第五章元次等式元次等式组综合指导
复目标
1通复进步解元次等式元次等式组基概念解等式（组）解解集概念．
２理解掌握等式基性质运等式基性质解元次等式会数轴表示解集联系较等式变形方程变形异．
３利数轴求出元次等式组解集．
４实际问题中抽象出元次等式（组）加深数学模型认识体会数学化程提高数学分析解决问题力．
二重难点提示
１重点：（１）熟练解元次等式（组）．
（２）利元次等式（组）解决实际问题．
２难点：（１）元次等式元次方程异．
（２）利数轴工具．
三知识梳理
()关概念
1元次等式：含未知数未知数次数1等式做元次等式
2元次等式组：关未知数元次等式合起组成元次等式组
3等式（组）解：等式（组）成立未知数值做等式（组）解
4等式（组）解集：等式（组）解组成等式（组）解集
注意 等式（组）解等式（组）解集关系：等式（组）解集合组成等式（组）解集等式（组）解解集元素例x3547…等式x+5＞8解x＞3等式解集
(二) 等式三基性质
①性质1：果a＞ba+c＞b+cac＞bc 等式两边加（减）数整式等号方变
②性质2：果a＞bc＞0ac＞bc等式两边（）正数等号方变
③性质3：果a＞bc＜0ac＜bc 等式两边（）负数等号方改变
(三)解元次等式步骤注意点
解元次等式般步骤解元次方程般步骤体相①分母②括号③移项④合类项⑤系数化1
注意 ①述步骤解等式必须历具体情况应该具体分析
②解元次等式步骤注意点解元次方程相应步骤注意点基相结合解元次方程步骤总结解元次等式步骤注意点需特注意分母系数化1两步骤里果等式两边负数时等号方定改变
（四）元次等式解集数轴表示出
数轴表示等式解集概括三步走首先数轴找等式解集起始点位置然确定该点实心圆点空心圆圈确定方
注意①判断实心圆点空心圆圈方法：果等号表示包括该点该点应该实心圆点果没等号表示包括该点该点空心圆圈
②判断方方法：果号右方果号左方
（五）解元次等式组步骤
1求出元次等式组中等式解集
2数轴标出等式解集找出公部分公部分该等式组解集
（六）等式（组）解决实际问题步骤
1般步骤：
⑴审题
⑵设未知数
⑶找出关系
⑷列出等式（组）
⑸解等式（组）根问题实际意义确定问题解
⑹检验写出答案
2注意：①少等词语关键定准确理解
②实际问题中答案定限制（取正整数）根实际情况解集中符合条件解选出
四思想方法总结
1数形结合思想
数轴非常重工具利数轴工具仅够形象理解元次等式解集直观求出等式组解集够效解决问题（参见例7）
2转化思想
解元次等式程实质利等式性质等式断变形x＞ax＜a形式
3较方法
复程中注意较解元次等式元次方程异较元次等式元次方程解决实际问题异提高学效率学质量
五典型例题分析
1关概念
例1 列说法正确：A x3x+3＜2解 B x＞3x+3＞6解
C x6x≥3解集 D x＜53x＞15解集
分析x3代入x+3＜2中成立答案A错误答案B答案C混淆解解集两概念等式3x＞15两边3x＜5答案D正确
2等式性质
例2 ＞＜填空：①已知x＜y3x1＿3y1②已知a＞b1a＿1b
分析：需等式基性质牢记熟练做出类题目
解：①根等式性质2x＜y3x＜3y根等式性质13x1＜3y1
②根等式性质3a＞ba＜b根等式性质11a＜1b
例3 哥哥年龄3年哥哥年龄然生活现象暗合等式条性质？
解：设哥哥现a岁b岁3年哥哥（a+3）岁（b+3）岁a＞b出a+3＞b+3暗合等式性质1
反思：种合情推理方式理解数学性质知识理解更深刻记忆更牢固
例4请利等式性质说明样三角形意两边第三边推出三角形意两边差第三边
分析：道数形结合题目
解：设三角形三边分abc三角形意两边第三边知：a+b＞c移项（根等式性质1）a＞cbb＞cacb＜aca＜b理a+c＞bb+c＞aba＜cbc＜aab＜cac＜b三角形意两边差第三边
3解元次等式
例5 解等式2 ＞
分析：分母时切记漏含分母项分子项式时分子整体加括号果负数改变等号方括号时注意括号前数括号里项果括号前面负号注意掉括号括号里项改变符号移项注意变号系数化1时果原系数负数定改变等号方（解元次等式注意事项解元次方程注意事项基相划线部分解元次等式特注意）
解：分母
12（1x）＞3（x+4）
括号
121+x＞3x+12
移项
x3x＞1212+1
合类项
2x＞1
系数化1
x＜
4解元次等式组
例6 解等式组
解：解等式①x＜1
解等式②x≥2
数轴表示等式①②解集图示
两等式解集公部分2≤x＜1
等式组解集2≤x＜1
例7等式组 解集x＞3求a取值范围．
解：解3x+2＜4x1x＞3妨表示数a点作动点两等式解集数轴表示三种性图1图2图3显然图1图3两种情况等式组解集x＞3图2情形等式组解集x＞a图1图3知：a≤3
反思：数轴非常重工具面道题目利数轴例子
5等式（组）解决实际问题
例8 次环保知识竞赛中竞赛试题25道题道题出4答案中答案正确求学生正确答案选出道题选4分选错选倒扣2分果学生次知识竞赛中分低60分少选少道题？
分析：道题数量关系明确作题目分数减作错题目扣分数等60分关键列代数式正确表示作题目分数作错题目扣分数
解：设选x道题根题意（注意：设成少选x道题）
4x2（25x）≥60
解 x≥
题目数必须正整数符合条件正整数19少选19道题
例9年9月份市某果农收获苹果30吨梨13吨现计划租甲乙两种货车10辆批水果全部运南方已知甲种货车装苹果4吨梨1吨乙种货车装苹果梨2吨该果农安排甲乙两种货车时种方案？请设计出
分析：类方案设计题然没出现表示等关系术语学明白利等式组解决实际问题题目中等关系：①甲种货车乙种货车合运苹果少30吨②甲种货车乙种货车合运梨少13吨外注意答案定取然数
解：设安排甲种货车x辆安排乙种货车（10x）辆根题意
解等式组
5≤x≤7x必须取整数x取567安排甲乙两种货车三种方案：
① 甲种货车5辆乙种货车5辆
② 甲种货车6辆乙种货车4辆
③ 甲种货车7辆乙种货车3辆
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复目标
1通复进步解元次等式元次等式组基概念解等式（组）解解集概念．
２理解掌握等式基性质运等式基性质解元次等式会数轴表示解集联系较等式变形方程变形异．
３利数轴求出元次等式组解集．
４实际问题中抽象出元次等式（组）加深数学模型认识体会数学化程提高数学分析解决问题力．
二重难点提示
１重点：（１）熟练解元次等式（组）．
（２）利元次等式（组）解决实际问题．
２难点：（１）元次等式元次方程异．
（２）利数轴工具．
三知识梳理
()关概念
1元次等式：含未知数未知数次数1等式做元次等式
2元次等式组：关未知数元次等式合起组成元次等式组
3等式（组）解：等式（组）成立未知数值做等式（组）解
4等式（组）解集：等式（组）解组成等式（组）解集
注意 等式（组）解等式（组）解集关系：等式（组）解集合组成等式（组）解集等式（组）解解集元素例x3547…等式x+5＞8解x＞3等式解集
(二) 等式三基性质
①性质1：果a＞ba+c＞b+cac＞bc 等式两边加（减）数整式等号方变
②性质2：果a＞bc＞0ac＞bc等式两边（）正数等号方变
③性质3：果a＞bc＜0ac＜bc 等式两边（）负数等号方改变
(三)解元次等式步骤注意点
解元次等式般步骤解元次方程般步骤体相①分母②括号③移项④合类项⑤系数化1
注意 ①述步骤解等式必须历具体情况应该具体分析
②解元次等式步骤注意点解元次方程相应步骤注意点基相结合解元次方程步骤总结解元次等式步骤注意点需特注意分母系数化1两步骤里果等式两边负数时等号方定改变
（四）元次等式解集数轴表示出
数轴表示等式解集概括三步走首先数轴找等式解集起始点位置然确定该点实心圆点空心圆圈确定方
注意①判断实心圆点空心圆圈方法：果等号表示包括该点该点应该实心圆点果没等号表示包括该点该点空心圆圈
②判断方方法：果号右方果号左方
（五）解元次等式组步骤
1求出元次等式组中等式解集
2数轴标出等式解集找出公部分公部分该等式组解集
（六）等式（组）解决实际问题步骤
1般步骤：
⑴审题
⑵设未知数
⑶找出关系
⑷列出等式（组）
⑸解等式（组）根问题实际意义确定问题解
⑹检验写出答案
2注意：①少等词语关键定准确理解
②实际问题中答案定限制（取正整数）根实际情况解集中符合条件解选出
四思想方法总结
1数形结合思想
数轴非常重工具利数轴工具仅够形象理解元次等式解集直观求出等式组解集够效解决问题（参见例7）
2转化思想
解元次等式程实质利等式性质等式断变形x＞ax＜a形式
3较方法
复程中注意较解元次等式元次方程异较元次等式元次方程解决实际问题异提高学效率学质量
五典型例题分析
1关概念
例1 列说法正确：A x3x+3＜2解 B x＞3x+3＞6解
C x6x≥3解集 D x＜53x＞15解集
分析x3代入x+3＜2中成立答案A错误答案B答案C混淆解解集两概念等式3x＞15两边3x＜5答案D正确
2等式性质
例2 ＞＜填空：①已知x＜y3x1＿3y1②已知a＞b1a＿1b
分析：需等式基性质牢记熟练做出类题目
解：①根等式性质2x＜y3x＜3y根等式性质13x1＜3y1
②根等式性质3a＞ba＜b根等式性质11a＜1b
例3 哥哥年龄3年哥哥年龄然生活现象暗合等式条性质？
解：设哥哥现a岁b岁3年哥哥（a+3）岁（b+3）岁a＞b出a+3＞b+3暗合等式性质1
反思：种合情推理方式理解数学性质知识理解更深刻记忆更牢固
例4请利等式性质说明样三角形意两边第三边推出三角形意两边差第三边
分析：道数形结合题目
解：设三角形三边分abc三角形意两边第三边知：a+b＞c移项（根等式性质1）a＞cbb＞cacb＜aca＜b理a+c＞bb+c＞aba＜cbc＜aab＜cac＜b三角形意两边差第三边
3解元次等式
例5 解等式2 ＞
分析：分母时切记漏含分母项分子项式时分子整体加括号果负数改变等号方括号时注意括号前数括号里项果括号前面负号注意掉括号括号里项改变符号移项注意变号系数化1时果原系数负数定改变等号方（解元次等式注意事项解元次方程注意事项基相划线部分解元次等式特注意）
解：分母
12（1x）＞3（x+4）
括号
121+x＞3x+12
移项
x3x＞1212+1
合类项
2x＞1
系数化1
x＜
4解元次等式组
例6 解等式组
解：解等式①x＜1
解等式②x≥2
数轴表示等式①②解集图示
两等式解集公部分2≤x＜1
等式组解集2≤x＜1
例7等式组 解集x＞3求a取值范围．
解：解3x+2＜4x1x＞3妨表示数a点作动点两等式解集数轴表示三种性图1图2图3显然图1图3两种情况等式组解集x＞3图2情形等式组解集x＞a图1图3知：a≤3
反思：数轴非常重工具面道题目利数轴例子
5等式（组）解决实际问题
例8 次环保知识竞赛中竞赛试题25道题道题出4答案中答案正确求学生正确答案选出道题选4分选错选倒扣2分果学生次知识竞赛中分低60分少选少道题？
分析：道题数量关系明确作题目分数减作错题目扣分数等60分关键列代数式正确表示作题目分数作错题目扣分数
解：设选x道题根题意（注意：设成少选x道题）
4x2（25x）≥60
解 x≥
题目数必须正整数符合条件正整数19少选19道题
例9年9月份市某果农收获苹果30吨梨13吨现计划租甲乙两种货车10辆批水果全部运南方已知甲种货车装苹果4吨梨1吨乙种货车装苹果梨2吨该果农安排甲乙两种货车时种方案？请设计出
分析：类方案设计题然没出现表示等关系术语学明白利等式组解决实际问题题目中等关系：①甲种货车乙种货车合运苹果少30吨②甲种货车乙种货车合运梨少13吨外注意答案定取然数
解：设安排甲种货车x辆安排乙种货车（10x）辆根题意
解等式组
5≤x≤7x必须取整数x取567安排甲乙两种货车三种方案：
① 甲种货车5辆乙种货车5辆
② 甲种货车6辆乙种货车4辆
③ 甲种货车7辆乙种货车3辆
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