高考数学诊试卷(理科)
题号 二 三 总分
分
选择题(题 12 题 600 分)
1 设集合 A{x|1<x≤2}B{10123} A∩B( )
A {1012} B {012}
C {01} D {x|1<x≤2 x3}
2 量 (42) (6k) ∥ 充条件( )
A k12 B k12 C k3 D k3
3 30 名运动员 6 名教练员中分层抽样方法抽取 n 参加新闻发布会
抽取 n 中教练员 1 n( )
A 5 B 6 C 7 D 8
4 知直线 abl面 αβ列结中正确( )
A a⊂αb⊂αl⊥al⊥b l⊥α
B a⊂αb∥a b∥α
C α⊥βa⊂α a⊥β
D α∥βl⊥α l⊥β
5 a0302blog012c0301 abc 关系( )
A c>a>b B b>a>c C a>c>b D b>c>a
6 二次项 展开式中常数项( )
A 5 B 10 C 15 D 20
7 已知直线 yx+3 圆 x2+y22x2y0 相交 AB 两点|AB|( )
A B C D 2
8 斗拱中国古典建筑富装饰性构件中国特图图二斗拱实
物图图三斗拱构件斗体图中斗棱台长方体形凹
槽(长方体掉长方体)组成.棱台两底面面积分 400cm2900cm2
高 9cm长方体形凹槽体积 4300cm3斗密度 070gcm3.斗
质量( )注:台体体积公式 .
A 3990g B 3010g C 7000g D 6300g 第 2 页 14 页
9 实数 xy 满足 2xy 值( )
A 2 B 0 C 7 D 9
10 已知函数 区间(0+∞)增函数实数 a 取值范
围( )
A [01] B [0+∞) C (1+∞) D (11)
11 已知 A 双曲线 D: 右支点BC 分双曲线 D 左右焦点.记
△ABC 角 ABC|AC|8 时 ( )
A 1 B C D 2
12 抛物线 C:y24x 焦点直线交该抛物线 C 点 AB
抛物线 C 准线交点 P图示 值
( )
A 8
B 12
C 16
D 18
二填空题(题 4 题 200 分)
13 知机变量 y x 相关关系 x3 时y 预报值______.
14 复数 实部______.
15 已知函数 f(x)2sin(ωx+φ) 图象相邻两条称轴距离
______.
16 f(x)定义域 R 偶函数∀x∈R f(x+4)f(x) 0≤x≤2 时
______.
三解答题(题 7 题 840 分)
17 图四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 正方形PD⊥底面 ABCD点 E PC
中点.
(1)求证:PA∥面 EDB
(2) PDAD2求二面角 CEDB 余弦值. 第 3 页 14 页
18 国已进入新时代中国特色社会义时期民生活水断提高某市机统计
城区干户市民十月均生活支出九月均生活支出增加量(记 P 元)情
况根统计数制成频率分布直方图.
(1)根频率分布直方图估算 P 均值
(2)视样中频率概率现该市住户中机抽取 3 次次抽取 1 户
次抽取相互独立设 ξ 抽出 3 户中 P 值低 65 元户数求 ξξ 分布列
期 E(ξ).
19 知数列{an}满足 a11.
(1)求证:数列 等数列:
(2)求数列{an}前 n 项 Sn.
第 4 页 14 页
20 已知椭圆 C: 点 F1(c0)F2(c0)(c
>0)焦点椭圆 C 离心率 .
(1)求实数 c 值
(2)左焦点 F1 直线 l 椭圆 C 相交 BD 两点O 坐标原点问椭圆 C
否存点 P线段 BD 线段 OP 相互分?存求出点 P 坐标
存说明理.
21 已知 f(x)(xm)ex.
(1) m2 时求函数 f(x)点(0f(0))处切线方程
(2)函数 f(x)区间(10)极值点总存实数 m函数 f(x)
极值 互相反数求实数 a 取值范围.
22 新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中众群众
脸贴着颗红心表达祖国热爱
情.数学中种方程表示心型曲线
中著名笛卡尔心型曲线.图直角坐标
系中原点 O 极点x 轴正半轴极轴建立极
坐标系.图中曲线笛卡尔心型曲线极坐
标方程 ρ1sinθ(p1sinθρ>0)M 该曲
线意点.
(1) 时求 M 点极坐标
(2)射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 该曲线相交点 N求|MN|值.
第 5 页 14 页
23 知函数 f(x)|x+1|+2|x1|.
(1)求等式 f(x)>x+5 解集
(2)|x1x2|>1求证:f(x1+x2)+f(2x1)>3.
第 6 页 14 页
答案解析
1答案B
解析解:∵A{x|1<x≤2}B{10123}
∴A∩B{012}.
选:B.
进行交集运算.
题考查描述法列举法定义交集运算考查计算力属基础题.
2答案D
解析解:量 (x1y1)量 (x2y2)行充条件:x1y2x2y1
量 (42) (6k)
∥ 充条件:4k2×6
k3
选:D.
根充分条件必条件定义分进行判断.
题考查充分条件必条件判断根充分条件必条件定义解决题
关键.
3答案B
解析解: 30 名运动员 6 名教练员中分层抽样方法抽取 n 参加新闻发
布会
抽取 n 中教练员 1
求 n6
选:B.
题意利分层抽样定义求出 n 值.
题考查分层抽样定义方法属基础题.
4答案D
解析解:A 错直线垂直面两条相交直线垂直面缺少条件直线 ab 相
交
B 错面外条直线行面条直线行面缺少条件 b⊈ α
C 错两面垂直面直线行相交垂直外面.
D 直线垂直两行面中垂直外面.
选:D.
通立体定义定理解判断错.
题考查立体知识点理解属基础题.
5答案A
解析解:∵y03x 单调递减函数
∴0<a0302<0301c<0301
blog012<log0110
∴abc 关系 b<a<c. 第 7 页 14 页
选:A.
利指数函数数函数单调性直接求解.
题考查三数判断考查指数函数数函数单调性等基础知识考查运
算求解力基础题.
6答案D
解析解:利二次项定理通项公式求二次项 展开式通项公式
令 62r0求 r 3常数项
选:D.
题意利二次项定理通项公式求展开式中常数项.
题考查二项式定理应二项展开式通项公式二项式系数性质属基
础题.
7答案C
解析解: x2+y22x2y0(x1)2+(y1)22.
∴圆 x2+y22x2y0 圆心坐标(11)半径 .
圆心直线 x+y30 距离 d
∴|AB| .
选:C.
圆方程求出圆心坐标半径求出圆心直线距离垂径定理求弦长.
题考查直线圆位置关系应训练利垂径定理求弦长基础题.
8答案C
解析解:题意 长方体形凹
槽体积 4300
斗体积 10000cm3
∴质量 10000×077000g.
选:C.
题意求出斗体积利 mρV 求解.
题考查台体体积计算时跨学科考查质量密度体积间关系考
查运算求解力基础题.
9答案D
解析解:实数 xy 满足
行域图示:
联立 解 A(41).
化目标函数 z2xy y2xz
图知直线 y2xz A 时 第 8 页 14 页
直线 y 轴截距z 值 2×4+19.
选:D.
约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式数形结合优解联立
方程组求优解坐标代入目标函数答案.
题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题.
10答案B
解析解:∵函数 区间(0+∞)增函数
∴f'(x)≥0 区间(0+∞)恒成立
∴ax+2a+ ≥0 区间(0+∞)恒成立
∴a 区间(0+∞)恒成立
∵yx2+2x 区间(0+∞)单调递增∴x2+2x>0
∴ <0
∴a≥0
选:B.
函数 区间(0+∞)增函数转化 f'(x)≥0 区间(0
+∞)恒成立分离参数法转化求 值 <0 a≥0.
题考查利导数研究函数单调性中档题.
11答案A
解析解:A 双曲线 D: 右支点BC 分双曲线 D 左右焦
点.
B(60)C(60)|BC|12
|AC|8|AB|2a+|AC|2+810
△ABC 中cosB
2•• 1
选:A.
求双曲线焦点坐标运双曲线定义|AB|△ABC 中运正弦定理余
弦定理结合二倍角正弦公式计算求值.
题考查双曲线定义方程性质三角形正弦定理余弦定理运二倍
角正弦公式考查化简运算力属中档题.
12答案A
解析解:抛物线 C:y24x 焦点(10)
设直线 PB 方程:yk(x1)A(x1y1)B(x2y2)
联立直线 PB 抛物线方程
k2x2(2k2+4)x+k20
x1+x2 x1x21y1y22 第 9 页 14 页
y1+y2k(x11)+k(x21)k(x1+x2)2kk 2k
P(0k)
(x1y1+k)•(x2y2+k)x1x2+y1y2+k(y1+y2)+k2
+(2)+k× +k2k2+ +4≥2 8(仅 k2 k 时取)
值 8
选:A.
物线 C:y24x 焦点(10)设直线 PB 方程:yk(x1)A(x1y1)B(x2y2)
联立直线 PB 抛物线方程 k2x2(2k2+4)x+k20韦达定理 x1+x2 x1x21
y1y22y1+y2k(x11)+k(x21)k(x1+x2)2kk 2k 坐标表示
求值.
题考查直线抛物线相交问题量属中档题.
13答案7
解析解:∵机变量 y x 相关关系
∴x3 时y 预报值 2×3+17.
答案:7.
直接线性回方程中取 x2 求 y 值.
题考查线性回方程基础计算题.
14答案
解析解:∵
∴复数 实部 .
答案: .
直接利复数代数形式运算化简答案.
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题.
15答案
解析解:∵函数 f(x)图象相邻两条称轴距离
∴ Tπ π
ω2
f(x)2sin(2x+φ)
∵ 第 10 页 14 页
∴ 2sin( +φ)
sin( +φ)1
∵0<φ<
∴ +φ
φ
f(x)2sin(2x+ )
2sin(2× + )2sin( + )2(sin cos +cos sin )2( × + × )
答案:
根条件先求出函数周期 ω结合条件建立方程求出 φ然代入计算.
题考查三角函数值计算结合条件建立方程关系求出 ω φ 值解决题
关键.较基础.
16答案
解析解:根题意f(x)定义域 R 偶函数∀x∈R f(x+4)f(x)
f(x+4)f(x)函数 f(x)周期 4 周期函数
f()f()f(4+ )f()f(21)f(1+4×5)f(1)
0≤x≤2 时
f() 1f(1)1
f()+f(1)(1)+1
答案: .
根题意分析 f(x+4)f(x)函数 f(x)周期 4 周期函数进
f()f()f()f(21)f(1)结合函数解析式计算 f()f(1)
值相加答案.
题考查函数奇偶性周期性综合应注意分析函数周期属基础题.
17答案解:(1)证明:连接 AC BD 相
交 F连接 EF.
∵底面 ABCD 正方形
∴F AC 中点
E PC 中点
∴EF∥PA
∵PA⊄ 面 EDBEF⊂面 EDB
∴PA∥面 EDB.
(2) D 原点 分 xyz第 11 页 14 页
轴正方建立空间直角坐标系 Dxyz
∵|PD||AD|2
∴D(000)E(011)B(220)
取面CED法量 设面EDB法量
妨令 z1解 x1y1
∴
∴二面角 CEDB 余弦值 .
解析(1)需证明 EF∥PA .
(2)建立空间直角坐标系求出两面法量利量公式求解.
题考查线面行判定利空间量求解二面角余弦值考查逻辑推理力运
算求解力属基础题.
18答案解:(1) (30×0014+40×0026+50×0036+60×0014+70×001)×1048
(2)已知三次机抽取 3 次独立重复试验次抽取十月均生活支出增
加低 65 元概率 01
ξ~B(301) .∴P(ξ0)0729
P(ξ1)0243P(ξ2)0027P(ξ3)0001.
ξ 分布列
ξ 0 1 2 3
P 0729 0243 0027 0001
∴E(ξ)3×0103.
解析(1)利频率分布直方图直接估算 P 均值
(2)三次机抽取 3 次独立重复试验推出 ξ~B(301)然求解分布列求
出期.
题考查频率分布直方图应中频率频数÷样容量矩形高×组矩处
理利频率分布直方图问题关键.独立重复实验概率期求法考查分析问题
解决问题力.
19答案解:(1)
两边 n(n+1)
∴ . 第 12 页 14 页
∵ ∴
∴
∴数列 2 首项2 公等数列.
(2)(1) ∴
n•2n(1+2+3+…+n) .
令 +(n1)
•2n+n•2n+1
∴
∴ .
前 n 项 Sn(n1)•2n+1+2.
解析(1)已知等式两边 n(n+1)结合等数列定义证
(2)求 数列分组求错位相减法求结合等差数列等
数列求公式化简变形求.
题考查等数列定义通项公式求公式运考查数列分组求错位相
减法求考查化简变形力运算力属中档题.
20答案解:(1)∵椭圆方程 (a>b>0).
已知椭圆 C 点 ∴ .
∵F1(c0)F2(c0)(c>0)椭圆 C 焦点
椭圆 C 离心率 ∴ c2a2b2.
解 b1∴c1.
(2)(1)椭圆 C 方程 F1(10).
假设存点 P 满足题意 BD OP 相交点 Q(x0y0).
直线 l x 轴重合时满足题意.
设直线 l 方程 xty1A(x1y1)B(x2y2).
联立 (2+t2)y22ty10∴ .
x0y0 代入 . 第 13 页 14 页
解 ∴
存 P 线段 BD OP 相互分坐标 .
解析(1)点 椭圆 .结合离心率 c2a2b2.求解
.
(2)设直线 l 方程 xty1A(x1y1)B(x2y2).联立 结合韦达
定理通线段 BD 线段 OP 相互分推出关系式求解坐标.
题考查椭圆简单性质直线椭圆位置关系综合应考查转化思想计
算力难题.
21答案解:(1)f'(x)[x(m1)]ex.
m2 时f(x)(x2)exf'(x)(x1)ex.
∴f(0)2f'(0)1
函数 f(x)点(0f(0))处切线方程 y+2(x0) x+y+20.
(2)f'(x)[x(m1)]ex x∈(∞m1)时f'(x)<0x∈(m1+∞)时f'
(x)>0
∴函数 f(x)区间(∞m1)单调递减区间(m1+∞)单调递增
函数 f(x)极值点 m1.
已知1<m1<0
∴0<m<1
区间(01)存 m .
∴ (0<m<1).
设 .
∴ 0<m<1 时
∴函数 g(m)区间(01)递增
∴ 0<m<1 时g(0)<g(m)<g(1)
∴
实数 a 取值范围 .
解析(1)m2 代入求导求出函数 x0 处切线斜率求 f(0)值
点斜式求出 x0 处切线方程
(2)令导数等零解出方程根极值点求出极值题意函数 f
(x)极值 互相反数 a 取值范围.
考查导数求某点切线方程导数研究函数极值属中档题.
22答案解:(1)设点 M 极坐标系中坐标 第 14 页 14 页
ρ1sinθ
∵0≤θ<2π
∴
点 M 极坐标
(1)题意设 M(ρ1θ) .
ρ1sinθ ρ11sinθ.
时|MN|值 .
解析(1)直接利转换关系参数方程极坐标方程直角坐标方程间进行转
换.
(2)利极径应三角函数关系式变换应求出结果.
题考察知识点:三角函数关系式恒等变换参数方程极坐标方程直角坐标方程
间转换考查学生运算力转换力思维力属基础题型.
23答案解:(1)解:f(x)|x+1|+2|x1|
x≤1 时 f(x)>x+53x+1>x+5解 x<1
1<x<1 时 f(x)>x+5x+3>x+5时解
x≥1 时 f(x)>x+5 3x1>x+5解 x>3
综述f(x)>x+5 解集(∞1)∪(3+∞).
(2)证明:∵|x1x2|>1
∴f(x1+x2)+f(2x1)|x1+x2+1|+2|x1+x21|+|2x2+1|+2|2x21|≥|(x1+x2+1)(2x2+1)|+2|
(x1+x21)(2x21)3|x1x2|>3
原命题成立.
解析(1)绝值等式分段讨求出
(2)利绝值等式性质转化 3|x1x2|求出.
考查零点分段法求绝值等式绝值等式性质应中档题.
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