山柳讲数学
1
第六学 值问题解题策略
基础点
初中阶段方面求线段值问题离开两句话．
起声喊出：
两点间线段短
垂线段短．
基模型：军饮马胡阿氏圆．
典型例题
模型 1：军饮马
模型介绍：古希腊著名军饮马问题致容：古希腊位军天
巡查河岸侧两军营 AB总先 A 营河边饮马 B 营图 ①
时常想走天路程短呢？
数学家海伦轴称方法巧妙解决问题
图②作 B 关直线 l 称点 B′连接 AB′直线 l 交点 C点 C 求位置．
请列阅读应程中完成解答．
（1）理：图③直线 L 取点 C′连接 AC′BC′B′C′
∵直线 l 点 BB′称轴点 CC′ l
∴CB C′B
∴AC+CBAC+CB′ ．
△AC′B′中∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′ AC+CB
纳结：
问题实际利轴称变换思想 AB 直线侧问题转化直线两侧
利两点间线段短转化三角形两边第三边问题加解决（
中 C AB′ l 交点 ACB′三点线）．
问题拓展求定直线动点直线外两定点距离值问题数学模型．
（2）模型应
[1]图 ④正方形 ABCD 边长 2E AB 中点F AC 动点．
求 EF+FB 值
分析：解决问题助面模型正方形称性知B D 关直线 AC
称连结 ED 交 AC F EF+FB 值线段 长度EF+FB 值
．
[2]图⑤已知⊙O 直径 CD 4∠AOD 度数 60°点 B 中点直径 CD
找点 P BP+AP 值 BP+AP 值 山柳讲数学
2
[3]图⑥次函数 y﹣2x+4 图象 xy 轴分交 AB 两点点 O 坐标原点点
C 点 D 分线段 OAAB 中点点 P OB 动点求：PC+PD 值写
出取值时 P 点坐标．
图⑦
（3）拓展迁移
图⑦已知抛物线 yax2+bx+c（a≠0）称轴 x1抛物线 A（﹣10）C（0
﹣3）两点 x 轴交点 B．
①求条抛物线应函数关系式
②抛物线称轴直线 x1 找点 M△ACM 周长请求出时点 M 坐标
△ACM 周长值．（结果保留根号）
（4）代数应：求代数式 3664 22 xx （0≤x≤6）值．山柳讲数学
3
模型 2：胡
历史事：说身乡伙子知父亲病危消息便日夜赶路回
家．然气喘吁吁父亲面前时老刚刚咽气．告诉弥留际
老断喃喃叨念：胡？胡？
早期科学家古老传说中伙子设想条路线．（图）A 出发
B 目AC 条驿道驿道目侧沙．急切回家伙子选择
直线路程 AB．
忽略驿道行走砂土带行走快素．果选择条合
适路线（条路线长速度加快）提前抵达家门．
应该条路线呢？显然根两种路面状况行走速度值
AC 选定点 D伙子 A 走 D然 D 折 B早达 B．现代科学
语言表达：
驿道行走速度 1V 沙行走速度 2V 求
21 V
BD
V
AD 值
模型分析图已知点（60）B（02 3 ）点 P x 轴动点求 PBPA
2
1
值．山柳讲数学
4
模型 3：阿氏圆
问题提出：图 1 Rt△ABC 中∠ACB90°CB4CA6⊙C 半径 2P 圆
动点连结 APBP求 AP+ BP 值．
（1）尝试解决：解决问题面出种解题思路：图 2连接 CP CB
取点 D CD1 ∵∠PCD∠BCP∴△PCD∽△BCP．∴
∴PD BP∴AP+ BPAP+PD．
请完成余思考直接写出答案：AP+ BP 值 ．
（2）探索：问题提出条件变情况 AP+BP 值 ．
（3）拓展延伸：已知扇形 COD 中∠COD90°OC6OA3OB5点 P 点
求 2PA+PB 值．山柳讲数学
5
巩固训练
1．某课题组探究军饮马问题时抽象出数学模型：直线 l 旁两定点 AB直
线 l 存点 P PA+PB 值．解法：作点 A 关直线 l 称点 A′连接 A′B
A′B 直线 l 交点 P PA+PB 值 A′B．请利述模型解决列问题：
（1）应：图 1等腰直角三角形 ABC 直角边长 2E 斜边 AB 中点P
AC 边动点 PB+PE 值
（2）拓展：图 2△ABC 中AB2∠BAC30° ACAB 取点 MN
BM+MN 值求值
（3）代数应：求代数式 （0≤x≤4）值．
2．图抛物线yx2﹣2x﹣3x轴交AB两点B直线交抛物线Etan∠EBA
蚂蚁 A 出发先 1 单位s 速度爬线段 BE 点 D 处 125 单位s
速度着 DE 爬 E 点处觅食蚂蚁 A E 短时间 s．
3．图面直角坐标系中二次函数 yax2+bx+c 图象点 A（﹣10）B（0
﹣ ）C（20）称轴 x 轴交点 D．
（1）求二次函数表达式顶点坐标
（2） P y 轴动点连接 PD求 PB+PD 值．山柳讲数学
6
4．图示已知抛物线 ya（x+3）（x﹣1）（a≠0） x 轴左右次相交 AB
两点 y 轴相交点 C点 A 直线 y﹣ x+b 抛物线交点 D．
（1）点 D 横坐标 2求抛物线函数解析式
（2）（1）条件设点 E 线段 AD 点（含端点）连接 BE．动点 Q
点 B 出发线段 BE 秒 1 单位速度运动点 E线段 ED 秒 单位
速度运动点 D 停止问点 E 坐标少时点 Q 整运动程中时间
少？
5．图半圆半径 1AB 直径ACBD 切线AC1BD2P 动点
求 PC+PD 值．
6．图直线 y＝x＋2 抛物线 y＝x 2－2mx＋m 2＋m 交 AB 两点（A B 左侧）
y 轴交点 C抛物线顶点 D抛物线称轴直线 AB 交点 M．
（1） P 直线 OD 动点求△APB 面积
（2）四边形 CODM 菱形时求点 D 坐标
（3）作点 B 关直线 MD 称点 B′ M 圆心MD 半径作⊙M点 Q ⊙M
动点求 QB′＋ 2
2 QB 值．
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第六学 值问题解题策略
基础点
初中阶段方面求线段值问题离开两句话．
起声喊出：
两点间线段短
垂线段短．
基模型：军饮马胡阿氏圆．
典型例题
模型 1：军饮马
模型介绍：古希腊著名军饮马问题致容：古希腊位军天
巡查河岸侧两军营 AB总先 A 营河边饮马 B 营图 ①
时常想走天路程短呢？
数学家海伦轴称方法巧妙解决问题
图②作 B 关直线 l 称点 B′连接 AB′直线 l 交点 C点 C 求位置．
请列阅读应程中完成解答．
（1）理：图③直线 L 取点 C′连接 AC′BC′B′C′
∵直线 l 点 BB′称轴点 CC′ l
∴CB C′B
∴AC+CBAC+CB′ ．
△AC′B′中∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′ AC+CB
纳结：
问题实际利轴称变换思想 AB 直线侧问题转化直线两侧
利两点间线段短转化三角形两边第三边问题加解决（
中 C AB′ l 交点 ACB′三点线）．
问题拓展求定直线动点直线外两定点距离值问题数学模型．
（2）模型应
[1]图 ④正方形 ABCD 边长 2E AB 中点F AC 动点．
求 EF+FB 值
分析：解决问题助面模型正方形称性知B D 关直线 AC
称连结 ED 交 AC F EF+FB 值线段 长度EF+FB 值
．
[2]图⑤已知⊙O 直径 CD 4∠AOD 度数 60°点 B 中点直径 CD
找点 P BP+AP 值 BP+AP 值 山柳讲数学
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[3]图⑥次函数 y﹣2x+4 图象 xy 轴分交 AB 两点点 O 坐标原点点
C 点 D 分线段 OAAB 中点点 P OB 动点求：PC+PD 值写
出取值时 P 点坐标．
图⑦
（3）拓展迁移
图⑦已知抛物线 yax2+bx+c（a≠0）称轴 x1抛物线 A（﹣10）C（0
﹣3）两点 x 轴交点 B．
①求条抛物线应函数关系式
②抛物线称轴直线 x1 找点 M△ACM 周长请求出时点 M 坐标
△ACM 周长值．（结果保留根号）
（4）代数应：求代数式 3664 22 xx （0≤x≤6）值．山柳讲数学
3
模型 2：胡
历史事：说身乡伙子知父亲病危消息便日夜赶路回
家．然气喘吁吁父亲面前时老刚刚咽气．告诉弥留际
老断喃喃叨念：胡？胡？
早期科学家古老传说中伙子设想条路线．（图）A 出发
B 目AC 条驿道驿道目侧沙．急切回家伙子选择
直线路程 AB．
忽略驿道行走砂土带行走快素．果选择条合
适路线（条路线长速度加快）提前抵达家门．
应该条路线呢？显然根两种路面状况行走速度值
AC 选定点 D伙子 A 走 D然 D 折 B早达 B．现代科学
语言表达：
驿道行走速度 1V 沙行走速度 2V 求
21 V
BD
V
AD 值
模型分析图已知点（60）B（02 3 ）点 P x 轴动点求 PBPA
2
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值．山柳讲数学
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模型 3：阿氏圆
问题提出：图 1 Rt△ABC 中∠ACB90°CB4CA6⊙C 半径 2P 圆
动点连结 APBP求 AP+ BP 值．
（1）尝试解决：解决问题面出种解题思路：图 2连接 CP CB
取点 D CD1 ∵∠PCD∠BCP∴△PCD∽△BCP．∴
∴PD BP∴AP+ BPAP+PD．
请完成余思考直接写出答案：AP+ BP 值 ．
（2）探索：问题提出条件变情况 AP+BP 值 ．
（3）拓展延伸：已知扇形 COD 中∠COD90°OC6OA3OB5点 P 点
求 2PA+PB 值．山柳讲数学
5
巩固训练
1．某课题组探究军饮马问题时抽象出数学模型：直线 l 旁两定点 AB直
线 l 存点 P PA+PB 值．解法：作点 A 关直线 l 称点 A′连接 A′B
A′B 直线 l 交点 P PA+PB 值 A′B．请利述模型解决列问题：
（1）应：图 1等腰直角三角形 ABC 直角边长 2E 斜边 AB 中点P
AC 边动点 PB+PE 值
（2）拓展：图 2△ABC 中AB2∠BAC30° ACAB 取点 MN
BM+MN 值求值
（3）代数应：求代数式 （0≤x≤4）值．
2．图抛物线yx2﹣2x﹣3x轴交AB两点B直线交抛物线Etan∠EBA
蚂蚁 A 出发先 1 单位s 速度爬线段 BE 点 D 处 125 单位s
速度着 DE 爬 E 点处觅食蚂蚁 A E 短时间 s．
3．图面直角坐标系中二次函数 yax2+bx+c 图象点 A（﹣10）B（0
﹣ ）C（20）称轴 x 轴交点 D．
（1）求二次函数表达式顶点坐标
（2） P y 轴动点连接 PD求 PB+PD 值．山柳讲数学
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4．图示已知抛物线 ya（x+3）（x﹣1）（a≠0） x 轴左右次相交 AB
两点 y 轴相交点 C点 A 直线 y﹣ x+b 抛物线交点 D．
（1）点 D 横坐标 2求抛物线函数解析式
（2）（1）条件设点 E 线段 AD 点（含端点）连接 BE．动点 Q
点 B 出发线段 BE 秒 1 单位速度运动点 E线段 ED 秒 单位
速度运动点 D 停止问点 E 坐标少时点 Q 整运动程中时间
少？
5．图半圆半径 1AB 直径ACBD 切线AC1BD2P 动点
求 PC+PD 值．
6．图直线 y＝x＋2 抛物线 y＝x 2－2mx＋m 2＋m 交 AB 两点（A B 左侧）
y 轴交点 C抛物线顶点 D抛物线称轴直线 AB 交点 M．
（1） P 直线 OD 动点求△APB 面积
（2）四边形 CODM 菱形时求点 D 坐标
（3）作点 B 关直线 MD 称点 B′ M 圆心MD 半径作⊙M点 Q ⊙M
动点求 QB′＋ 2
2 QB 值．
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