2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 PDF版—附答案

1
高三学期期中考试联考试卷
考试科目：理科数学 满分：150 分 时间：120 分钟
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
．选择题：题 5 分 60 分．题出四选项中项符合题目求
1 集合 { 1 2 1}M x x     2{ 6 8 0}N x x x    M N  ( )
A（23] B （23） C [14） D （14）
2 已知i 虚数单位 2
6 8
iz i
 
设 z z 轭复数复面 z 应点位( )
A第象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
3 034 2  xx 充分必条件（ ）
A 32  x B 41  x C 31  x D 42  x
4 曲线 2sin(4 )5y x   点横坐标伸长原 2 倍（坐标变）曲线称
轴方程( )
A 3 ( )80 8
kx k Z     B 3 ( )20 2
kx k Z   
C 3 ( )80 8
kx k Z    D 3 ( )80 2
kx k Z    
5 图中4片叶子曲线 2y x 曲线 2y x 围成毎片叶子面积( )
A 1
6
B 3
6
C 1
3
D 2
3
6设等差数列 }{ na 前 n 项 Sn 111 a 664  aa Sn 取值时n 等（ ）
A
．
6 B．7 C．8 D．9
7设四边形 ABCD 行四边形 46  ADAB 点 NM 满足 3MCBM  2NCDN 
NMAM  等 （ ）A．20 B．15 C． 9 D．6
8已知数列 }{ na 中 63 21  aa nnn aaa   12 2019a 等（ ）．
A．3 B． 3 C．6 D． 6
9 函数    sin 2 02f x A x A       
部分图象图示     0f a f b 
 1 2 x x a b    1 2f x f x  1 2 3f x x  （ ）
A．  f x 5 12 12
    
减函数 B．  f x 5 12 12
    
增函数
C．  f x 53 6
  
  
减函数 D．  f x 53 6
  
  
增函数
10 已知定义 函数 ( )f x 满足 ( ) (2 )f x f x  ( )f x 图象关点（30）称
1 2x  时 3( ) 2 log (4 3)f x x x   1609( )2f  ( )
A 4 B4 C 5 D 5
11 函数 3 2( ) 2 ( 0)f x x ax a   62 3
a a  
  
值 a 取值范围( )
A [—40) B ( 4]  C[ 20) D( 2] 
12  x 表示超 x 整数例[3] 3 [12] 1 [ 13] 2   已知数列 na 满足 1 1a 
2
1n n na a a  
1 2 2016
1 1 1[ ]1 1 1a a a
     
( )
A．1 B．2016 C2017 D． 0
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二填空题题 4 题题 5 分 20 分．答案填答题卡相应位置
13已知量

ba 夹角 0120 2a 722  ba
 b

14  )2cos(3
3)24cos(3
1)4cos(0220  2
15正项等数列{ }na 中存两项 ( )m na a m n N  2
116m na a a 7 6 52a a a 
1 25
m n
 值
16 已 知 函 数 ( )f x 定 义 域 (0 ) 导 函 数 ( )f x 满 足 ( )( ) ( ) 1
xf xf x xf x x
  

(0 )x  恒成立 (1) 2f  等式( 1) ( 1) 2x f x x    解集
三．解答题：题 6 题 70 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤
17已知数列{ }na 前 n 项 nS 2
nS n 数列{ }nb 等数列 1 1b  4 8b  ．
（Ⅰ）求数列{ }na { }nb 通项公式
（Ⅱ）数列{ }nc 满足
nn bc a 求数列{ }nc 前 n 项 nT ．
18 ABC 中 a b c 分角 A B C 边满足 cos 2 0cos
B a b
C c
   ．
（Ⅰ）求角C 值
（Ⅱ） 2b  AB 边中线 3CD  求 ABC 面积．
19 图 1 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 90A   6BC D E 分 AC AB
点 2CD BE  O BC 中点 ADE DE 折起图 2 示四棱锥 A BCDE
中 3A O 
(Ⅰ) 证明 A O  面 BCDE (Ⅱ) 求二面角 A CD B  面角余弦值
C O B
D E
A
C
D
O B
E
A
图 1 图 2
20面直角坐标系 xOy 中椭圆  
2 2
2 2 1 0x yC a ba b
    离心率 1
2
点 3(1 )2M 椭圆C
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）已知  20P   20Q 面两定点点 10 直线l 椭圆C 交 A B 两点求四
边形 APBQ 面积值
21已知函数 2( ) 2 cosf x x ax b x   点 ( ( ))2 2f  处切线方程 3
4y  ．
（Ⅰ）求 a b 值讨 ( )f x 0 2
 
  
增减性
（Ⅱ） 1 2( ) ( )f x f x 1 20 x x    求证： 1 2＇( ) 02
x xf   ．
（参考公式： cos cos 2sin sin2 2
         ）
选考题： 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第题记分
22 选修 44坐标系参数方程选讲
直角坐标系 xOy 中曲线 C1 参数方程 

(sin
cos2





ry
rx 参数)坐标原点 O 极点 x 轴
正半轴极轴建立极坐标系曲线 C2 极坐标方程 3)6sin(   曲线 C1 C2 公
点
（Ⅰ）求曲线 C1 极坐标方程
（Ⅱ）知曲线 C1 两点 AB 满足
4
AOB 求 AOB 面积值
23 选修 45等式选讲
已知函数    2 2 3 1f x a x a x   
（Ⅰ） 2a  时求等式   2f x  解集
（Ⅱ）切实数 x   2f x  求实数 a 取值范围3
C
D
O
x
E
A
量法图
y
z
B
参考答案
．选择题 CDAB CACA BCBD
二．填空题 2
9
35 6 0x
三解答题
17 解：（Ⅰ）∵ 数列{ }na 前 n 项 2
nS n
∴ 2n  时 2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n       ． ……………2 分
1n  时 1 1 1a S  满足式
2 1na n  （ *n N ）． ……………4 分
数列{ }nb 等数列设公 q
∵ 1 1b  3
4 1 8b b q  ∴ 2q  ． ……………5 分
∴ 12n
nb  （ *n N ）． ……………7 分
（Ⅱ） 2 1 2 1n
n
n b nc a b     ． ……………9 分
1 2 3n nT c c c c    L
1 2(2 1) (2 1) (2 1)n      L 1 2(2 2 2 )n n    L 2(1 2 )
1 2
n
n 
．
12 2n
nT n   ． ……………12 分
18解：  cos 21 0cos
B a b
C c
  
正弦定理： cos 2sin sin 0cos sin
B A B
C C
   3 分
 cos sin cos 2sin sin 0B C C A B    
 sin 2sin cos 0B C A C   ：sin 2sin cos 0A A C  6 分
ABC 中sin 0A  1cos 2C 
3C  7 分
 2  1
2CD CA CB    9 分
：  2 213 2 2 2 cos604 a a      
2a  4(a   舍 ) 11 分
1 1sin 2 2 sin60 32 2ABCS ab C     
 12 分
19 (Ⅰ) 图 1 中易 3 3 2 2 2OC AC AD  
连结 OD OE OCD 中余弦定理
2 2 2 cos45 5OD OC CD OC CD      …… 1 分
翻折变性知 2 2A D 
2 2 2A O OD A D   A O OD  …… 2 分
理证 A O OE  …… 3 分
OD OE O …… 4 分
A O  面 BCDE …… 5 分
(Ⅱ) 量法 O 点原点建立空间直角坐标系O xyz 图示 …… 6 分
 00 3A  0 30C   1 20D 
 03 3CA   12 3DA  
设   n x y z 面 A CD 法量
0
0
n CA
n DA
    
 
  3 3 0
2 3 0
y z
x y z
  
   
解
3
y x
z x
  
令 1x   1 1 3n   …… 9 分
(Ⅰ) 知  00 3OA  面CDB 法量 …… 11 分
3 15cos 53 5
n OAn OA
n OA
   

  
  …… 12 分
20（1）解：（1）∵ 1
2
c
a
 ∴ 2a c 1 分
椭圆方程
2 2
2 2 14 3
x y
c c
  31 2
 
  
代入 2 2
1 9 14 12c c
  ∴ 2 1c  3 分
∴椭圆方程
2 2
14 3
x y  ． 4 分
（2）设 l 方程 1x my  联立
2 2
14 3
1
x y
x my
  
  4
消 x  2 23 4 6 9 0m y my    设点  1 1A x y  2 2B x y
1 2 2
6
3 4
my y m
  
1 2 2
9
3 4y y m
 
6 分
 22
2
2 2
12 112 11 3 4 3 4
mmAB m m m
   

点 P  20 直线 l 距离 2
3
1 m
点  20Q 直线l 距离 2
1
1 m

四边形 APBQ 面积  2 2
2 22
12 11 4 24 1
2 3 4 3 41
m mS m mm
     
（ 1 2
1
2S PQ y y  ） 8 分
令 21t m  1t 
2
24
3 1
tS t
 
24
13t t

 设函数   13f t t t
    2
1＇ 3 0f t t
    f t  1 单调递增
13 4t t
  2
24 24 613 1 3
tS t t t
    12 分
1t  0m  时四边形 APBQ 面积值 6．
21解：（Ⅰ）题意知 ＇( ) 2 2 sinf x ax b x   ∴
＇( ) 02
3( ) 2 4
f
f

 
 
 
解
1
1
a
b

  
 
2 分
21( ) 2 cosf x x x x   2＇( ) 2 sinf x x x   ．
0 2x   时 ＇( )f x 减函数 ＇( ) 02f   ∴ ＇( ) 0f x  ( )f x 增函数 4 分
（Ⅱ） 1 2( ) ( )f x f x
2 2
1 2
1 1 2 22 cos 2 cosx xx x x x     
1 2 1 2 1 2 1 2
12( ) ( )( ) cos cos 0x x x x x x x x      
两边 1 2x x 1 2
1 2
1 2
cos cos12 ( ) 0x xx x x x
   
6 分

1 2 1 2
1 2
1 2
2sin sin1 2 22 ( ) 0
x x x x
x x x x
 
   

令 1 2
0 2
x xx 
1 2
0
0
1 2
2sin sin2 22 0
x xx
x x x

  

1 2
0
0
1 2
2sin sin2 22
x xx
x x x

  
．8 分
2＇( ) 2 sinxf x x  

1 2 1 2
0
0 0 0 0 0
1 21 2
2sin sin sin2 2 2＇( ) 2 sin sin sin ( 1)
2
x x x xx
f x x x x x x xx x
 
       
10 分

1 2 2 1
1 2 2 1
sin sin2 2
2 2
x x x x
x x x x
 
  2 1 (0 )2 2
x x   易知 2 1 2 10 sin 2 2
x x x x  
1 2
1 2
sin 2 1 0
2
x x
x x

  0 (0 )x  0sin 0x  0＇( ) 0f x  1 2＇( ) 02
x xf   ．12 分
22．解：(1)曲线 2C 极坐标方程 3 1sin( ) sin cos 36 2 2
        
sin cosy x     代入式 2C 直角坐标方程 3 1 32 2y x 
3 6 0x y   曲线 2C 直线． 2 分
曲线 1C 圆心(20) 半径| |r 圆圆 1C 直线 1C 恰公点
| 2 6 || | 22r   3 分
圆 1C 普通方程 2 2 4 0x y x   4 分
2 2 2 cosx y x     代入式 1C 极坐标方程 2 4 cos 0   
4cos  5 分5
(2)题意设  2 1 21 ( ) 0 0 4( ) BA       ）
42(   6 分
1 2
1 2| | sin 4 2 cos cos2 4 4 4MONS OA OB     
      
uur uuur
‖ 7 分
 2 1 cos2 sin 24 cos sin cos 4 2 2
          
2 2 2 cos 2 4
     
8 分
cos 2 14
    
时 AOB 面积值 2 2 2 10 分
23（1） 2a  时等式   2f x  4 1 2x x  
1x  时 34 1 2 5x x x     1x  2 分
0 1x  时 14 1 2 3x x x     1 13 x  3 分
0x  时 14 1 2 5x x x       4 分
综等式   2f x  解集 1 1 5 3
            
5 分
（2）题意  max 2f x 
1x  时    2 2 3 3 2f x a a x a    
0x  时    2 2 3 3 2f x a a x a     
 maxf x 存 2 2 3 0 3 1a a a       7 分
0 1x  时    2 2 3 2 3f a ax x a    
   
  2max
0 2 3 22 1 2
f af x f a
       
求 2 2a   9 分
综实数 a 取值范围 21   10 分

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