⊥AC
∵△ABD△ACE等边三角形FAB中点
∴DF⊥AB∠DFA=90°BD=DA=AB=2AF∠DBA=∠DAB=∠EAC=∠ACE=60°.
∵∠BAC=30°
∴∠DAC=∠EAF=90°
∴∠DFA=∠EAF=90°DA⊥AC
∴DF∥AEDA∥EF
∴四边形ADFE行四边形菱形
∵四边形ADFE行四边形
∴DA=EFAF=2AG
∴BD=DA=EFDA=AB=2AF=4AG
△DBF△EFA中
∴△DBF≌△EFA(SAS)
综述:①③④正确
选:C.
5.解:∵四边形ABCD正方形
∴点A点C关BD称BC=AB=4
∵E边BC中点
∴BE=BC=2
连接AE交BDP时PC+PE值
PC+PE值=AE
∵AE===2
∴PC+PE值2
选:A.
6.解:∵四边形ABCD行四边形
∴∠BAD=∠BCD=60°
∴∠BAM=60°﹣θ1∠DCM=60°﹣θ3
∴△ABM中60°﹣θ1+θ2+110°=180°θ2﹣θ1=10°①
△DCM中60°﹣θ3+θ4+90°=180°θ4﹣θ3=30°②
②+①(θ4﹣θ3)+(θ2﹣θ1)=40°
θ2+θ4﹣θ1﹣θ3=40°
选:D.
7.解:作PM⊥ADM交BCN.
四边形AEPM四边形DFPM四边形CFPN四边形BEPN矩形
∴S△ADC=S△ABCS△AMP=S△AEPS△PBE=S△PBNS△PFD=S△PDMS△PFC=S△PCN
∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8
∴S阴=8+8=16
(题证明两阴影部分面积相等解决问题)
选:C.
8.解:延长GH交ADM点图示:
∵四边形ABCD四边形CEFG矩形
∴CD=CE=FG=1BC=EF=CG=3BE∥AD∥FG
∴DG=CG﹣CD=3﹣1=2∠HAM=∠HFG
∵AF中点H
∴AH=FH
△AMH△FGH中
∴△AMH≌△FGH(ASA).
∴AM=FG=1MH=GH
∴MD=AD﹣AM=3﹣1=2
Rt△MDG中GM===2
∴GH=GM=
选:A.
二.填空题(12题)
9.解:连接ACDEBD图:
∵EAB中点
∴S△BCE=S△ABC=S行四边形ABCD=8
理:S△CDF=8
∵FAD中点
∴SAEF=S△AED=S△ABD=S行四边形ABCD=4
∴S△CEF=S行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF=32﹣8﹣8﹣4=12
答案:12.
10.解:(1)∵四边形ABCD正方形
∴AB=AD=4∠A=∠ADC=90°
∵BE=5
∴AE===3
∴DE=AD﹣AE=4﹣3=1
∴EC2=DE2+CD2=12+42=17
∴正方形CEFG面积=EC2=17.
答案17.
(2)连接DFDG.设DE=xCE=
∵S△DEC+S△DFG=S正方形ECGF
∴S△DFG=(x2+16)﹣×x×4=x2﹣2x+8=(x﹣2)2+6
∵>0
∴x=2时△DFG面积值6.
答案6.
11.解:∵菱形ABCD边长2BD=2
∴△ABD△BCD正三角形
∴∠BDE=∠BCF=60°BD=BC
∵AE+DE=AD=2AE+CF=2
∴DE=CF
∴△BDE≌△BCF(SAS)
∴∠DBE=∠CBFBE=BF
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°
∴∠DBF+∠DBE=60°∠EBF=60°
∴△BEF正三角形
设BE=BF=EF=x
S=•x•x•sin60°=x2
BE⊥AD时x=2×sin60°=
∴S=×()2=
BEAB重合时x=2
∴S=×22=
∴≤S≤.
答案:≤S≤.
12.解:连接EM
∵EFM分边BCAD角线BD中点
∴FM=EM=
EF=EM+MF时线段EFEF=1+3=4
答案:14.
13.解:图点Q作QH⊥CD点H
∵四边形ABCD矩形
∴AB=CD=5AD=BC=7
∵BP=2
∴CP=5
∵线段BD绕点D逆时针方旋转90°线段DQ
∴BD=DQ∠BDQ=90°
∴∠BDC+∠QDC=90°∠BDC+∠DBC=90°
∴∠QDC=∠DBCBD=DQ∠BCD=∠DHQ=90°
∴△BDC≌△DQH(AAS)
∴DC=HQ=5BC=DH=7
∴CH=DH﹣CD=2
∵CP=HQ=5∠PEC=∠QEH∠PCE=∠QHE
∴△PCE≌△QHE(AAS)
∴CE=EHCH=2
∴CE=EH=1
∴DE=DC+CE=5+1=6
答案:6.
14.解:∵点DEF分BCABAC中点
∴EF∥BCDE∥AC(三角形中位线性质)
∵EF∥BC∠DEF=50°
∴∠DEF=∠EDB=50°(两直线行错角相等)
∵DE∥AC
∴∠EDB=∠FCH=50°(两直线行位角相等)
∵AH⊥BC
∴△AHC直角三角形
∵HF斜边中线
∴HF=AC=FC
∴∠FHC=∠FCH=50°.
∴∠CFH=180°﹣50°﹣50°=80°
答案:80°.
15.解:①矩形中边AC时图1示:
设CE=xBE=3﹣x
∵∠A=30°∠C=90°
∴DE=(3﹣x)
∴S矩形DECF=CE•DE=x(3﹣x)=2
整理:x2﹣3x+2=0解x1=1x2=2
x=1时该矩形周长=(CE+DE)×2=(1+2)×2=4+2
x=2时该矩形周长=(CE+DE)×2=2+4
∵(4+2)﹣(2+4)=2﹣2=2(﹣1)>0
∴矩形周长值2+4
②矩形中边AB时图2示:
设CF=xBF=3﹣x
∵∠A=30°∠C=90°
∴FG=2xEF=(3﹣x)
∴S矩形DECF=FG•EF=2x•(3﹣x)=2
整理:x2﹣3x+2=0解x1=1x2=2
(1)结果致
综述:矩形周长值2+4.
答案:2+4.
16.解:连接BNCM作NP⊥BCP图示:
∵△ABM△ACN等边三角形
∴AB=AMAN=AC=CN=3∠BAM=∠CAN=∠ACN=60°
∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC
∠CAM=∠NAB
△CAM△NAB中
∴△CAM≌△NAB(SAS)
∴CM=NB
∵DEFG分MBBCCNMN中点
∴DG△BMN中位线EF△BCN中位线DE△BCM中位线
∴DG∥BNDG=BNEF∥BNEF=BNDE=CM
∴DG∥EFDG=EFDG=DE
∴四边形DEFG行四边形
∵DG=DE
∴四边形DEFG菱形
∴DE=DG=EF=FG=BN
∵∠BAC=60°
∴∠NCP=180°﹣∠ACB﹣∠ACN=60°
∵NP⊥BC
∴∠CNP=90°﹣60°=30°
∴PC=CN=PN=PC=
∴BP=BC+PC=5+=
∴BN===7
∴DE=DG=EF=FG=BN=
∴四边形DEFG周长=4×=14
答案:14.
17.解:
∵∠1∠2∠3∠4外角角度220°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°
∵五边形OAGFE角=(5﹣2)×180°=540°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°
∴∠BOD=540°﹣500°=40°
答案:40°.
18.解:∵直线y=a分直线y=x双曲线y=交点DA
∴A(a)D(2aa)
直线x轴正半轴时
∵四边形ABCD正方形
∴AB=AD2a﹣=a解a=﹣1a=1.
直线x轴负半轴时
理2a﹣=﹣a解a=±.
答案:±1±.
19.解:图设AD=BC=x.点P作PH⊥ACH.
翻折性质知PA=PC=BC=x
∵∠APC=120°PH⊥AC
∴AH=CH∠APH=∠CPH=60°
∴AC=2AH=2•PA•sin60°=x
∵四边形ABCD矩形
∴∠D=90°
∴CD=AB===x
∴==
答案:1.
20.解:∵BE=BC∠ABC=90°
∴△BCE等腰直角三角形
∴∠BCE=∠BEC=45°
∵GE⊥CG
∴∠AGE+∠CGD=90°
∵∠DCG+∠CGD=90°
∴∠AGE=∠DCG
∵∠A=∠D=90°
∴△AGE∽△DCG
∴
∵GAD中点
∴AG=DG
∴
∵∠D=∠CGE=90°
∴△CDG∽△CGE
∴∠DCG=∠GCE=(90°﹣45°)=225°
∵GAD中点
∴矩形称性知∠ABG=∠DCG=225°
三角形外角性质∠BFC=∠ABG+∠BEC=225°+45°=675°.
答案:675°.
三.解答题(10题)
21.(1)证明:正方形ABCD中AB=DA∠EAB=∠D=90°
∵AE=DF
∴△ABE≌△DAF(SAS)
∴∠ABE=∠DAF
∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°
∴∠ABE+∠FAB=90°
∴∠APB=90°
∴AF⊥BE
∵CH⊥BE
∴AF∥CH
(2)解:正方形ABCD中∠EAB=90°AB=2AE=2
∴BE===4
∵S△ABE=AB•AE=BE•AP
∴AP==
Rt△ABP中BP===3
∵∠APB=∠ABC=90°
∴∠ABP+∠HBC=90°∠HCB+∠HBC=90°
∴∠ABP=∠HCB
∵CH⊥BE
∴∠HCB=90°
∵AB=BC
∴△ABP≌△BCH(AAS)
∴BH=AP=
∴PH=BP﹣BH=BP﹣AP=3﹣.
(3)解:正方形ABCD中AB=BCAD∥BC
∵CH⊥BPPH=BH
∴CP=BC
∴∠CBP=∠CPB
∵∠CPB=∠QPE∠CBP=∠QEP
∴∠QPE=∠QEP
Rt△APE中∠QAP=∠QPA
∴QE=QP=QA
四边形QABC中设QP=aCP=b
AB=BC=bAQ=aQC=a+b
∵DC2+DQ2=CQ2
∴b2+(b﹣a)2=(a+b)2
∴b2=4ab
b=4a
∴=4.
22.(1)证明:∵四边形ABCD矩形
∴∠DAB=90°
∵AP分∠DAB
∴∠DAP=∠EAP=45°
△DAP△EAP中
∴△DAP≌△EAP(SAS)
∴PD=PE
(2)解:图1作CP′⊥AP′P′
P′C
∵AB∥CD
∴∠DFA=∠EAP
∵∠DAP=∠EAP
∴∠DAP=∠DFA=45°
∴FC=DF=AD=2∠P′FC=45°
∴P′C=FC×=
∴PC值
(3)解:图2∵DF=FCOA=OC
∴OF∥AD
∴∠DFO=180°﹣∠ADF=90°
∴点P点F重合时∠DPO=90°时AP==2
点PAF时作PG⊥ADGPH⊥ABH
∵AP分∠DABPG⊥ADPH⊥AB
∴PG=PH
设PG=PH=a
勾股定理DP2=(2﹣a)2+a2OP2=(2﹣a)2+(1﹣a)2OD2=5
∠DPO=90°时DP2+OP2=OD2(2﹣a)2+a2+(2﹣a)2+(1﹣a)2=5
解a1=2(舍)a2=
a=时AP=
综述∠DPO=90°时AP=2.
23.解:(1)∵两函数图象交点分AB
∴
∴x2=k2
∴x=±k
∴点A坐标(﹣k﹣1)点B坐标(k1)
(2)∵k=1
∴点A坐标(﹣1﹣1)点B坐标(11)
∵点P坐标(m)
∴直线PA解析式:y=+
y=0时x=m﹣1
∴点C(m﹣10)
理求直线PB解析式:y=﹣x+
y=0时x=m+1
∴点D(m+10)
∴PD==
PC==
∴PC=PD
∴△PCD等腰三角形
(3)图点P作PH⊥CDH
∵△PCD直角三角形PH⊥CD
∴CD=2PH
∴m+1﹣(m﹣1)=2×
∴m=1
∴点P(11)
∵点B(11)点P函数y=第象限图象动点(点PB重合)
∴存点P△PCD直角三角形.
24.(1)证明:折叠性质知∠BEA=∠BEF
∵AD∥BC
∴∠BEA=∠EBC∠BCF=∠CED
∴∠BEF=∠EBC
∴BC=CE
∵∠BFC=∠D=90°
∴△BFC≌△CDE(AAS)
∴CF=DE.
(2)解:①翻折知BA=BF∠BFE=∠A=90°
Rt△BFC中sin∠BCF====
∴∠BCF=60°
∴∠CBF=30°
∵∠ABC=90°
∴∠ABF=90°﹣30°=60°
∵∠ABE=∠FBE
∴∠ABE=∠ABF=30°.
②∵=k=m
∴AE=kADAB=mAD
∴DE=AD﹣AE=AD(1﹣k)
Rt△CED中CE2=CD2+DE2AD2=(mAD)2+[AD(1﹣k)]2
整理m2=2k﹣k2.
25.证明:(1)∵四边形ABCD正方形
∴∠BCD=90°∠ABD=∠CDB=∠CBD=45°AB=BC=CD
∴△ABD等腰直角三角形
∴AB=BD
∵GE⊥CDGF⊥BC
∴△DGE△BGF等腰直角三角形
∴GE=DGGF=BG
∴GE+GF=(DG+BG)=BD
∴GE+GF=AB
(2)解:GE2+GF2=AG2理:
连接CG图示:
△ABG△CBG中
∴△ABG≌△CBG(SAS)
∴AG=CG
∵GE⊥CDGF⊥BC∠BCD=90°
∴四边形EGFC矩形
∴CE=GF
∴GE2+CE2=CG2
∴GE2+GF2=AG2
设GE=x=CFGF=6﹣x=BF
勾股定理:x2+(6﹣x)2=()2
∴x=1x=5
x=1时
∴BF=GF=5
∴BG===5
x=5时
∴BF=GF=1
∴BG===
26.解:(1)△AEF等腰直角三角形理:
点E作直线MN∥AB交ADM交BCN图1示:
∵四边形ABCD正方形BD角线MN∥AB
∴四边形ABNM四边形MNCD矩形△NEB△MDE等腰直角三角形
∴AM=BN∠AME=∠ENF=90°EN=BN
∴AM=EN
∵EF⊥AE
∴∠AEM+∠FEN=∠AEM+∠EAM=90°
∴∠EAM=∠FEN
△AME△ENF中
∴△AME≌△ENF(ASA)
∴AE=EF
∵AE⊥EF
∴△AEF等腰直角三角形
(2)(1)中结成立理:
点E作直线MN∥DC交ADM交BCN图2示:
(1)理:AM=BN=EN∠EAM=∠FEN
∵∠AME=∠ENF=90°
△AME△ENF中
∴△AME≌△ENF(ASA)
∴AE=EF
∵AE⊥EF
∴△AEF等腰直角三角形
(3)分两种情况:
①△ADE面积:△ABE面积=1:2时图1示:
BE=2DE
设正方形ABCD边长3aBD=3a
(1):AE=EFME=NFDM=CN△AEF△NEB△MDE等腰直角三角形
∴AF=AEBE=BN=2aDE=ME=a
∴AM=BN=2aCN=NF=DM=ME=a
∴CF=NF+CN=2aAE===a
∴AF=AE=a
∴==
②△ADE面积:△ABE面积=2:1时图2示:
DE=2BE
设正方形ABCD边长3aBD=3a
(1):AF=AEBE=BN=aDE=ME=2a
∴AM=BN=aCN=NF=DM=ME=2a
∴CF=NF+CN=4aAE===a
∴AF=AE=a
∴==
综述AE△ABD面积分成1:2两部分
AF:CF值.
27.(1)证明:∵四边形ABCD正方形
∴BC=CD∠BCA=∠DCA=45°AD∥DC
∵点E点G关直线CD称
∴EC=GC∠DCG=∠DCA=45°EG⊥CD
∴∠BCE=∠DCG
△BEC△DGC中
∴△BEC≌△DGC(SAS)
(2)证明:∵EG⊥CDAD⊥DCAD∥BC
∴EG∥DF∥BC
∴∠EGC=∠GEC=∠ACB=45°
∴∠DGE=∠DGC﹣45°
∵BE⊥EF
∴∠FEG=360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC=225°﹣∠BEC
∵△BEC≌△DGC
∴∠DGC=∠BEC
∴∠DGE+∠FEG=∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC=180°
∴EF∥DG
∴四边形FEGD行四边形
(3)解:E作MN⊥ADNMN⊥BCM图示:
∠EBM+∠BEM=90°
∵EF⊥BE
∴∠BEM+∠FEN=90°
∴∠EBM=∠FEN
∵BM=ANAN=EN
∴BM=EN
△BME△ENF中
∴△BME≌△ENF(ASA)
∴BE=EF
∵四边形ABCD正方形
∴BD关AC称
∴BE=DE
∴DE=EF
四边形GD菱形时DF=EF
∴△DEF等边三角形
∴∠EBM=∠FEN=∠FED=30°
设CM=xEM=x
∵∠EBM=30°
∴BM=x
∵四边形ABCD正方形AB=4
∴BC=BM+EM=(+1)x=4
解:x=2(﹣1)
∴CE=x=2﹣2.
28.(1)证明:连接MN图1示:
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BCAD=BC∠B=90°
∴∠EAM=∠FCNAC===5
∵MN分ADBC中点
∴AM=DM=BN=CNAM∥BN
∴四边形ABNM行四边形
∵∠B=90°
∴四边形ABNM矩形
∴MN=AB=3
△AME△CNF中
∴△AME≌△CNF(SAS)
∴EM=FN∠AEM=∠CFN
∴∠MEF=∠NFE
∴EM∥FN
∴四边形EMFN行四边形
∵AE=CF=1
∴EF=AC﹣AE﹣CF=3
∴MN=EF
∴四边形EMFN矩形.
(2)解:连接MN作MH⊥BCH图2示:
四边形ABHM矩形
∴MH=AB=3BH=AM=x
∴HN=BC﹣BH﹣CN=4﹣2x
∵四边形EMFN矩形AE=CF=05
∴MN=EF=AC﹣AE﹣CF=4
Rt△MHN中勾股定理:32+(4﹣2x)2=42
解:x=2±
∵0<x<2
∴x=2﹣.
29.(1)证明:①解图1
∵点E点F关CD称.
∴DE=DFCE=CFOE=OFCD⊥EF
∴∠ECO=∠FCO
∵ED∥CF
∴∠FCO=∠EDO
∴∠ECO=∠EDO
∴DE=EC
∴DE=DE=EC=CF
∴四边形ECFD菱形.
②①四边形ECFD菱形
∴EO=OF=OD=OC
∵AE=EC
∴OF=.
∴AD=EF
(2)解:四边形ABCD正方形△BDF直角三角形情况:
Ⅰ.第种情况:∠BFD=90°时EFC三点重合BF=BE.
Ⅱ.第二种情况:∠BDF=90°时解2
∵四边形ABCD正方形
∴∠BDC=∠DBC=45°BE=DE
∴∠FDC=45°
∵E点F关CD称
∴∠EDC=45°EACBD交点EF⊥CD
∴EF∥BC
∴∠DEF=∠BDC=45°
∴△EFD等腰直角三角形
∴DF=DE=BE
Rt△BDF中BF==
∴=.
Ⅲ.点EAC点∠DBF=90°存.
综述:四边形ABCD正方形△BDF直角三角形值1.
30.解:(1)①EG=EH
理:
图
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∴AF∥BEGH∥EF
∴四边形GHEF行四边形
∴∠GHE=∠GFE
∵矩形纸片ABCD着EF折叠
∴∠1=∠GEF
∵AF∥BEGH∥EF
∴∠1=∠GFE∠HGE=∠GEF
∴∠GEF=∠HGE
∴∠GHE=∠HGE
∴HE=GE
②GH分∠AGE
理:
∵AF∥BE
∴∠AGH=∠GHE∠GHE=∠HGE
∴∠AGH=∠HGE
∴GH分∠AGE
(2)①EG=GH
理
图
∵△ABCEF折叠
∴∠CEF=∠C'EF∠C=∠C'
∵GH∥EF
∴∠GEF=∠HGE∠FEC'=∠GHE
∴∠GHE=∠HGE
∴EG=EH
②∠AGH=∠HGE+∠C
理:
∵∠AGH=∠GHE+∠C'
∴∠AGH=∠HGE+∠C
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