2015年湖北省高考数学试卷（理科）
选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）i虚数单位i607轭复数（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．（5分）国古代数学名著九章算术米谷粒分题：粮仓开仓收粮送米1534石验米夹谷抽样取米数254粒夹谷28粒批米夹谷约（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（5分）已知（1+x）n展开式中第4项第8项二项式系数相等奇数项二项式系数（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29
4．（5分）设X～N（μ1σ12）Y～N（μ2σ22）两正态分布密度曲线图示．列结中正确（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．意正数tP（X≤t）≥P（Y≤t） D．意正数tP（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）设a1a2…an∈Rn≥3．p：a1a2…an成等数列q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2（ ）
A．pq充分条件q必条件
B．pq必条件q充分条件
C．pq充分必条件
D．pq充分条件q必条件
6．（5分）已知符号函数sgnxf（x）R增函数g（x）f（x）﹣f（ax）（a＞1）（ ）
A．sgn[g（x）]sgnx B．sgn[g（x）]﹣sgnx C．sgn[g（x）]sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]﹣sgn[f（x）]
7．（5分）区间[01]机取两数xy记P1事件x+y≥概率P2事件|x﹣y|≤概率P3事件xy≤概率（ ）
A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1
8．（5分）离心率e1双曲线C1实半轴长a虚半轴长b（a≠b）时增加m（m＞0）单位长度离心率e2双曲线C2（ ）
A．意abe1＞e2
B．a＞b时e1＞e2a＜b时e1＜e2
C．意abe1＜e2
D．a＞b时e1＜e2a＜b时e1＞e2
9．（5分）已知集合A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}定义集合A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}A⊕B中元素数（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
10．（5分）设x∈R[x]表示超x整数．存实数t[t]1[t2]2…[tn]n时成立正整数n值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二填空题：题4题考生需作答5题题5分25分．请答案填答题卡应题号位置．答错位置书写清模棱两均分．
11．（5分）已知量⊥||3• ．
12．（5分）函数f（x）4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|零点数 ．
13．（5分）图辆汽车条水公路正西行驶A处时测公路北侧山顶D西偏北30°方行驶600m达B处测山顶西偏北75°方仰角30°山高度CD m．
14．（5分）图圆Cx轴相切点T（10）y轴正半轴交两点AB（BA方）|AB|2．
（1）圆C标准方程
（2）点A作条直线圆O：x2+y21相交MN两点列三结：
① ②﹣2 ③+2．
中正确结序号 ．（写出正确结序号）
选修41：证明选讲
15．（5分）图PA圆切线A切点PBC圆割线BC3PB ．
选修44：坐标系参数方程
16．直角坐标系xOy中O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．已知直线l极坐标方程ρ（sinθ﹣3cosθ）0曲线C参数方程（ t参数）lC相交AB两点|AB| ．
三解答题：题6题75分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（11分）某学五点法画函数f（x）Asin（ωx+φ）（ω＞0|φ|＜）某周期图象时列表填入部分数表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请表数补充完整填写相应位置直接写出函数f（x）解析式
（2）yf（x）图象点左行移动θ（θ＞0）单位长度yg（x）图象．yg（x）图象称中心（0）求θ值．
18．（12分）设等差数列{an}公差d前n项Sn等数列{bn}公q已知b1a1b22qdS10100．
（1）求数列{an}{bn}通项公式
（2）d＞1时记cn求数列{cn}前n项Tn．
19．（12分）九章算术中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马四面直角三角形四面体称鳖臑．图阳马P﹣ABCD中侧棱PD⊥底面ABCDPDCD棱PC中点E作EF⊥PB交PB点F连接DEDFBDBE．
（1）证明：PB⊥面DEF．试判断四面体DBEF否鳖臑写出面直角（需写出结）说明理
（2）面DEF面ABCD成二面角求值．
20．（12分）某厂鲜牛奶某台设备生产AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨设备1时获利1000元生产1吨B产品需鲜牛奶15吨设备15时获利1200元．求天B产品产量超A产品产量2倍设备天生产AB两种产品时间超12时．假定天获取鲜牛奶数量W（单位：吨）机变量分布列
W
12
15
18
P
03
05
02
该厂天根获取鲜牛奶数量安排生产获利天获利Z（单位：元）机变量．
（1）求Z分布列均值
（2）天获取鲜牛奶数量相互独立求3天中少1天获利超10000元概率．
21．（14分）种画椭圆工具图1示．O滑槽AB中点短杆ON绕O转动长杆MN通N处铰链ON连接MN栓子D滑槽AB滑动DNON1MN3栓子D滑槽AB作复运动时带动N绕O转动M处笔尖画出椭圆记CO原点AB直线x轴建立图2示面直角坐标系．
（1）求椭圆C方程
（2）设动直线l两定直线l1：x﹣2y0l2：x+2y0分交PQ两点．直线l总椭圆C公点试探究：△OPQ面积否存值？存求出该值存说明理．
22．（14分）已知数列{an}项均正数bnn（1+）nan（n∈N+）e然数底数．
（1）求函数f（x）1+x﹣ex单调区间较（1+）ne
（2）计算推测计算公式出证明
（3）令cn（a1a2…an）数列{an}{cn}前n项分记SnTn证明：Tn＜eSn．
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）i虚数单位i607轭复数（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
分析直接利复数单位幂运算求解．
解答解：i607i604+3i3﹣i
轭复数：i．
选：A．
点评题考查复数基运算复式单位幂运算轭复数知识基知识考查．
2．（5分）国古代数学名著九章算术米谷粒分题：粮仓开仓收粮送米1534石验米夹谷抽样取米数254粒夹谷28粒批米夹谷约（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
分析根254粒夹谷28粒例出结．
解答解：题意批米夹谷约1534×≈169石
选：B．
点评题考查利数学知识解决实际问题考查学生计算力较基础．
3．（5分）已知（1+x）n展开式中第4项第8项二项式系数相等奇数项二项式系数（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29
分析直接利二项式定理求出n然利二项式定理系数性质求出结果．
解答解：已知（1+x）n展开式中第4项第8项二项式系数相等
n3+710．
（1+x）10展开式中奇数项二项式系数：29．
选：D．
点评题考查二项式定理应组合数形状应考查基知识灵活运计算力．
4．（5分）设X～N（μ1σ12）Y～N（μ2σ22）两正态分布密度曲线图示．列结中正确（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．意正数tP（X≤t）≥P（Y≤t） D．意正数tP（X≥t）≥P（Y≥t）
分析直接利正态分布曲线特征集合概率直接判断．
解答解：正态分布密度曲线图象关xμ称μ1＜μ2图中容易P（X≤t）≥P（Y≤t）．
选：C．
点评题考查正态分布图象性质学正态分布定紧紧抓住均数μ标准差σ两关键量结合正态曲线图形特征纳正态曲线性质．
5．（5分）设a1a2…an∈Rn≥3．p：a1a2…an成等数列q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2（ ）
A．pq充分条件q必条件
B．pq必条件q充分条件
C．pq充分必条件
D．pq充分条件q必条件
分析运柯西等式：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2讨等号成立条件结合等数列定义充分必条件定义．
解答解：a1a2…an∈Rn≥3．
运柯西等式：
（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2
a1a2…an成等数列…
（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2
p推q
q推pa1a2a3…an0a1a2…an成等数列．
pq充分必条件．
选：A．
点评题考查充分必条件判断时考查等数列定义注意运定义法柯西等式解题关键．
6．（5分）已知符号函数sgnxf（x）R增函数g（x）f（x）﹣f（ax）（a＞1）（ ）
A．sgn[g（x）]sgnx B．sgn[g（x）]﹣sgnx C．sgn[g（x）]sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]﹣sgn[f（x）]
分析直接利特殊法设出函数f（x）a值判断选项．
解答解：题选择题采特殊法符号函数sgnxf（x）R增函数g（x）f（x）﹣f（ax）（a＞1）
妨令f（x）xa2
g（x）f（x）﹣f（ax）﹣x
sgn[g（x）]﹣sgnx．A正确B正确
sgn[f（x）]sgnxC正确D正确
D令f（x）x+1a2
g（x）f（x）﹣f（ax）﹣x
sgn[f（x）]sgn（x+1）
sgn[g（x）]sgn（﹣x）
﹣sgn[f（x）]﹣sgn（x+1）D正确
选：B．
点评题考查函数表达式较选取特殊值法解决题关键注意解题方法积累属中档题．
7．（5分）区间[01]机取两数xy记P1事件x+y≥概率P2事件|x﹣y|≤概率P3事件xy≤概率（ ）
A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1
分析作出事件应面区域求出应面积利概型概率公式进行计算较．
解答解：分作出事件应图象图（阴影部分）：
P1：D（0）F（0）A（01）B（11）C（10）
阴影部分面积S11×1﹣1﹣
S21×1﹣2×1﹣
S31×+dx+lnx|﹣ln+ln2
∴S2＜S3＜S1
P2＜P3＜P1
选：B．
点评题考查概型概率计算利数形结合解决题关键．题直接通图象较面积较．
8．（5分）离心率e1双曲线C1实半轴长a虚半轴长b（a≠b）时增加m（m＞0）单位长度离心率e2双曲线C2（ ）
A．意abe1＞e2
B．a＞b时e1＞e2a＜b时e1＜e2
C．意abe1＜e2
D．a＞b时e1＜e2a＜b时e1＞e2
分析分求出双曲线离心率方作差出结．
解答解：题意双曲线C1：c2a2+b2e1
双曲线C2：c′2（a+m）2+（b+m）2e2
∴﹣
∴a＞b时e1＞e2a＜b时e1＜e2
选：B．
点评题考查双曲线性质考查学生计算力较基础．
9．（5分）已知集合A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}定义集合A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}A⊕B中元素数（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
分析题意A{（00）（01）（0﹣1）（10）（﹣10）B{（00）（01）（02）（0﹣1）（0﹣2）（10）（11）（12）（1﹣1）（1﹣2）（20）（21）（22）（2﹣1）（2﹣2）（﹣1﹣2）（﹣1﹣1）（﹣10）（﹣11）（﹣12）（﹣2﹣2）（﹣2﹣1）（﹣20）（﹣21）（﹣22）}根定义求
解答解：解法：
∵A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}{（00）（01）（0﹣1）（10）（﹣10）
B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}{（00）（01）（02）（0﹣1）（0﹣2）（10）（11）（12）（1﹣1）（1﹣2）（20）（21）（22）（2﹣1）（2﹣2）（﹣1﹣2）（﹣1﹣1）（﹣10）（﹣11）（﹣12）（﹣2﹣2）（﹣2﹣1）（﹣20）（﹣21）（﹣22）}
∵A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}
∴A⊕B{（00）（01）（02）（0﹣1）（0﹣2）（10）（11）（12）（1﹣1）（1﹣2）（20）（21）（22）（2﹣1）（2﹣2）（﹣1﹣2）（﹣1﹣1）（﹣10）（﹣11）（﹣12）（﹣2﹣2）（﹣2﹣1）（﹣20）（﹣21）（﹣22）
（﹣23）（﹣2﹣3）（0﹣3）（2﹣3）（﹣13）（﹣1﹣3）（13）（23）（03）（3﹣1）（30）（31）（32）（3﹣2）（﹣32）（﹣31）（1﹣3）（﹣3﹣1）（﹣30）（﹣3﹣2）}45元素
解法二：
集合A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}集合A中5元素图中圆中整点B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}中5×525元素图中正方形ABCD中整点A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}元素作正方形A1B1C1D1中整点（四顶点）7×7﹣445．
选：C．
点评题新定义载体考查集合基定义运算解题中需取重复元素．
10．（5分）设x∈R[x]表示超x整数．存实数t[t]1[t2]2…[tn]n时成立正整数n值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
分析新定义t范围验证正整数n4．
解答解：[t]1t∈[12）
[t2]2t∈[）（题目需时成立负区间舍）
[t3]3t∈[）
[t4]4t∈[）
[t5]5t∈[）
中≈1732≈1587≈1495≈1431＜1495
通述发现t4时找实数t区间[12）∩[）∩[）∩[）
t5时法找实数t区间[12）∩[）∩[）∩[）∩[）
∴正整数n值4
选：B．
点评题考查简单演绎推理涉新定义属基础题．
二填空题：题4题考生需作答5题题5分25分．请答案填答题卡应题号位置．答错位置书写清模棱两均分．
11．（5分）已知量⊥||3• 9 ．
分析已知结合面量数量积运算求答案．
解答解：⊥•0•（）0
∵||3
∴．
答案：9．
点评题考查面量数量积运算考查量模求法基础计算题．
12．（5分）函数f（x）4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|零点数 2 ．
分析利二倍角公式化简函数解析式求出函数定义域画出函数图象求出交点数．
解答解：函数f（x）定义域：{x|x＞﹣1}．
f（x）4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|
2sinx﹣|ln（x+1）|
sin2x﹣|ln（x+1）|
分画出函数ysin2xy|ln（x+1）|图象
函数图象知交点数2．
函数零点2．
答案：2．
点评题考查三角函数化简函数零点数判断考查数形结合转化思想应．
13．（5分）图辆汽车条水公路正西行驶A处时测公路北侧山顶D西偏北30°方行驶600m达B处测山顶西偏北75°方仰角30°山高度CD 100 m．
分析设山高h（m）△BCD中利仰角正切表示出BC进△ABC中利正弦定理求h．
解答解：设山高h（m）BCh
△ABC中∠BAC30°∠CBA105°∠BCA45°AB600．
根正弦定理
解h100（m）
答案：100．
点评题考查解三角形实际应．关键构造三角形已知条件三角形集中通正弦余弦定理基性质建立条件间联系列方程列式求解．
14．（5分）图圆Cx轴相切点T（10）y轴正半轴交两点AB（BA方）|AB|2．
（1）圆C标准方程 （x﹣1）2+（y﹣）22
（2）点A作条直线圆O：x2+y21相交MN两点列三结：
① ②﹣2 ③+2．
中正确结序号 ①②③ ．（写出正确结序号）
分析（1）取AB中点E通圆Cx轴相切点T利弦心距半径半弦长间关系计算
（2）设M（cosαsinα）N（cosβsinβ）计算出值．
解答解：（1）∵圆Cx轴相切点T（10）
∴圆心横坐标x1取AB中点E
∵|AB|2∴|BE|1
|BC|圆半径r|BC|
∴圆心C（1）
圆标准方程（x﹣1）2+（y﹣）22
答案：（x﹣1）2+（y﹣）22．
（2）∵圆心C（1）∴E（0）
∵|AB|2EAB中点
∴A（0﹣1）B（0+1）
∵MN圆O：x2+y21
∴设M（cosαsinα）N（cosβsinβ）
∴|NA|
|NB|
∴
理
∴①成立
﹣﹣（）2②正确．
++（）③正确．
答案：①②③．
点评题考查求圆标准方程三角函数值表示单位圆点坐标解决题关键注意解题方法积累属难题．
选修41：证明选讲
15．（5分）图PA圆切线A切点PBC圆割线BC3PB ．
分析利切割线定理推出PA2PB利相似三角形求出值．
解答解：切割线定理知：PA2PB•PCBC3PB
PA2PB
△PAB△PAC中∠P∠P∠PAB∠PCA（弧圆周角弦切角相等）
△PAB∽△PAC
∴．
答案：．
点评题考查切割线定理相似三角形判定应考查逻辑推理力．
选修44：坐标系参数方程
16．直角坐标系xOy中O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．已知直线l极坐标方程ρ（sinθ﹣3cosθ）0曲线C参数方程（ t参数）lC相交AB两点|AB| ．
分析化极坐标方程化直角坐标方程参数方程化普通方程联立直线方程双曲线方程求交点坐标两点间距离公式答案．
解答解：ρ（sinθ﹣3cosθ）0y﹣3x0
C参数方程（ t参数）两式方作差：x2﹣y2﹣4．
联立．
∴A（）B（）
∴|AB|．
答案：．
点评题考查极坐标方程化直角坐标方程参数方程化普通方程考查直线圆锥曲线位置关系基础计算题．
三解答题：题6题75分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（11分）某学五点法画函数f（x）Asin（ωx+φ）（ω＞0|φ|＜）某周期图象时列表填入部分数表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请表数补充完整填写相应位置直接写出函数f（x）解析式
（2）yf（x）图象点左行移动θ（θ＞0）单位长度yg（x）图象．yg（x）图象称中心（0）求θ值．
分析（1）根表中已知数解A5ω2φ﹣．补全数解函数表达式f（x）5sin（2x﹣）．
（2）（Ⅰ）函数yAsin（ωx+φ）图象变换规律g（x）5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣kπ解xk∈Z．令解θk∈Z．θ＞0解．
解答解：（1）根表中已知数解A5ω2φ﹣．数补全表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
0
﹣5
0
函数表达式f（x）5sin（2x﹣）．
（2）（Ⅰ）知f（x）5sin（2x﹣）g（x）5sin（2x+2θ﹣）．
ysinx称中心（kπ0）k∈Z．
令2x+2θ﹣kπ解xk∈Z．
函数yg（x）图象关点（0）成中心称令
解θk∈Z．θ＞0知K1时θ取值．
点评题考查yAsin（ωx+φ）部分图象确定解析式函数yAsin（ωx+φ）图象变换规律应属基知识考查．
18．（12分）设等差数列{an}公差d前n项Sn等数列{bn}公q已知b1a1b22qdS10100．
（1）求数列{an}{bn}通项公式
（2）d＞1时记cn求数列{cn}前n项Tn．
分析（1）利前10项首项公差关系联立方程组计算
（2）d＞1时（1）知cn写出TnTn表达式利错位相减法等数列求公式计算．
解答解：（1）设a1a题意
解
时an2n﹣1bn2n﹣1
时an（2n+79）bn9•
（2）d＞1时（1）知an2n﹣1bn2n﹣1
∴cn
∴Tn1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•
∴Tn1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•
∴Tn2+++++…+﹣（2n﹣1）•3﹣
∴Tn6﹣．
点评题考查求数列通项求利错位相减法解决题关键注意解题方法积累属中档题．
19．（12分）九章算术中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马四面直角三角形四面体称鳖臑．图阳马P﹣ABCD中侧棱PD⊥底面ABCDPDCD棱PC中点E作EF⊥PB交PB点F连接DEDFBDBE．
（1）证明：PB⊥面DEF．试判断四面体DBEF否鳖臑写出面直角（需写出结）说明理
（2）面DEF面ABCD成二面角求值．
分析解法1）（1）直线直线直线面垂直转化证明出PB⊥EFDE∩FEEPB⊥面DEF判断DE⊥面PBCPB⊥面DEF知四面体BDEF四面直角三角形确定直角．
（2）根公理2出DG面DEF面ACBD交线．利直线面垂直判断出DG⊥DFDG⊥DB根面角定义出∠BDF面DEF面ABCD成二面角面角转化直角三角形求解．
解法2）
（1）D原点射线DADCDP分xyz轴正半轴建立空间直角坐标系运量数量积判断．
2）PD⊥底面ABCD（001）面ACDB法量（Ⅰ）知PB⊥面DEF（﹣λ﹣11）面DEF法量．根数量积出夹角余弦出求解答案．
解答解法1）（1）PD⊥底面ABCDPD⊥BC
底面ABCD长方形BC⊥CDPD∩CDD
BC⊥面PCD．DE⊂面PDCBC⊥DE．
PDCD点EPC中点DE⊥PC．
PC∩CBCDE⊥面PBC．PB⊂面PBCPB⊥DE．
PB⊥EFDE∩FEEPB⊥面DEF．
DE⊥面PBCPB⊥面DEF知四面体BDEF四面直角三角形
四面体BDEF鳖臑四面直角分∠DEB∠DEF∠EFB∠DFB．
（2）图1
面BPC延长BCFE交点GDG面DEF面ACBD交线．
（Ⅰ）知PB⊥面DEFPB⊥DG．
PD⊥底面ABCDPD⊥DG．PD∩PBPDG⊥面PBD．
DG⊥DFDG⊥DB
∠BDF面DEF面ABCD成二面角面角
设PDDC1BCλBD
Rt△PDB中DF⊥PB∠DPB∠FDB
tantan∠DPF解．
面DEF面ABCD成二面角时．
（解法2）
（1）D原点射线DADCDP分xyz轴正半轴建立空间直角坐标系．设PDDC1BCλ
D（000）P（001）B（λ10）C（010）（λ1﹣1）点EPC中点E（0）（0）
0PB⊥DE．
已知EF⊥PBED∩EFEPB⊥面DEF．
（01﹣1）0DE⊥PCDE⊥面PBC．
DE⊥面PBCPB⊥面DEF知四面体BDEF四面直角三角形
四面体BDEF鳖臑四面直角分∠DEB∠DEF∠EFB∠DFB．
（2）PD⊥底面ABCD（001）面ACDB法量
（Ⅰ）知PB⊥面DEF（﹣λ﹣11）面DEF法量．
面DEF面ABCD成二面角
运量数量积求解出cos
解．
面DEF面ABCD成二面角时．
点评题综合考查空间直线面垂直问题直线直线直线面垂直转化空间角求解属难题．
20．（12分）某厂鲜牛奶某台设备生产AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨设备1时获利1000元生产1吨B产品需鲜牛奶15吨设备15时获利1200元．求天B产品产量超A产品产量2倍设备天生产AB两种产品时间超12时．假定天获取鲜牛奶数量W（单位：吨）机变量分布列
W
12
15
18
P
03
05
02
该厂天根获取鲜牛奶数量安排生产获利天获利Z（单位：元）机变量．
（1）求Z分布列均值
（2）天获取鲜牛奶数量相互独立求3天中少1天获利超10000元概率．
分析（1）设天AB两种产品生产数量分xy相应获利z列出行域目标函数通W12时W15时W18时分求出目标函数获利然Z分布列．求出期．
（2）判断概率类型二项分布然求解求概率．
解答（12分）
解：（1）设天AB两种产品生产数量分xy相应获利z
①图1目标函数：z1000x+1200y．
W12时①表示面区域图1三顶点分A（00）B（2448）C（60）．
z1000x+1200y变形
x24y48时直线l：y轴截距
获利ZZmax24×1000+48×12008160．
W15时①表示面区域图2三顶点分A（00）B（36）C（750）．．
z1000x+1200y变形
x3y6时直线l：y轴截距
获利ZZmax3×1000+6×120010200．
W18时①表示面区域图3四顶点分A（00）B（36）C（64）D（90）．
z1000x+1200y变形：
x6y4时直线l：y﹣56x+z1200y轴截距获利ZZmax6×1000+4×120010800．
获利Z分布列：
Z
8160
10200
10800
P
03
05
02
E（Z）8160×03+10200×05+10800×029708
（2）（Ⅰ）知天获利超10000元概率P1P（Z＞10000）05+0207
二项分布3天中少1天获利超10000元概率：
．
点评题考查离散型机变量分布列期求法线性规划应二项分布概率求法考查分析问题解决问题力．
21．（14分）种画椭圆工具图1示．O滑槽AB中点短杆ON绕O转动长杆MN通N处铰链ON连接MN栓子D滑槽AB滑动DNON1MN3栓子D滑槽AB作复运动时带动N绕O转动M处笔尖画出椭圆记CO原点AB直线x轴建立图2示面直角坐标系．
（1）求椭圆C方程
（2）设动直线l两定直线l1：x﹣2y0l2：x+2y0分交PQ两点．直线l总椭圆C公点试探究：△OPQ面积否存值？存求出该值存说明理．
分析（1）根条件求出ab求椭圆C方程
（2）联立直线方程椭圆方程求出原点直线距离结合三角形面积公式进行求解．
解答解：（1）设D（t0）|t|≤2
N（x0y0）M（xy）题意2
||||1
∴（t﹣x﹣y）2（x0﹣ty0）
t（t﹣2x0）0
点D动时点N动∴t恒等0
t2x0x0y0﹣
代入x02+y021方程．
（2）①直线l斜率k存时直线l：x4x﹣4S△OPQ
②直线l斜率k存时直线l：ykx+m（k）
消y（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣160
∵直线l总椭圆C公点
∴△64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）0m216k2+4①
P（）理Q（）
原点O直线PQ距离d|PQ|•|xP﹣xQ|
S△OPQ|PQ|d|m||xP﹣xQ||m|||||②
①代入②S△OPQ||8||
k2＞时S△OPQ8（）8（1+）＞8
0≤k2＜时S△OPQ8||﹣8（）8（﹣1+）
∵0≤k2＜时∴0＜1﹣4k2≤1≥2
∴S△OPQ8（﹣1+）≥8仅k0时取等号
∴k0时S△OPQ值8
综知直线l椭圆C四顶点处相切时三角形OPQ面积存值8．
点评题考查椭圆方程求解直线圆锥曲线位置关系应结合三角形面积公式解决题关键．综合性较强运算量较．
22．（14分）已知数列{an}项均正数bnn（1+）nan（n∈N+）e然数底数．
（1）求函数f（x）1+x﹣ex单调区间较（1+）ne
（2）计算推测计算公式出证明
（3）令cn（a1a2…an）数列{an}{cn}前n项分记SnTn证明：Tn＜eSn．
分析（1）求出f（x）定义域利导数求值1+x＜ex．取x答案
（2）bnn（1+）nan（n∈N+）变形求推测（n+1）n．然利数学纳法证明．
（3）cn定义（n+1）n算术﹣均等式bn定义利放缩法证Tn＜eSn．
解答（1）解：f（x）定义域（﹣∞+∞）f′（x）1﹣ex．
f′（x）＞0x＜0时f（x）单调递增
f′（x）＜0x＞0时f（x）单调递减．
f（x）单调递增区间（﹣∞0）单调递减区间（0+∞）．
x＞0时f（x）＜f（0）01+x＜ex．
令．①
（2）解：
．
推测：（n+1）n．②
面数学纳法证明②．
（1）n1时左边右边2②成立．
（2）假设nk时②成立．
nk+1时纳假设
．
∴nk+1时②成立．
根（1）（2）知②切正整数n成立．
（3）证明：cn定义②算术﹣均等式bn定义①
Tnc1+c2+…+cn
＜ea1+ea2+…+eaneSn．
Tn＜eSn．
点评题考查导数研究函数中应考查利纳法证明然数关问题考查推理证力运算求解力创新知识考查利放缩法证明数列等式压轴题．
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选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）i虚数单位i607轭复数（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．（5分）国古代数学名著九章算术米谷粒分题：粮仓开仓收粮送米1534石验米夹谷抽样取米数254粒夹谷28粒批米夹谷约（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．（5分）已知（1+x）n展开式中第4项第8项二项式系数相等奇数项二项式系数（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29
4．（5分）设X～N（μ1σ12）Y～N（μ2σ22）两正态分布密度曲线图示．列结中正确（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．意正数tP（X≤t）≥P（Y≤t） D．意正数tP（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）设a1a2…an∈Rn≥3．p：a1a2…an成等数列q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2（ ）
A．pq充分条件q必条件
B．pq必条件q充分条件
C．pq充分必条件
D．pq充分条件q必条件
6．（5分）已知符号函数sgnxf（x）R增函数g（x）f（x）﹣f（ax）（a＞1）（ ）
A．sgn[g（x）]sgnx B．sgn[g（x）]﹣sgnx C．sgn[g（x）]sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]﹣sgn[f（x）]
7．（5分）区间[01]机取两数xy记P1事件x+y≥概率P2事件|x﹣y|≤概率P3事件xy≤概率（ ）
A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1
8．（5分）离心率e1双曲线C1实半轴长a虚半轴长b（a≠b）时增加m（m＞0）单位长度离心率e2双曲线C2（ ）
A．意abe1＞e2
B．a＞b时e1＞e2a＜b时e1＜e2
C．意abe1＜e2
D．a＞b时e1＜e2a＜b时e1＞e2
9．（5分）已知集合A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}定义集合A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}A⊕B中元素数（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
10．（5分）设x∈R[x]表示超x整数．存实数t[t]1[t2]2…[tn]n时成立正整数n值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二填空题：题4题考生需作答5题题5分25分．请答案填答题卡应题号位置．答错位置书写清模棱两均分．
11．（5分）已知量⊥||3• ．
12．（5分）函数f（x）4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|零点数 ．
13．（5分）图辆汽车条水公路正西行驶A处时测公路北侧山顶D西偏北30°方行驶600m达B处测山顶西偏北75°方仰角30°山高度CD m．
14．（5分）图圆Cx轴相切点T（10）y轴正半轴交两点AB（BA方）|AB|2．
（1）圆C标准方程
（2）点A作条直线圆O：x2+y21相交MN两点列三结：
① ②﹣2 ③+2．
中正确结序号 ．（写出正确结序号）
选修41：证明选讲
15．（5分）图PA圆切线A切点PBC圆割线BC3PB ．
选修44：坐标系参数方程
16．直角坐标系xOy中O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．已知直线l极坐标方程ρ（sinθ﹣3cosθ）0曲线C参数方程（ t参数）lC相交AB两点|AB| ．
三解答题：题6题75分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（11分）某学五点法画函数f（x）Asin（ωx+φ）（ω＞0|φ|＜）某周期图象时列表填入部分数表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请表数补充完整填写相应位置直接写出函数f（x）解析式
（2）yf（x）图象点左行移动θ（θ＞0）单位长度yg（x）图象．yg（x）图象称中心（0）求θ值．
18．（12分）设等差数列{an}公差d前n项Sn等数列{bn}公q已知b1a1b22qdS10100．
（1）求数列{an}{bn}通项公式
（2）d＞1时记cn求数列{cn}前n项Tn．
19．（12分）九章算术中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马四面直角三角形四面体称鳖臑．图阳马P﹣ABCD中侧棱PD⊥底面ABCDPDCD棱PC中点E作EF⊥PB交PB点F连接DEDFBDBE．
（1）证明：PB⊥面DEF．试判断四面体DBEF否鳖臑写出面直角（需写出结）说明理
（2）面DEF面ABCD成二面角求值．
20．（12分）某厂鲜牛奶某台设备生产AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨设备1时获利1000元生产1吨B产品需鲜牛奶15吨设备15时获利1200元．求天B产品产量超A产品产量2倍设备天生产AB两种产品时间超12时．假定天获取鲜牛奶数量W（单位：吨）机变量分布列
W
12
15
18
P
03
05
02
该厂天根获取鲜牛奶数量安排生产获利天获利Z（单位：元）机变量．
（1）求Z分布列均值
（2）天获取鲜牛奶数量相互独立求3天中少1天获利超10000元概率．
21．（14分）种画椭圆工具图1示．O滑槽AB中点短杆ON绕O转动长杆MN通N处铰链ON连接MN栓子D滑槽AB滑动DNON1MN3栓子D滑槽AB作复运动时带动N绕O转动M处笔尖画出椭圆记CO原点AB直线x轴建立图2示面直角坐标系．
（1）求椭圆C方程
（2）设动直线l两定直线l1：x﹣2y0l2：x+2y0分交PQ两点．直线l总椭圆C公点试探究：△OPQ面积否存值？存求出该值存说明理．
22．（14分）已知数列{an}项均正数bnn（1+）nan（n∈N+）e然数底数．
（1）求函数f（x）1+x﹣ex单调区间较（1+）ne
（2）计算推测计算公式出证明
（3）令cn（a1a2…an）数列{an}{cn}前n项分记SnTn证明：Tn＜eSn．
2015年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题：题10题题5分50分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）i虚数单位i607轭复数（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
分析直接利复数单位幂运算求解．
解答解：i607i604+3i3﹣i
轭复数：i．
选：A．
点评题考查复数基运算复式单位幂运算轭复数知识基知识考查．
2．（5分）国古代数学名著九章算术米谷粒分题：粮仓开仓收粮送米1534石验米夹谷抽样取米数254粒夹谷28粒批米夹谷约（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
分析根254粒夹谷28粒例出结．
解答解：题意批米夹谷约1534×≈169石
选：B．
点评题考查利数学知识解决实际问题考查学生计算力较基础．
3．（5分）已知（1+x）n展开式中第4项第8项二项式系数相等奇数项二项式系数（ ）
A．212 B．211 C．210 D．29
分析直接利二项式定理求出n然利二项式定理系数性质求出结果．
解答解：已知（1+x）n展开式中第4项第8项二项式系数相等
n3+710．
（1+x）10展开式中奇数项二项式系数：29．
选：D．
点评题考查二项式定理应组合数形状应考查基知识灵活运计算力．
4．（5分）设X～N（μ1σ12）Y～N（μ2σ22）两正态分布密度曲线图示．列结中正确（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．意正数tP（X≤t）≥P（Y≤t） D．意正数tP（X≥t）≥P（Y≥t）
分析直接利正态分布曲线特征集合概率直接判断．
解答解：正态分布密度曲线图象关xμ称μ1＜μ2图中容易P（X≤t）≥P（Y≤t）．
选：C．
点评题考查正态分布图象性质学正态分布定紧紧抓住均数μ标准差σ两关键量结合正态曲线图形特征纳正态曲线性质．
5．（5分）设a1a2…an∈Rn≥3．p：a1a2…an成等数列q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2（ ）
A．pq充分条件q必条件
B．pq必条件q充分条件
C．pq充分必条件
D．pq充分条件q必条件
分析运柯西等式：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2讨等号成立条件结合等数列定义充分必条件定义．
解答解：a1a2…an∈Rn≥3．
运柯西等式：
（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2
a1a2…an成等数列…
（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2
p推q
q推pa1a2a3…an0a1a2…an成等数列．
pq充分必条件．
选：A．
点评题考查充分必条件判断时考查等数列定义注意运定义法柯西等式解题关键．
6．（5分）已知符号函数sgnxf（x）R增函数g（x）f（x）﹣f（ax）（a＞1）（ ）
A．sgn[g（x）]sgnx B．sgn[g（x）]﹣sgnx C．sgn[g（x）]sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]﹣sgn[f（x）]
分析直接利特殊法设出函数f（x）a值判断选项．
解答解：题选择题采特殊法符号函数sgnxf（x）R增函数g（x）f（x）﹣f（ax）（a＞1）
妨令f（x）xa2
g（x）f（x）﹣f（ax）﹣x
sgn[g（x）]﹣sgnx．A正确B正确
sgn[f（x）]sgnxC正确D正确
D令f（x）x+1a2
g（x）f（x）﹣f（ax）﹣x
sgn[f（x）]sgn（x+1）
sgn[g（x）]sgn（﹣x）
﹣sgn[f（x）]﹣sgn（x+1）D正确
选：B．
点评题考查函数表达式较选取特殊值法解决题关键注意解题方法积累属中档题．
7．（5分）区间[01]机取两数xy记P1事件x+y≥概率P2事件|x﹣y|≤概率P3事件xy≤概率（ ）
A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1
分析作出事件应面区域求出应面积利概型概率公式进行计算较．
解答解：分作出事件应图象图（阴影部分）：
P1：D（0）F（0）A（01）B（11）C（10）
阴影部分面积S11×1﹣1﹣
S21×1﹣2×1﹣
S31×+dx+lnx|﹣ln+ln2
∴S2＜S3＜S1
P2＜P3＜P1
选：B．
点评题考查概型概率计算利数形结合解决题关键．题直接通图象较面积较．
8．（5分）离心率e1双曲线C1实半轴长a虚半轴长b（a≠b）时增加m（m＞0）单位长度离心率e2双曲线C2（ ）
A．意abe1＞e2
B．a＞b时e1＞e2a＜b时e1＜e2
C．意abe1＜e2
D．a＞b时e1＜e2a＜b时e1＞e2
分析分求出双曲线离心率方作差出结．
解答解：题意双曲线C1：c2a2+b2e1
双曲线C2：c′2（a+m）2+（b+m）2e2
∴﹣
∴a＞b时e1＞e2a＜b时e1＜e2
选：B．
点评题考查双曲线性质考查学生计算力较基础．
9．（5分）已知集合A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}定义集合A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}A⊕B中元素数（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
分析题意A{（00）（01）（0﹣1）（10）（﹣10）B{（00）（01）（02）（0﹣1）（0﹣2）（10）（11）（12）（1﹣1）（1﹣2）（20）（21）（22）（2﹣1）（2﹣2）（﹣1﹣2）（﹣1﹣1）（﹣10）（﹣11）（﹣12）（﹣2﹣2）（﹣2﹣1）（﹣20）（﹣21）（﹣22）}根定义求
解答解：解法：
∵A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}{（00）（01）（0﹣1）（10）（﹣10）
B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}{（00）（01）（02）（0﹣1）（0﹣2）（10）（11）（12）（1﹣1）（1﹣2）（20）（21）（22）（2﹣1）（2﹣2）（﹣1﹣2）（﹣1﹣1）（﹣10）（﹣11）（﹣12）（﹣2﹣2）（﹣2﹣1）（﹣20）（﹣21）（﹣22）}
∵A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}
∴A⊕B{（00）（01）（02）（0﹣1）（0﹣2）（10）（11）（12）（1﹣1）（1﹣2）（20）（21）（22）（2﹣1）（2﹣2）（﹣1﹣2）（﹣1﹣1）（﹣10）（﹣11）（﹣12）（﹣2﹣2）（﹣2﹣1）（﹣20）（﹣21）（﹣22）
（﹣23）（﹣2﹣3）（0﹣3）（2﹣3）（﹣13）（﹣1﹣3）（13）（23）（03）（3﹣1）（30）（31）（32）（3﹣2）（﹣32）（﹣31）（1﹣3）（﹣3﹣1）（﹣30）（﹣3﹣2）}45元素
解法二：
集合A{（xy）|x2+y2≤1xy∈Z}集合A中5元素图中圆中整点B{（xy）||x|≤2|y|≤2xy∈Z}中5×525元素图中正方形ABCD中整点A⊕B{（x1+x2y1+y2）|（x1y1）∈A（x2y2）∈B}元素作正方形A1B1C1D1中整点（四顶点）7×7﹣445．
选：C．
点评题新定义载体考查集合基定义运算解题中需取重复元素．
10．（5分）设x∈R[x]表示超x整数．存实数t[t]1[t2]2…[tn]n时成立正整数n值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
分析新定义t范围验证正整数n4．
解答解：[t]1t∈[12）
[t2]2t∈[）（题目需时成立负区间舍）
[t3]3t∈[）
[t4]4t∈[）
[t5]5t∈[）
中≈1732≈1587≈1495≈1431＜1495
通述发现t4时找实数t区间[12）∩[）∩[）∩[）
t5时法找实数t区间[12）∩[）∩[）∩[）∩[）
∴正整数n值4
选：B．
点评题考查简单演绎推理涉新定义属基础题．
二填空题：题4题考生需作答5题题5分25分．请答案填答题卡应题号位置．答错位置书写清模棱两均分．
11．（5分）已知量⊥||3• 9 ．
分析已知结合面量数量积运算求答案．
解答解：⊥•0•（）0
∵||3
∴．
答案：9．
点评题考查面量数量积运算考查量模求法基础计算题．
12．（5分）函数f（x）4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|零点数 2 ．
分析利二倍角公式化简函数解析式求出函数定义域画出函数图象求出交点数．
解答解：函数f（x）定义域：{x|x＞﹣1}．
f（x）4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|
2sinx﹣|ln（x+1）|
sin2x﹣|ln（x+1）|
分画出函数ysin2xy|ln（x+1）|图象
函数图象知交点数2．
函数零点2．
答案：2．
点评题考查三角函数化简函数零点数判断考查数形结合转化思想应．
13．（5分）图辆汽车条水公路正西行驶A处时测公路北侧山顶D西偏北30°方行驶600m达B处测山顶西偏北75°方仰角30°山高度CD 100 m．
分析设山高h（m）△BCD中利仰角正切表示出BC进△ABC中利正弦定理求h．
解答解：设山高h（m）BCh
△ABC中∠BAC30°∠CBA105°∠BCA45°AB600．
根正弦定理
解h100（m）
答案：100．
点评题考查解三角形实际应．关键构造三角形已知条件三角形集中通正弦余弦定理基性质建立条件间联系列方程列式求解．
14．（5分）图圆Cx轴相切点T（10）y轴正半轴交两点AB（BA方）|AB|2．
（1）圆C标准方程 （x﹣1）2+（y﹣）22
（2）点A作条直线圆O：x2+y21相交MN两点列三结：
① ②﹣2 ③+2．
中正确结序号 ①②③ ．（写出正确结序号）
分析（1）取AB中点E通圆Cx轴相切点T利弦心距半径半弦长间关系计算
（2）设M（cosαsinα）N（cosβsinβ）计算出值．
解答解：（1）∵圆Cx轴相切点T（10）
∴圆心横坐标x1取AB中点E
∵|AB|2∴|BE|1
|BC|圆半径r|BC|
∴圆心C（1）
圆标准方程（x﹣1）2+（y﹣）22
答案：（x﹣1）2+（y﹣）22．
（2）∵圆心C（1）∴E（0）
∵|AB|2EAB中点
∴A（0﹣1）B（0+1）
∵MN圆O：x2+y21
∴设M（cosαsinα）N（cosβsinβ）
∴|NA|
|NB|
∴
理
∴①成立
﹣﹣（）2②正确．
++（）③正确．
答案：①②③．
点评题考查求圆标准方程三角函数值表示单位圆点坐标解决题关键注意解题方法积累属难题．
选修41：证明选讲
15．（5分）图PA圆切线A切点PBC圆割线BC3PB ．
分析利切割线定理推出PA2PB利相似三角形求出值．
解答解：切割线定理知：PA2PB•PCBC3PB
PA2PB
△PAB△PAC中∠P∠P∠PAB∠PCA（弧圆周角弦切角相等）
△PAB∽△PAC
∴．
答案：．
点评题考查切割线定理相似三角形判定应考查逻辑推理力．
选修44：坐标系参数方程
16．直角坐标系xOy中O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系．已知直线l极坐标方程ρ（sinθ﹣3cosθ）0曲线C参数方程（ t参数）lC相交AB两点|AB| ．
分析化极坐标方程化直角坐标方程参数方程化普通方程联立直线方程双曲线方程求交点坐标两点间距离公式答案．
解答解：ρ（sinθ﹣3cosθ）0y﹣3x0
C参数方程（ t参数）两式方作差：x2﹣y2﹣4．
联立．
∴A（）B（）
∴|AB|．
答案：．
点评题考查极坐标方程化直角坐标方程参数方程化普通方程考查直线圆锥曲线位置关系基础计算题．
三解答题：题6题75分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（11分）某学五点法画函数f（x）Asin（ωx+φ）（ω＞0|φ|＜）某周期图象时列表填入部分数表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请表数补充完整填写相应位置直接写出函数f（x）解析式
（2）yf（x）图象点左行移动θ（θ＞0）单位长度yg（x）图象．yg（x）图象称中心（0）求θ值．
分析（1）根表中已知数解A5ω2φ﹣．补全数解函数表达式f（x）5sin（2x﹣）．
（2）（Ⅰ）函数yAsin（ωx+φ）图象变换规律g（x）5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣kπ解xk∈Z．令解θk∈Z．θ＞0解．
解答解：（1）根表中已知数解A5ω2φ﹣．数补全表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
0
﹣5
0
函数表达式f（x）5sin（2x﹣）．
（2）（Ⅰ）知f（x）5sin（2x﹣）g（x）5sin（2x+2θ﹣）．
ysinx称中心（kπ0）k∈Z．
令2x+2θ﹣kπ解xk∈Z．
函数yg（x）图象关点（0）成中心称令
解θk∈Z．θ＞0知K1时θ取值．
点评题考查yAsin（ωx+φ）部分图象确定解析式函数yAsin（ωx+φ）图象变换规律应属基知识考查．
18．（12分）设等差数列{an}公差d前n项Sn等数列{bn}公q已知b1a1b22qdS10100．
（1）求数列{an}{bn}通项公式
（2）d＞1时记cn求数列{cn}前n项Tn．
分析（1）利前10项首项公差关系联立方程组计算
（2）d＞1时（1）知cn写出TnTn表达式利错位相减法等数列求公式计算．
解答解：（1）设a1a题意
解
时an2n﹣1bn2n﹣1
时an（2n+79）bn9•
（2）d＞1时（1）知an2n﹣1bn2n﹣1
∴cn
∴Tn1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•
∴Tn1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•
∴Tn2+++++…+﹣（2n﹣1）•3﹣
∴Tn6﹣．
点评题考查求数列通项求利错位相减法解决题关键注意解题方法积累属中档题．
19．（12分）九章算术中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马四面直角三角形四面体称鳖臑．图阳马P﹣ABCD中侧棱PD⊥底面ABCDPDCD棱PC中点E作EF⊥PB交PB点F连接DEDFBDBE．
（1）证明：PB⊥面DEF．试判断四面体DBEF否鳖臑写出面直角（需写出结）说明理
（2）面DEF面ABCD成二面角求值．
分析解法1）（1）直线直线直线面垂直转化证明出PB⊥EFDE∩FEEPB⊥面DEF判断DE⊥面PBCPB⊥面DEF知四面体BDEF四面直角三角形确定直角．
（2）根公理2出DG面DEF面ACBD交线．利直线面垂直判断出DG⊥DFDG⊥DB根面角定义出∠BDF面DEF面ABCD成二面角面角转化直角三角形求解．
解法2）
（1）D原点射线DADCDP分xyz轴正半轴建立空间直角坐标系运量数量积判断．
2）PD⊥底面ABCD（001）面ACDB法量（Ⅰ）知PB⊥面DEF（﹣λ﹣11）面DEF法量．根数量积出夹角余弦出求解答案．
解答解法1）（1）PD⊥底面ABCDPD⊥BC
底面ABCD长方形BC⊥CDPD∩CDD
BC⊥面PCD．DE⊂面PDCBC⊥DE．
PDCD点EPC中点DE⊥PC．
PC∩CBCDE⊥面PBC．PB⊂面PBCPB⊥DE．
PB⊥EFDE∩FEEPB⊥面DEF．
DE⊥面PBCPB⊥面DEF知四面体BDEF四面直角三角形
四面体BDEF鳖臑四面直角分∠DEB∠DEF∠EFB∠DFB．
（2）图1
面BPC延长BCFE交点GDG面DEF面ACBD交线．
（Ⅰ）知PB⊥面DEFPB⊥DG．
PD⊥底面ABCDPD⊥DG．PD∩PBPDG⊥面PBD．
DG⊥DFDG⊥DB
∠BDF面DEF面ABCD成二面角面角
设PDDC1BCλBD
Rt△PDB中DF⊥PB∠DPB∠FDB
tantan∠DPF解．
面DEF面ABCD成二面角时．
（解法2）
（1）D原点射线DADCDP分xyz轴正半轴建立空间直角坐标系．设PDDC1BCλ
D（000）P（001）B（λ10）C（010）（λ1﹣1）点EPC中点E（0）（0）
0PB⊥DE．
已知EF⊥PBED∩EFEPB⊥面DEF．
（01﹣1）0DE⊥PCDE⊥面PBC．
DE⊥面PBCPB⊥面DEF知四面体BDEF四面直角三角形
四面体BDEF鳖臑四面直角分∠DEB∠DEF∠EFB∠DFB．
（2）PD⊥底面ABCD（001）面ACDB法量
（Ⅰ）知PB⊥面DEF（﹣λ﹣11）面DEF法量．
面DEF面ABCD成二面角
运量数量积求解出cos
解．
面DEF面ABCD成二面角时．
点评题综合考查空间直线面垂直问题直线直线直线面垂直转化空间角求解属难题．
20．（12分）某厂鲜牛奶某台设备生产AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨设备1时获利1000元生产1吨B产品需鲜牛奶15吨设备15时获利1200元．求天B产品产量超A产品产量2倍设备天生产AB两种产品时间超12时．假定天获取鲜牛奶数量W（单位：吨）机变量分布列
W
12
15
18
P
03
05
02
该厂天根获取鲜牛奶数量安排生产获利天获利Z（单位：元）机变量．
（1）求Z分布列均值
（2）天获取鲜牛奶数量相互独立求3天中少1天获利超10000元概率．
分析（1）设天AB两种产品生产数量分xy相应获利z列出行域目标函数通W12时W15时W18时分求出目标函数获利然Z分布列．求出期．
（2）判断概率类型二项分布然求解求概率．
解答（12分）
解：（1）设天AB两种产品生产数量分xy相应获利z
①图1目标函数：z1000x+1200y．
W12时①表示面区域图1三顶点分A（00）B（2448）C（60）．
z1000x+1200y变形
x24y48时直线l：y轴截距
获利ZZmax24×1000+48×12008160．
W15时①表示面区域图2三顶点分A（00）B（36）C（750）．．
z1000x+1200y变形
x3y6时直线l：y轴截距
获利ZZmax3×1000+6×120010200．
W18时①表示面区域图3四顶点分A（00）B（36）C（64）D（90）．
z1000x+1200y变形：
x6y4时直线l：y﹣56x+z1200y轴截距获利ZZmax6×1000+4×120010800．
获利Z分布列：
Z
8160
10200
10800
P
03
05
02
E（Z）8160×03+10200×05+10800×029708
（2）（Ⅰ）知天获利超10000元概率P1P（Z＞10000）05+0207
二项分布3天中少1天获利超10000元概率：
．
点评题考查离散型机变量分布列期求法线性规划应二项分布概率求法考查分析问题解决问题力．
21．（14分）种画椭圆工具图1示．O滑槽AB中点短杆ON绕O转动长杆MN通N处铰链ON连接MN栓子D滑槽AB滑动DNON1MN3栓子D滑槽AB作复运动时带动N绕O转动M处笔尖画出椭圆记CO原点AB直线x轴建立图2示面直角坐标系．
（1）求椭圆C方程
（2）设动直线l两定直线l1：x﹣2y0l2：x+2y0分交PQ两点．直线l总椭圆C公点试探究：△OPQ面积否存值？存求出该值存说明理．
分析（1）根条件求出ab求椭圆C方程
（2）联立直线方程椭圆方程求出原点直线距离结合三角形面积公式进行求解．
解答解：（1）设D（t0）|t|≤2
N（x0y0）M（xy）题意2
||||1
∴（t﹣x﹣y）2（x0﹣ty0）
t（t﹣2x0）0
点D动时点N动∴t恒等0
t2x0x0y0﹣
代入x02+y021方程．
（2）①直线l斜率k存时直线l：x4x﹣4S△OPQ
②直线l斜率k存时直线l：ykx+m（k）
消y（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣160
∵直线l总椭圆C公点
∴△64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）0m216k2+4①
P（）理Q（）
原点O直线PQ距离d|PQ|•|xP﹣xQ|
S△OPQ|PQ|d|m||xP﹣xQ||m|||||②
①代入②S△OPQ||8||
k2＞时S△OPQ8（）8（1+）＞8
0≤k2＜时S△OPQ8||﹣8（）8（﹣1+）
∵0≤k2＜时∴0＜1﹣4k2≤1≥2
∴S△OPQ8（﹣1+）≥8仅k0时取等号
∴k0时S△OPQ值8
综知直线l椭圆C四顶点处相切时三角形OPQ面积存值8．
点评题考查椭圆方程求解直线圆锥曲线位置关系应结合三角形面积公式解决题关键．综合性较强运算量较．
22．（14分）已知数列{an}项均正数bnn（1+）nan（n∈N+）e然数底数．
（1）求函数f（x）1+x﹣ex单调区间较（1+）ne
（2）计算推测计算公式出证明
（3）令cn（a1a2…an）数列{an}{cn}前n项分记SnTn证明：Tn＜eSn．
分析（1）求出f（x）定义域利导数求值1+x＜ex．取x答案
（2）bnn（1+）nan（n∈N+）变形求推测（n+1）n．然利数学纳法证明．
（3）cn定义（n+1）n算术﹣均等式bn定义利放缩法证Tn＜eSn．
解答（1）解：f（x）定义域（﹣∞+∞）f′（x）1﹣ex．
f′（x）＞0x＜0时f（x）单调递增
f′（x）＜0x＞0时f（x）单调递减．
f（x）单调递增区间（﹣∞0）单调递减区间（0+∞）．
x＞0时f（x）＜f（0）01+x＜ex．
令．①
（2）解：
．
推测：（n+1）n．②
面数学纳法证明②．
（1）n1时左边右边2②成立．
（2）假设nk时②成立．
nk+1时纳假设
．
∴nk+1时②成立．
根（1）（2）知②切正整数n成立．
（3）证明：cn定义②算术﹣均等式bn定义①
Tnc1+c2+…+cn
＜ea1+ea2+…+eaneSn．
Tn＜eSn．
点评题考查导数研究函数中应考查利纳法证明然数关问题考查推理证力运算求解力创新知识考查利放缩法证明数列等式压轴题．
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