升初数学知识点汇总升初数学总复资料
第章 数数运算
概念
（）整数
1整数意义：然数0整数
2然数：数物体时候表示物体数123……做然数
物体没0表示0然数
3计数单位：（）十百千万十万百万千万亿……计数单位
相邻两计数单位间进率10样计数法做十进制计数法
4 数位：计数单位定序排列起占位置做数位
5数整：
（1）整倍数数：整数a整数b(b ≠ 0）商整数没余数说ab整者说b整a
果数a数b（b ≠ 0）整a做b倍数b做a数（a数）倍数数相互存
例357整357倍数735数
★数数数限中数1数身例：10数12510中数1数10
★数倍数数限中倍数身3倍数：36912……中倍数3 没倍数
（2）整性质：
★位02468数2整例：2024803042整
★位05数5整例：5304055整
★数位数3整数3整例：121082043整
★数位数9整数9整
★3整数定9整9整数定3整
★数末两位数4（25）整数4（25）整例：1640412564整50325500167525整
★数末三位数8（125）整数8（125）整例：116846005000123448整1125133755000125整
（3）奇偶性：2整数做偶数 2整数做奇数
0偶数然数否2 整特征分奇数偶数
（4）质数合数：数果1身两数样数做质数（素数）100质数：2357111317192329313741434753596167717379838997
数果1身数样数做合数例 468912合数
★1质数合数然数1外质数合数果然数数数分类分质数合数1
（5）分解质数：合数写成质数相形式中质数合数数做合数质数例153×535 做15质数
合数质数相形式表示出做分解质数例28分解质数2822×7
（6）公数公倍数：数公数做数公数中做数公数例12数123461218数1236918中1236121 8公数6公数
公数1两数做互质数成互质关系两数列种情况：
★1然数互质★相邻两然数互质★两质数互质★合数质数倍数时合数质数互质
★两合数公数1时两合数互质果数中意两互质说数两两互质
★果较数较数数较数两数公数
★果两数互质数公数1
数公倍数做数公倍数中做数公倍数2倍数246 81012141618 ……
3倍数369121518 …… 中61218……23公倍数6公倍数
果较数较数倍数较数两数公倍数
果两数互质数两数积公倍数
数公数数限数公倍数数限
（二）数
1 数意义
整数1均分成10份100份1000份…… 十分百分千分…… 数表示
位数表示十分两位数表示百分三位数表示千分……
数整数部分数部分数点部分组成数中圆点做数点数点左边数做整数部分数点左边数做整数部分数点右边数做数部分
数里相邻两计数单位间进率10数部分高分数单位十分整数部分低单位间进率10
2数分类
纯数：整数部分零数做纯数例： 025 0368 纯数
带数：整数部分零数做带数 例： 325 526 带数
限数：数部分数位限数做限数 例：417 253 023 限数
限数：数部分数位限数做限数 例： 433 …… 31415926 ……
限循环数：数数部分数字排列规律位数限样数做限循环数 例：∏
循环数：数数部分数字者数字次断重复出现数做循环数 例： 3555
…… 00333 …… 12109109 ……
循环数数部分次断重复出现数字做循环数循环节 例： 399 ……循环节 9 05454 ……循环节 54
纯循环数：循环节数部分第位开始做纯循环数 例： 3111 …… 05656 ……
混循环数：循环节数部分第位开始做混循环数 31222 …… 003333 ……
写循环数时候简便数循环部分需写出循环节循环节首末位数字点圆点果循环 节 数字面点点例： 3777 …… 简写作 05302302 …… 简写作
（三）分数
1 分数意义
★单位1均分成干份表示样份者份数做分数
分数里中间横线做分数线分数线面数做分母表示单位1均分成少份分数线面数做分子表示样少份
单位1均分成干份表示中份数做分数单位
2 分数分类
真分数：分子分母分数做真分数真分数1
假分数：分子分母者分子分母相等分数做假分数假分数等1
带分数：假分数写成整数真分数合成数通常做带分数
3 约分通分
分数化成相等分子分母较分数做约分
分子分母互质数分数做简分数
异分母分数分化成原分数相等分母分数做通分
（四）百分数
1 表示数数百分数 做百分数做百分率 百分百分数通常表示百分号表示百分数符号
二 方法
（）数读法写法
1 整数读法：高位低位级级读读亿级万级时先级读法读面加亿万字级末尾0读出数位连续0读零
2 整数写法：高位低位级级写数位单位没数位写0
3 数读法：读数时候整数部分整数读法读数点读作点数部分左右次读出位数位数字
4 数写法：写数时候整数部分整数写法写数点写位右角数部分次写出数位数字
5 分数读法：读分数时先读分母读分然读分子分子分母整数读法读
6 分数写法：先写分数线写分母写分子整数写法写
7 百分数读法：读百分数时先读百分读百分号前面数读数时整数读法读
8 百分数写法：百分数通常写成分数形式原分子面加百分号表示
（二）数改写
较位数读写方便常常改写成万亿作单位数时根需省略数某位面数写成似数
1 准确数：实际生活中计数简便较数改写成万亿单位数改写数原数准确数 例 1254300000 改写成万做单位数 125430 万改写成 亿做单位 数 12543 亿
2 似数：根实际需较数省略某位面尾数似数表示 例： 1302490015 省略亿面尾数 13 亿
3 四舍五入法：省略尾数高位数4 者4尾数掉果尾数高位数5者5尾数舍前位进1例：省略 345900 万面尾数约 35 万省略 4725097420 亿面尾数约 47 亿
4 较
（1）较整数：较整数位数数果位数相高位高位数数高位数相位位数数
（2）较数：先整数部分整数部分数整数部分相十分位数数十分位数相百分位数数……
（3）较分数分母相分数分子分数较分子相数分母分数分数分母分子相先通分较两数
（三）数互化
1 数化成分数：原位数1面写零作分母原数掉数点作分子约分约分
2 分数化成数：分母分子化成限数化成限数般保留三位数
3 简分数果分母中25外含质数分数化成限数果分母中含25 外质数分数化成限数
4 数化成百分数：数点右移动两位时面添百分号
5 百分数化成数：百分数化成数百分号掉时数点左移动两位
6 分数化成百分数：通常先分数化成数（时通常保留三位数)数化成百分数
7 百分数化成数：先百分数改写成分数约分约成简分数
（四）数整
1 合数分解质数通常短法先整合数质数直商质数止数商写成连形式
2 求数公数方法：先数公数连续直商公数1止然数连求积积数公数
3 求数公倍数方法：先数（中部分数）公数直互质（两两互质）止然数商连求积积数公倍数
4 成互质关系两数：1然数互质 相邻两然数互质 合数质数倍数时合数质数互质 两合数公数1时两合数互质
（五） 约分通分
约分方法：分子分母公数（1外）分子分母通常出简分数止
通分方法：先求出原分数分母公倍数然分数化成公倍数作分母分数
三 性质规律
（）商变规律
商变规律：法里数数时扩者时缩相倍商变
（二）数性质 数性质：数末尾添零者掉零数变
（三）数点位置移动引起数变化
1 数点右移动位原数扩10倍数点右移动两位原数扩100倍数点右移动三位原数扩1000倍……
2 数点左移动位原数缩10倍数点左移动两位原数缩100倍数点左移动三位原数缩1000倍……
3 数点左移者右移位数够时0补足位
（四）分数基性质
分数基性质：分数分子分母者相数（零外）分数变
（五）分数法关系
1 数÷数 数数
2 零作数分数分母零
3 数 相分子数相分母
四 运算意义
（）整数四运算
1整数加法：
两数合成数运算做加法
加法里相加数做加数加数做加数部分数总数
加数+加数 加数－加数
2整数减法：
已知两加数中加数求加数运算做减法
减法里已知做减数已知加数做减数未知加数做差减数总数减数差分部分数
加法减法互逆运算
3整数法：
求相加数简便运算做法
法里相加数相加数数做数相加数做积
法里0数相0 1数相数
数× 数 积 数积÷数
4 整数法：
已知两数积中数求数运算做法
法里已知积做数已知数做数求数做商
法法互逆运算
法里0做数0数相0数0均确定商
数÷数商 数数÷商 数商×数
（二）数四运算
1 数加法：
数加法意义整数加法意义相两数合成数运算
2 数减法：
数减法意义整数减法意义相已知两加数中加数求加数运算
3 数法：
数整数意义整数法意义相求相加数简便运算数纯数意义求数十分百分千分……少
4 数法：
数法意义整数法意义相已知两数积中数求数运算
5 方
求相数积运算做方例 3 × 3 32
（三）分数四运算
1 分数加法：分数加法意义整数加法意义相 两数合成数运算
2 分数减法：分数减法意义整数减法意义相已知两加数中加数求加数运算
3 分数法：分数法意义整数法意义相求相加数简便运算
4 积1两数做互倒数
5 分数法：分数法意义整数法意义相已知两数积中数求数运算
（四）运算定律
1 加法交换律：两数相加交换加数位置变a+bb+a
2 加法结合律：三数相加先前两数相加加第三数者先两数相加第数相加变（a+b)+ca+(b+c)
3 法交换律：两数相交换数位置积变a×bb×a
4 法结合律：三数相先前两数相第三数者先两数相第数相积变(a×b)×ca×(b×c)
5 法分配律：两数数相两加数分数相两积相加(a+b)×ca×c+b×c
6 减法性质：数里连续减数数里减减数差变abca(b+c)
（五）运算法
1 整数加法计算法：相数位齐低位加起位数相加满十前位进
2 整数减法计算法：相数位齐低位加起位数够减前位退作十位数合起减
3 整数法计算法：先数位数分数数位数数位数数末尾齐位然次数加起
4 整数法计算法：先数高位起数位数数前位 果够位数位商写位面果位够商1补0占位次余数数
5 数法法：先整数法计算法算出积数中位数积右边起数出位点数点果位数够0补足
6 数整数数法计算法：先整数法法商数点数数点齐果数末尾余数余数面添
0继续
7 数数法计算法：先移动数数点变成整数数数点右移动位（位数够补0）然数整数法法进行计算
8 分母分数加减法计算方法分母分数相加减分子相加减分母变
9 异分母分数加减法计算方法先通分然分母分数加减法法进行计算
10 带分数加减法计算方法整数部分分数部分分相加减数合起
11 分数法计算法分数整数分数分子整数相积作分子分母变分数分数分子相积作分子分母相积作分母
12 分数法计算法甲数乙数（0外）等甲数乙数倒数
（六） 运算序
1 数四运算运算序整数四运算序相
2 分数四运算运算序整数四运算序相
3 没括号混合运算
级运算左右次运算两级运算 先算法算加减法
4 括号混合运算
先算括号里面算中括号里面算括号外面
5 第级运算：加法减法做第级运算
6 第二级运算：法法做第二级运算
五 应
（）整数数应
1 简单应题
（1） 简单应题：含种基数量关系步运算解答应题通常做简单应题
（2） 解题步骤：
a 审题理解题意：解应题容知道应题条件问题读题时丢字添字边读边思考弄明白题中句话意思复述条件问题帮助理解题意
b选择算法列式计算：解答应题中心工作题目中告诉什求什着手逐步根条件问题联系四运算含义分析数量关系确定算法进行解答标明正确单位名称
C检验：根应题条件问题进行检查列算式计算程否正确否符合题意果发现错误马改正
2 复合应题
（1）两两基数量关系组成两步两步运算解答应题通常做复合应题
（2）含三已知条件两步计算应题
求两数（少）数应题
较两数差倍数关系应题
（3）含两已知条件两步计算应题
已知两数相差少（倍数关系）中数求两数（差）
已知两数中数求两数相差少（倍数关系）
（4）解答连连应题
（5）解答三步计算应题
（6）解答数计算应题：数计算加法减法法法应题数量关系结构解题方式正式应题基相已知数未知数中间含数
d答案：根计算结果先口答逐步渡笔答
( 3 ) 解答加法应题：
a求总数应题：已知甲数少乙数少求甲乙两数少
b求数数应题：已知甲数少乙数甲数少求乙数少
(4 ) 解答减法应题：
a求剩余应题：已知数中掉部分求剩部分
b求两数相差少应题：已知甲乙两数少求甲数乙数少乙数甲数少少
c求数少数应题：已知甲数少乙数甲数少少求乙数少
(5 ) 解答法应题：
a求相加数应题：已知相加数相加数数求总数
b求数倍少应题：已知数少数倍求数少
( 6) 解答法应题：
a数均分成份求份少应题：已知数数均分成份求份少
b求数里包含数应题：已知数份少求分成份
C 求数数倍应题：已知甲数乙数少求较数较数倍
d已知数倍少求数应题
（7）常见数量关系：
总价 单价×数量路程 速度×时间工作总量工作时间×工效总产量单产量×数量
3典型应题
具独特结构特征特定解题规律复合应题通常做典型应题
（1）均数问题：均数等分法发展
解题关键：确定总数量相应总份数
算术均数：已知相等类量相应份数求均份少数量关系式：数量÷数量数算术均数
加权均数：已知两干份均数求总均数少
数量关系式 （部分均数×权数）总÷（权数）加权均数
差额均数：标准数部分总份数均分求标准数数相差均数
数量关系式：（数－数）÷2数应数 数数差÷总份数数应数 数数差÷总份数数应数
例：辆汽车时 100 千米 速度甲开乙时 60 千米速度乙开甲求辆车均速度
分析：求汽车均速度样利公式题甲乙路程设 1 汽车行驶总路程 2 甲乙速度 100 时间1÷100 汽车乙甲速度 60 千米 时间1÷60 汽车行时间1÷100 +1÷60 汽车均速度 2 ÷（1÷100 +1÷60） 75 （千米）
（2）问题：已知相互关联两量中种量改变种量改变变化规律相种问题称问题
根求单量步骤少问题分次问题两次问题
根球痴单量解题采法法问题分正问题反问题
次问题步运算求出单量问题称单
两次问题两步运算求出单量问题称双
正问题：等分法求出单量法计算结果问题
反问题：等分法求出单量法计算结果问题
解题关键：已知组应量中等分法求出份数量（单量）然标准根题目求算出结果
数量关系式：单量×份数总数量（正）
总数量÷单量份数（反）
例织布工七月份织布 4774 米 样计算织布 6930 米 需少天？
分析：必须先求出均天织布少米单量 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） 45 （天）
（3）总问题：已知单位数量计量单位数量数单位数量（单位数量数）通求总数量求单位数量数（单位数量）
特点：两种相关联量中种量变化种量着变化变化规律相反反例算法彼相通
数量关系式：单位数量×单位数÷单位数量单位数量 单位数量
×单位数÷单位数量 单位数量
例 修条水渠原计划天修 800 米 6 天修完实际 4 天修完天修少米？
分析：求出天修长度必须先求出水渠长度类应题做总问题处先求出单量求总量总问题先求出总量求单量 80 0 × 6 ÷ 41200 （米）
（4） 差问题：已知两数差求两数少应题做差问题
解题关键：两数转化成两数（两数）然求数
解题规律：（＋差）÷2 数 数－差数
（－差）÷2数 －数 数
例 某加工厂甲班乙班工 94 工作需时乙班调 46 甲班工作时乙班甲班数少 12 求原甲班乙班少？
分析：乙班调 46 甲班总数没变化现乙数转化成 2 乙班 9 4 － 12 现乙班（ 9 4 － 12 ）÷ 241 （）乙班调出 46 前应该 41+4687 （）甲班 9 4 － 877 （）
（5）倍问题：已知两数间倍数 关系求两数少应题做倍问题
解题关键：找准标准数（1倍数）般说题中说谁倍谁确定标准数求出倍数求出标准数量少根数（数）标准数倍数关系求数（数）数量
解题规律：÷倍数标准数 标准数×倍数数
例汽车运输场货车 115 辆货车货车 5 倍 7 辆运输场货车汽车少辆？
分析：货车货车5倍7辆 7 辆总数 115 辆总数（ 5+1 ）倍应总车辆数应（ 1157 ）辆
列式（ 1157 ）÷（ 5+1 ） 18 （辆） 18 × 5+797 （辆）
（6）差倍问题：已知两数差两数倍数关系求两数少应题
解题规律：两数差÷（倍数－1 ） 标准数 标准数×倍数数
例 甲乙两根绳子甲绳长 63 米 乙绳长 29 米 两根绳剪样长度结果甲剩长度乙绳 长 3 倍甲乙两绳剩长度少米？ 减少米？
分析：两根绳子剪相段长度差没变甲绳剩长度乙绳 3 倍实乙绳（ 31 ）倍乙绳长度标准数列式（ 6329 ）÷（ 31 ） 17 （米）…乙绳剩长度 17 × 351 （米）…甲绳剩长度 291712 （米）…剪长度
（7）行程问题：关走路行车等问题般计算路程时间速度做行程问题解答类问题首先搞清楚速度时间路程方杜速度速度差等概念解间关系根类问题规律解答
解题关键规律：
时相背行：路程速度×时间 时相行：相遇时间速度×时间
时行（速度慢前快）：追时间路程速度差
时行（速度慢快前）：路程速度差×时间
例 甲乙面 28 千米 两时行甲时行 16 千米 乙时行 9 千米 甲时追乙？
分析：甲时乙行（ 169 ）千米甲时追乙（ 169 ）千米速度差
已知甲乙面 28 千米 （追击路程） 28 千米 里包含着（ 169 ）千米追击需时间列式 2 8 ÷ （ 169 ） 4 （时）
（8）流水问题：般研究船流水中航行问题行程问题中较特殊种类型种差问题特点考虑水速逆行行中作
船速：船静水中航行速度水速：水流动速度
水速度：船流航行速度逆水速度：船逆流航行速度
速船速＋水速逆速船速－水速
解题关键：流速度船速水速逆流速度船速水速差流水问题作差问题解答 解题时水流线索
解题规律：船行速度（水速度+ 逆流速度）÷2流水速度（流速度逆流速度）
÷2
路程流速度× 流航行需时间路程逆流速度×逆流航行需时间
例 轮船甲开乙水行时行 28 千米 乙逆水 航行回甲逆水水行 2 时已知水速时 4 千米求甲乙两相距少千米？
分析：题必须先知道水速度水需时间者逆水速度逆水时间已知水速度水流 速度难算出逆水速度水时间逆水时间知道知道水逆水少 2 时抓住点算出水甲乙时间样算出甲乙两路程列式 284 × 220 （千米） 2 0 × 2 40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） 5（时） 28 ×5140 （千米）
（9）原问题：已知某未知数定四运算结果求未知数应题做原问题
解题关键：弄清步变化未知数关系
解题规律：结果 出发采原题中相反运算（逆运算）方法逐步推导出原数
根原题运算序列出数量关系然采逆运算方法计算推导出原数
解答原问题时注意观察运算序需先算加减法算法时忘记写括号
例 某学三年级四班学生 168 果四班调 3 三班三班调 6 二班二班调 6 班班调 2 四班四班数相等四班原学生少？
分析：四班数相等时应 168 ÷ 4 四班例调三班 3 班调入 2 四班原数减 3 加 2 等均数四班原数列式 168 ÷ 42+343 （）
班原数列式 168 ÷ 46+238 （）二班原数列式 168 ÷ 46+642 （） 三班原数列式 168 ÷ 43+645 （）
（10）植树问题：类应题植树容研究总路程株距段数棵树四种数量关系应题做植树问题
解题关键：解答植树问题首先判断形分清否封闭图形确定线段植树周长植树然基公式进行计算
解题规律：线段植树：
★棵树段数+1 棵树总路程÷株距+1 ★株距总路程÷（棵树1） 总路程株距×（棵树1）
周长植树：
棵树总路程÷株距 株距总路程÷棵树 总路程株距×棵树
例 公路旁埋电线杆 301 根相邻两根间距 50 米 全部改装埋201 根求改装相邻两根间距
分析：题线段埋电线杆电线杆根数减掉列式 50 ×（ 3011 ）÷（ 2011 ） 75 （米）
（11）盈亏问题：等分法基础发展起 特点定数量物品均分配定数量两次分配中次余次足（两次余两次足）已知余足数量求物品适量参加分配数问题盈亏问题
解题关键：盈亏问题解法点先求两次分配中分配者没份物品数量差求两次分配中次分物品差（称总差额）前差差分配者数进求物品数
解题规律：总差额÷差额数
总差额求法分四种情况：
第次余第二次足总差额余+ 足
第次正第二次余足 总差额余足
第次余第二次余总差额余余
第次足第二次足 总差额 足足
例 参加美术组学分相支数色笔果组 10 25 支果组 12 色笔余 5 支求 分支？少支色铅笔？
分析：学分色笔相等活动组 12 10 2 色笔出（ 255 ） 20 支 2 出 20 支分 10 支列式（ 255 ）÷（ 1210 ） 10 （支） 10 × 12+5125 （支）
（12）年龄问题：差定值两数作题中条件种应题称年龄问题
解题关键：年龄问题差倍 差倍问题类似特点着时间变化年岁断增长两年龄差会改变年龄问题种
差变问题解题时善利差变特点
例 父亲 48 岁子 21 岁问年前父亲年龄子 4 倍？
分析：父子年龄差 482127 （岁）年前父亲年龄子 4 倍知父子年龄倍数差（ 41 ）倍样算出年前父子年龄求出年前父亲年龄子 4 倍列式： 21（ 4821 ）÷（ 41 ） 12 （年）
（13）鸡兔问题：已知鸡兔总头数总腿数求鸡兔少类应题通常称鸡兔问题称鸡兔笼问题
解题关键：解答鸡兔问题般采假设法假设全种动物（全鸡全兔然根出现腿数差推算出某种头数
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷鸡兔腿数差兔子数
兔子数（总腿数2×总头数）÷2
果假设全兔子面式子：
鸡数（4×总头数总腿数）÷2
兔头数总头数鸡数
例 鸡兔笼 50 头 170 条腿问鸡兔少？
兔子数 （ 1702 × 50 ）÷ 2 35 （） 鸡数 503515 （）
（二）分数百分数应
1 分数加减法应题：
分数加减法应题整数加减法应题结构数量关系解题方法基相已知数未知数中含分数
2分数法应题：
指已知数求分少应题
特征：已知单位1量分率求分率应实际数量
解题关键：准确判断单位1量找准求问题应分率然根数分数意义正确列式
3 分数法应题：
求数数分（百分）少
特征：已知数数求数数分百分
数较量数标准量求分率百分率求倍数关系
解题关键：问题入手搞清谁作标准数谁作单位谁单位量作较谁作数
甲乙分（百分）甲较量乙标准量甲乙
甲乙（少）分（百分）：甲减乙乙（少分）（百分）关系式（甲数减乙数）乙数（甲数减乙数）甲数
已知数分（百分 ) 求数
特征：已知实际数量相应分率求单位1量
解题关键：准确判断单位1量单位1量成x根分数法意义列方程者根分数法意义列算式必须找准分率相应已知实际数量
4 出勤率
发芽率发芽种子数试验种子数×100
麦出粉率 面粉重量麦重量×100
产品合格率合格产品数产品总数×100
职工出勤率实际出勤数应出勤数×100
5 工程问题：
分数应题特例整数工作问题着密切联系探讨工作总量工作效率工作时间三数量间相互关系种应题
解题关键：工作总量作单位1工作效率工作时间倒数然根题目具体情况灵活运公式
数量关系式：
工作总量工作效率×工作时间 工作效率工作总量÷工作时间
工作时间工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率合作时间
6 纳税
纳税根国家种税法关规定定率集体收入部分缴纳国家
缴纳税款应纳税款
应纳税额种收入（销售额营业额应纳税额 ……）率做税率
★ 利息
存入银行钱做金
取款时银行支付钱做利息
利息金值做利率
利息金×利率×时间
第二章 度量衡
长度
() 什长度
长度维空间度量
(二) 长度常单位
★ 公里(km) ★ 米(m) ★ 分米(dm) ★ 厘米(cm) ★ 毫米(mm) ★ 微米(um)
(三) 单位间换算
★ 1毫米 ＝1000微米 ★ 1厘米 ＝10 毫米 ★ 1分米 ＝10 厘米 ★ 1米 ＝1000 毫米 ★ 1千米 ＝1000 米
二 面积
（）什面积
面积物体占面立体物体表面少测量般称表面积
（二）常面积单位
★ 方毫米 ★ 方厘米 ★ 方分米 ★ 方米 ★ 方千米
（三）面积单位换算
★ 1方厘米 ＝100 方毫米 ★ 1方分米100方厘米 ★ 1方米 ＝100 方分米
★ 1公倾 ＝10000 方米 ★ 1方公里 ＝100 公顷
三 体积容积
（）什体积容积
体积物体占空间
容积箱子油桶仓库等容纳物体体积通常做容积
（二）常单位
1 体积单位
★ 立方米 ★ 立方分米 ★ 立方厘米
2 容积单位 ★ 升 ★ 毫升
（三）单位换算
1 体积单位
★ 1立方米1000立方分米 ★ 1立方分米1000立方厘米
2 容积单位
★ 1升1000毫升★ 1升1立方米 ★ 1毫升1立方厘米
四 质量
（）什质量
质量表示表示物体重
（二）常单位
★ 吨 t ★ 千克 kg ★ 克 g
（三）常换算
★ 吨1000千克 ★ 1千克1000克
五 时间
（）什时间
指起点终点段时间
（二）常单位
世纪 年 月 日 时 分 秒
（三）单位换算
★ 1世纪100年 ★ 1年365天 年 ★ 年366天 闰年
★ 三五七八十十二月 月31 天
★ 四六九十月月 月30天
★ 年2月28天 闰年2月29天
★ 1天 24时 ★ 1时60分 ★ 分60秒
六 货币
（）什货币
货币充切商品等价物特殊商品货币价值般代表购买商品
（二）常单位
★ 元 ★ 角 ★ 分
（三）单位换算
★ 1元10角 ★ 1角10分
第三章 代数初步知识
字母表示数
1 字母表示数意义作
★ 字母表示数数量关系简明表达出时表示运算结果
2字母表示常见数量关系运算定律性质形体计算公式
（1）常见数量关系
路程s表示速度v表示时间t表示三者间关系： svt vst tsv
总价a表示单价b表示数量c表示三者间关系 abc bac cab
（2）运算定律性质
加法交换律：a+bb+a
加法结合律：（a+b)+ca+(b+c)
法交换律：abba
法结合律：（ab)ca(bc)
法分配律：（a+b)cac+bc
减法性质：a(b+c) abc
（3）字母表示形体公式
长方形长a表示宽b表示周长c表示面积s表示：c2(a+b) sab
正方形边长a表示周长c表示面积s表示：c4a sa²
行四边形底a表示高h表示面积s表示：sah
三角形底a表示高h表示面积s表示：sah2
梯形底a表示底b表示高h表示中位线m表示面积s表示：s(a+b)h2 smh
圆半径r表示直径d表示周长c表示面积s表示：c∏d2∏r s∏ r²
扇形半径r表示n表示圆心角度数面积s表示：s∏ nr²360
长方体长a表示宽b表示高h表示表面积s表示体积v表示：vsh s2(ab+ah+bh) vabh
正方体棱长a表示底面周长c表示底面积s表示 体积v表示：s6a² va³
圆柱高h表示底面周长c表示底面积s表示 体积v表示 ：s侧ch s表s侧+2s底 vsh
圆锥高h表示底面积s表示 体积v表示 ：vsh3
3 字母表示数写法
数字字母字母字母相时号记作者省略写数字写字母前面
1字母相时1省略写
问题中字母表示量量字母表示
含字母式子表示问题答案时数般写成分母果式子中加号者减号先括号含字母式子括起括号面写单位名称
4数值代入式子求值
★ 具体数代入式子求值时注意书写格式：先写出字母等然写出原式数代入式子求值字母表示数面写单位名称
★ 式子式子中含字母取数值求出式子值相
二简易方程
（）方程方程解
1方程：含未知数等式做方程
注意方程等式含未知数两者缺
方程算术式算术式式子运算符号已知数组成表示未知数方程等式方程里未知数参加运算未知数特定数值时 方程成立
2 方程解：方程左右两边相等未知数值做方程解
三解方程
解方程求方程解程做解方程
四列方程解应题
1 列方程解应题意义
★ 方程式解答应题求应题未知量方法
2 列方程解答应题步骤
★ 弄清题意确定未知数x表示
★ 找出题中数量间相等关系
★ 列方程解方程
★ 检查验算写出答案
3列方程解应题方法
★ 综合法：先应题中已知数（量）设未知数（量）列成关代数式找出间等量关系进列出方程部分整体种 思维程思考方已知未知
★ 分析法：先找出等量关系根具体建立等量关系需应题中已知数（量）设未知数（量）列成关代数式进列出方程整体部分种思维程思考方未知已知
4列方程解应题范围
学范围常方程解应题：
a般应题
b倍差倍问题
c形体周长面积体积计算
d 分数百分数应题
e 例应题
五 例
1意义性质
（1） 意义：两数相做两数
：号读作号前面数做前项号面数做项前项项商做值
法较前项相数项相数值相商
值通常分数表示数表示时整数
项零
根分数法关系知前项相分子项相分母值相分数值
（2）性质 前项项时者相数（0外）值变做基性质
（3） 求值化简 求值方法：前项项结果数值整数数分数
根基性质化成简单整数结果必须简前项互质数
（4）例尺 图距离：实际距离例尺
求会求例尺已知图距离例尺求实际距离已知实际距离例尺求图距离
线段例尺：图附条注数目线段表示面相应实际距离
（5）例分配 农业生产日常生活中常常需数量定进行分配种分配方法通常做例分配
方法：首先求出部分占总量分然求出总数分少
2 例意义性质
（1） 例意义 表示两相等式子做例 组成例四数做例项
两端两项做外项中间两项做项
（2）例性质 例里两外项积等两两积做例基性质
（3）解例
根例基性质果已知例中三项求出数例中外未知项求例中未知项做解例
3 正例反例
（1） 成正例量
两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数值（商）定两种量做成正例量关系做正例关系字母表示yxk(定）
（2）成反例量
两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数积定两种量做成反例量关系做反例关系字母表示x×yk(定)
第四章 初步知识
线角
（1）线
★ 直线 直线没端点长度限点画数条两点画条直线
★ 射线 射线端点长度限
★ 线段 线段两端点直线部分长度限两点连线中线段短
★ 行线 面相交两条直线做行线
两条行线间垂线长度相等
★ 垂线 两条直线相交成直角时两条直线做互相垂直中条直线做条直线垂线相交点做垂足
直线外点条直线画垂线长做点直线距离
（2）角 （1）点引出两条射线组成图形做角点做角顶点两条射线做角边
（2）角分类
锐角：90°角做锐角
直角：等90°角做直角
钝角：90°180°角做钝角
角：角两边成条直线时组成角做角角180°
周角：角边旋转周边重合周角360°
二 面图形
1长方形
（1）特征 边相等4角直角四边形两条称轴
（2）计算公式 c2(a+b) sab
2正方形
（1）特征：四条边相等四角直角四边形4条称轴
（2）计算公式：c4a sa²
3三角形
（1）特征：三条线段围成图形角180度三角形具稳定性三角形三条高
（2）计算公式：sah2
（3）分类
★角分：
锐角三角形 ：三角锐角
直角三角形 ：角直角等腰三角形两锐角45度条称轴
钝角三角形：角钝角
★边分：
等边三角形：三条边长度相等
等腰三角形：两条边长度相等两底角相等条称轴
等边三角形：三条边长度相等三角60度三条称轴
4行四边形
（1）特征：两组边分行四边形 相边行相等角相等相邻两角度数180度行四边形容易变形
（2）计算公式 sah
5 梯形
（1）特征：组边行四边形 中位线等底半 等腰梯形条称轴
（2）公式 s(a+b)h2mh
6 圆
（1）圆认识 面种曲线图形
圆中心点做圆心般字母o表示
半径：连接圆心圆意点线段做半径般r表示
圆里数条半径条半径长度相等
通圆心两端圆线段做直径般d表示
圆里数条直径直径相等
圆里直径等两半径长度d2r
圆半径决定 圆数条称轴
（2）圆画法
圆规两脚分开定两脚间距离（半径）
针尖脚固定点（圆心）
装铅笔尖脚旋转周画出圆
（3） 圆周长
围成圆曲线长做圆周长
圆周长直径值做圆周率字母∏表示
（4） 圆面积
圆占面做圆面积
（5）计算公式 d2r rd2 c∏d c2∏r s∏r²
7扇形
（1） 扇形认识
条弧条弧两端两条半径围成图形做扇形
圆AB两点间部分做弧读作弧AB
顶点圆心角做圆心角
圆中扇形扇形圆心角关
扇形条称轴
(2) 计算公式 sn∏r²360
8环形
(1) 特征 两半径相等心圆相减成数条称轴
(2) 计算公式 s∏(R²r²）
9轴称图形
(1) 特征
果图形着条直线折两侧图形够完全重合图形轴称图形折痕条直线做称轴
正方形4条称轴 长方形2条称轴
等腰三角形2条称轴等边三角形3条称轴
等腰梯形条称轴圆数条称轴
菱形4条称轴扇形条称轴
三 立体图形
（）长方体
1 特征 六面长方形（时两相面正方形） 相面面积相等12条棱相4条棱长度相等 8顶点 相交顶点三条棱长度分做长宽高 两面相交边做棱 三条棱相交点做顶点
长方体放桌面三面
长方体者正方体6面总面积做表面积
2 计算公式 s2(ab+ah+bh) Vsh Vabh
（二）正方体
1 特征 六面正方形 六面面积相等 12条棱棱长相等 8顶点
正方体作特殊长方体
2 计算公式 S表6a² va³
（三）圆柱
1圆柱认识 圆柱两面做底面 圆柱曲面做侧面 圆柱两底面间距离做高
进法：实际中材料计算结果 保留数时候省略位4者4前位进1种取似值方法做进法
2计算公式 s侧ch s表s侧+s底×2 vsh3
（四）圆锥
1 圆锥认识
圆锥底面圆圆锥侧面曲面
圆锥顶点底面圆心距离圆锥高
测量圆锥高：先圆锥底面放块板水放圆锥顶点面竖直量出板底面间距离
圆锥侧面展开扇形 2计算公式 v sh3
（五）球
1 认识 球表面曲面曲面做球面
球圆类似球心O表示
球心球面意点线段做球半径r表示条半径相等
通球心两端球面线段做球直径d表示条直径相等直径长度等半径2倍d2r
2 计算公式 d2r
第五章 简单统计
统计表
（）意义
★ 统计数填写定格式表格反映情况说明问题样表格做统计表
（二）组成部分
★ 般分表格外表格两部分表格外部分包括标名称单位说明制表日期表格部包括表头横标目标目数四方面
（三）种类
★ 单式统计表：含项目统计表
★ 复式统计表：含两两统计项目统计表
★ 百分数统计表：仅表明统计项目具体数量表明较量相标准量百分统计表
（四）制作步骤
1搜集数
2整理数： 根制表目统计容数进行分类
3设计草表： 根统计目容设计分栏格容分栏格画法规定横栏竖栏需格格长度
4 正式制表： 核数填入表中根制表求简单明确语言写统计表名称制表日期
二 统计图
（）意义 ★ 点线面积等表示相关量间数量关系图形做统计图
（二）分类
1 条形统计图
单位长度表示定数量根数量少画成长短直条然直线定序排列起
优点：容易出种数量少
注意：画条形统计图时直条宽窄必须相
取单位长度表示数量少根具体情况确定
复式条形统计图中表示项目直条线条颜色区开制图日期面注明图例
制作条形统计图般步骤
（1）根图纸画出两条互相垂直射线
（2）水射线适分配条形位置确定直线宽度间隔
（3）水射线垂直深线根数具体情况确定单位长度表示少
（4）数画出长短直条注明数量
2 折线统计图
单位长度表示定数量根数量少描出点然点线段次连接起
优点：表示数量少够清楚表示出数量增减变化情况
注意：折线统计图横轴表示年份月份等时间时时间间距离根年份月份间隔确定
制作折线统计图般步骤
（1）根图纸画出两条互相垂直射线
（2）水射线适分配折线位置确定直线宽度间隔
（3）水射线垂直深线根数具体情况确定单位长度表示少
（4）数描出点线段次连接起注明数量
3扇形统计图
整圆面积表示总数扇形面积表示部分占总数百分数
优点：清楚表示出部分总数间关系
制扇形统计图般步骤：
（1）先算出部分数量占总量百分
（2）算出表示部分数量扇形圆心角度数
（3）取适半径画圆面算出圆心角度数圆里画出扇形
（4）扇形中标明表示部分数量名称占百分数颜色条纹扇形区开
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第章 数数运算
概念
（）整数
1整数意义：然数0整数
2然数：数物体时候表示物体数123……做然数
物体没0表示0然数
3计数单位：（）十百千万十万百万千万亿……计数单位
相邻两计数单位间进率10样计数法做十进制计数法
4 数位：计数单位定序排列起占位置做数位
5数整：
（1）整倍数数：整数a整数b(b ≠ 0）商整数没余数说ab整者说b整a
果数a数b（b ≠ 0）整a做b倍数b做a数（a数）倍数数相互存
例357整357倍数735数
★数数数限中数1数身例：10数12510中数1数10
★数倍数数限中倍数身3倍数：36912……中倍数3 没倍数
（2）整性质：
★位02468数2整例：2024803042整
★位05数5整例：5304055整
★数位数3整数3整例：121082043整
★数位数9整数9整
★3整数定9整9整数定3整
★数末两位数4（25）整数4（25）整例：1640412564整50325500167525整
★数末三位数8（125）整数8（125）整例：116846005000123448整1125133755000125整
（3）奇偶性：2整数做偶数 2整数做奇数
0偶数然数否2 整特征分奇数偶数
（4）质数合数：数果1身两数样数做质数（素数）100质数：2357111317192329313741434753596167717379838997
数果1身数样数做合数例 468912合数
★1质数合数然数1外质数合数果然数数数分类分质数合数1
（5）分解质数：合数写成质数相形式中质数合数数做合数质数例153×535 做15质数
合数质数相形式表示出做分解质数例28分解质数2822×7
（6）公数公倍数：数公数做数公数中做数公数例12数123461218数1236918中1236121 8公数6公数
公数1两数做互质数成互质关系两数列种情况：
★1然数互质★相邻两然数互质★两质数互质★合数质数倍数时合数质数互质
★两合数公数1时两合数互质果数中意两互质说数两两互质
★果较数较数数较数两数公数
★果两数互质数公数1
数公倍数做数公倍数中做数公倍数2倍数246 81012141618 ……
3倍数369121518 …… 中61218……23公倍数6公倍数
果较数较数倍数较数两数公倍数
果两数互质数两数积公倍数
数公数数限数公倍数数限
（二）数
1 数意义
整数1均分成10份100份1000份…… 十分百分千分…… 数表示
位数表示十分两位数表示百分三位数表示千分……
数整数部分数部分数点部分组成数中圆点做数点数点左边数做整数部分数点左边数做整数部分数点右边数做数部分
数里相邻两计数单位间进率10数部分高分数单位十分整数部分低单位间进率10
2数分类
纯数：整数部分零数做纯数例： 025 0368 纯数
带数：整数部分零数做带数 例： 325 526 带数
限数：数部分数位限数做限数 例：417 253 023 限数
限数：数部分数位限数做限数 例： 433 …… 31415926 ……
限循环数：数数部分数字排列规律位数限样数做限循环数 例：∏
循环数：数数部分数字者数字次断重复出现数做循环数 例： 3555
…… 00333 …… 12109109 ……
循环数数部分次断重复出现数字做循环数循环节 例： 399 ……循环节 9 05454 ……循环节 54
纯循环数：循环节数部分第位开始做纯循环数 例： 3111 …… 05656 ……
混循环数：循环节数部分第位开始做混循环数 31222 …… 003333 ……
写循环数时候简便数循环部分需写出循环节循环节首末位数字点圆点果循环 节 数字面点点例： 3777 …… 简写作 05302302 …… 简写作
（三）分数
1 分数意义
★单位1均分成干份表示样份者份数做分数
分数里中间横线做分数线分数线面数做分母表示单位1均分成少份分数线面数做分子表示样少份
单位1均分成干份表示中份数做分数单位
2 分数分类
真分数：分子分母分数做真分数真分数1
假分数：分子分母者分子分母相等分数做假分数假分数等1
带分数：假分数写成整数真分数合成数通常做带分数
3 约分通分
分数化成相等分子分母较分数做约分
分子分母互质数分数做简分数
异分母分数分化成原分数相等分母分数做通分
（四）百分数
1 表示数数百分数 做百分数做百分率 百分百分数通常表示百分号表示百分数符号
二 方法
（）数读法写法
1 整数读法：高位低位级级读读亿级万级时先级读法读面加亿万字级末尾0读出数位连续0读零
2 整数写法：高位低位级级写数位单位没数位写0
3 数读法：读数时候整数部分整数读法读数点读作点数部分左右次读出位数位数字
4 数写法：写数时候整数部分整数写法写数点写位右角数部分次写出数位数字
5 分数读法：读分数时先读分母读分然读分子分子分母整数读法读
6 分数写法：先写分数线写分母写分子整数写法写
7 百分数读法：读百分数时先读百分读百分号前面数读数时整数读法读
8 百分数写法：百分数通常写成分数形式原分子面加百分号表示
（二）数改写
较位数读写方便常常改写成万亿作单位数时根需省略数某位面数写成似数
1 准确数：实际生活中计数简便较数改写成万亿单位数改写数原数准确数 例 1254300000 改写成万做单位数 125430 万改写成 亿做单位 数 12543 亿
2 似数：根实际需较数省略某位面尾数似数表示 例： 1302490015 省略亿面尾数 13 亿
3 四舍五入法：省略尾数高位数4 者4尾数掉果尾数高位数5者5尾数舍前位进1例：省略 345900 万面尾数约 35 万省略 4725097420 亿面尾数约 47 亿
4 较
（1）较整数：较整数位数数果位数相高位高位数数高位数相位位数数
（2）较数：先整数部分整数部分数整数部分相十分位数数十分位数相百分位数数……
（3）较分数分母相分数分子分数较分子相数分母分数分数分母分子相先通分较两数
（三）数互化
1 数化成分数：原位数1面写零作分母原数掉数点作分子约分约分
2 分数化成数：分母分子化成限数化成限数般保留三位数
3 简分数果分母中25外含质数分数化成限数果分母中含25 外质数分数化成限数
4 数化成百分数：数点右移动两位时面添百分号
5 百分数化成数：百分数化成数百分号掉时数点左移动两位
6 分数化成百分数：通常先分数化成数（时通常保留三位数)数化成百分数
7 百分数化成数：先百分数改写成分数约分约成简分数
（四）数整
1 合数分解质数通常短法先整合数质数直商质数止数商写成连形式
2 求数公数方法：先数公数连续直商公数1止然数连求积积数公数
3 求数公倍数方法：先数（中部分数）公数直互质（两两互质）止然数商连求积积数公倍数
4 成互质关系两数：1然数互质 相邻两然数互质 合数质数倍数时合数质数互质 两合数公数1时两合数互质
（五） 约分通分
约分方法：分子分母公数（1外）分子分母通常出简分数止
通分方法：先求出原分数分母公倍数然分数化成公倍数作分母分数
三 性质规律
（）商变规律
商变规律：法里数数时扩者时缩相倍商变
（二）数性质 数性质：数末尾添零者掉零数变
（三）数点位置移动引起数变化
1 数点右移动位原数扩10倍数点右移动两位原数扩100倍数点右移动三位原数扩1000倍……
2 数点左移动位原数缩10倍数点左移动两位原数缩100倍数点左移动三位原数缩1000倍……
3 数点左移者右移位数够时0补足位
（四）分数基性质
分数基性质：分数分子分母者相数（零外）分数变
（五）分数法关系
1 数÷数 数数
2 零作数分数分母零
3 数 相分子数相分母
四 运算意义
（）整数四运算
1整数加法：
两数合成数运算做加法
加法里相加数做加数加数做加数部分数总数
加数+加数 加数－加数
2整数减法：
已知两加数中加数求加数运算做减法
减法里已知做减数已知加数做减数未知加数做差减数总数减数差分部分数
加法减法互逆运算
3整数法：
求相加数简便运算做法
法里相加数相加数数做数相加数做积
法里0数相0 1数相数
数× 数 积 数积÷数
4 整数法：
已知两数积中数求数运算做法
法里已知积做数已知数做数求数做商
法法互逆运算
法里0做数0数相0数0均确定商
数÷数商 数数÷商 数商×数
（二）数四运算
1 数加法：
数加法意义整数加法意义相两数合成数运算
2 数减法：
数减法意义整数减法意义相已知两加数中加数求加数运算
3 数法：
数整数意义整数法意义相求相加数简便运算数纯数意义求数十分百分千分……少
4 数法：
数法意义整数法意义相已知两数积中数求数运算
5 方
求相数积运算做方例 3 × 3 32
（三）分数四运算
1 分数加法：分数加法意义整数加法意义相 两数合成数运算
2 分数减法：分数减法意义整数减法意义相已知两加数中加数求加数运算
3 分数法：分数法意义整数法意义相求相加数简便运算
4 积1两数做互倒数
5 分数法：分数法意义整数法意义相已知两数积中数求数运算
（四）运算定律
1 加法交换律：两数相加交换加数位置变a+bb+a
2 加法结合律：三数相加先前两数相加加第三数者先两数相加第数相加变（a+b)+ca+(b+c)
3 法交换律：两数相交换数位置积变a×bb×a
4 法结合律：三数相先前两数相第三数者先两数相第数相积变(a×b)×ca×(b×c)
5 法分配律：两数数相两加数分数相两积相加(a+b)×ca×c+b×c
6 减法性质：数里连续减数数里减减数差变abca(b+c)
（五）运算法
1 整数加法计算法：相数位齐低位加起位数相加满十前位进
2 整数减法计算法：相数位齐低位加起位数够减前位退作十位数合起减
3 整数法计算法：先数位数分数数位数数位数数末尾齐位然次数加起
4 整数法计算法：先数高位起数位数数前位 果够位数位商写位面果位够商1补0占位次余数数
5 数法法：先整数法计算法算出积数中位数积右边起数出位点数点果位数够0补足
6 数整数数法计算法：先整数法法商数点数数点齐果数末尾余数余数面添
0继续
7 数数法计算法：先移动数数点变成整数数数点右移动位（位数够补0）然数整数法法进行计算
8 分母分数加减法计算方法分母分数相加减分子相加减分母变
9 异分母分数加减法计算方法先通分然分母分数加减法法进行计算
10 带分数加减法计算方法整数部分分数部分分相加减数合起
11 分数法计算法分数整数分数分子整数相积作分子分母变分数分数分子相积作分子分母相积作分母
12 分数法计算法甲数乙数（0外）等甲数乙数倒数
（六） 运算序
1 数四运算运算序整数四运算序相
2 分数四运算运算序整数四运算序相
3 没括号混合运算
级运算左右次运算两级运算 先算法算加减法
4 括号混合运算
先算括号里面算中括号里面算括号外面
5 第级运算：加法减法做第级运算
6 第二级运算：法法做第二级运算
五 应
（）整数数应
1 简单应题
（1） 简单应题：含种基数量关系步运算解答应题通常做简单应题
（2） 解题步骤：
a 审题理解题意：解应题容知道应题条件问题读题时丢字添字边读边思考弄明白题中句话意思复述条件问题帮助理解题意
b选择算法列式计算：解答应题中心工作题目中告诉什求什着手逐步根条件问题联系四运算含义分析数量关系确定算法进行解答标明正确单位名称
C检验：根应题条件问题进行检查列算式计算程否正确否符合题意果发现错误马改正
2 复合应题
（1）两两基数量关系组成两步两步运算解答应题通常做复合应题
（2）含三已知条件两步计算应题
求两数（少）数应题
较两数差倍数关系应题
（3）含两已知条件两步计算应题
已知两数相差少（倍数关系）中数求两数（差）
已知两数中数求两数相差少（倍数关系）
（4）解答连连应题
（5）解答三步计算应题
（6）解答数计算应题：数计算加法减法法法应题数量关系结构解题方式正式应题基相已知数未知数中间含数
d答案：根计算结果先口答逐步渡笔答
( 3 ) 解答加法应题：
a求总数应题：已知甲数少乙数少求甲乙两数少
b求数数应题：已知甲数少乙数甲数少求乙数少
(4 ) 解答减法应题：
a求剩余应题：已知数中掉部分求剩部分
b求两数相差少应题：已知甲乙两数少求甲数乙数少乙数甲数少少
c求数少数应题：已知甲数少乙数甲数少少求乙数少
(5 ) 解答法应题：
a求相加数应题：已知相加数相加数数求总数
b求数倍少应题：已知数少数倍求数少
( 6) 解答法应题：
a数均分成份求份少应题：已知数数均分成份求份少
b求数里包含数应题：已知数份少求分成份
C 求数数倍应题：已知甲数乙数少求较数较数倍
d已知数倍少求数应题
（7）常见数量关系：
总价 单价×数量路程 速度×时间工作总量工作时间×工效总产量单产量×数量
3典型应题
具独特结构特征特定解题规律复合应题通常做典型应题
（1）均数问题：均数等分法发展
解题关键：确定总数量相应总份数
算术均数：已知相等类量相应份数求均份少数量关系式：数量÷数量数算术均数
加权均数：已知两干份均数求总均数少
数量关系式 （部分均数×权数）总÷（权数）加权均数
差额均数：标准数部分总份数均分求标准数数相差均数
数量关系式：（数－数）÷2数应数 数数差÷总份数数应数 数数差÷总份数数应数
例：辆汽车时 100 千米 速度甲开乙时 60 千米速度乙开甲求辆车均速度
分析：求汽车均速度样利公式题甲乙路程设 1 汽车行驶总路程 2 甲乙速度 100 时间1÷100 汽车乙甲速度 60 千米 时间1÷60 汽车行时间1÷100 +1÷60 汽车均速度 2 ÷（1÷100 +1÷60） 75 （千米）
（2）问题：已知相互关联两量中种量改变种量改变变化规律相种问题称问题
根求单量步骤少问题分次问题两次问题
根球痴单量解题采法法问题分正问题反问题
次问题步运算求出单量问题称单
两次问题两步运算求出单量问题称双
正问题：等分法求出单量法计算结果问题
反问题：等分法求出单量法计算结果问题
解题关键：已知组应量中等分法求出份数量（单量）然标准根题目求算出结果
数量关系式：单量×份数总数量（正）
总数量÷单量份数（反）
例织布工七月份织布 4774 米 样计算织布 6930 米 需少天？
分析：必须先求出均天织布少米单量 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） 45 （天）
（3）总问题：已知单位数量计量单位数量数单位数量（单位数量数）通求总数量求单位数量数（单位数量）
特点：两种相关联量中种量变化种量着变化变化规律相反反例算法彼相通
数量关系式：单位数量×单位数÷单位数量单位数量 单位数量
×单位数÷单位数量 单位数量
例 修条水渠原计划天修 800 米 6 天修完实际 4 天修完天修少米？
分析：求出天修长度必须先求出水渠长度类应题做总问题处先求出单量求总量总问题先求出总量求单量 80 0 × 6 ÷ 41200 （米）
（4） 差问题：已知两数差求两数少应题做差问题
解题关键：两数转化成两数（两数）然求数
解题规律：（＋差）÷2 数 数－差数
（－差）÷2数 －数 数
例 某加工厂甲班乙班工 94 工作需时乙班调 46 甲班工作时乙班甲班数少 12 求原甲班乙班少？
分析：乙班调 46 甲班总数没变化现乙数转化成 2 乙班 9 4 － 12 现乙班（ 9 4 － 12 ）÷ 241 （）乙班调出 46 前应该 41+4687 （）甲班 9 4 － 877 （）
（5）倍问题：已知两数间倍数 关系求两数少应题做倍问题
解题关键：找准标准数（1倍数）般说题中说谁倍谁确定标准数求出倍数求出标准数量少根数（数）标准数倍数关系求数（数）数量
解题规律：÷倍数标准数 标准数×倍数数
例汽车运输场货车 115 辆货车货车 5 倍 7 辆运输场货车汽车少辆？
分析：货车货车5倍7辆 7 辆总数 115 辆总数（ 5+1 ）倍应总车辆数应（ 1157 ）辆
列式（ 1157 ）÷（ 5+1 ） 18 （辆） 18 × 5+797 （辆）
（6）差倍问题：已知两数差两数倍数关系求两数少应题
解题规律：两数差÷（倍数－1 ） 标准数 标准数×倍数数
例 甲乙两根绳子甲绳长 63 米 乙绳长 29 米 两根绳剪样长度结果甲剩长度乙绳 长 3 倍甲乙两绳剩长度少米？ 减少米？
分析：两根绳子剪相段长度差没变甲绳剩长度乙绳 3 倍实乙绳（ 31 ）倍乙绳长度标准数列式（ 6329 ）÷（ 31 ） 17 （米）…乙绳剩长度 17 × 351 （米）…甲绳剩长度 291712 （米）…剪长度
（7）行程问题：关走路行车等问题般计算路程时间速度做行程问题解答类问题首先搞清楚速度时间路程方杜速度速度差等概念解间关系根类问题规律解答
解题关键规律：
时相背行：路程速度×时间 时相行：相遇时间速度×时间
时行（速度慢前快）：追时间路程速度差
时行（速度慢快前）：路程速度差×时间
例 甲乙面 28 千米 两时行甲时行 16 千米 乙时行 9 千米 甲时追乙？
分析：甲时乙行（ 169 ）千米甲时追乙（ 169 ）千米速度差
已知甲乙面 28 千米 （追击路程） 28 千米 里包含着（ 169 ）千米追击需时间列式 2 8 ÷ （ 169 ） 4 （时）
（8）流水问题：般研究船流水中航行问题行程问题中较特殊种类型种差问题特点考虑水速逆行行中作
船速：船静水中航行速度水速：水流动速度
水速度：船流航行速度逆水速度：船逆流航行速度
速船速＋水速逆速船速－水速
解题关键：流速度船速水速逆流速度船速水速差流水问题作差问题解答 解题时水流线索
解题规律：船行速度（水速度+ 逆流速度）÷2流水速度（流速度逆流速度）
÷2
路程流速度× 流航行需时间路程逆流速度×逆流航行需时间
例 轮船甲开乙水行时行 28 千米 乙逆水 航行回甲逆水水行 2 时已知水速时 4 千米求甲乙两相距少千米？
分析：题必须先知道水速度水需时间者逆水速度逆水时间已知水速度水流 速度难算出逆水速度水时间逆水时间知道知道水逆水少 2 时抓住点算出水甲乙时间样算出甲乙两路程列式 284 × 220 （千米） 2 0 × 2 40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） 5（时） 28 ×5140 （千米）
（9）原问题：已知某未知数定四运算结果求未知数应题做原问题
解题关键：弄清步变化未知数关系
解题规律：结果 出发采原题中相反运算（逆运算）方法逐步推导出原数
根原题运算序列出数量关系然采逆运算方法计算推导出原数
解答原问题时注意观察运算序需先算加减法算法时忘记写括号
例 某学三年级四班学生 168 果四班调 3 三班三班调 6 二班二班调 6 班班调 2 四班四班数相等四班原学生少？
分析：四班数相等时应 168 ÷ 4 四班例调三班 3 班调入 2 四班原数减 3 加 2 等均数四班原数列式 168 ÷ 42+343 （）
班原数列式 168 ÷ 46+238 （）二班原数列式 168 ÷ 46+642 （） 三班原数列式 168 ÷ 43+645 （）
（10）植树问题：类应题植树容研究总路程株距段数棵树四种数量关系应题做植树问题
解题关键：解答植树问题首先判断形分清否封闭图形确定线段植树周长植树然基公式进行计算
解题规律：线段植树：
★棵树段数+1 棵树总路程÷株距+1 ★株距总路程÷（棵树1） 总路程株距×（棵树1）
周长植树：
棵树总路程÷株距 株距总路程÷棵树 总路程株距×棵树
例 公路旁埋电线杆 301 根相邻两根间距 50 米 全部改装埋201 根求改装相邻两根间距
分析：题线段埋电线杆电线杆根数减掉列式 50 ×（ 3011 ）÷（ 2011 ） 75 （米）
（11）盈亏问题：等分法基础发展起 特点定数量物品均分配定数量两次分配中次余次足（两次余两次足）已知余足数量求物品适量参加分配数问题盈亏问题
解题关键：盈亏问题解法点先求两次分配中分配者没份物品数量差求两次分配中次分物品差（称总差额）前差差分配者数进求物品数
解题规律：总差额÷差额数
总差额求法分四种情况：
第次余第二次足总差额余+ 足
第次正第二次余足 总差额余足
第次余第二次余总差额余余
第次足第二次足 总差额 足足
例 参加美术组学分相支数色笔果组 10 25 支果组 12 色笔余 5 支求 分支？少支色铅笔？
分析：学分色笔相等活动组 12 10 2 色笔出（ 255 ） 20 支 2 出 20 支分 10 支列式（ 255 ）÷（ 1210 ） 10 （支） 10 × 12+5125 （支）
（12）年龄问题：差定值两数作题中条件种应题称年龄问题
解题关键：年龄问题差倍 差倍问题类似特点着时间变化年岁断增长两年龄差会改变年龄问题种
差变问题解题时善利差变特点
例 父亲 48 岁子 21 岁问年前父亲年龄子 4 倍？
分析：父子年龄差 482127 （岁）年前父亲年龄子 4 倍知父子年龄倍数差（ 41 ）倍样算出年前父子年龄求出年前父亲年龄子 4 倍列式： 21（ 4821 ）÷（ 41 ） 12 （年）
（13）鸡兔问题：已知鸡兔总头数总腿数求鸡兔少类应题通常称鸡兔问题称鸡兔笼问题
解题关键：解答鸡兔问题般采假设法假设全种动物（全鸡全兔然根出现腿数差推算出某种头数
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷鸡兔腿数差兔子数
兔子数（总腿数2×总头数）÷2
果假设全兔子面式子：
鸡数（4×总头数总腿数）÷2
兔头数总头数鸡数
例 鸡兔笼 50 头 170 条腿问鸡兔少？
兔子数 （ 1702 × 50 ）÷ 2 35 （） 鸡数 503515 （）
（二）分数百分数应
1 分数加减法应题：
分数加减法应题整数加减法应题结构数量关系解题方法基相已知数未知数中含分数
2分数法应题：
指已知数求分少应题
特征：已知单位1量分率求分率应实际数量
解题关键：准确判断单位1量找准求问题应分率然根数分数意义正确列式
3 分数法应题：
求数数分（百分）少
特征：已知数数求数数分百分
数较量数标准量求分率百分率求倍数关系
解题关键：问题入手搞清谁作标准数谁作单位谁单位量作较谁作数
甲乙分（百分）甲较量乙标准量甲乙
甲乙（少）分（百分）：甲减乙乙（少分）（百分）关系式（甲数减乙数）乙数（甲数减乙数）甲数
已知数分（百分 ) 求数
特征：已知实际数量相应分率求单位1量
解题关键：准确判断单位1量单位1量成x根分数法意义列方程者根分数法意义列算式必须找准分率相应已知实际数量
4 出勤率
发芽率发芽种子数试验种子数×100
麦出粉率 面粉重量麦重量×100
产品合格率合格产品数产品总数×100
职工出勤率实际出勤数应出勤数×100
5 工程问题：
分数应题特例整数工作问题着密切联系探讨工作总量工作效率工作时间三数量间相互关系种应题
解题关键：工作总量作单位1工作效率工作时间倒数然根题目具体情况灵活运公式
数量关系式：
工作总量工作效率×工作时间 工作效率工作总量÷工作时间
工作时间工作总量÷工作效率 工作总量÷工作效率合作时间
6 纳税
纳税根国家种税法关规定定率集体收入部分缴纳国家
缴纳税款应纳税款
应纳税额种收入（销售额营业额应纳税额 ……）率做税率
★ 利息
存入银行钱做金
取款时银行支付钱做利息
利息金值做利率
利息金×利率×时间
第二章 度量衡
长度
() 什长度
长度维空间度量
(二) 长度常单位
★ 公里(km) ★ 米(m) ★ 分米(dm) ★ 厘米(cm) ★ 毫米(mm) ★ 微米(um)
(三) 单位间换算
★ 1毫米 ＝1000微米 ★ 1厘米 ＝10 毫米 ★ 1分米 ＝10 厘米 ★ 1米 ＝1000 毫米 ★ 1千米 ＝1000 米
二 面积
（）什面积
面积物体占面立体物体表面少测量般称表面积
（二）常面积单位
★ 方毫米 ★ 方厘米 ★ 方分米 ★ 方米 ★ 方千米
（三）面积单位换算
★ 1方厘米 ＝100 方毫米 ★ 1方分米100方厘米 ★ 1方米 ＝100 方分米
★ 1公倾 ＝10000 方米 ★ 1方公里 ＝100 公顷
三 体积容积
（）什体积容积
体积物体占空间
容积箱子油桶仓库等容纳物体体积通常做容积
（二）常单位
1 体积单位
★ 立方米 ★ 立方分米 ★ 立方厘米
2 容积单位 ★ 升 ★ 毫升
（三）单位换算
1 体积单位
★ 1立方米1000立方分米 ★ 1立方分米1000立方厘米
2 容积单位
★ 1升1000毫升★ 1升1立方米 ★ 1毫升1立方厘米
四 质量
（）什质量
质量表示表示物体重
（二）常单位
★ 吨 t ★ 千克 kg ★ 克 g
（三）常换算
★ 吨1000千克 ★ 1千克1000克
五 时间
（）什时间
指起点终点段时间
（二）常单位
世纪 年 月 日 时 分 秒
（三）单位换算
★ 1世纪100年 ★ 1年365天 年 ★ 年366天 闰年
★ 三五七八十十二月 月31 天
★ 四六九十月月 月30天
★ 年2月28天 闰年2月29天
★ 1天 24时 ★ 1时60分 ★ 分60秒
六 货币
（）什货币
货币充切商品等价物特殊商品货币价值般代表购买商品
（二）常单位
★ 元 ★ 角 ★ 分
（三）单位换算
★ 1元10角 ★ 1角10分
第三章 代数初步知识
字母表示数
1 字母表示数意义作
★ 字母表示数数量关系简明表达出时表示运算结果
2字母表示常见数量关系运算定律性质形体计算公式
（1）常见数量关系
路程s表示速度v表示时间t表示三者间关系： svt vst tsv
总价a表示单价b表示数量c表示三者间关系 abc bac cab
（2）运算定律性质
加法交换律：a+bb+a
加法结合律：（a+b)+ca+(b+c)
法交换律：abba
法结合律：（ab)ca(bc)
法分配律：（a+b)cac+bc
减法性质：a(b+c) abc
（3）字母表示形体公式
长方形长a表示宽b表示周长c表示面积s表示：c2(a+b) sab
正方形边长a表示周长c表示面积s表示：c4a sa²
行四边形底a表示高h表示面积s表示：sah
三角形底a表示高h表示面积s表示：sah2
梯形底a表示底b表示高h表示中位线m表示面积s表示：s(a+b)h2 smh
圆半径r表示直径d表示周长c表示面积s表示：c∏d2∏r s∏ r²
扇形半径r表示n表示圆心角度数面积s表示：s∏ nr²360
长方体长a表示宽b表示高h表示表面积s表示体积v表示：vsh s2(ab+ah+bh) vabh
正方体棱长a表示底面周长c表示底面积s表示 体积v表示：s6a² va³
圆柱高h表示底面周长c表示底面积s表示 体积v表示 ：s侧ch s表s侧+2s底 vsh
圆锥高h表示底面积s表示 体积v表示 ：vsh3
3 字母表示数写法
数字字母字母字母相时号记作者省略写数字写字母前面
1字母相时1省略写
问题中字母表示量量字母表示
含字母式子表示问题答案时数般写成分母果式子中加号者减号先括号含字母式子括起括号面写单位名称
4数值代入式子求值
★ 具体数代入式子求值时注意书写格式：先写出字母等然写出原式数代入式子求值字母表示数面写单位名称
★ 式子式子中含字母取数值求出式子值相
二简易方程
（）方程方程解
1方程：含未知数等式做方程
注意方程等式含未知数两者缺
方程算术式算术式式子运算符号已知数组成表示未知数方程等式方程里未知数参加运算未知数特定数值时 方程成立
2 方程解：方程左右两边相等未知数值做方程解
三解方程
解方程求方程解程做解方程
四列方程解应题
1 列方程解应题意义
★ 方程式解答应题求应题未知量方法
2 列方程解答应题步骤
★ 弄清题意确定未知数x表示
★ 找出题中数量间相等关系
★ 列方程解方程
★ 检查验算写出答案
3列方程解应题方法
★ 综合法：先应题中已知数（量）设未知数（量）列成关代数式找出间等量关系进列出方程部分整体种 思维程思考方已知未知
★ 分析法：先找出等量关系根具体建立等量关系需应题中已知数（量）设未知数（量）列成关代数式进列出方程整体部分种思维程思考方未知已知
4列方程解应题范围
学范围常方程解应题：
a般应题
b倍差倍问题
c形体周长面积体积计算
d 分数百分数应题
e 例应题
五 例
1意义性质
（1） 意义：两数相做两数
：号读作号前面数做前项号面数做项前项项商做值
法较前项相数项相数值相商
值通常分数表示数表示时整数
项零
根分数法关系知前项相分子项相分母值相分数值
（2）性质 前项项时者相数（0外）值变做基性质
（3） 求值化简 求值方法：前项项结果数值整数数分数
根基性质化成简单整数结果必须简前项互质数
（4）例尺 图距离：实际距离例尺
求会求例尺已知图距离例尺求实际距离已知实际距离例尺求图距离
线段例尺：图附条注数目线段表示面相应实际距离
（5）例分配 农业生产日常生活中常常需数量定进行分配种分配方法通常做例分配
方法：首先求出部分占总量分然求出总数分少
2 例意义性质
（1） 例意义 表示两相等式子做例 组成例四数做例项
两端两项做外项中间两项做项
（2）例性质 例里两外项积等两两积做例基性质
（3）解例
根例基性质果已知例中三项求出数例中外未知项求例中未知项做解例
3 正例反例
（1） 成正例量
两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数值（商）定两种量做成正例量关系做正例关系字母表示yxk(定）
（2）成反例量
两种相关联量种量变化种量着变化果两种量中相应两数积定两种量做成反例量关系做反例关系字母表示x×yk(定)
第四章 初步知识
线角
（1）线
★ 直线 直线没端点长度限点画数条两点画条直线
★ 射线 射线端点长度限
★ 线段 线段两端点直线部分长度限两点连线中线段短
★ 行线 面相交两条直线做行线
两条行线间垂线长度相等
★ 垂线 两条直线相交成直角时两条直线做互相垂直中条直线做条直线垂线相交点做垂足
直线外点条直线画垂线长做点直线距离
（2）角 （1）点引出两条射线组成图形做角点做角顶点两条射线做角边
（2）角分类
锐角：90°角做锐角
直角：等90°角做直角
钝角：90°180°角做钝角
角：角两边成条直线时组成角做角角180°
周角：角边旋转周边重合周角360°
二 面图形
1长方形
（1）特征 边相等4角直角四边形两条称轴
（2）计算公式 c2(a+b) sab
2正方形
（1）特征：四条边相等四角直角四边形4条称轴
（2）计算公式：c4a sa²
3三角形
（1）特征：三条线段围成图形角180度三角形具稳定性三角形三条高
（2）计算公式：sah2
（3）分类
★角分：
锐角三角形 ：三角锐角
直角三角形 ：角直角等腰三角形两锐角45度条称轴
钝角三角形：角钝角
★边分：
等边三角形：三条边长度相等
等腰三角形：两条边长度相等两底角相等条称轴
等边三角形：三条边长度相等三角60度三条称轴
4行四边形
（1）特征：两组边分行四边形 相边行相等角相等相邻两角度数180度行四边形容易变形
（2）计算公式 sah
5 梯形
（1）特征：组边行四边形 中位线等底半 等腰梯形条称轴
（2）公式 s(a+b)h2mh
6 圆
（1）圆认识 面种曲线图形
圆中心点做圆心般字母o表示
半径：连接圆心圆意点线段做半径般r表示
圆里数条半径条半径长度相等
通圆心两端圆线段做直径般d表示
圆里数条直径直径相等
圆里直径等两半径长度d2r
圆半径决定 圆数条称轴
（2）圆画法
圆规两脚分开定两脚间距离（半径）
针尖脚固定点（圆心）
装铅笔尖脚旋转周画出圆
（3） 圆周长
围成圆曲线长做圆周长
圆周长直径值做圆周率字母∏表示
（4） 圆面积
圆占面做圆面积
（5）计算公式 d2r rd2 c∏d c2∏r s∏r²
7扇形
（1） 扇形认识
条弧条弧两端两条半径围成图形做扇形
圆AB两点间部分做弧读作弧AB
顶点圆心角做圆心角
圆中扇形扇形圆心角关
扇形条称轴
(2) 计算公式 sn∏r²360
8环形
(1) 特征 两半径相等心圆相减成数条称轴
(2) 计算公式 s∏(R²r²）
9轴称图形
(1) 特征
果图形着条直线折两侧图形够完全重合图形轴称图形折痕条直线做称轴
正方形4条称轴 长方形2条称轴
等腰三角形2条称轴等边三角形3条称轴
等腰梯形条称轴圆数条称轴
菱形4条称轴扇形条称轴
三 立体图形
（）长方体
1 特征 六面长方形（时两相面正方形） 相面面积相等12条棱相4条棱长度相等 8顶点 相交顶点三条棱长度分做长宽高 两面相交边做棱 三条棱相交点做顶点
长方体放桌面三面
长方体者正方体6面总面积做表面积
2 计算公式 s2(ab+ah+bh) Vsh Vabh
（二）正方体
1 特征 六面正方形 六面面积相等 12条棱棱长相等 8顶点
正方体作特殊长方体
2 计算公式 S表6a² va³
（三）圆柱
1圆柱认识 圆柱两面做底面 圆柱曲面做侧面 圆柱两底面间距离做高
进法：实际中材料计算结果 保留数时候省略位4者4前位进1种取似值方法做进法
2计算公式 s侧ch s表s侧+s底×2 vsh3
（四）圆锥
1 圆锥认识
圆锥底面圆圆锥侧面曲面
圆锥顶点底面圆心距离圆锥高
测量圆锥高：先圆锥底面放块板水放圆锥顶点面竖直量出板底面间距离
圆锥侧面展开扇形 2计算公式 v sh3
（五）球
1 认识 球表面曲面曲面做球面
球圆类似球心O表示
球心球面意点线段做球半径r表示条半径相等
通球心两端球面线段做球直径d表示条直径相等直径长度等半径2倍d2r
2 计算公式 d2r
第五章 简单统计
统计表
（）意义
★ 统计数填写定格式表格反映情况说明问题样表格做统计表
（二）组成部分
★ 般分表格外表格两部分表格外部分包括标名称单位说明制表日期表格部包括表头横标目标目数四方面
（三）种类
★ 单式统计表：含项目统计表
★ 复式统计表：含两两统计项目统计表
★ 百分数统计表：仅表明统计项目具体数量表明较量相标准量百分统计表
（四）制作步骤
1搜集数
2整理数： 根制表目统计容数进行分类
3设计草表： 根统计目容设计分栏格容分栏格画法规定横栏竖栏需格格长度
4 正式制表： 核数填入表中根制表求简单明确语言写统计表名称制表日期
二 统计图
（）意义 ★ 点线面积等表示相关量间数量关系图形做统计图
（二）分类
1 条形统计图
单位长度表示定数量根数量少画成长短直条然直线定序排列起
优点：容易出种数量少
注意：画条形统计图时直条宽窄必须相
取单位长度表示数量少根具体情况确定
复式条形统计图中表示项目直条线条颜色区开制图日期面注明图例
制作条形统计图般步骤
（1）根图纸画出两条互相垂直射线
（2）水射线适分配条形位置确定直线宽度间隔
（3）水射线垂直深线根数具体情况确定单位长度表示少
（4）数画出长短直条注明数量
2 折线统计图
单位长度表示定数量根数量少描出点然点线段次连接起
优点：表示数量少够清楚表示出数量增减变化情况
注意：折线统计图横轴表示年份月份等时间时时间间距离根年份月份间隔确定
制作折线统计图般步骤
（1）根图纸画出两条互相垂直射线
（2）水射线适分配折线位置确定直线宽度间隔
（3）水射线垂直深线根数具体情况确定单位长度表示少
（4）数描出点线段次连接起注明数量
3扇形统计图
整圆面积表示总数扇形面积表示部分占总数百分数
优点：清楚表示出部分总数间关系
制扇形统计图般步骤：
（1）先算出部分数量占总量百分
（2）算出表示部分数量扇形圆心角度数
（3）取适半径画圆面算出圆心角度数圆里画出扇形
（4）扇形中标明表示部分数量名称占百分数颜色条纹扇形区开
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