20212022学年九年级数学册尖子生步培优题典教版
专题242垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 分：_________________
注意事项：
试卷满分100分试题24题选择10道填空8道解答6道．答卷前考生务必05毫米黑色签字笔姓名班级等信息填写试卷规定位置．
选择题（题10题题3分30分）题出四选项中项符合题目求．
1．（2021•南岗区模拟）图⊙O直径AB垂直弦CD点PP半径OB中点CD＝6直径AB长（ ）
A．23 B．6 C．43 D．63
分析连接OD设⊙O半径ROP12R根垂径定理求出DP＝CP＝3Rt△OPD中勾股定理出方程R2＝（12R）2+32求出R．
解析连接OD设⊙O半径R
OP12R
∵AB⊥CDCD＝6
∴DP＝CP＝3
Rt△OPD中勾股定理：OD2＝OP2+DP2
R2＝（12R）2+32
解：R＝23（负值舍）
⊙O直径AB＝43
选：C．
点评题考查垂径定理勾股定理应解题关键正确作出辅助线构造直角三角形方程思想．
2．（2021•碑林区校级模拟）图EM圆心OEM⊥CDMCD＝4EM＝6CED圆半径（ ）
A．3 B．4 C．83 D．103
分析连接OC设弧CED圆半径ROC＝ROM＝6﹣R根垂径定理求出CM＝2Rt△OMC中根勾股定理出方程求出．
解析图连接OC
设弧CED圆半径ROC＝ROM＝6﹣R
∵EM圆心OEM⊥CDMCD＝4
∴CM＝DM12CD＝2
Rt△OMC中勾股定理：OC2＝OM2+CM2
R2＝（6﹣R）2+22
解：R103
选：D．
点评题考查勾股定理垂径定理应等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
3．（2021•邛崃市模拟）图AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足H．OH＝3⊙O半径5弦CD长（ ）
A．8 B．4 C．10 D．42
分析连接OC垂径定理CH＝DH勾股定理CH＝4求解．
解析连接OC图示：
∵AB⊙O直径弦CD⊥AB
∴CH＝DH
∵⊙O半径5
∴OC＝5
∴CHOC2OH252324
∴CD＝2CH＝8
选：A．
点评题考查垂径定理勾股定理熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
4．（2021•岳阳县模拟）列说法正确（ ）
A．两条边角应相等两三角形全等
B．分弦直径垂直条弦
C．正方形轴称图形中心称图形
D．组边行组边相等四边形行四边形
分析根全等三角形判定垂径定理正方形性质行四边形判定定理判断．
解析A两条边夹角应相等两三角形全等原命题假命题
B分弦（非直径）直径垂直条弦原命题假命题
C正方形轴称图形中心称图形真命题
D组边行相等四边形行四边形原命题假命题
选：C．
点评题考查命题真假判断正确命题真命题错误命题做假命题．判断命题真假关键熟悉课中性质定理．
5．（2021•松桃县模拟）已知⊙O直径CD＝100cmAB⊙O弦AB⊥CD垂足MAB＝96cmAC长（ ）
A．36cm64cm B．60cm80cm C．80cm D．60cm
分析分两种情况根题意画出图形根垂径定理求出AM长连接OA勾股定理求出OM长进出结．
解析连接ACAO
∵⊙O直径CD＝100cmAB⊥CDAB＝96cm
∴AM12AB12×96＝48（cm）OD＝OC＝50（cm）
图1∵OA＝50cmAM＝48cmCD⊥AB
∴OMOA2AM250248214（cm）
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm）
∴ACAM2+CM2642+48280（cm）
图2理OM＝14cm
∵OC＝50cm
∴MC＝50﹣14＝36（cm）
Rt△AMC中ACAM2+CM260（cm）
综述AC长80cm60cm
选：B．
点评题考查垂径定理勾股定理应根题意画出图形利垂径定理勾股定理求解解答题关键．
6．（2021•武汉模拟）图AB⊙O直径弦CNAB交点DAC＝ADOE⊥CD垂足ECE＝4EDOA＝2DN长（ ）
A．1 B．293 C．233 D．839
分析A点作AF⊥CNN连接ON图根等腰三角形性质CF＝DF根垂径定理CE＝NE设DE＝xCE＝NE＝4xCD＝5xCF＝FD52xEF32x接着OE∥AF根行线分线段成例定理计算出DO43利勾股定理（43）2﹣x2＝22﹣（4x）2然解方程求出xDN长．
解析A点作AF⊥CNN连接ON图
∵AC＝AD
∴CF＝DF
∵OE⊥CN
∴CE＝NE
设DE＝xCE＝NE＝4xCD＝5x
∴CF＝FD52x
∴EF52x﹣x32x
∵OE∥AF
∴DO：OA＝DE：EFDO：2＝x：32x解DO43
Rt△ODE中OE2＝OD2﹣DE2＝（43）2﹣x2
Rt△ONE中OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2
∴（43）2﹣x2＝22﹣（4x）2解x239
∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×239233．
选：C．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查勾股定理行线分线段成例定理．
7．（2021•承德模）图⊙O直径10弦AB长6P弦AB动点线段OP长取值范围（ ）
A．3≤OP≤5 B．4＜OP＜5 C．4≤OP≤5 D．3＜OP＜5
分析连接OA点O作OH⊥ABH根垂径定理求出AH根勾股定理求出OH根垂线段短解答．
解析连接OA点O作OH⊥ABH
AH＝HB12AB＝3
勾股定理OHOA2AH24
点P点A（点B）重合时OP点P点H重合时OP
∴线段OP长取值范围4≤OP≤5
选：C．
点评题考查垂径定理勾股定理掌握垂直弦直径分条弦分弦两条弧解题关键．
8．（2021•海安市模拟）图某球放进盒子截面图球部分露出盒子外已知⊙O交矩形ABCD边AD点EF已知AB＝EF＝2球半径长（ ）
A．32 B．43 C．54 D．65
分析题意⊙OBC相切记切点G作直线OG分交AD劣弧EF点HI连接OF易求FH长设⊙O半径rOH＝2﹣r然Rt△OFH中勾股定理r2﹣（2﹣r）2＝12解方程求答案．
解析题意：⊙OBC相切记切点G作直线OG分交AD劣弧EF点HI连接OF图示：
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∵IG⊥BC
∴IG⊥AD
∴FH12EF＝1
设⊙O半径rOH＝2﹣r
Rt△OFH中勾股定理：r2﹣（2﹣r）2＝12
解：r54
球半径长54
选：C．
点评题考查切线性质垂径定理勾股定理等知识熟练掌握切线性质垂径定理勾股定理解题关键．
9．（2021•广州模拟）图拱桥似作直径250m圆弧桥拱路面间数根钢索垂直相连正方路面AB长度150m钢索中长根长度（ ）
A．50m B．40m C．30m D．25m
分析设圆弧圆心OO作OC⊥ABC交ABD连接OA先垂径定理AC＝BC12AB＝75（m）勾股定理求出OC＝100（m）然求出CD长．
解析设圆弧圆心OO作OC⊥ABC交ABD连接OA图示：
OA＝OD12×250＝125（m）AC＝BC12AB12×150＝75（m）
∴OCOA2AC21252752100（m）
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m）
钢索中长根25m
选：D．
点评题考查垂径定理勾股定理等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
10．（2020秋•吴兴区期末）图△ABC中AB＝10AC＝8BC＝4点A圆心AB半径作圆交BC延长线点DCD长（ ）
A．10 B．9 C．45 D．8
分析A作AE⊥BCERt△ABCRt△ACE中列方程求出12BD答案．
解析A作AE⊥BCE图：
Rt△ABE中AE2+BE2＝AB2
AB＝10BC＝4
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE
Rt△ACE中AE2＝AC2﹣CE2
AC＝8
∴AE2＝64﹣CE2
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2
解CE＝25
∴BE＝65
∴BD＝2BE＝13
∴CD＝9
选：B．
点评题考查垂径定理勾股定理列方程求CE解题关键．
二填空题（题8题题3分24分）请答案直接填写横线
11．（2021春•长沙县月考）图⊙O中弦AB＝16C弦AB中点⊙O半径长10线段OC长 6 ．
分析垂径定理AC＝BC12AB＝8OC⊥AB勾股定理求解．
解析∵弦AB＝16C弦AB中点
∴AC＝BC12AB＝8OC⊥AB
∴∠OCA＝90°
∵⊙O半径长10
∴OA＝10
∴OCOA2AC2102826
答案：6．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧．考查勾股定理．
12．（2021•门头沟区模）图⊙O中ACBCAB＝8半径r＝5DC＝ 2 ．
分析垂径定理OC⊥ABAD＝BD12AB＝4勾股定理求出OD＝3求解．
解析连接OA图示：
∵ACBCAB＝8
∴OC⊥ABAD＝BD12AB＝4
∴∠ADO＝90°
Rt△OAD中勾股定理：ODOA2AD252423
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2
答案：2．
点评题考查垂径定理勾股定理熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
13．（2021•兴化市模拟）图⊙O半径OA＝15弦DE⊥AB点COC：BC＝3：2DE长 24 ．
分析连接OD利勾股定理求出CD根垂径定理结．
解析连接OD．
∵OA＝OB＝15OC：BC＝3：2
∴BC＝6OC＝9
∵AB⊥DE
∴CD＝CEOD2OC21529212
∴DE＝2CD＝24
答案：24．
点评题考查垂径定理勾股定理等知识解题关键熟练掌握垂径定理解决问题属中考常考题型．
14．（2021•房山区二模）图AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足点E连结OCOC＝5AE＝2CD＝ 8 ．
分析垂径定理CD＝2CE根OC＝OA＝5AE＝2求出OE长利勾股定理求出CE长．
解析∵AB圆O直径弦CD⊥AB
∴CD＝2CE
∵OC＝5AE＝2
∴OA＝5
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3
∴CEOC2OE252324．
∴CD＝2CE＝8．
答案：8．
点评题考查垂径定理勾股定理根垂径定理出CD＝2CE解答题关键．
15．（2021•丹江口市模）条排水截面图示已知排水半径OA＝2m水面宽AB＝24m某天雨水水面升04m时排水水面宽CD等 32 m．
分析O作OE⊥ABE交ODF连接OC垂径定理AE＝BE12AB＝12（m）CF＝DF12CDRt△OAE中勾股定理OE＝16（m）OF＝OE﹣OF＝12（m）然Rt△OCF中勾股定理求出CF＝16（m）求解．
解析O作OE⊥ABE交ODF连接OC图示：
AE＝BE12AB＝12（m）OF⊥CD
∴CF＝DF12CD
∴OEOA2AE2221．2216（m）
∵水水面升04m
∴OF＝OE﹣OF＝16﹣04＝12（m）
∴CFOC2OF2221．2216（m）
∴CD＝2CF＝32（m）
答案：32．
点评题考查垂径定理应勾股定理等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
16．（2021春•海淀区校级月考）图⊙O半径4点A⊙O点OD⊥弦BC点DOD＝2∠BAC＝ 60° ．
分析连接OB解直角三角形求出∠OCD等腰三角形三角形角定理求∠BOC＝120°圆周角定理出结果．
解析连接OB图示：
∵OD⊥BC
∴∠ODC＝90°
∵OC＝4OD＝2
∴OC＝2OD
∴∠OCD＝30°
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°
∴∠BAC12∠BOC＝60°
答案：60°．
点评题考查圆周角定理解直角三角形等腰三角形性质三角形角定理等知识熟练掌握圆周角定理解题关键．
17．（2020秋•高邮市期末）图篮球放高16cm长方体纸盒中发现篮球部分露出盒截面图示．量EF＝24cm该篮球半径 125 cm．
分析取EF中点M作MN⊥AD点M取MN球心O连接OF设OF＝xOM＝16﹣xMF＝12Rt△MOF中利勾股定理求OF长．
解析EF中点M作MN⊥AD点M取MN球心O连接OF
∵四边形ABCD矩形
∴∠C＝∠D＝90°
∴四边形CDMN矩形
∴MN＝CD＝16cm
设OF＝xcmON＝OF
∴OM＝MN﹣ON＝16﹣xMF＝12cm
直角三角形OMF中OM2+MF2＝OF2
：（16﹣x）2+122＝x2
解：x＝125（cm）
答案：125．
点评题考查垂径定理矩形性质勾股定理应正确作出辅助线构造直角三角形解题关键．
18．（2020秋•盐城期末）图面直角坐标系中⊙O半径55弦AB长4点O做OC⊥AB点C⊙O点D坐标（﹣43）弦AB绕点O时针旋转时点DAB距离值 6 ．
分析连接OB图利垂径定理AC＝BC＝2利勾股定理计算出OC＝11利三角形三边关系OC点D时点DAB距离然计算出OD长点DAB距离值．
解析连接OB图
∵OC⊥AB
∴AC＝BC12AB＝2
Rt△OBC中OCOB2BC2(55)22211
OC点D时点DAB距离
∵OD42+325
∴点DAB距离值11﹣5＝6．
答案6．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查勾股定理．
三解答题（题6题46分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤）
19．（2020秋•鄂州期末）图CD⊙O直径CD⊥AB垂足点FAO⊥BC垂足点EBC＝3．
（1）求AB长
（2）求⊙O半径．
分析（1）连接AC图利垂径定理判断CD垂直分ABCA＝CB＝3理AE垂直分BCAB＝AC＝3
（2）先证明△ABC等边三角形AE分∠BAC∠OAF＝30°然利含30度直角三角形三边关系求出OA．
解析（1）连接AC图
∵CD⊥AB
∴AF＝BFCD垂直分AB
∴CA＝CB＝3
∵AO⊥BC
∴CE＝BEAE垂直分BC
∴AB＝AC＝3
（2）∵AB＝AC＝BC
∴△ABC等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴AE⊥BC
∴AE分∠BAC∠OAF＝30°
Rt△OAF中∵OF33AF33×3232
∴OA＝2OF3
⊙O半径3．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查勾股定理．
20．（2020秋•渝中区期末）图点O圆心两心圆中圆弦AB交圆CD两点．
（1）求证：AC＝BD
（2）连接OAOCOA＝6OC＝4∠OCD＝60°求AC长．
分析（1）O作OH⊥CDH根垂径定理CH＝DHAH＝BH出结
（2）O作OH⊥CDH连接OD垂径定理CH＝DH12CD证△OCD等边三角形CD＝OC＝4CH＝2然勾股定理解决问题．
解答（1）证明：O作OH⊥CDH图1示：
∵OH⊥CD
∴CH＝DHAH＝BH
∴AH﹣CH＝BH﹣DH
∴AC＝BD
（2）解：O作OH⊥CDH连接OD图2示：
CH＝DH12CD
∵OC＝OD∠OCD＝60°
∴△OCD等边三角形
∴CD＝OC＝4
∴CH＝2
∴OHOC2CH2422223
∴AHOA2OH262(23)226
∴AC＝AH﹣CH＝262．
点评题考查垂径定理等边三角形判定性质勾股定理等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
21．（2021•裕华区校级模拟）图示某欲搭建座圆弧型拱桥跨度AB＝32米拱高CD＝8米（CAB中点D弧AB中点）．
（1）求该圆弧圆半径
（2）距离桥端4米处欲立桥墩EF支撑求桥墩高度．
分析（1）设弧AB圆心OD弧AB中点CD⊥ABC延长DCO点设⊙O半径R利勾股定理求出
（2）利垂径定理勾股定理出AO长求出EF长．
解析（1）设弧AB圆心OD弧AB中点CD⊥ABC延长DCO点设⊙O半径R
Rt△OBC中OB2＝OC2+CB2
∴R2＝（R﹣8）2+162
解R＝20
（2）圆弧型中设点F′弧AB作F′E′⊥ABE′
OH⊥F′E′HOH＝CE′＝16﹣4＝12OF′＝R＝20
Rt△OHF′中HF′20212216
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）
∴离桥端4米处桥墩高4米．
点评题考查垂径定理应根题意画出图形结合勾股定理出解题关键．
22．（2020秋•环江县期末）图1点P表示国古代水车盛水筒．图2水车工作时盛水筒运行路径轴心O圆心5m半径圆．⊙O水面截弦AB长8m求水车工作时盛水筒水面深度．
分析O点作半径OD⊥ABE图利垂径定理AE＝BE＝4利勾股定理计算出OE然计算出DE长．
解析O点作半径OD⊥ABE
∴AEBE12AB12×84
Rt△AEO中OEOA2AE252423
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
答：水车工作时盛水桶水面深度2m．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
23．（2020秋•前郭县期末）图破残圆片复制完整已知弧点ABC．
（1）试确定BAC圆圆心O
（2）设△ABC等腰三角形底边BC＝10厘米腰AB＝6厘米求圆片半径R．（结果保留根号）
分析（1）根垂径定理作DO⊥AB．DO必圆心作EO⊥ACEO必圆心DOEO交点必圆心
（2）连接AO．根AB＝ACAO圆心垂径定理推判断AO⊥BC根勾股定理求半径．
解析（1）作DO⊥AB．DO必圆心作EO⊥ACEO必圆心DOEO交点必圆心
（2）
设半径r．连接OABA＝ACAO⊥BC．
：CD12×10＝5AD625211．
根勾股定理（R11）2+52＝R2解R181111．
点评题道实际问题圆相关知识勾股定理结合定开放性作出图形根勾股定理垂径定理解答．
24．（2020秋•江夏区期中）图射线PG分∠EPFO射线PG点O圆心5半径作⊙O分∠EPF两边相交ABCD连接OAOA∥PE．
（1）求证：AP＝AO
（2）弦AB＝8求OP长．
分析（1）∠APO＝∠AOPAP＝AO
（2）O点作OH⊥ABH图根垂径定理AH＝BH＝4利勾股定理计算出OH＝3然Rt△POH中利勾股定理计算OP．
解答（1）证明：∵PG分∠EPF
∴∠DPO＝∠APO
∵OA∥PE
∴∠DPO＝∠AOP
∴∠APO＝∠AOP
∴AP＝AO
（2）解：O点作OH⊥ABH图AH＝BH12AB＝4
Rt△AOH中∵OA＝5AH＝4
∴OH52423
∵AP＝AO＝5
∴PH＝PA+AH＝9
Rt△POH中OP32+92310．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查等腰三角形判定勾股定理．
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专题242垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 分：_________________
注意事项：
试卷满分100分试题24题选择10道填空8道解答6道．答卷前考生务必05毫米黑色签字笔姓名班级等信息填写试卷规定位置．
选择题（题10题题3分30分）题出四选项中项符合题目求．
1．（2021•南岗区模拟）图⊙O直径AB垂直弦CD点PP半径OB中点CD＝6直径AB长（ ）
A．23 B．6 C．43 D．63
分析连接OD设⊙O半径ROP12R根垂径定理求出DP＝CP＝3Rt△OPD中勾股定理出方程R2＝（12R）2+32求出R．
解析连接OD设⊙O半径R
OP12R
∵AB⊥CDCD＝6
∴DP＝CP＝3
Rt△OPD中勾股定理：OD2＝OP2+DP2
R2＝（12R）2+32
解：R＝23（负值舍）
⊙O直径AB＝43
选：C．
点评题考查垂径定理勾股定理应解题关键正确作出辅助线构造直角三角形方程思想．
2．（2021•碑林区校级模拟）图EM圆心OEM⊥CDMCD＝4EM＝6CED圆半径（ ）
A．3 B．4 C．83 D．103
分析连接OC设弧CED圆半径ROC＝ROM＝6﹣R根垂径定理求出CM＝2Rt△OMC中根勾股定理出方程求出．
解析图连接OC
设弧CED圆半径ROC＝ROM＝6﹣R
∵EM圆心OEM⊥CDMCD＝4
∴CM＝DM12CD＝2
Rt△OMC中勾股定理：OC2＝OM2+CM2
R2＝（6﹣R）2+22
解：R103
选：D．
点评题考查勾股定理垂径定理应等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
3．（2021•邛崃市模拟）图AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足H．OH＝3⊙O半径5弦CD长（ ）
A．8 B．4 C．10 D．42
分析连接OC垂径定理CH＝DH勾股定理CH＝4求解．
解析连接OC图示：
∵AB⊙O直径弦CD⊥AB
∴CH＝DH
∵⊙O半径5
∴OC＝5
∴CHOC2OH252324
∴CD＝2CH＝8
选：A．
点评题考查垂径定理勾股定理熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
4．（2021•岳阳县模拟）列说法正确（ ）
A．两条边角应相等两三角形全等
B．分弦直径垂直条弦
C．正方形轴称图形中心称图形
D．组边行组边相等四边形行四边形
分析根全等三角形判定垂径定理正方形性质行四边形判定定理判断．
解析A两条边夹角应相等两三角形全等原命题假命题
B分弦（非直径）直径垂直条弦原命题假命题
C正方形轴称图形中心称图形真命题
D组边行相等四边形行四边形原命题假命题
选：C．
点评题考查命题真假判断正确命题真命题错误命题做假命题．判断命题真假关键熟悉课中性质定理．
5．（2021•松桃县模拟）已知⊙O直径CD＝100cmAB⊙O弦AB⊥CD垂足MAB＝96cmAC长（ ）
A．36cm64cm B．60cm80cm C．80cm D．60cm
分析分两种情况根题意画出图形根垂径定理求出AM长连接OA勾股定理求出OM长进出结．
解析连接ACAO
∵⊙O直径CD＝100cmAB⊥CDAB＝96cm
∴AM12AB12×96＝48（cm）OD＝OC＝50（cm）
图1∵OA＝50cmAM＝48cmCD⊥AB
∴OMOA2AM250248214（cm）
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm）
∴ACAM2+CM2642+48280（cm）
图2理OM＝14cm
∵OC＝50cm
∴MC＝50﹣14＝36（cm）
Rt△AMC中ACAM2+CM260（cm）
综述AC长80cm60cm
选：B．
点评题考查垂径定理勾股定理应根题意画出图形利垂径定理勾股定理求解解答题关键．
6．（2021•武汉模拟）图AB⊙O直径弦CNAB交点DAC＝ADOE⊥CD垂足ECE＝4EDOA＝2DN长（ ）
A．1 B．293 C．233 D．839
分析A点作AF⊥CNN连接ON图根等腰三角形性质CF＝DF根垂径定理CE＝NE设DE＝xCE＝NE＝4xCD＝5xCF＝FD52xEF32x接着OE∥AF根行线分线段成例定理计算出DO43利勾股定理（43）2﹣x2＝22﹣（4x）2然解方程求出xDN长．
解析A点作AF⊥CNN连接ON图
∵AC＝AD
∴CF＝DF
∵OE⊥CN
∴CE＝NE
设DE＝xCE＝NE＝4xCD＝5x
∴CF＝FD52x
∴EF52x﹣x32x
∵OE∥AF
∴DO：OA＝DE：EFDO：2＝x：32x解DO43
Rt△ODE中OE2＝OD2﹣DE2＝（43）2﹣x2
Rt△ONE中OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2
∴（43）2﹣x2＝22﹣（4x）2解x239
∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×239233．
选：C．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查勾股定理行线分线段成例定理．
7．（2021•承德模）图⊙O直径10弦AB长6P弦AB动点线段OP长取值范围（ ）
A．3≤OP≤5 B．4＜OP＜5 C．4≤OP≤5 D．3＜OP＜5
分析连接OA点O作OH⊥ABH根垂径定理求出AH根勾股定理求出OH根垂线段短解答．
解析连接OA点O作OH⊥ABH
AH＝HB12AB＝3
勾股定理OHOA2AH24
点P点A（点B）重合时OP点P点H重合时OP
∴线段OP长取值范围4≤OP≤5
选：C．
点评题考查垂径定理勾股定理掌握垂直弦直径分条弦分弦两条弧解题关键．
8．（2021•海安市模拟）图某球放进盒子截面图球部分露出盒子外已知⊙O交矩形ABCD边AD点EF已知AB＝EF＝2球半径长（ ）
A．32 B．43 C．54 D．65
分析题意⊙OBC相切记切点G作直线OG分交AD劣弧EF点HI连接OF易求FH长设⊙O半径rOH＝2﹣r然Rt△OFH中勾股定理r2﹣（2﹣r）2＝12解方程求答案．
解析题意：⊙OBC相切记切点G作直线OG分交AD劣弧EF点HI连接OF图示：
∵四边形ABCD矩形
∴AD∥BC
∵IG⊥BC
∴IG⊥AD
∴FH12EF＝1
设⊙O半径rOH＝2﹣r
Rt△OFH中勾股定理：r2﹣（2﹣r）2＝12
解：r54
球半径长54
选：C．
点评题考查切线性质垂径定理勾股定理等知识熟练掌握切线性质垂径定理勾股定理解题关键．
9．（2021•广州模拟）图拱桥似作直径250m圆弧桥拱路面间数根钢索垂直相连正方路面AB长度150m钢索中长根长度（ ）
A．50m B．40m C．30m D．25m
分析设圆弧圆心OO作OC⊥ABC交ABD连接OA先垂径定理AC＝BC12AB＝75（m）勾股定理求出OC＝100（m）然求出CD长．
解析设圆弧圆心OO作OC⊥ABC交ABD连接OA图示：
OA＝OD12×250＝125（m）AC＝BC12AB12×150＝75（m）
∴OCOA2AC21252752100（m）
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m）
钢索中长根25m
选：D．
点评题考查垂径定理勾股定理等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
10．（2020秋•吴兴区期末）图△ABC中AB＝10AC＝8BC＝4点A圆心AB半径作圆交BC延长线点DCD长（ ）
A．10 B．9 C．45 D．8
分析A作AE⊥BCERt△ABCRt△ACE中列方程求出12BD答案．
解析A作AE⊥BCE图：
Rt△ABE中AE2+BE2＝AB2
AB＝10BC＝4
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE
Rt△ACE中AE2＝AC2﹣CE2
AC＝8
∴AE2＝64﹣CE2
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2
解CE＝25
∴BE＝65
∴BD＝2BE＝13
∴CD＝9
选：B．
点评题考查垂径定理勾股定理列方程求CE解题关键．
二填空题（题8题题3分24分）请答案直接填写横线
11．（2021春•长沙县月考）图⊙O中弦AB＝16C弦AB中点⊙O半径长10线段OC长 6 ．
分析垂径定理AC＝BC12AB＝8OC⊥AB勾股定理求解．
解析∵弦AB＝16C弦AB中点
∴AC＝BC12AB＝8OC⊥AB
∴∠OCA＝90°
∵⊙O半径长10
∴OA＝10
∴OCOA2AC2102826
答案：6．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧．考查勾股定理．
12．（2021•门头沟区模）图⊙O中ACBCAB＝8半径r＝5DC＝ 2 ．
分析垂径定理OC⊥ABAD＝BD12AB＝4勾股定理求出OD＝3求解．
解析连接OA图示：
∵ACBCAB＝8
∴OC⊥ABAD＝BD12AB＝4
∴∠ADO＝90°
Rt△OAD中勾股定理：ODOA2AD252423
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2
答案：2．
点评题考查垂径定理勾股定理熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
13．（2021•兴化市模拟）图⊙O半径OA＝15弦DE⊥AB点COC：BC＝3：2DE长 24 ．
分析连接OD利勾股定理求出CD根垂径定理结．
解析连接OD．
∵OA＝OB＝15OC：BC＝3：2
∴BC＝6OC＝9
∵AB⊥DE
∴CD＝CEOD2OC21529212
∴DE＝2CD＝24
答案：24．
点评题考查垂径定理勾股定理等知识解题关键熟练掌握垂径定理解决问题属中考常考题型．
14．（2021•房山区二模）图AB⊙O直径弦CD⊥AB垂足点E连结OCOC＝5AE＝2CD＝ 8 ．
分析垂径定理CD＝2CE根OC＝OA＝5AE＝2求出OE长利勾股定理求出CE长．
解析∵AB圆O直径弦CD⊥AB
∴CD＝2CE
∵OC＝5AE＝2
∴OA＝5
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3
∴CEOC2OE252324．
∴CD＝2CE＝8．
答案：8．
点评题考查垂径定理勾股定理根垂径定理出CD＝2CE解答题关键．
15．（2021•丹江口市模）条排水截面图示已知排水半径OA＝2m水面宽AB＝24m某天雨水水面升04m时排水水面宽CD等 32 m．
分析O作OE⊥ABE交ODF连接OC垂径定理AE＝BE12AB＝12（m）CF＝DF12CDRt△OAE中勾股定理OE＝16（m）OF＝OE﹣OF＝12（m）然Rt△OCF中勾股定理求出CF＝16（m）求解．
解析O作OE⊥ABE交ODF连接OC图示：
AE＝BE12AB＝12（m）OF⊥CD
∴CF＝DF12CD
∴OEOA2AE2221．2216（m）
∵水水面升04m
∴OF＝OE﹣OF＝16﹣04＝12（m）
∴CFOC2OF2221．2216（m）
∴CD＝2CF＝32（m）
答案：32．
点评题考查垂径定理应勾股定理等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
16．（2021春•海淀区校级月考）图⊙O半径4点A⊙O点OD⊥弦BC点DOD＝2∠BAC＝ 60° ．
分析连接OB解直角三角形求出∠OCD等腰三角形三角形角定理求∠BOC＝120°圆周角定理出结果．
解析连接OB图示：
∵OD⊥BC
∴∠ODC＝90°
∵OC＝4OD＝2
∴OC＝2OD
∴∠OCD＝30°
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°
∴∠BAC12∠BOC＝60°
答案：60°．
点评题考查圆周角定理解直角三角形等腰三角形性质三角形角定理等知识熟练掌握圆周角定理解题关键．
17．（2020秋•高邮市期末）图篮球放高16cm长方体纸盒中发现篮球部分露出盒截面图示．量EF＝24cm该篮球半径 125 cm．
分析取EF中点M作MN⊥AD点M取MN球心O连接OF设OF＝xOM＝16﹣xMF＝12Rt△MOF中利勾股定理求OF长．
解析EF中点M作MN⊥AD点M取MN球心O连接OF
∵四边形ABCD矩形
∴∠C＝∠D＝90°
∴四边形CDMN矩形
∴MN＝CD＝16cm
设OF＝xcmON＝OF
∴OM＝MN﹣ON＝16﹣xMF＝12cm
直角三角形OMF中OM2+MF2＝OF2
：（16﹣x）2+122＝x2
解：x＝125（cm）
答案：125．
点评题考查垂径定理矩形性质勾股定理应正确作出辅助线构造直角三角形解题关键．
18．（2020秋•盐城期末）图面直角坐标系中⊙O半径55弦AB长4点O做OC⊥AB点C⊙O点D坐标（﹣43）弦AB绕点O时针旋转时点DAB距离值 6 ．
分析连接OB图利垂径定理AC＝BC＝2利勾股定理计算出OC＝11利三角形三边关系OC点D时点DAB距离然计算出OD长点DAB距离值．
解析连接OB图
∵OC⊥AB
∴AC＝BC12AB＝2
Rt△OBC中OCOB2BC2(55)22211
OC点D时点DAB距离
∵OD42+325
∴点DAB距离值11﹣5＝6．
答案6．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查勾股定理．
三解答题（题6题46分．解答时应写出文字说明证明程演算步骤）
19．（2020秋•鄂州期末）图CD⊙O直径CD⊥AB垂足点FAO⊥BC垂足点EBC＝3．
（1）求AB长
（2）求⊙O半径．
分析（1）连接AC图利垂径定理判断CD垂直分ABCA＝CB＝3理AE垂直分BCAB＝AC＝3
（2）先证明△ABC等边三角形AE分∠BAC∠OAF＝30°然利含30度直角三角形三边关系求出OA．
解析（1）连接AC图
∵CD⊥AB
∴AF＝BFCD垂直分AB
∴CA＝CB＝3
∵AO⊥BC
∴CE＝BEAE垂直分BC
∴AB＝AC＝3
（2）∵AB＝AC＝BC
∴△ABC等边三角形
∴∠BAC＝60°
∴AE⊥BC
∴AE分∠BAC∠OAF＝30°
Rt△OAF中∵OF33AF33×3232
∴OA＝2OF3
⊙O半径3．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查勾股定理．
20．（2020秋•渝中区期末）图点O圆心两心圆中圆弦AB交圆CD两点．
（1）求证：AC＝BD
（2）连接OAOCOA＝6OC＝4∠OCD＝60°求AC长．
分析（1）O作OH⊥CDH根垂径定理CH＝DHAH＝BH出结
（2）O作OH⊥CDH连接OD垂径定理CH＝DH12CD证△OCD等边三角形CD＝OC＝4CH＝2然勾股定理解决问题．
解答（1）证明：O作OH⊥CDH图1示：
∵OH⊥CD
∴CH＝DHAH＝BH
∴AH﹣CH＝BH﹣DH
∴AC＝BD
（2）解：O作OH⊥CDH连接OD图2示：
CH＝DH12CD
∵OC＝OD∠OCD＝60°
∴△OCD等边三角形
∴CD＝OC＝4
∴CH＝2
∴OHOC2CH2422223
∴AHOA2OH262(23)226
∴AC＝AH﹣CH＝262．
点评题考查垂径定理等边三角形判定性质勾股定理等知识熟练掌握垂径定理勾股定理解题关键．
21．（2021•裕华区校级模拟）图示某欲搭建座圆弧型拱桥跨度AB＝32米拱高CD＝8米（CAB中点D弧AB中点）．
（1）求该圆弧圆半径
（2）距离桥端4米处欲立桥墩EF支撑求桥墩高度．
分析（1）设弧AB圆心OD弧AB中点CD⊥ABC延长DCO点设⊙O半径R利勾股定理求出
（2）利垂径定理勾股定理出AO长求出EF长．
解析（1）设弧AB圆心OD弧AB中点CD⊥ABC延长DCO点设⊙O半径R
Rt△OBC中OB2＝OC2+CB2
∴R2＝（R﹣8）2+162
解R＝20
（2）圆弧型中设点F′弧AB作F′E′⊥ABE′
OH⊥F′E′HOH＝CE′＝16﹣4＝12OF′＝R＝20
Rt△OHF′中HF′20212216
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米）
∴离桥端4米处桥墩高4米．
点评题考查垂径定理应根题意画出图形结合勾股定理出解题关键．
22．（2020秋•环江县期末）图1点P表示国古代水车盛水筒．图2水车工作时盛水筒运行路径轴心O圆心5m半径圆．⊙O水面截弦AB长8m求水车工作时盛水筒水面深度．
分析O点作半径OD⊥ABE图利垂径定理AE＝BE＝4利勾股定理计算出OE然计算出DE长．
解析O点作半径OD⊥ABE
∴AEBE12AB12×84
Rt△AEO中OEOA2AE252423
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
答：水车工作时盛水桶水面深度2m．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
23．（2020秋•前郭县期末）图破残圆片复制完整已知弧点ABC．
（1）试确定BAC圆圆心O
（2）设△ABC等腰三角形底边BC＝10厘米腰AB＝6厘米求圆片半径R．（结果保留根号）
分析（1）根垂径定理作DO⊥AB．DO必圆心作EO⊥ACEO必圆心DOEO交点必圆心
（2）连接AO．根AB＝ACAO圆心垂径定理推判断AO⊥BC根勾股定理求半径．
解析（1）作DO⊥AB．DO必圆心作EO⊥ACEO必圆心DOEO交点必圆心
（2）
设半径r．连接OABA＝ACAO⊥BC．
：CD12×10＝5AD625211．
根勾股定理（R11）2+52＝R2解R181111．
点评题道实际问题圆相关知识勾股定理结合定开放性作出图形根勾股定理垂径定理解答．
24．（2020秋•江夏区期中）图射线PG分∠EPFO射线PG点O圆心5半径作⊙O分∠EPF两边相交ABCD连接OAOA∥PE．
（1）求证：AP＝AO
（2）弦AB＝8求OP长．
分析（1）∠APO＝∠AOPAP＝AO
（2）O点作OH⊥ABH图根垂径定理AH＝BH＝4利勾股定理计算出OH＝3然Rt△POH中利勾股定理计算OP．
解答（1）证明：∵PG分∠EPF
∴∠DPO＝∠APO
∵OA∥PE
∴∠DPO＝∠AOP
∴∠APO＝∠AOP
∴AP＝AO
（2）解：O点作OH⊥ABH图AH＝BH12AB＝4
Rt△AOH中∵OA＝5AH＝4
∴OH52423
∵AP＝AO＝5
∴PH＝PA+AH＝9
Rt△POH中OP32+92310．
点评题考查垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧．考查等腰三角形判定勾股定理．
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