数
学
试卷 4 页150 分考试时长 120 分钟考生务必答案答答题纸试卷作答效考
试结束试卷答题纸交回
第部分(选择题 40 分)
选择题 10 题题 4 分 40 分题列出四选项中选出符合题目求项
(1)已知集合 123 456U 135A 23 4B 集合 UABI ð
(A)1356} (B)135} (C)13} (D)15}
(2)抛物线 2 4yx 焦点坐标
(A) (01) (B) (1 0) (C) (0 1 ) (D) ( 10)
(3)列直线圆 22( 1) ( 1) 2xy 相切
(A) yx (B) yx (C) 2yx (D) 2yx
(4)已知 ab RÎ ab>
(A) 11
ab
< (B)sin sinab> (C) 11()()
33
ab< (D) 22ab>
(5) 51()x
x
展开式中 3x 系数
(A) 5 (B)5 (C) 10 (D)10
(6)已知面量 a b c 满足 0a b c | | | | | | 1 a b c ab值
(A) 1
2
(B) 1
2
(C) 3
2
(D) 3
2
(7)已知 三面 mI nI mn∥ ∥
(A)充分必条件 (B)必充分条件
(C)充分必条件 (D)充分必条件
(8)已知等边△ ABC 边长 3 点 D BC 边 BD CD 7AD 列结中错误
(A) 2BD
CD (B) 2ABD
ACD
S
S
(C)cos 2cos
BAD
CAD
(D) sin 2sin
BAD
CAD
(9)声音等级 ()fx(单位:dB)声音强度 x (单位: 2Wm )满足 12( ) 10 lg
1 10
xfx
喷气式飞
机起飞时声音等级约 140dB般说话时声音等级约 60dB喷气式飞机起飞时声音
强度约般说话时声音强度 2
(A) 610 倍 (B) 810 倍 (C) 1010 倍 (D) 1210 倍
(10)点 N 点 M 面a 正投影记 ()N f Ma 图棱长
1 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中记面 11AB C D b 面 ABCD
g 点 P 棱 1CC 动点 ( C 1C 重合)
1 [ ( )]Q f f Pgb 2 [ ( )]Q f f Pbg 出列三结:
①线段 2PQ 长度取值范围 12[)22
②存点 P 1PQ ∥面
③存点 P 12PQ PQ^
中正确结序号
(A)①②③ (B)②③ (C)①③ (D)①②
第二部分(非选择题 110 分)
二填空题 6 题题 5 分 30 分
(11)等差数列 na 中 2 5a 5 2a 7a _________
(12)复数 1i
i
z + ||z _________
(13)已知点 A(0 3) 点 BC 分双曲线
22
2 1
3
xy
a
( 0)a 左右顶点 △ABC 正三角形
该双曲线离心率_________
(14)已知函数 () af x x
x
区间 (14) 存值实数 a 取值范围_________
(15)五 点法 作
函数
( ) sin( )f x A x图象时列表:
( 1)f _________ 1(0) ( )
2
ff _________
(16)已知曲线 C: 4 4 2 2 1x y mx y ( m 常数)
(i)出列结:
①曲线 C 中心称图形
②曲线 C 轴称图形
③ 1m 时点 ()P x y 曲线C | | 1x | | 1y
x 1
4 1
2 5
4 2 11
4
x 0
2
3
2
2
()fx 2
1A 1B
1C1D
AB
CD
P 3
中正确结序号
(ii) 2m 时曲线C 围成区域面积 m 值 (写出
)
三解答题 6 题 80 分解答应写出文字说明演算步骤证明程
(17)(题 13 分)
已知函数 2 1( ) cos 3 sin cos
2
f x x x x
(Ⅰ)求函数 ()fx单调递增区间
(Ⅱ) ()fx区间[0 ]m 值1求 值
(18)(题 13 分)
图三棱锥V ABC 中面VAC 面 ABC △ ABC △
VAC 均等腰直角三角形 AB BC 2AC CVMN 分
VA VB 中点
(Ⅰ)求证: AB 面CMN
(Ⅱ)求证: AB VC
(Ⅲ)求直线VB 面CMN 成角正弦值
(19)(题 13 分)
某市城市总体规划(2016—2035 年)提出 2035 年实现15 分钟社区生活圈全覆盖
目标教育文化医疗养老交通购物休闲健身 4 方面构建 15 分钟社区生活圈
指标体系15 分钟社区生活圈指数高低区划分:优质区(指数 06~1)良
区(指数 04~06)中等区(指数 02~04)改进区(指数 0 ~02)4 等级
面三区 4 方面指标调查数:
区
指标值
权重
A 区
B 区
C 区
教育文化(020) 07 09 01
医疗养老(020) 07 06 03
交通购物(032) 05 07 02
休闲健身(028) 05 06 01
注:区15 分钟社区生活圈指数 1 1 2 2 3 3 4 4T wT w T w T w T 中 1 2 3 4w w w w 该区
四方面权重 1 2 3 4TTTT 该区四方面指标值(区方面指标值 0~1 间
数值)
现 100 区15 分钟社区生活圈指数数整理频数分布表:
NM
V
C
B
A 4
分组 [002) [0204) [0406) [0608) [081]
频数 10 20 30 30 10
(Ⅰ)分判断 ABC 三区否优质区说明理
(Ⅱ) 100 区优质区良区中等区改进区进行分层抽样抽取 10
区进行调查抽取 10 区中机选取 2 区做深入调查记 2 区中优
质区数 ξ求 ξ 分布列数学期
(20)(题 14 分)
已知椭圆
22
221xyC ab( 0)ab 右顶点 20A离心率 3
2
.
(Ⅰ)求椭圆C 方程
(Ⅱ)设O 原点点 直线l 椭圆C 交两点 PQ直线 AP AQ 分直线 4x 交
点 MN.求△ APQ △ AMN 面积值
(21)(题 13 分)
已知函数 2( ) e ( 1) ( 0)xf x ax a
(Ⅰ)求曲线 ()y f x 点(0 (0))f 处切线方程
(Ⅱ)函数 ()fx极值求证: 极值1
(22)(题 14 分)
定整数 ( 2)nn 数列 2 1 1 2 2 1nnA x x xL: 项均整数 21nA 中掉项 kx 剩
数分 成 数 相 两组中组数外组数差值记
km ( 12 2 1)knL 1 2 2 1 nm m m L 中值称数列 21nA 特征值
(Ⅰ)已知数列 5 12333A写出 1 2 3m m m 值 5A 特征值
(Ⅱ) 1 2 2 1nx x x L[ ( 1)][ ( 1)] 0i n j n 中 {12 2 1}i j nL ij 时判
断||ijmm ||ijxx 关系说明理
(Ⅲ)已知数列 21nA 特征值 1n 求
1 2 1
||ij
i j n
xx
值 5
参考答案
数 学
阅卷须知
1评分参考中注分数表示考生正确做步应累加分数
2正确解法参评分标准相应步骤分
选择题:题 10 题题 4 分 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A A B C B D
二填空题题 6 题题 5 分 30 分
题号 11 12 13 14 15 16
答案 0 2 2 (116) 2 0 ① ②③ 2m 均
三解答题 6 题 80 分解答应写出文字说明演算步骤证明程
(17)解:(Ⅰ) 1 cos 2 3 1( ) sin 22 2 2
xf x x
31sin 2 cos 222xx
πsin(2 )6x
sinyx 单调递增区间 π π2 π 2 π ()22k k k
Z
令 π π π22π 2 π ()6 2 2x k k k
Z
π ππ π ()36x k k k
Z
()fx单调递增区间 π ππ π ()36k k k
Z
(Ⅱ)方法 1: [0 ]xm
π π π2 [ 2 ]6 6 6xm
值 1 6
π π2 62m
解 π
6m
m 值 π
6
方法 2:(Ⅰ)知:
仅 π π ()6x k kZ 时 ()fx取值 1
()fx区间[0 ]m 值1
值
(18)解:(Ⅰ)△VAB 中MN 分 VAVB 中点
MN 中位线
MN AB
AB 面CMN MN 面
AB 面CMN
(Ⅱ)等腰直角三角形△VAC 中 AC CV
VC AC
面VAC 面 ABC 面VAC I 面
ABC AC VC 面VAC
VC 面
AB 面 ABC
AB VC
(Ⅲ)面 ABC 点 C 做CH 垂直 AC
(Ⅱ)知 面
CH 面
VC CH
图C 原点建立空间直角坐标系C xyz
(000)C(002)V(110)B(101)M 11( 1)22N
(11 2)VB
uur
(101)CM
uuuur
11( 1)22CN
uuur
A
B
C
V
M
N
H
y
x
z 7
设面CMN 法量 ()x y zn
0
0
CM
CN
uuuur
uuur
n
n
0
11 022
xz
x y z
令 1x 1y 1z
(11 1)n
直线VB 面CMN 成角
22sin | cos | 3| || |
VBVB
VB
uuruur
uurnn
n
直线VB 面CMN 成角正弦值 22
3
(19)解:(Ⅰ)方法 1
A 区指数 07 02 07 02 05 032 05 028 058T
058 060 A 区优质区
B 区指数 09 02 06 02 07 032 06 028 0692T
0692 060 B 区优质区
C 区指数 01 02 03 02 02 032 01 028 0172T
0172 060 C 区优质区
方法 2
A 区指数
A 区优质区
B 区指数 09 02 06 02 07 032 06 028T
06 02 06 02 06 032 06 028 06
B 区优质区
C 区指数 01 02 03 02 02 032 01 028T
06 02 06 02 06 032 06 028 06
C 区优质区
( ABC 区做说明时必须出现 06 较说明项中结 1 分计算说
明理 1 分) 8
(Ⅱ)题意抽取 10 区中优质区 30 1010 4100
区10 4 6
题意 ξ 取值 012
2
6
2
10
C 15 1( 0) C 45 3P
11
46
2
10
CC 24 8( 1) C 45 15P
2
4
2
10
C 62( 2) C 45 15P
分布列:
0 1 2
P 1
3
8
15
2
15
1 8 2 40 1 23 15 15 5E
(20)解:(Ⅰ)解:题意
2 2 2 ( 0)
2
3 2
ab
a
c
a
c a b
解 2
1
a
b
椭圆 C 方程
2
2 14
x y
(Ⅱ)设点 00()Q x y 题意点 P 坐标 00()xy
满足
2
20
0 14
x y( 022x 0 0y )
直线QA方程 0
0
( 2)2
yyxx
令 4x 0
0
2
2
yy x
0
0
2(4 )2
yN x
直线 PA 方程 0
0
( 2)2
yyxx
理 0
0
2(4 )2
yM x 9
设 B 4x x 轴交点
11| | | | | | | |22APQ AMN P Q M NS S OA y y AB y y
00
0
00
2211 2 | 2 | 2 | |2 2 2 2
yyy xx
00
00
112 | | 2 | | | |22yyxx
002
0
42 | | 2 | | | |4yyx
22
0044xy 0 0y
002
0
12| | 2 | |APQ AMNS S y y y 0
0
22| | 4||y y
仅 0 1y 取等号 APQ AMNSS 值 4
(21)解:(Ⅰ)已知 2( ) e ( 2 1)xf x ax ax
(0) 1f (0) 1f ¢
直线l 方程 1yx+
(Ⅱ)( i)01a< 时 222 1 ( 1) 1 0ax ax a x a
2( ) e ( 2 1) 0xf x ax ax (仅 1a 1x 时等号成立)
()fx R 单调递增函数
极值
(ii) 1a > 时元二次方程 2 2 1 0ax ax 判式 4 ( 1) 0aa
记 12xx方程两根妨设 12xx
12
12
2 0
1 0
xx
xx a
120xx
时 ()fx x 变化:
x 1()x 1x 12()xx 2x 2()x + 10
()fx + 0 0 +
()fx ↗ 极值 ↘ 极值 ↗
极值 2()fx
2[ 0]x 单调递增
2( ) (0) 1f x f<
极值1
22 解:(Ⅰ)题知:
1 (3 3) (2 3) 1m
2 (3 3) (3 1) 2m
3 3m
5A 特征值 1
(Ⅱ)| | ijmm ||ijxx
理:
[ ( 1)][ ( 1)] 0i n j n 分列两种情况讨:
○1 {12 1}i j nL 时
根定义知:
2 1 2 2 1 1()()i n n n n n im x x x x x x x LL
2 1 2 2 1 1 ( ) ( )n n n n n ix x x x x x x LL
理: 2 1 2 2 1 1( ) ( )j n n n n n jm x x x x x x x LL
i j i jm m x x
| | | |i j i jm m x x
○2 { 1 2 2 1}i j n n n L 时○1 理:
2 1 2 1 1 1()()i n n n i n nm x x x x x x x LL
2 1 2 1 1 1 ( ) ( )n n n n n ix x x x x x x LL 11
2 1 2 1 1 1( ) ( )j n n n n n jm x x x x x x x LL
i j j im m x x
| | | |i j i jm m x x
综:| | ijmm ||ijxx
(Ⅲ)妨设 1 2 2 1nx x x L
1 2 1
||ij
i j n
xx
2 1 2 2 1 12 (2 2) 2 0 2 2n n n n nnx n x x x x nx LL
2 1 1 2 2 22( )(22)( ) 2( )n n n nn x x n x x x x L
显然 2 1 1 2 2 2n n n nx x x x x x L
2 1 2 2 1 1()n n n n nx x x x x x LL
1 2 1 2 2 1()()n n n nx x x x x m LL
仅 1 2 1nnxx 时取等号
2 2 1 2 3 1 1()()n n nx x x x x m LL
仅 11nxx 时取等号
(Ⅱ)知 1 2 1 nmm 较值 1n
2 1 2 2 1 1( ) 1n n n n nx x x x x x n LL
仅 1 1 2 1nnx x x 时取等号
时数列 21nA 常数列特征值 0符合题意必
2 1 2 2 1 1()n n n n nx x x x x x n LL
证: 0pq 2 kn总(2 2 ) ( 1)( )n k p kq n p q
证明:(2 2 ) ( 1)( )n k p kq n p q
( 1 ) ( 1 )n k p n k q 12
( 1 )( )n k p q 0
(2 2 ) ( 1)( )n k p kq n p q
1 2 1
||ij
i j n
xx
2 1 1 2 2 22( )(22)( ) 2( )n n n nn x x n x x x x L
2 1 2 2 1 1( 1)( )n n n n nn x x x x x x LL
( 1)nn
0 1
1 1 2 1k
knx n k n
时
取值 ( 1)nn 符合题意
1 2 1
||ij
i j n
xx
值
《香当网》用户分享的内容,不代表《香当网》观点或立场,请自行判断内容的真实性和可靠性!
该内容是文档的文本内容,更好的格式请下载文档