高中理科高考数学试卷
（含答案试题解析）
选择题（8题题5分满分40分）
1．（5分）复面复数zi（1+2i）应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知量（10）（01）k+（k∈R）﹣果∥（ ）
A．k1cd B．k1cd反
C．k﹣1cd D．k﹣1cd反
3．（5分）函数ylg图象需函数ylg x图象点（ ）
A．左移3单位长度移1单位长度
B．右移3单位长度移1单位长度
C．左移3单位长度移1单位长度
D．右移3单位长度移1单位长度
4．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面边长1AB1底面ABCD成60°角A1C1底面ABCD距离（ ）
A． B．1 C． D．
5．（5分）α+2kπ（k∈Z）cos2α（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
6．（5分）（1+）5a+b（ab理数）a+b（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
7．（5分）0910数字组成没重复数字三位偶数数（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
8．（5分）点P直线l：yx﹣1存P直线交抛物线yx2AB两点|PA||AB|称点P点列结中正确（ ）
A．直线l点点
B．直线l仅限点点
C．直线l点点
D．直线l穷点（点点）点
二填空题（6题题5分满分30分）
9．（5分） ．
10．（5分）实数xy满足sy﹣x值 ．
11．（5分）设f（x）偶函数曲线yf（x）点（1f（1））处切线斜率1该曲线（﹣1f（﹣1））处切线斜率 ．
12．（5分）椭圆+1焦点F1F2点P椭圆|PF1|4|PF2| ∠F1PF2 ．
13．（5分）函数等式解集 ．
14．（5分）{an}满足：a4n﹣31a4n﹣10a2nann∈N*a2009 a2014 ．
三解答题（6题满分80分）
15．（13分）△ABC中角ABC边分．
（Ⅰ）求sinC值
（Ⅱ）求△ABC面积．
16．（14分）图三棱锥P﹣ABC中PA⊥底面ABCPAAB∠ABC60°∠BCA90°点DE分棱PBPCDE∥BC．
（1）求证：BC⊥面PAC
（2）DPB中点时求AD面PAC成角正弦值
（3）否存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角？说明理．
17．（13分）某学生学路4路口假设路口否遇红灯相互独立遇红灯概率遇红灯时停留时间2min．
（Ⅰ）求名学生学路第三路口时首次遇红灯概率
（Ⅱ）求名学生学路遇红灯停留总时间ξ分布列期．
18．（13分）设函数f（x）xekx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）函数f（x）区间（﹣11）单调递增求k取值范围．
19．（14分）已知双曲线C：1（a＞0b＞0）离心率右准线方程x
（I）求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线l圆O：x2+y22动点P（x0y0）（x0y0≠0）处切线l双曲线C交两点AB证明∠AOB定值．
20．（13分）已知数集A{a1a2…an}（1≤a1＜a2＜…ann≥2）具性质P意ij（1≤i≤j≤n）aiaj两数中少属A．
（I）分判断数集{134}{1236}否具性质P说明理
（Ⅱ）证明：a11
（Ⅲ）证明：n5时a1a2a3a4a5成等数列．
高中高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题（8题题5分满分40分）
1．（5分）（2009北京）复面复数zi（1+2i）应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析项式法运算法展开化简a+bi（ab∈R）形式确定复数z象限．
解答解：∵zi（1+2i）i+2i﹣2+i
∴复数z应点（﹣21）
选B
2．（5分）（2009北京）已知量（10）（01）k+（k∈R）﹣果∥（ ）
A．k1cd B．k1cd反
C．k﹣1cd D．k﹣1cd反
分析根选项特点检验k1否满足条件检验k﹣1否满足条件选出应选选项．
解答解：∵（10）（01）k1
+（11）﹣（1﹣1）
显然行排AB．
k﹣1﹣+（﹣11）﹣（1﹣1）
∥ 反排C
选 D．
3．（5分）（2009北京）函数ylg图象需函数ylg x图象点（ ）
A．左移3单位长度移1单位长度
B．右移3单位长度移1单位长度
C．左移3单位长度移1单位长度
D．右移3单位长度移1单位长度
分析先根数函数运算法函数进行化简选出答案．
解答解：∵
∴需函数ylgx图象点左移3单位长度移1单位长度
选C．
4．（5分）（2009北京）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面边长1AB1底面ABCD成60°角A1C1底面ABCD距离（ ）
A． B．1 C． D．
分析画出图象利线段关系角三角函数求解．
解答解：题意BB1长度A1C1面ABCD距离
∠B1AB60°BB11×tan60°
选：D．
5．（5分）（2009北京）α+2kπ（k∈Z）cos2α（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
分析题考查三角函数基概念简易逻辑中充条件判断．属基础知识基运算考查．a+2kπ代入cos2a易cos2a成立cos2a时a+2kπ（k∈Z）定成立根充条件定义结．
解答解：a+2kπ（k∈Z）时
cos2acos（4kπ+）cos
反cos2a时
2a2kπ+akπ+（k∈Z）
2a2kπ﹣akπ﹣（k∈Z）
选A．
6．（5分）（2009北京）（1+）5a+b（ab理数）a+b（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
分析利二项式定理求出展开式利组合数公式求出二项式系数化简展开式求出ab求出a+b
解答解析：二项式定理：
（1+）51+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55（）5
1+5+20+20+20+4
41+29
∴a41b29a+b70．
选C
7．（5分）（2009北京）0910数字组成没重复数字三位偶数数（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
分析题分类解尾数2468时位4种选法百位0百位8种位8种写出结果数尾数0时百位9种选法十位8种结果写出结果根分类计数原理结果数．
解答解：题意知题分类解
尾数2468时位4种选法
百位0百位8种十位8种8×8×4256
尾数0时百位9种选法十位8种结果
9×8×172
根分类计数原理知256+72328
选B
8．（5分）（2009北京）点P直线l：yx﹣1存P直线交抛物线yx2AB两点|PA||AB|称点P点列结中正确（ ）
A．直线l点点
B．直线l仅限点点
C．直线l点点
D．直线l穷点（点点）点
分析根题设方程分设出AP坐标进B坐标表示出AB坐标代入抛物线方程联立消y求判式0恒成立推断出方程解进推断出直线l点符合．
解答解：设A（mn）P（xx﹣1）B（2m﹣x2n﹣x+1）
∵AByx2
∴nm22n﹣x+1（2m﹣x）2
消n整理关x方程
x2﹣（4m﹣1 ）x+2m2﹣10
∵△8m2﹣8m+5＞0恒成立
∴方程恒实数解
∴选A．
二填空题（6题题5分满分30分）
9．（5分）（2009北京） ．
分析通式分解原式转化消零子够值．
解答解：
．
答案：．
10．（5分）（2009北京）实数xy满足sy﹣x值 ﹣6 ．
分析①画行域图②目标函数s该直线截距③移目标函数知直线（4﹣2）点时s值．
解答解：画行域图阴影部分令s0作直线l：y﹣x0
移l点A（4﹣2）时s值﹣6
答案﹣6．
11．（5分）（2009北京）设f（x）偶函数曲线yf（x）点（1f（1））处切线斜率1该曲线（﹣1f（﹣1））处切线斜率 ﹣1 ．
分析偶函数关y轴称结合图象根称性解决题．
解答解取f（x）x2﹣1图
易该曲线（﹣1f（﹣1））处切线斜率﹣1．
应填﹣1．
12．（5分）（2009北京）椭圆+1焦点F1F2点P椭圆|PF1|4|PF2| 2 ∠F1PF2 120° ．
分析第问定义法|PF1|+|PF2|6|PF1|4易|PF2|第二问图示：角三角形三边已求余弦定理求解．
解答解：∵|PF1|+|PF2|2a6
∴|PF2|6﹣|PF1|2．
△F1PF2中
cos∠F1PF2
﹣
∴∠F1PF2120°．
答案：2120°
13．（5分）（2009北京）函数等式解集 [﹣31] ．
分析先分段函数定义域选择解析式构造等式分式等式解法绝值等式解法分求解两种结果取集．
解答解：①．
②．
∴等式解集x|﹣3≤x≤1
答案：[﹣31]．
14．（5分）（2009北京）{an}满足：a4n﹣31a4n﹣10a2nann∈N*a2009 1 a2014 0 ．
分析a4n﹣31a4n﹣10a2nan知第项1第二项1第三项0第2009项2009写503×4﹣3第2009项1第2014项等1007项1007252×4﹣1第2014项0．
解答解：∵2009503×4﹣3
∴a20091
∵a2014a1007
1007252×4﹣1
∴a20140
答案：10．
三解答题（6题满分80分）
15．（13分）（2009北京）△ABC中角ABC边分．
（Ⅰ）求sinC值
（Ⅱ）求△ABC面积．
分析（Ⅰ）cosAA锐角利角三角函数间基关系求出sinA值根三角形角定理Cπ﹣﹣A然C值代入sinC利两角差正弦函数公式化简sinAcosA代入求出值
（Ⅱ）求三角形面积根面积公式SabsinC（Ⅰ）知公式里边a知道利正弦定理求出a．
解答解：（Ⅰ）∵ABC△ABC角＞0
∴A锐角
sinA
∴
∴sinCsin（﹣A）cosA+sinA
（Ⅱ）（Ⅰ）知sinAsinC
∵
∴△ABC中正弦定理
∴a
∴△ABC面积SabsinC×××．
16．（14分）（2009北京）图三棱锥P﹣ABC中PA⊥底面ABCPAAB∠ABC60°∠BCA90°点DE分棱PBPCDE∥BC．
（1）求证：BC⊥面PAC
（2）DPB中点时求AD面PAC成角正弦值
（3）否存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角？说明理．
分析（1）欲证BC⊥面PAC根直线面垂直判定定理知需证BC面PAC两相交直线垂直根线面垂直性质知PA⊥BCAC⊥BC满足定理需条件
（2）根DE⊥面PAC垂足点E∠DAEAD面PAC成角．Rt△ADE中求出AD面PAC成角
（3）根DE⊥AEDE⊥PE二面角面角定义知∠AEP二面角A﹣DE﹣P面角PA⊥AC棱PC存点EAE⊥PC存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角．
解答解：（1）∵PA⊥底面ABC∴PA⊥BC．
∠BCA90°∴AC⊥BC∴BC⊥面PAC．
（2）∵DPB中点DE∥BC
∴DEBC．
（1）知BC⊥面PAC
∴DE⊥面PAC垂足点E
∴∠DAEAD面PAC成角．
∵PA⊥底面ABC∴PA⊥AB．
PAAB∴△ABP等腰直角三角形
∴ADAB．
Rt△ABC中∠ABC60°∴BCAB
∴Rt△ADE中sin∠DAE
AD面PAC成角正弦值．
（3）∵DE∥BC（1）知BC⊥面PAC
∴DE⊥面PAC．
∵AE面PACPE面PBC
∴DE⊥AEDE⊥PE
∴∠AEP二面角A﹣DE﹣P面角．
∵PA⊥底面ABC∴PA⊥AC
∴∠PAC90°∴棱PC存点EAE⊥PC．
时∠AEP90°
存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角．
17．（13分）（2009北京）某学生学路4路口假设路口否遇红灯相互独立遇红灯概率遇红灯时停留时间2min．
（Ⅰ）求名学生学路第三路口时首次遇红灯概率
（Ⅱ）求名学生学路遇红灯停留总时间ξ分布列期．
分析（1）题意知路口否遇红灯相互独立名学生第第二路口没遇红灯第三路口遇红灯相互独立事件时发生概率根公式结果．
（2）题意知变量取值根条件知题符合独立重复试验根独立重复试验公式变量分布列算出期．
解答解：（Ⅰ）设名学生学路第三路口时首次遇红灯事件A
∵事件A等事件名学生第第二路口没遇红灯第三路口遇红灯
∴事件A概率
（Ⅱ）题意ξ取值02468（单位：min）
事件ξ2k等价事件该学生路遇k次红灯（k01234）
∴
∴ξ分布列
ξ
0
2
4
6
8
P
∴ξ期
18．（13分）（2009北京）设函数f（x）xekx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）函数f（x）区间（﹣11）单调递增求k取值范围．
分析（I）欲求出切线方程须求出斜率先利导数求出x0处导函数值结合导数意义求出切线斜率．问题解决．
（II）先求出f（x）导数根f′（x）＞0求区间单调增区间f′（x）＜0求区间单调减区间
（III）（Ⅱ）知k＞0仅﹣≤﹣1时函数f（x）（﹣11）单调递增k＜0仅﹣≥1时函数f（x）（﹣11）单调递增求k取值范围．
解答解：（Ⅰ）f′（x）（1+kx）ekxf′（0）1f（0）0
曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程yx
（Ⅱ）f′（x）（1+kx）ekx0x﹣（k≠0）
k＞0x∈（﹣∞﹣）时
f′（x）＜0函数f（x）单调递减
x∈（﹣+∞）时f′（x）＞0
函数f（x）单调递增
k＜0x∈（﹣∞﹣）时
f′（x）＞0函数f（x）单调递增
x∈（﹣+∞）时
f′（x）＜0函数f（x）单调递减
（Ⅲ）（Ⅱ）知k＞0仅﹣≤﹣1
k≤1时函数f（x）（﹣11）单调递增
k＜0仅﹣≥1
k≥﹣1时函数f（x）（﹣11）单调递增
综知函数f（x）（﹣11）单调递增时
k取值范围[﹣10）∪（01]．
19．（14分）（2009北京）已知双曲线C：1（a＞0b＞0）离心率右准线方程x
（I）求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线l圆O：x2+y22动点P（x0y0）（x0y0≠0）处切线l双曲线C交两点AB证明∠AOB定值．
分析（ I）先利条件列出关ac方程解方程求出acb求出双曲线方程．
（II）先求出圆切线方程切线双曲线方程联立求出关点AB坐标间方程代入求出∠AOB余弦值证明∠AOB定值．
解答解：（Ⅰ）题意
解a1c
b2c2﹣a22
∴求双曲C方程．
（Ⅱ）设P（mn）（mn≠0）x2+y22
圆点P（mn）处切线方程y﹣n﹣（x﹣m）
化简mx+ny2．
m2+n22
（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m20
∵切L双曲线C交两点AB0＜m2＜2
3m2﹣4≠0△16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0
设AB两点坐标分（x1y1）（x2y2）
x1+x2x1x2．
∵
x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]
+[4﹣+]
﹣0．
∴∠AOB900．
20．（13分）（2009北京）已知数集A{a1a2…an}（1≤a1＜a2＜…ann≥2）具性质P意ij（1≤i≤j≤n）aiaj两数中少属A．
（I）分判断数集{134}{1236}否具性质P说明理
（Ⅱ）证明：a11
（Ⅲ）证明：n5时a1a2a3a4a5成等数列．
分析（I）根性质P意ij（1≤i≤j≤n）aiaj两数中少属A验证集合集{134}{1236}中两元素积商否该集合中元素
（Ⅱ）性质P知anan＞anananA1∈Aa11．验证∵＜＜…＜＜…++…++a1+a2+…+an命题证
（Ⅲ）（Ⅱ）证明．
解答解：（Ⅰ）3×均属数集{134
∴该数集具性质P．
1×21×31×62×3属数集{1236
∴该数集具性质P．
（Ⅱ）∵A{a1a2…an}具性质P
∴anan中少属A
1≤a1＜a2＜…＜an∴anan＞an
ananA．
1∈Aa11．
∵1a1＜a2＜…ann≥2∴akan＞an（k234…n）
akanA（k234…n）．
A具性质P知∈A（k234…n）．
∵＜＜…＜＜
∴…
++…++a1+a2+…+an
∴
（Ⅲ）（Ⅱ）知n5时
a5a2a4a32
∵1a1＜a2＜…＜a5∴a3a4＞a2a4a5∴a3a4A
A具性质P知∈A．
a2a4a32∈A
1＜∴
∴
a1a2a3a4a5 首项1公a2等数列．
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高中理科高考数学试卷
（含答案试题解析）
选择题（8题题5分满分40分）
1．（5分）复面复数zi（1+2i）应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知量（10）（01）k+（k∈R）﹣果∥（ ）
A．k1cd B．k1cd反
C．k﹣1cd D．k﹣1cd反
3．（5分）函数ylg图象需函数ylg x图象点（ ）
A．左移3单位长度移1单位长度
B．右移3单位长度移1单位长度
C．左移3单位长度移1单位长度
D．右移3单位长度移1单位长度
4．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面边长1AB1底面ABCD成60°角A1C1底面ABCD距离（ ）
A． B．1 C． D．
5．（5分）α+2kπ（k∈Z）cos2α（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
6．（5分）（1+）5a+b（ab理数）a+b（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
7．（5分）0910数字组成没重复数字三位偶数数（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
8．（5分）点P直线l：yx﹣1存P直线交抛物线yx2AB两点|PA||AB|称点P点列结中正确（ ）
A．直线l点点
B．直线l仅限点点
C．直线l点点
D．直线l穷点（点点）点
二填空题（6题题5分满分30分）
9．（5分） ．
10．（5分）实数xy满足sy﹣x值 ．
11．（5分）设f（x）偶函数曲线yf（x）点（1f（1））处切线斜率1该曲线（﹣1f（﹣1））处切线斜率 ．
12．（5分）椭圆+1焦点F1F2点P椭圆|PF1|4|PF2| ∠F1PF2 ．
13．（5分）函数等式解集 ．
14．（5分）{an}满足：a4n﹣31a4n﹣10a2nann∈N*a2009 a2014 ．
三解答题（6题满分80分）
15．（13分）△ABC中角ABC边分．
（Ⅰ）求sinC值
（Ⅱ）求△ABC面积．
16．（14分）图三棱锥P﹣ABC中PA⊥底面ABCPAAB∠ABC60°∠BCA90°点DE分棱PBPCDE∥BC．
（1）求证：BC⊥面PAC
（2）DPB中点时求AD面PAC成角正弦值
（3）否存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角？说明理．
17．（13分）某学生学路4路口假设路口否遇红灯相互独立遇红灯概率遇红灯时停留时间2min．
（Ⅰ）求名学生学路第三路口时首次遇红灯概率
（Ⅱ）求名学生学路遇红灯停留总时间ξ分布列期．
18．（13分）设函数f（x）xekx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）函数f（x）区间（﹣11）单调递增求k取值范围．
19．（14分）已知双曲线C：1（a＞0b＞0）离心率右准线方程x
（I）求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线l圆O：x2+y22动点P（x0y0）（x0y0≠0）处切线l双曲线C交两点AB证明∠AOB定值．
20．（13分）已知数集A{a1a2…an}（1≤a1＜a2＜…ann≥2）具性质P意ij（1≤i≤j≤n）aiaj两数中少属A．
（I）分判断数集{134}{1236}否具性质P说明理
（Ⅱ）证明：a11
（Ⅲ）证明：n5时a1a2a3a4a5成等数列．
高中高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题（8题题5分满分40分）
1．（5分）（2009北京）复面复数zi（1+2i）应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
分析项式法运算法展开化简a+bi（ab∈R）形式确定复数z象限．
解答解：∵zi（1+2i）i+2i﹣2+i
∴复数z应点（﹣21）
选B
2．（5分）（2009北京）已知量（10）（01）k+（k∈R）﹣果∥（ ）
A．k1cd B．k1cd反
C．k﹣1cd D．k﹣1cd反
分析根选项特点检验k1否满足条件检验k﹣1否满足条件选出应选选项．
解答解：∵（10）（01）k1
+（11）﹣（1﹣1）
显然行排AB．
k﹣1﹣+（﹣11）﹣（1﹣1）
∥ 反排C
选 D．
3．（5分）（2009北京）函数ylg图象需函数ylg x图象点（ ）
A．左移3单位长度移1单位长度
B．右移3单位长度移1单位长度
C．左移3单位长度移1单位长度
D．右移3单位长度移1单位长度
分析先根数函数运算法函数进行化简选出答案．
解答解：∵
∴需函数ylgx图象点左移3单位长度移1单位长度
选C．
4．（5分）（2009北京）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面边长1AB1底面ABCD成60°角A1C1底面ABCD距离（ ）
A． B．1 C． D．
分析画出图象利线段关系角三角函数求解．
解答解：题意BB1长度A1C1面ABCD距离
∠B1AB60°BB11×tan60°
选：D．
5．（5分）（2009北京）α+2kπ（k∈Z）cos2α（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充分必条件 D．充分必条件
分析题考查三角函数基概念简易逻辑中充条件判断．属基础知识基运算考查．a+2kπ代入cos2a易cos2a成立cos2a时a+2kπ（k∈Z）定成立根充条件定义结．
解答解：a+2kπ（k∈Z）时
cos2acos（4kπ+）cos
反cos2a时
2a2kπ+akπ+（k∈Z）
2a2kπ﹣akπ﹣（k∈Z）
选A．
6．（5分）（2009北京）（1+）5a+b（ab理数）a+b（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
分析利二项式定理求出展开式利组合数公式求出二项式系数化简展开式求出ab求出a+b
解答解析：二项式定理：
（1+）51+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55（）5
1+5+20+20+20+4
41+29
∴a41b29a+b70．
选C
7．（5分）（2009北京）0910数字组成没重复数字三位偶数数（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
分析题分类解尾数2468时位4种选法百位0百位8种位8种写出结果数尾数0时百位9种选法十位8种结果写出结果根分类计数原理结果数．
解答解：题意知题分类解
尾数2468时位4种选法
百位0百位8种十位8种8×8×4256
尾数0时百位9种选法十位8种结果
9×8×172
根分类计数原理知256+72328
选B
8．（5分）（2009北京）点P直线l：yx﹣1存P直线交抛物线yx2AB两点|PA||AB|称点P点列结中正确（ ）
A．直线l点点
B．直线l仅限点点
C．直线l点点
D．直线l穷点（点点）点
分析根题设方程分设出AP坐标进B坐标表示出AB坐标代入抛物线方程联立消y求判式0恒成立推断出方程解进推断出直线l点符合．
解答解：设A（mn）P（xx﹣1）B（2m﹣x2n﹣x+1）
∵AByx2
∴nm22n﹣x+1（2m﹣x）2
消n整理关x方程
x2﹣（4m﹣1 ）x+2m2﹣10
∵△8m2﹣8m+5＞0恒成立
∴方程恒实数解
∴选A．
二填空题（6题题5分满分30分）
9．（5分）（2009北京） ．
分析通式分解原式转化消零子够值．
解答解：
．
答案：．
10．（5分）（2009北京）实数xy满足sy﹣x值 ﹣6 ．
分析①画行域图②目标函数s该直线截距③移目标函数知直线（4﹣2）点时s值．
解答解：画行域图阴影部分令s0作直线l：y﹣x0
移l点A（4﹣2）时s值﹣6
答案﹣6．
11．（5分）（2009北京）设f（x）偶函数曲线yf（x）点（1f（1））处切线斜率1该曲线（﹣1f（﹣1））处切线斜率 ﹣1 ．
分析偶函数关y轴称结合图象根称性解决题．
解答解取f（x）x2﹣1图
易该曲线（﹣1f（﹣1））处切线斜率﹣1．
应填﹣1．
12．（5分）（2009北京）椭圆+1焦点F1F2点P椭圆|PF1|4|PF2| 2 ∠F1PF2 120° ．
分析第问定义法|PF1|+|PF2|6|PF1|4易|PF2|第二问图示：角三角形三边已求余弦定理求解．
解答解：∵|PF1|+|PF2|2a6
∴|PF2|6﹣|PF1|2．
△F1PF2中
cos∠F1PF2
﹣
∴∠F1PF2120°．
答案：2120°
13．（5分）（2009北京）函数等式解集 [﹣31] ．
分析先分段函数定义域选择解析式构造等式分式等式解法绝值等式解法分求解两种结果取集．
解答解：①．
②．
∴等式解集x|﹣3≤x≤1
答案：[﹣31]．
14．（5分）（2009北京）{an}满足：a4n﹣31a4n﹣10a2nann∈N*a2009 1 a2014 0 ．
分析a4n﹣31a4n﹣10a2nan知第项1第二项1第三项0第2009项2009写503×4﹣3第2009项1第2014项等1007项1007252×4﹣1第2014项0．
解答解：∵2009503×4﹣3
∴a20091
∵a2014a1007
1007252×4﹣1
∴a20140
答案：10．
三解答题（6题满分80分）
15．（13分）（2009北京）△ABC中角ABC边分．
（Ⅰ）求sinC值
（Ⅱ）求△ABC面积．
分析（Ⅰ）cosAA锐角利角三角函数间基关系求出sinA值根三角形角定理Cπ﹣﹣A然C值代入sinC利两角差正弦函数公式化简sinAcosA代入求出值
（Ⅱ）求三角形面积根面积公式SabsinC（Ⅰ）知公式里边a知道利正弦定理求出a．
解答解：（Ⅰ）∵ABC△ABC角＞0
∴A锐角
sinA
∴
∴sinCsin（﹣A）cosA+sinA
（Ⅱ）（Ⅰ）知sinAsinC
∵
∴△ABC中正弦定理
∴a
∴△ABC面积SabsinC×××．
16．（14分）（2009北京）图三棱锥P﹣ABC中PA⊥底面ABCPAAB∠ABC60°∠BCA90°点DE分棱PBPCDE∥BC．
（1）求证：BC⊥面PAC
（2）DPB中点时求AD面PAC成角正弦值
（3）否存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角？说明理．
分析（1）欲证BC⊥面PAC根直线面垂直判定定理知需证BC面PAC两相交直线垂直根线面垂直性质知PA⊥BCAC⊥BC满足定理需条件
（2）根DE⊥面PAC垂足点E∠DAEAD面PAC成角．Rt△ADE中求出AD面PAC成角
（3）根DE⊥AEDE⊥PE二面角面角定义知∠AEP二面角A﹣DE﹣P面角PA⊥AC棱PC存点EAE⊥PC存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角．
解答解：（1）∵PA⊥底面ABC∴PA⊥BC．
∠BCA90°∴AC⊥BC∴BC⊥面PAC．
（2）∵DPB中点DE∥BC
∴DEBC．
（1）知BC⊥面PAC
∴DE⊥面PAC垂足点E
∴∠DAEAD面PAC成角．
∵PA⊥底面ABC∴PA⊥AB．
PAAB∴△ABP等腰直角三角形
∴ADAB．
Rt△ABC中∠ABC60°∴BCAB
∴Rt△ADE中sin∠DAE
AD面PAC成角正弦值．
（3）∵DE∥BC（1）知BC⊥面PAC
∴DE⊥面PAC．
∵AE面PACPE面PBC
∴DE⊥AEDE⊥PE
∴∠AEP二面角A﹣DE﹣P面角．
∵PA⊥底面ABC∴PA⊥AC
∴∠PAC90°∴棱PC存点EAE⊥PC．
时∠AEP90°
存点E二面角A﹣DE﹣P直二面角．
17．（13分）（2009北京）某学生学路4路口假设路口否遇红灯相互独立遇红灯概率遇红灯时停留时间2min．
（Ⅰ）求名学生学路第三路口时首次遇红灯概率
（Ⅱ）求名学生学路遇红灯停留总时间ξ分布列期．
分析（1）题意知路口否遇红灯相互独立名学生第第二路口没遇红灯第三路口遇红灯相互独立事件时发生概率根公式结果．
（2）题意知变量取值根条件知题符合独立重复试验根独立重复试验公式变量分布列算出期．
解答解：（Ⅰ）设名学生学路第三路口时首次遇红灯事件A
∵事件A等事件名学生第第二路口没遇红灯第三路口遇红灯
∴事件A概率
（Ⅱ）题意ξ取值02468（单位：min）
事件ξ2k等价事件该学生路遇k次红灯（k01234）
∴
∴ξ分布列
ξ
0
2
4
6
8
P
∴ξ期
18．（13分）（2009北京）设函数f（x）xekx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）函数f（x）区间（﹣11）单调递增求k取值范围．
分析（I）欲求出切线方程须求出斜率先利导数求出x0处导函数值结合导数意义求出切线斜率．问题解决．
（II）先求出f（x）导数根f′（x）＞0求区间单调增区间f′（x）＜0求区间单调减区间
（III）（Ⅱ）知k＞0仅﹣≤﹣1时函数f（x）（﹣11）单调递增k＜0仅﹣≥1时函数f（x）（﹣11）单调递增求k取值范围．
解答解：（Ⅰ）f′（x）（1+kx）ekxf′（0）1f（0）0
曲线yf（x）点（0f（0））处切线方程yx
（Ⅱ）f′（x）（1+kx）ekx0x﹣（k≠0）
k＞0x∈（﹣∞﹣）时
f′（x）＜0函数f（x）单调递减
x∈（﹣+∞）时f′（x）＞0
函数f（x）单调递增
k＜0x∈（﹣∞﹣）时
f′（x）＞0函数f（x）单调递增
x∈（﹣+∞）时
f′（x）＜0函数f（x）单调递减
（Ⅲ）（Ⅱ）知k＞0仅﹣≤﹣1
k≤1时函数f（x）（﹣11）单调递增
k＜0仅﹣≥1
k≥﹣1时函数f（x）（﹣11）单调递增
综知函数f（x）（﹣11）单调递增时
k取值范围[﹣10）∪（01]．
19．（14分）（2009北京）已知双曲线C：1（a＞0b＞0）离心率右准线方程x
（I）求双曲线C方程
（Ⅱ）设直线l圆O：x2+y22动点P（x0y0）（x0y0≠0）处切线l双曲线C交两点AB证明∠AOB定值．
分析（ I）先利条件列出关ac方程解方程求出acb求出双曲线方程．
（II）先求出圆切线方程切线双曲线方程联立求出关点AB坐标间方程代入求出∠AOB余弦值证明∠AOB定值．
解答解：（Ⅰ）题意
解a1c
b2c2﹣a22
∴求双曲C方程．
（Ⅱ）设P（mn）（mn≠0）x2+y22
圆点P（mn）处切线方程y﹣n﹣（x﹣m）
化简mx+ny2．
m2+n22
（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m20
∵切L双曲线C交两点AB0＜m2＜2
3m2﹣4≠0△16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0
设AB两点坐标分（x1y1）（x2y2）
x1+x2x1x2．
∵
x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]
+[4﹣+]
﹣0．
∴∠AOB900．
20．（13分）（2009北京）已知数集A{a1a2…an}（1≤a1＜a2＜…ann≥2）具性质P意ij（1≤i≤j≤n）aiaj两数中少属A．
（I）分判断数集{134}{1236}否具性质P说明理
（Ⅱ）证明：a11
（Ⅲ）证明：n5时a1a2a3a4a5成等数列．
分析（I）根性质P意ij（1≤i≤j≤n）aiaj两数中少属A验证集合集{134}{1236}中两元素积商否该集合中元素
（Ⅱ）性质P知anan＞anananA1∈Aa11．验证∵＜＜…＜＜…++…++a1+a2+…+an命题证
（Ⅲ）（Ⅱ）证明．
解答解：（Ⅰ）3×均属数集{134
∴该数集具性质P．
1×21×31×62×3属数集{1236
∴该数集具性质P．
（Ⅱ）∵A{a1a2…an}具性质P
∴anan中少属A
1≤a1＜a2＜…＜an∴anan＞an
ananA．
1∈Aa11．
∵1a1＜a2＜…ann≥2∴akan＞an（k234…n）
akanA（k234…n）．
A具性质P知∈A（k234…n）．
∵＜＜…＜＜
∴…
++…++a1+a2+…+an
∴
（Ⅲ）（Ⅱ）知n5时
a5a2a4a32
∵1a1＜a2＜…＜a5∴a3a4＞a2a4a5∴a3a4A
A具性质P知∈A．
a2a4a32∈A
1＜∴
∴
a1a2a3a4a5 首项1公a2等数列．
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