天津市西青区20212022年高学期期末考试
数学试卷
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分答题时间100分钟满分120分
第Ⅰ卷（40分）
选择题：题10题题4分40分题出四选项中符合题目求
1四边形中
A四边形矩形 B四边形菱形
C四边形正方形 D四边形行四边形
2中三角形解数
A解 B两解 C解 D解数确定
3已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长
A B C D
4已知复数列结中正确数
①复面应点坐标(1 －1)②复数虚部③复数轭复数
④⑤复数方程复数范围根
5结中正确命题数
A1 B2 C3 D4
5奥林匹克会旗中央5互相套连圆环颜色左右方次蓝黑红方次黄绿象征着五洲手工课中老师5颜色环分发甲乙丙丁戊五位学作模型进行制作分1事件甲分红色乙分红色
A立事件 B互斥立事件 C两事件 D相互独立事件
6面α面β行充分条件
Aα穷条直线β行
B直线a⊂α直线b⊂βb∥αa∥β
C直线a∥αa∥β直线aαβ
Dα条直线β行
7三白球黑球中意抽取两球分采取放回简单机抽样放回简单机抽样抽两球白球概率分
A B C D
82022年4月16号神舟十三号载飞船返回舱东风着陆场预定区域成功着陆增强爱国义教育普航天知识传承中国航天精神西青区某校特举行致敬航天筑中国梦演讲赛演讲赛中9名专业士9名观众代表组成评委组参賽选手分根两评委组（记组A组B）名选手分分值绘制成折线图图结正确数
①组A分分值众数47
②组B分分值第80百分位数69
③组B分分值均值组A分分值均值
④组 A更专业士组成
4结中正确命题数
A4 B3 C2 D1
9已知中分点（实数）值
A B C D
10年北京冬奥会首钢滑雪跳台（图1）冬奥历史第座工业遗产利直接结合竞赛场馆跳台设计中融入世界文化遗产敦煌壁画中飞天元素西青区某校研究性学组估算赛道造型高点A（图2）距离面高度 AB（AB面垂直）赛道侧找座建筑物PQ测PQ高度约25米P点测A点仰角30°赛道建筑物PQ间面点M处测A点P点仰角分75°30°（中BMQ三点线）该学组利数估算赛道造型高点A距离面高度约（参考数：）
图1 图2
A59 B60 C65 D68
第Ⅱ卷（80分）
二填空题：题6题题5分30分试题中包含两空答13分全部答5分答案写答题纸相应横线
11正方体中直线成角
12夹角量投影量
13机动车驾驶证科目二考试中甲乙两通概率分0806两考试相互独立两通概率 两少通概率
14已知正边长直观图面积
15已知abc分三角ABC边角A 面积
16某学校男生400女生600调查该校全体学生天睡眠时间采分层抽样方法抽取样计算男生天睡眠时间均值75时方差1女生天睡眠时间7时方差05男女样量例分配估计总体方差
三解答题：题4题50分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（题满分10分）ΔABC中角ABC边分abc已知a＝3b＝c＝2
（Ⅰ）求角B
（Ⅱ）求sinC值
18（题满分12分）已知量满足
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求夹角
（Ⅲ）求
19（题满分13分）2020年开始天津市实施高考综合改革新高考规定：新高考分文理科采3＋3模式语文数学英语必考科目考生需思想政治历史理物理化学生物6等级考试中选取3作选考科目2022年春季新冠病毒突袭津城受疫情影响天津市春季学期展开线线混合式教学模式教学工作线教学期间解高学生选科意某校学生选科目进行检测面100名学生物理化学生物三科总分成绩20组距分成7组：［160180）［180200）［200220）［220240）［240260）［260280）［280300］画出频率分布直方图图示
（Ⅰ）求频率分布直方图中a值
（Ⅱ）估计100名学生物理化学生物三科总分成绩均数（组中数该组区间中点值作代表）
（Ⅲ）进步解选科情况物理化学生物三科总分成绩［220240）［260280）两组中例分配分层机抽样方法抽取7名学生
①求应［220240）［260280）两组学生中分抽取数
②7名学生中机抽取2名学生进行问卷调查写出试验样空间（恰符号表示）
③设事件A＝抽取两名学生组写出事件A样点求出事件A概率
20（题满分15分）图直四棱柱中面底面菱形
中点
（Ⅰ）求证：∥面
（Ⅱ）求证：面面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
天津市西青区20212022年高学期期末考试
数学参考答案评分标准
选择题：题10题题4分40分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
C
B
D
A
C
D
A
二填空题：题6题题5分30分
11
12
13
14
15
16
048092
076
三解答题：题4题50分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（题满分10分）
解：（Ⅰ）余弦定理：2分
3分
4分
（Ⅱ）法： 6分
正弦定理：7分
： 9分
10分
（Ⅱ）法二：余弦定理 7分
10分
18（题满分12分）
解：（Ⅰ）2分
代入出4分
7分（公式2分 结果1分）
8分
（Ⅱ）11分（公式2分 结果1分）
12分
19（题满分13分）
解：（Ⅰ）题图
(0002＋0009 5＋0011＋0012 5＋0007 5＋a＋00025)×20＝11分
解：a＝00052分
（Ⅱ）三科总分成绩均数
170×004+190×019+210×022+230×025+250×015+270×01+290×005＝2256
估计物理化学生物三科总分成绩均数数22564分
（Ⅲ）①三科总分成绩［220240）学生数：100×20×00125＝25
三科总分成绩［260280）两组学生分100×20×0005＝10
抽样
三科总分成绩［220240）抽取学生数5分
三科总分成绩［260280）两组中抽取学生数6分
②设三科总分成绩［220240）5分记a1a2a3a4a5
［26080）2分记b1b2
现7中抽取2试验样空间：
Ω＝{(a1a2)(a1a3)(a1a4)(a1a5)(a1b1)(a1b2)(a2a3)(a2a4)(a2a1)(a2b1)(a2b2)(a3a4)(a3a5)(a3b1)(a3b2)(a4a5)
(a4b1)(a4b2)(a5b1)(a5b2)(b1b2)}8分
21样点9分
③设事件A＝抽取两名学生组10分
事件A样点：
A＝{(a1b1)(a1b2)(a2b1)(a2b2)(a3b1)(a3b2)(a4b1)(a4b2) (a5b1)(a5b2)}11分
10样点12分
抽取2名学生组概率13分
20（题满分15分）
（Ⅰ）证明：：连接D1C交DC1点OOD1C中点1分
点ECD中点 ∴OE∥D1B2分
∵OE⊆面C1DED1B⊄面C1DE3分
直线BD1∥面C1DE4分
（Ⅱ） ∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2EBC中点 ∴DE⊥BC5分
∵CC1⊥面ABCD DE⊆面ABCD
∴CC1⊥DE6分
∵CC1⊆面B1BCC1 CB⊆面B1BCC1CC1∩BC＝C
∴DE⊥面B1BCC17分
∵DE⊆面DEC1∴面DEC1⊥B1BCC18分
（Ⅲ）
∵面DEC1⊥B1BCC1交线C1ECP⊆面B1BCC19分（必须线面否扣掉1分）
面B1BCC1做CP⊥C1E10分
∴CP⊥面DEC111分
∴∠C1PC直线CC1面DEC1成角12分
RtΔC1EC中CC1＝AA1＝2CE＝1
∴C1E＝13分
∴sin∠PC1C15分
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数学试卷
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分答题时间100分钟满分120分
第Ⅰ卷（40分）
选择题：题10题题4分40分题出四选项中符合题目求
1四边形中
A四边形矩形 B四边形菱形
C四边形正方形 D四边形行四边形
2中三角形解数
A解 B两解 C解 D解数确定
3已知圆锥底面半径侧面展开图半圆该圆锥母线长
A B C D
4已知复数列结中正确数
①复面应点坐标(1 －1)②复数虚部③复数轭复数
④⑤复数方程复数范围根
5结中正确命题数
A1 B2 C3 D4
5奥林匹克会旗中央5互相套连圆环颜色左右方次蓝黑红方次黄绿象征着五洲手工课中老师5颜色环分发甲乙丙丁戊五位学作模型进行制作分1事件甲分红色乙分红色
A立事件 B互斥立事件 C两事件 D相互独立事件
6面α面β行充分条件
Aα穷条直线β行
B直线a⊂α直线b⊂βb∥αa∥β
C直线a∥αa∥β直线aαβ
Dα条直线β行
7三白球黑球中意抽取两球分采取放回简单机抽样放回简单机抽样抽两球白球概率分
A B C D
82022年4月16号神舟十三号载飞船返回舱东风着陆场预定区域成功着陆增强爱国义教育普航天知识传承中国航天精神西青区某校特举行致敬航天筑中国梦演讲赛演讲赛中9名专业士9名观众代表组成评委组参賽选手分根两评委组（记组A组B）名选手分分值绘制成折线图图结正确数
①组A分分值众数47
②组B分分值第80百分位数69
③组B分分值均值组A分分值均值
④组 A更专业士组成
4结中正确命题数
A4 B3 C2 D1
9已知中分点（实数）值
A B C D
10年北京冬奥会首钢滑雪跳台（图1）冬奥历史第座工业遗产利直接结合竞赛场馆跳台设计中融入世界文化遗产敦煌壁画中飞天元素西青区某校研究性学组估算赛道造型高点A（图2）距离面高度 AB（AB面垂直）赛道侧找座建筑物PQ测PQ高度约25米P点测A点仰角30°赛道建筑物PQ间面点M处测A点P点仰角分75°30°（中BMQ三点线）该学组利数估算赛道造型高点A距离面高度约（参考数：）
图1 图2
A59 B60 C65 D68
第Ⅱ卷（80分）
二填空题：题6题题5分30分试题中包含两空答13分全部答5分答案写答题纸相应横线
11正方体中直线成角
12夹角量投影量
13机动车驾驶证科目二考试中甲乙两通概率分0806两考试相互独立两通概率 两少通概率
14已知正边长直观图面积
15已知abc分三角ABC边角A 面积
16某学校男生400女生600调查该校全体学生天睡眠时间采分层抽样方法抽取样计算男生天睡眠时间均值75时方差1女生天睡眠时间7时方差05男女样量例分配估计总体方差
三解答题：题4题50分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（题满分10分）ΔABC中角ABC边分abc已知a＝3b＝c＝2
（Ⅰ）求角B
（Ⅱ）求sinC值
18（题满分12分）已知量满足
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求夹角
（Ⅲ）求
19（题满分13分）2020年开始天津市实施高考综合改革新高考规定：新高考分文理科采3＋3模式语文数学英语必考科目考生需思想政治历史理物理化学生物6等级考试中选取3作选考科目2022年春季新冠病毒突袭津城受疫情影响天津市春季学期展开线线混合式教学模式教学工作线教学期间解高学生选科意某校学生选科目进行检测面100名学生物理化学生物三科总分成绩20组距分成7组：［160180）［180200）［200220）［220240）［240260）［260280）［280300］画出频率分布直方图图示
（Ⅰ）求频率分布直方图中a值
（Ⅱ）估计100名学生物理化学生物三科总分成绩均数（组中数该组区间中点值作代表）
（Ⅲ）进步解选科情况物理化学生物三科总分成绩［220240）［260280）两组中例分配分层机抽样方法抽取7名学生
①求应［220240）［260280）两组学生中分抽取数
②7名学生中机抽取2名学生进行问卷调查写出试验样空间（恰符号表示）
③设事件A＝抽取两名学生组写出事件A样点求出事件A概率
20（题满分15分）图直四棱柱中面底面菱形
中点
（Ⅰ）求证：∥面
（Ⅱ）求证：面面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
天津市西青区20212022年高学期期末考试
数学参考答案评分标准
选择题：题10题题4分40分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
C
B
D
A
C
D
A
二填空题：题6题题5分30分
11
12
13
14
15
16
048092
076
三解答题：题4题50分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（题满分10分）
解：（Ⅰ）余弦定理：2分
3分
4分
（Ⅱ）法： 6分
正弦定理：7分
： 9分
10分
（Ⅱ）法二：余弦定理 7分
10分
18（题满分12分）
解：（Ⅰ）2分
代入出4分
7分（公式2分 结果1分）
8分
（Ⅱ）11分（公式2分 结果1分）
12分
19（题满分13分）
解：（Ⅰ）题图
(0002＋0009 5＋0011＋0012 5＋0007 5＋a＋00025)×20＝11分
解：a＝00052分
（Ⅱ）三科总分成绩均数
170×004+190×019+210×022+230×025+250×015+270×01+290×005＝2256
估计物理化学生物三科总分成绩均数数22564分
（Ⅲ）①三科总分成绩［220240）学生数：100×20×00125＝25
三科总分成绩［260280）两组学生分100×20×0005＝10
抽样
三科总分成绩［220240）抽取学生数5分
三科总分成绩［260280）两组中抽取学生数6分
②设三科总分成绩［220240）5分记a1a2a3a4a5
［26080）2分记b1b2
现7中抽取2试验样空间：
Ω＝{(a1a2)(a1a3)(a1a4)(a1a5)(a1b1)(a1b2)(a2a3)(a2a4)(a2a1)(a2b1)(a2b2)(a3a4)(a3a5)(a3b1)(a3b2)(a4a5)
(a4b1)(a4b2)(a5b1)(a5b2)(b1b2)}8分
21样点9分
③设事件A＝抽取两名学生组10分
事件A样点：
A＝{(a1b1)(a1b2)(a2b1)(a2b2)(a3b1)(a3b2)(a4b1)(a4b2) (a5b1)(a5b2)}11分
10样点12分
抽取2名学生组概率13分
20（题满分15分）
（Ⅰ）证明：：连接D1C交DC1点OOD1C中点1分
点ECD中点 ∴OE∥D1B2分
∵OE⊆面C1DED1B⊄面C1DE3分
直线BD1∥面C1DE4分
（Ⅱ） ∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2EBC中点 ∴DE⊥BC5分
∵CC1⊥面ABCD DE⊆面ABCD
∴CC1⊥DE6分
∵CC1⊆面B1BCC1 CB⊆面B1BCC1CC1∩BC＝C
∴DE⊥面B1BCC17分
∵DE⊆面DEC1∴面DEC1⊥B1BCC18分
（Ⅲ）
∵面DEC1⊥B1BCC1交线C1ECP⊆面B1BCC19分（必须线面否扣掉1分）
面B1BCC1做CP⊥C1E10分
∴CP⊥面DEC111分
∴∠C1PC直线CC1面DEC1成角12分
RtΔC1EC中CC1＝AA1＝2CE＝1
∴C1E＝13分
∴sin∠PC1C15分
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