边形角外角教学反思5篇
反思：边形角外角教学反思
（1）节课学生提供探究思考交流时间空间足展示交流机会够充分学没表现机会没真正做放手学生探究老师引导研究较着眼课堂形式样化学生力（：合作探究交流等）培养忽视教学中重知识点落实样培养学生创造性分析问题力没达佳状态
（2） 组讨说新教材框架中重部分五步释疑教学法必少环节事先定详细计划堂课暴露缺陷较环节：组员设置（七八组加发表格较少讨未效开展）45组较合适分工明确谁记录谁发言等等避免某组成员流离合作外教师应精心策划：讨效开展时间长采取种讨方法讨程中该担种角色等组交流程中学生发言分注重探索结果忽视学生探索程展示时总结性话限制学生思维限度发挥学生探究力
反思二：
节介绍边形角外角公式节探究课．
节知识容学生通探索边形角外角尝试角度寻求解决问题方法效解决问题．教学程中教师放手学生探索利种方法进行研究．时关注学生合作交流开阔学生思路学生历整探索程时体会数学严谨性培养学生逻辑思维解决问题力．
教学设计关注学生学合作交流程学生历猜想探索推理纳等程发展学生合情推理力语言表达力掌握复杂问题化简单问题化未知已知思想方法学生获数学活动验时提高探究发现创新力．
反思三：
然整堂课出现较漏洞想作新教师种尝试未尝通断尝试断失败达胜利彼岸
整 体感觉节课成功整教学流程符合预先设计教学务完成良开始边形顶点引角线研究边形分成三角形 研究四边形五边形六边形七边形……然推N 边形通研究发现边形顶点引角线原边形分成（n2 ）三角形边形角公式：（n2 ）180 里充分体现特殊般推理特点
换角度问题边形 取点顶点相连n 三角形里算周角公式：180n360 样培养学生方面探究问题力通观察猜想推理交流学生真正理解掌握相关数学知识思想方法
边形角节课涉容较概念较杂节课中设计份学生学案整节课思想特殊般化未知已知数学思想……
三角形角度边形角求出边形角节课学生部分够认真听讲媒体课件原外加时间关系学生法教 师教学速度节课难点探索边形角重学生探索发现验证猜想然花时间引导学生没真正做学生探索方 式……课堂采老师形式学生积极性定提高涉面广……台学生够台学生讲解程提出更求时加深学生印 象
反思四
1初旧教材中完成三角形外角教学学生然会想边形情况结合新教材中部分容编排特意教学程中安排样堂活动课希新课程标准思想体现
2 体现课堂学生培养学生探究力课前教学设计中量围绕学生展开：采取组合作学组组间交流等形式然想法 意图具体实施程中暴露出问题事先没预计想体现没体现完整课反思老教师指点表现：
（1）较着眼课堂形式样化学生力（：合作探究交流等）培养忽视教学中重知识点落实学生练机会仅编制题解答部分学生说求较高教师编题前先学生解题学生搭阶梯感突然
（2） 组讨说新教材框架中重部分教师事先定详细计划
堂课暴露缺陷较环节：组员设置（七八组加发 表格较少讨未效开展）45组较合适分工明确谁记录谁发言等等避免某组成员流离合作外教师应精心策 划：讨效开展时间长采取种讨方法教师讨程中该担种角色等
（3）组交流程中学生发言分注重探索结果忽视学生探索程展示时教师总结性话限制学生思维限度发挥学生探究力
（4） 教师教学程中学生评价较单肯定够时表扬够热情常表现较般学生创意时教师应加赞扬激发课堂气氛
反思五：
1教转变
节课教师角色知识传授者转变学生学组织者引导者合作者研究者引导学生观察探究讨发现结展示成果激发学生觉探究数学问题体验发现乐趣
2学转变学生角色学会转变会学节课学生停留学会知识层面站研究者角度深入境
3 课堂氛围转变整节课流畅开放合作隐’导基特征教师学生思维减少干预教学程呈现种较流畅特征整节课学生学生学生 教师间话讨 提问出发点互助合作手段解决问题目学生较宽松环境中选择获成功方判断发现价值
浅谈列元次方程解应题教学技巧
摘 ：元次方程解应题初中数学教学重点难点寻找等量关系列方程解应题关键寻找等量关系利等量关系列方程设未知数探讨列元次方程解应题教学规律
关键词：元次方程解应题等量关系列方程解题规律
元次方程解应题初中数学教学重点难点列方程解应题教学中基础起始部分部分容教学续包括二元次方程组应元二次方程应分式方程应元次等式（组）应等教学着关重作初中数学理联系实际重方面通列元次方程解应题教学培养学生分析问题解决问题力增强学生逻辑思维力初中年级阶段学生机械记忆力较强分析力相较弱提高初年级数学应题教学效果逐步提高学生数学分析力外时学生解题方法指导位数学教师必须考虑认真探索问题
寻找等量关系列方程解应题关键
列方程解应题中关键样正确找出够表示应题全部含义等量关系找等量关系首先分析道应题属种类型量量间什基关系式行程问题中路程速度时间三者关系工程问题中效率时间工作总量三者关系销售问题中进价定价售价利润提价降价百分率关系等次角度出发引导学生根未知数已知数已知数已知数关系寻找等量关系等量关系较隐蔽时助图解形象直观反映数量关系便学生寻找等量关系
例某校师生离学校28千米方游览开始段路步行速度4千米时余路程汽车速度36千米时全程1时求步行时间
道题相较简单先找表示等量关系语句全程1时步行时间车时间1时题意知道路程步行路程车路程组成步行路程车路程等28千米果设步行时间x时：
速度 时间 路程
步行 4千米时 x时 4x千米
车 36千米时 （1x）时 36（1x）千米
道题中时间表示已知量未知量关系路程表示方程等量关系
列方程：4x+36（1x）28
解出道题
二利等量关系列方程
元次方程应题中时找等量关系种题较容易解决应题找两等量关系时解呢？笔者通年教学实践发现许关元次方程应题规律：设第相等关系第二相等关系建立方程设第二相等关系第相等关系建立方程
例1新出生时父亲28岁现父亲年龄新年龄3倍求现新年龄
题两相等关系：
（1）代差：父亲年龄新年龄28
（2）父亲现年龄3×新现年龄
方法：设第相等关系设新现年龄x岁父亲现年龄x+28岁第二相等关系建立方程：
x+283x
x14
方法二：设第二相等关系设新现年龄y岁父亲现年龄3y岁第相等关系建立方程：
3yy28
y14
面元次方程解应题中行程问题例行程问题三量：路程速度时间已知量时关外两量相等关系设中相等关系相等关系建立方程
例2艘船甲码头乙码头流行2时乙码头返回甲码头逆流行25时已知水流速度3 kmh求船静水中均速度
题行程问题时间确定外关速度路程两相等关系设速度路程等量关系建立方程设路程速度等量关系建立方程
（1）流速度逆流速度6
（流速度静水中速度+水速逆流速度静水中速度水速）
（2）流路程逆流路程
方法：设第相等关系设船静水中均速度x kmh船利速度x+3 kmh船逆水速度（x3）kmh第二相等关系建立方程：
2（x+3）25（x3）
x27
方法二：设第二相等关系设甲乙两码头相距y千米第相等关系建立方程：
y2y256
y60
y2327
例3花妈妈爸爸买件衣服条裤子306元中衣服标价七折裤子标价八折衣服标价300元裤子标价少？
题两相等关系：
（1）商品售价商品标价×折数
（2）衣服售价+裤子售价总
方法：设第相等关系设裤子标价x元裤子售价08x元第二相等关系建立方程：
300×07+08x306
解x120
方法二：设第二相等关系设裤子售价y元衣服售价306y元第相等关系建立方程：
306y300×07
解y96
裤子标价y÷0896÷08120
样反复训练道题相信学生定中找出元次方程解应题解题规律培养学生分析问题解决问题力
三学生掌握设未知数技巧
设未知数列方程解应题关键步骤通面训练应该知道非问什设什恰设未知数起事半功倍效果初学者难掌握教师教会学生设未知数方法设未知数常两种方法：
1直接设元法
题中等量关系明显表示出求未知量时采直接设未知数方法题目里问什设什做未知数样设未知数求出列方程解直接题目求数情况直接设元法解方程例颖种株树苗开始时树苗高约40 cm栽种周树苗长高约5 cm问约周树苗长高1米？问题宜采直接设元法
2间接设元法
直接设未知数列方程较困难列出方程易求解时采间接设元法设求问题相关间接未知数种方法特点先设未知数求出然通题意题中求未知量求出例两位数位十位数字7十位数字位数字换两位数原两位数27求两位数直接设两位数做出问题应采间接设元法设位数字者设十位数字然问题采间接设元法采直接设元法形成问题种解法样问题求学生选种简便解法
着新课程改革深入更培养学生运数学知识解决实际问题力显越越重应题教学容忽视作数学教师思想高度重视行动精心安排认真落实优化应题教学始终着眼学生应意识力提高应题促进素质教育发展学生素质会应题教学中显著提高
参考文献：
朱慕菊走进新课程：课程实施者话北京师范学出版社200206
（作者单位 云南省曲靖市沾益县第五中学）
简析元次方程应题
学中学文字应题直老师学生头痛难题特元次方程应题学生初学列方程解应题时弄清解题步骤分析问题思路够明确元次方程解应题方法掌握够牢固熟练文元次方程解法应学情分析题型分析方面简单介绍理解元次方程应题仅代表见解供家讨提出建议
学情分析
1学生初学方程解应题时弄清解题步骤设未知数直接进行列方程直接进行列方程设未知数时单位忘记写等
2学生元次方程解应题时存分析问题时思路列出方程样部分学生会怀疑解法存错误实际作老师应该鼓励学生开拓思路例题时贯穿中学生明白思路正确列方程合理正确样学生做题时会选择合理思路方程简单明
3学生元次方程组解应题时抓准相等关系找出相等关系会列方程甚部分学生列出方程会解方程
4学生学中惯算术方法分析问题代数方法分析应题适应较复杂应题法找等量关系便列式解答
5学生学中惯套题型找解题模式重视分析等量关系
二简单分析解元次方程应题
解元次方程应题呢？关键找出代表题目全部含义等量关系应题包含事物情节数量两方面已知条件问题两部分构成学情节数量关系理解掌握数量关系概括抽象数学问题正确列出方程需学抓住关键语句理清解题思路外应题条件问题通线段图表示出抽象数量关系具体化直观化便理解题意找出已知数更列出元次方程解应题
应题中时找出两两等式列元次方程代数式列方程组时需确定出包含题目已知数量直接间接包含未知量代式确定等式分析等式左右两边已知量未知量求问题关系通未知量求出求问题确定未知量X出现两两未知量时需根题目中等式找出未知量关系结合求问题确定中X然含未知数代数式表示未知量根等量关系列出方程组
综述列方程解应题般步骤：
（1）弄清题意找出已知条件述问题
（2）根题意确定等量关系设未知数X
（3）根等量关系列出方程
（4）列方程
（5）检验写出答案
面道例题：
例1已知甲乙丙丁四数甲乙3丙甲2倍7丁乙2倍5四数总45求四数少
分析：题目中已知甲乙+3丁乙*2+5丙甲*2+7甲+乙+丙+丁45
未知：甲乙丙丁四数
通分析出够包含全部题意等式甲+乙+丙+丁45
右边45左边四数均未知数设中x分析四数间关系
设乙x甲x+3丁2x+5丙2（x+3）+7代入甲+乙+丙+丁45
方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]45
解出x便求出甲乙丙丁四数
解：设乙数X：（略）
然时遇列方程组解应题时通画图列表等帮助分析什形式分析离开寻找等量关系
例2天两盘分盛51g45g盐问应该盘A出少盐放盘B两者盛盐质量相等？
分析：（图略）设应盘A出Xg盐列出表
盘A 盘B
原盐（g） 51 45
现盐（g） 51x 45+x
解：设应盘A出盐Xg放B盘根题意51x45+X
解：X3
符合题意
答：应A盘中出3g盐放B
学掌握元次方程解应题方法应做层次形式列席模仿性练发展性练……逐渐学会观察较分析综合学方法联系实际学会抽象概括学会思考方法促进思维提高提高学力
三元次方程应题纳
元次方程解答实际问题关键抓住问题中关数量相等关系列出方程求方程解检验实际问题解答
程简单表述：
中分析抽象程通常包括：
（1）弄清题意中数量关系字母表示适未知数
（2）找出问题出关数量相等关系反映未知量已知量间关系
（3）等量关系中涉量列出需表达式根等量关系方程设未知数做出解答时应注意量单位
浅析初中生解元次等式(组)应题
困难应策略
摘 现实世界包含量相等关系存许等关系 解决实际问题程中时确定需确定某量具体取值求出确定量变化范围等式（组）探求等关系基工具 列等式（组）解决实际问题初中数学中难点时中考热点 解类题关键实际问题中找出相等关系等关系列出方程等式 解等式（组）时学常基础扎实概念清粗心意解题程中遇种困难
关键词 初中生元次等式（组）应题应策略
等式（组）新课程标准具体求：够根具体问题中数量关系列出元次等式元次等式组 解决简单实际问题 体会等式（组）描述实际问题效数学模型
然学够记住解题步骤解类应题时验足抓关键词概念混淆思维定式等原存学生解题程中遇困难正确解
解题中遇困难常见错误
１． 生活验足问题信息量造成初中生解应题难两屏障
例１ 砖块５．５元出售砖边长３５厘米种砖铺满长７．８米宽５．７米房间需花费少钱购买砖？
评析 正确解应题必须读懂题目中语言文字表达问题条件问题求 题中学生必须清楚砖出售购买铺等词语含义否读懂题意 砖问题中事实知识包括长方形正方形概念米厘米间进率换算 类生活综合知识联系较紧应题信息量验足导致学生读懂题目知手学生伤脑筋 总学生生活验课外知识社会知识储备量已成度量学生解答应题思维厚度标尺
2． 思维定式造成设未知数出错带列式困难
例２ 苏科版八年级教科书２０页练第１题
某班学生外出春游时合影留念１张彩色底片费１元印１张彩需０．６元 果预定１张彩花费超０．８元参加合影学生少少？
错解 设参加合影学生少ｘ （错误原：设未知数确切应改设参加合影学生ｘ）
１ ＋ ０．６ｘ ≥ ０．８ｘ（错误原：列式时等号反）
解等式 ｘ ≤ ５
答：参加合影学生５． （错误原：认题结果确定值题结果取值范围）
评析 列等式解应题中学生设未知数时受方程应题迁移求什设什做法常列式带困难甚出错．
3． 列等式（组）时忽视关键词
例３ （２０１１山东枣庄）某中学落实市教育局提出全员育创办特色学校会议精神决心造书香校园 计划超１９００科技类书籍１６２０文类书籍组建中型两类图书角３０．已知组建中型图书角需科技类书籍８０文类书籍５０组建型图书角需科技类书籍３０文类书籍６０．
（１）符合题意组建方案种？请帮学校设计出
（２）组建中型图书角费８６０元组建型图书角费５７０元试说明（１）中种方案费低低费少元？
解 （１）设组建中型图书角x组建型图书角（３０ － ｘ）．题意
８０ｘ ＋ ３０（３０ － ｘ） ≤ １９００５０ｘ ＋ ６０（３０ － ｘ） ≤ １６２０
解等式组１８ ≤ ｘ ≤ ２０．
ｘ取整数∴ ｘ取值１８１９２０．
ｘ ＝ １８时３０ － ｘ ＝ １２ｘ ＝ １９时３０ － ｘ ＝ １１ｘ ＝ ２０时３０ － ｘ ＝ １０．
三种组建方案：方案中型图书角１８型图书角１２方案二中型图书角１９型图书角１１方案三中型图书角２０型图书角１０．
（２）方案费：８６０ × １８ ＋ ５７０ × １２ ＝ ２２３２０（元）
方案二费：８６０ × １９ ＋ ５７０ × １１ ＝ ２２６１０（元）
方案三费：８６０ × ２０ ＋ ５７０ × １０ ＝ ２２９００（元）．
方案费低低费２２３２０元．
评析 解类应题难点理清题意寻找题目中关键词语 例３中两关键词超 少列等式（组） 外注意设未知数受实际情况制约例中中型图书角数ｘ应正整数．
等式应题取材广泛紧密结合实际生活解类题首先理清题意寻找关键词少……节省等找等关系列出等式（组）通解等式确定等式解检验求解实际问题相符合
4． 移项两边（）负值时变号
根题意正确列出等式（组）重解等式（组）．
例４ 解等式：２ｘ ＋ ４ ＞ ｘ － １．
错解 移项２ｘ ＋ ｘ ＞ －１ ＋ ４．
３ｘ ＞ ３ｘ ＞ １．
例５ 解等式：－３ｘ ＋ ９ ＜ ０．
错解 移项－３ｘ ＜ －９．
系数化１ｘ ＜ ３．
评析 面两例均犯变号错误 例４例５分移项变号等式两边（）负数等号方应改变类知识点时回应致 求解时应掌握知识点基础加细心 例４正确结果应ｘ ＞ －５例５正确结果应ｘ ＞ ３
5． 概念意义明确
例６ 求等式 ２ｘ － ４ ＜ ０非负整数解．
错解 ２ｘ － ４ ＜ 0解ｘ ＜ ２非负整数解１．
例７ 解等式：｜ｘ｜ ＜ ３．
错解 ｘ ＜ ３．
评析 例６例７错误原某概念明确混淆非负整数解绝值等 非负整数应包括0切正整数例６正确解：０１ 绝值意义指数轴某数原点距离例７正确解：－３ ＜ ｘ ＜ ３
6． 括号时遵守运算法
例８ 解等式：３ｘ － ２（１ － ２ｘ） ≥ ５．
错解 括号３ｘ － ２ － ２ｘ ≥ ５
ｘ ≥ ７．
评析 题括号根解等式步骤先括号 括号前数括号里项相 括号时应遵循法分配律漏外应遵循括号法：括号时括号前面－括号括号里项变号 题产生错解原两点：括号外数第项相括号前面负号第项变号 题正确解应ｘ ≥ １
7． 分母时漏含分母项
例９ 解等式： ＋ ２ ≥ －２ｘ．
错解 分母ｘ － １ ＋ ２ ≥ －４ｘ．
移项合类项５ｘ ≥ －１ｘ ≥ －．
评析 例解答程中没掌握等式运算性质分母时等式两边分母公倍数漏含分母项漏常数项解元次等式（组）时常出错误应引起高度重视 题正确解应ｘ ≥ －
８ 分子项式分母时忽视分数线括号作
例１０ 解等式： － ＞ ０．
错解 分母４ｘ － １ － ３ｘ － １ ＞ ０
移项合类项ｘ ＞ ２．
评析 分母时 分子项式时分式分子必须成整体 忽视分数线括号作解元次等式时常出错误避免出类错应分分子添加括号运括号法 例10中没添加括号导致错误
正确 分母２（２ｘ － １） － ３（ｘ － ２） ＞ ０．
括号４ｘ － ２ － ３ｘ ＋ ６ ＞ ０
移项合类项ｘ ＞ －４．
二学解元次等式（组）应题策略
1． 理解关概念
① 等式：＜＞号表示关系式子做等式
② 元次等式：含未知数未知数次数１等式做元次等式 分母中含未知数
③ 等式解：含未知数等式中等式成立未知数值做等式解 等式解般解数
④ 等式解集：果等式解等式成立未知数取值范围做等式解集合简称解集 等式解集包括等式成立未知数值
２． 领悟等式三基性质
① 等式两边加（减）数（式子）等号方变
② 等式两边（）正数等号方变
③ 等式两边（）负数等号方改变
等式三基性质进行等式变形根中前两性质类似等式性质运性质③时注意必须改变等号方等式特性质
3． 牢固掌握等式（组）解法
解元次等式般步骤解元次方程相：① 分母② 括号③ 移项④ 合类项⑤ 系数化成１
步需注意事项：① 分母：漏含分母项否改变等号方② 括号：括号前负号时括号项均变号③ 移项：移项变号④ 合类项：系数相加字母字母指数变⑤ 系数化成１：否改变等号方
4． 牢固掌握列等式（组）解应题步骤抓住等关系关键词挖掘隐含等关系
构建等式题目中表示等关系词语超超等．定利关键信息列出等式（组）解决实际问题
题目中明显表示等关系关键词深藏题意中求老师引导学生根问题实际意义深入挖掘蕴含中等关系．
5 重视等式（组）应题教学
时教学程中 教师注重知识传授题目解答重视学生实践性活动开展教学样会避免数学实际生活脱节时教学中断增加新背景容 时代弥补生活验足激发学生学热情．等式（组）应题文字较学生获信息困难问题教师常教学中应题停留耐心
实际问题中许方程难解决问题等式处理轻易解决 应题初中数学重点列等式解应题初中数学难点根题意正确列出等式（组）解应题成功半 元次等式（组）解法十分重元次方程解法许相似处身特点学认清两者解法联系区 正确应学生解题程中遇困难提高学积极性增加学数学兴趣应元次等式（组）解决生活中实际问题
参考文献
［１］钟山．学生困惑成课堂教学遗憾――元次等式组教学片段感［Ｊ］学生友（初中版）（）２０１０（１１）．
［２］赵春祥．列元次等式解应题［Ｊ］初中生２００９（６）．
［３］石卫东．解元次等式常见错误分析［Ｊ］中学生数学２００３（１０）．
［４］保． 解元次等式常见错误剖析［Ｊ］数理化学（初中版）２００３（３）．
［５］栾绪友．学元次等式［Ｊ］中学生数学２００９（１４）．
浅谈元次等式组济中应
摘 前元次等式组知识解决实际问题中考必考题着现代济快速发展类题常现实生活中济营决策等热点问题背景文实际出发谈谈元次等式组济中应
关键词：元次等式组济应
前中考题型越越灵活变出题目常会实际出发学生感受身边处处数学求线教师时教学程中重视数学中实际问题面谈谈元次等式组济中应节课教学设计感受
教材分析
节课教版七年级册第九章等式等式组中元次等式组第二课时容探究元次等式组济中应学生探究等式实际问题元次等式元次等式组进行学整七年级数学中起着承前启作
元次等式（组）知识解决实际问题中考必考题着现代济快速发展类题常现实生活中济营决策等热点问题背景等式现实生活中联系非常紧密解决类应题助日常生活中灵活应学知识解决实际问题等式应题分析关重
二教法学法分析
教法分析：针七年级学生学特点学生现实生活出发提出问题提高学生分析问题解决问题力发展逻辑思维力条理表达思维程力学生感受数学济中应价值培养学生数学眼光世界意识引导学生关注生活关注社会感受类化数学思想
学法分析：节课学程中重建立等意识济问题数学化通观察实验猜想验证推理交流等活动发展思维力促进数学观建立
三例题设计
紧扣中考出题方例题设计实际出发选取三探究问题
探究：
开学颖算压岁钱买台复读机学英语商店售价台150元商家售出台复读机获利润进价10~20请问知道进价范围少？（精确1元）
探究二：
五长假期间颖学校算组织全校385名师生租车三清山旅游现已知出租公司提供42座60座两种型号客车42座客车租金辆300元60座客车租金辆450元
（1）果学校单独租两种客车需少钱？
（2）果学校时租两种客车8辆（坐满）单独租中种车辆更省钱请帮助学校选择种省钱租车方案
探究三：
三清山中学准备举行纪念新中国成立60周年校园红歌赛 评出等奖4二等奖6三等奖20学校决定获奖学生发份奖品等次获奖品相
三种奖品单价整数求等奖奖品单价二等奖奖品单价3倍二等奖奖品单价三等奖奖品单价2倍果总费少90元150元购买二三等奖奖品时单价分少？
三探究题实际出发选取三清山饶名山国家4A级风景名胜刚成功申请世界然遗产说例题里学熟悉三清山入手学生倍感亲切更易接受
四解法探究
列元次等式组解决实际问题中考考查重容教学程中反复学生强调列等式解决实际问题时应掌握三步骤：
1找出实际问题中等关系相等关系（时通等式方程综合起解决）设出未知数列出等式组（等式方程混合组）
2解出该等式组
3已列出等式组（等式方程混合组）解集中求出符合题意答案
五易错分析
学生节课学时容易解审题设未知数等关系寻找易出错教学程中引导学生快速准确找出题中等关系
六教反思
1根学生知识结构采教学流程：三探究活动学生握住实际问题中量量间关系突破构建模型中难点积累分析复杂问题验
2选择前实事学生身边熟悉感兴趣问题激发学生知识渴追求体现知识生活联系
3学生通探究出运数学知识解决实际问题方法：实际问题中获取需信息——分析处理关信息——实际问题转化数学问题——解答原实际问题分析解决问题程中发展学生数学眼光世界动性
浅谈三角形角教学
学兴趣学生学部动机推动学生探求部真理获取力种强烈欲学活动中起着十分重作教学实践表明学生果数学知识充满奇心学会知识信心总动积极心情愉快进行学数学课堂教学中时刻注意发掘教材孕伏智力素审时度势握时机势利导学生创造良教学情境激发学生兴趣学生学数学中愉快探索面结合苏教版第七册三角形角课谈点体会
开讲生趣
俗话说：良开端成功半堂课开头然短短分钟影响堂课成败教师必须根教学容学生实际精心设计节课开头导语出心裁导语激发学生学兴趣学生动投入学三角形角引入部分先求学生出预先准备三三角形（直角锐角钝角三角形）量角器量出三角形中三角度数然分请学生报出三角形两角度数说出第三角度数开始位学服气认巧合举例说猜时学生感惊奇教师答案量出答案会致探究竟兴趣油然生
二授中激趣
开讲生趣仅作导入新课引子成功路行半需讲授新课中适时激发学生兴趣恰处诱导充分挖掘知识魅力奇心先导引发学生强烈求知欲例新授部分板书课题接着全班学生动手做实验：分手里三三角形( 锐角钝角直角三角形）三角剪分三角形三角拼起言趣激励学生：谁先发现中奥秘谁争取家作实验成功报告时学生心中激起层层思考涟漪课堂气氛紧张活跃发言争先恐学生通正方形纸角线折变成两完全样三角形正方形4 直角360°三角形角180°方法显然时学生三角形角180°性质感性基础教师性质讲解已心灵犀点通佳时刻
三设疑引趣
学起思思源疑疑学生学数学知识中启动思维起点数学教学中作教师善提出具引发学生思考问题学生见疑生趣产生趣解疑求知欲求成心
师：表扬：真聪明演示：里教师通提出两具思考性问题层层设疑学生探究知识兴趣波澜起伏时刻处紧张兴奋学状态中
四练中趣
练巩固学知识形成技技巧必途径教学重环境呆板练形式乏味练容学新知识中激发出学兴趣情淹没学生愉快心情振奋精神受严重扼杀抑制课堂练设计精彩趣教学中教师根学容设计形式练
1 练形式注意层次性
设计类型层次练题模仿性基础练提示变式练拓展性思考练降低题坡度顾层次学生学生始终保持高昂学热情三角形角中运规律解题时先已知两角求第三角已知直角三角形锐角求角感知直角三角形两锐角90° 已知三角形角两角相等求两角度数已知三角形三角度数均相等求三角形三角度数设计通层次练断掀起学生认知活动高潮学生学起饶兴趣没枯燥乏味感
2 练形式注意科学性趣味性
布鲁纳说：学刺激学材料兴趣教学时适选编学生喜闻乐见点情节贴进学生生活验日常生活中应较广泛题目通少量趣题种形式题目学生变知乐知课完成基题学生子画出三角形求中两角直角学生画画手时手抓脑袋冥思苦想时教师说出画出理学生恍然悟
科学家爱斯坦说：热爱老师作名数学教师教学中根教学容学生实际灵活变采种做法进步激发学生学兴趣学生思维活跃起学生脑子积极转动起活跃课堂气氛提高课堂教学效果
浅谈图形移旋转概念教学
童生活世界已接触量物体图形移旋转轴称变换现象例电梯铁列车车厢行移动时针电风扇叶片旋转许动物建筑物具称性现象童学图形变换提供丰富彩现实背景反学点图形变换知识助童更观察认识周围生活中现象
童年龄特征认知特点学生正处奇心浓厚阶段通图形变换引出数美妙图案数学更生动现实世界联系起诱发学生动探索奥秘激励图形变换观点审视周围事物整义务教育阶段求较严格变换定义出发研究变换性质搞部分容教学教师必较透彻理解图形变换关概念
通俗讲谓移图形定方移动定距离谓旋转图形绕顶点转动定角度样描述较适合学生认知水教师说绝够请案例
堂教学移旋转公开课老师创设玩游乐场情境讨摩天轮运动时起初学认旋转料位学执著求发言说：坐摩天轮坐面始终头脚认移旋转家时愣住教师策学生组讨热闹意认方没变反理转圈直课没搞清楚移旋转两者课前观摩教师议纷纷数认坐摩天轮坐舱运动移少数认移否旋转呢？样两种意见见教师身搞清楚概念十分必
里概念性质浅显方式描述
1什变换？
般说谓变换指某集合中符合定求种应规律图形变换讲图形点集合图形变换通点变换实现果面图形点应该面某新图形点新图形中点应原图形中点样应做变换
变换中重全等变换相似变换
够保持图形形状变变换全等变换全等变换中原图形两点间距离等新图形中两应点间距离称保距变换
够保持图形形状变改变图形变换相似变换相似变换中原图形中角保持变称保角变换
学数学中引进移变换旋转变换轴称变换三种变换全等变换相似变换第二学段中渗透学例尺时两图形例放缩实际种相似变换
2什移变换旋转变换轴称变换？
先说移旋转果原图形中意点新图形中相应点连线方相长度相等样全等变换称移变换简称移说移基特征图形移动前点应点间连线互行（者重合）相等显然确定移变换需两素：方二距离
果新图形中点原图形中点绕着固定点（做旋转中心）转动相等角度样全等变换称旋转变换简称旋转说旋转基特征图形旋转前应点旋转中心距离相等组应点旋转中心连线夹角等旋转角度显然确定旋转变换需三素：旋转中心旋转方旋转角度
现回答前面摩天轮座舱问题摩天轮旋转面座舱里面始终头脚移呢？移基特征画出运动程中意两位置座舱问中点连线（图1）行相等移
座舱里面否旋转呢？旋转基特征画出座舱部中点摩天轮旋转中心连线（图2）长明显相等
明明摩天轮旋转座舱里面旋转移回事呢？原摩天轮带动座舱时针旋转时球引力挂吊钩座舱逆时针细微转动座舱里面始终保持方座舱点移动相距离实数学中说旋转移考察运动开始终止状态两静止图形应点间关系物理学中研究物体转动动侧重点
说称称许学科名词数学占相重位称关概念称项式称空间称原理等等数学中较重概念学数学讨仅限图形称仅指面图形关条直线称图形形形色色称旋转称特例中心称等讨范围学生提类现象时行四边形（中心称）电扇叶片（旋转称）等教师应断然否定称性指出轴称图形行
果连接新图形原图形中组应点线段条直线垂直该直线分样全等变换称轴称变换组应点互称点垂直分称点连线段直线做称轴说轴称基特征连接意组应点线段称轴垂直分显然确定轴称变换关键找称轴
构成轴称图形通常做轴称图形（等腰三角形）两通常做两图形关某条直线称（长方形）
成轴称两图形作图形轴称变换轴称图形作半基础轴称变换成
更通俗语言轴称图形做出直观描述：图形折果折痕两边图形完全重合图形做轴称图形折痕（直线）做称轴然种描述偏重图形性质刻画运动变换观点渗透突出
数学中刻画移方距离通常采线段量放特定坐标系讨刻画旋转素简捷方式采极坐标图形变换作点点间种应精确刻画离开坐标系图形变换作种运动样需参系事实移旋转放解析原学数学中讨移旋转时常利方格纸道理
3移变换旋转变换轴称变换什联系？
首先三种变换保持图形形状发生变化点次果连续进行两次轴称变换般情况：
（1）两条称轴等时两次轴称变换结果相次移变换移方称轴垂直移距离两条称间距离2倍简略说两次翻折（称轴互行）相次移
（2）两条称轴相交时两次轴称变换结果相次旋转变换旋转中心称轴交点旋转角度两条称轴夹角2倍简略说两次翻折（称轴相交）相次旋转
面两条结针图形般情况说特殊图形次轴称变换达移围转效果
例图5中带烟囱房子两次轴称变换（称轴行相距4格）相次右移8格图6中没烟囱房子次轴称变换相移
外面两条结反样成立次移变换两次轴称变换（称轴互相行）代次旋转变换两次轴称变换（称轴相交）换运动方式效果相
学数学教材中图案变换生成例图7四叶图案中片叶相邻片叶轴称变换相邻叶片旋90°者直线片叶移
认识三种全等变换间联系助理解数学中研究图形变换关注点变换前图形相位置关系应点关系
浅谈轴称教学中作
摘 ：通轴称认识性质理解发现轴称初中数学教学中具重位作利轴称认识解决实际问题
关键词：轴称力应
轴称种基图形变换探索图形性质认识描述图形形状位置关系学生建立空间观念培养空间想象力着忽视作轴称概念性质解决某计算作图证明等问题中起着重作
轴称培养学生数学美生活美认识
轴称广泛存身边数字字母汉字建筑中轴称体现惊魅力生活中花边剪纸装饰物镜子轴称数学中图形具轴称美例：角线段等腰三角形等边三角形正方形长方形圆等等
二轴称培养学生动手操作力
轴称教学通学生观察折纸扎眼印墨迹剪纸等操作活动仅培养学生动手操作力促进学生观察分析纳概括等般力发展
三轴称解决问题中作
新课程改革强调图形变换容突出变换图形认识程中作变换思想促进学发展助改进学变换思想利学生创新意识形成轴称作图形变换重容较考查学生思维灵活性深刻性具选拔区分功成年热点问题面类问题复解决方法加讨
1基础知识精
（1）轴称称轴称点
①轴称包含两层意思：a两图形够完全重合形状相b重合方式限制：着某条直线折够重合
②称轴条直线非线段射线等
轴称图形称轴称轴条两条条图形数条
③称点指折叠重合点
（2）轴称图形
图形着某条直线折叠果直线两旁部分够互相重合称图形轴称图形
提醒：轴称图形指图形身
（3）轴称轴称图形关系
①二者区：轴称两图形间称关系轴称图形图形身称特性
②二者联系： （i）称轴折叠互相重合
（ii）果轴称两图形做整体轴称图形轴称图形称轴分成两部分做两图形关称轴成轴称
（4）轴称性质
①应点连线段称轴垂直分
②应线段相等应角相等
2轴称应
（1）轴称图形识
般根轴称图形定义识图形否轴称图形
评注：类考题较典型般求利轴称图形定义识特殊轴称标志数字字母汉字等
（2）设计轴称图形
轴称图形生活中着广泛应利性质设计出美丽图案设计图案时候注意美观实性
3利轴称特征探索研究图形性质
（1）利轴称特征解决问题
①折叠求角度
图长方形纸片EF折叠点DC分落D′C′位置∠EFB＝65°∠AED′等少度？
分析：∠DEF∠EFB65°（两直线行错角相等）
∠FED′∠DEF65°（轴称性质应角相等）
∠AED′180°∠FED′∠DEF180°65°65°50°
②折叠求长度
图已知边长5等边三角形ABC纸片点EAC边点FAB边着EF折叠点A落BC边点D位置ED⊥BCCE长少？
分析：折△FAE△DFE全等设ECxEDAE5x∠CED30°ED⊥BCDCx2根勾股定理x（5x）+ （x2）解x2010
（2）轴称解决镜子成问题
镜中实际物体图形镜面称关轴称知识解决镜面成问题
（3）轴称做辅助线时作
问题整图形部分轴称图形尝试找出称轴称轴想办法
①涉点直线尝试点作直线垂线
②涉点圆尝试点圆心直线连接起
③涉两条相交直线尝试作交角分线
④两条行直线尝试作条垂直直线者作等距条行线
⑤涉圆直线尝试圆心作直线垂线
⑥涉心两圆尝试作连心线
二元次方程组巧解古代数学名题
学二元次方程组解决生活中少实际问题学新数学模型消元转化思想关二元次方程组名题趣题更源生活现二元次方程组解应题步骤纳：
（1）弄清题意题目中数量关系字母（xy）表示题目中两未知数（2）找出够表示应题全部含意两相等关系（3）根两相等关系列出代数式列出两方程组成方程组（4）解二元次方程组求出未知数值（5）检查结果正确性合理性（6）写出答案
运方程组解决含未知数问题已长历史问题古代数学发展起重促进作现代高等代数中许容起源线性方程组研究中国古代数学方程方程组方面许成果例著名鸡兔笼问题利二元次方程组解决元问题九章算术等古代数学著作中记载关方程组容体现类客观世界中数量关系断探究中出类追求真理长期努力折射出科学源远流长教学中关注数学知识力方面提高外应关注传承数学文化方面工作结合二元次方程组容进步挖掘文化涵学生次受数学文化熏陶数学思想方法领悟运渗透整初中阶段数学学程中克服题海战术取优异成绩效策略列二元次方程组解应题中灵活运数学思想方法求解起事半功倍效果文结合例题加分析希教学帮助
约千八百年前国著名算术书——孙子算中道流传久远名题原文：雉兔笼三十五头九十四足问雉兔？
分析：鸡兔笼问题题中两相等关系：鸡头加兔子头35二鸡脚加兔子脚64设出鸡兔子数根相等关系列出方程解
解：设鸡x兔子y根题意
x+y352x+4y94 解x23y12
答：鸡23兔子12
孙子算中道名题：木知长短引绳度余绳四尺五寸屈绳量足尺木长？意思：绳子量根长木绳子剩余45尺绳子折量长木长木剩余1尺问长木长少尺？
解：设长木长x尺引绳长y尺根题意
yx45xy1解x65y11
答长木长65尺
世界著名算术书九章算术中样道题：善行者行百步善行者行六十步善行者先行百步善行者追问步？意思：走路快走100步时走路慢走60步走路慢先走100步走路快走少步追？
分析：题做道行程问题题中相等关系两者走步数相等
解：设走路快走x步追走路慢时走路慢走y步根题意
xy10060xy+100解x250y150
答：走路快走250步追走路慢
国民间流传数学名题：
题1：闻隔壁分银知少银7两少7两半斤半斤试问位善算者少分少银？（注：里斤指市斤1市斤10两）
解：设x分y两银子根文联盟wwwLWlMcom题意
7xy7y5x5 解x6y35
答：6分35两银子
题2：群老头赶集半路买堆梨两少两请问君子知道否老头梨？
解：设x老头y梨根题意：
xy12xy+2 解x3y4
答：3老头4梨
外：附解答应题心
（1）读懂题意相关语言精简掉现应题考数学语文阅读力
（2）巧设未知数道应题中量设未知数更简便仔细斟酌
（3）根等量关系列出方程
（4）解方程时会遇两未知数列出方程隐含条件数物体数正整数隐含条件尤等式方程中分式方程验根
（5）写清单位答话步忽视实步恰恰反映出否读懂题目否知道题目求什考试中占分数
（6）勤加练熟生巧断练触类旁通举反三
解二元次方程组教学反思
解二元次方程组学元次方程认识二元次方程（组）基础学容初中代数学重容该部分知识学提高学解题力学生期学奠定基础解二元次方程组非常重学容
解二元次方程组通代入法加减法二元次方程进行消元转化元方程利元次方程解法求解解答该类方程组理等式性质运转化数学思想未知知识转化已知知识方法（二元次方程组转化熟悉元次方程）
二元次方程组解题注意事项：
1代入消元法解方程组时直接带入直接中方程代入方程进行进算需变形系数1进行变形便计算系数1系数未知项进行变形简化计算降低计算难度代入时带入原方程否未知项会抵消掉
2加减消元法解方程组时加时减观察含未知数项系数决定果方程组中两方程未知数项系数相等减系数互相反数加两方程未知数项系数通方程变形两方程未知数项系数变相互相反数（根等式性质二）然相加相减变元次方程相加减时采左边加减左边右边加减右边原果等号左边常数应常数移右边含未知数项移等号左边
3通消元变元次方程解答完成应未知数值分带入方程①方程②否方程左右两边相等两方程左右两边相等解答正确然画括号解表示出
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反思：边形角外角教学反思
（1）节课学生提供探究思考交流时间空间足展示交流机会够充分学没表现机会没真正做放手学生探究老师引导研究较着眼课堂形式样化学生力（：合作探究交流等）培养忽视教学中重知识点落实样培养学生创造性分析问题力没达佳状态
（2） 组讨说新教材框架中重部分五步释疑教学法必少环节事先定详细计划堂课暴露缺陷较环节：组员设置（七八组加发表格较少讨未效开展）45组较合适分工明确谁记录谁发言等等避免某组成员流离合作外教师应精心策划：讨效开展时间长采取种讨方法讨程中该担种角色等组交流程中学生发言分注重探索结果忽视学生探索程展示时总结性话限制学生思维限度发挥学生探究力
反思二：
节介绍边形角外角公式节探究课．
节知识容学生通探索边形角外角尝试角度寻求解决问题方法效解决问题．教学程中教师放手学生探索利种方法进行研究．时关注学生合作交流开阔学生思路学生历整探索程时体会数学严谨性培养学生逻辑思维解决问题力．
教学设计关注学生学合作交流程学生历猜想探索推理纳等程发展学生合情推理力语言表达力掌握复杂问题化简单问题化未知已知思想方法学生获数学活动验时提高探究发现创新力．
反思三：
然整堂课出现较漏洞想作新教师种尝试未尝通断尝试断失败达胜利彼岸
整 体感觉节课成功整教学流程符合预先设计教学务完成良开始边形顶点引角线研究边形分成三角形 研究四边形五边形六边形七边形……然推N 边形通研究发现边形顶点引角线原边形分成（n2 ）三角形边形角公式：（n2 ）180 里充分体现特殊般推理特点
换角度问题边形 取点顶点相连n 三角形里算周角公式：180n360 样培养学生方面探究问题力通观察猜想推理交流学生真正理解掌握相关数学知识思想方法
边形角节课涉容较概念较杂节课中设计份学生学案整节课思想特殊般化未知已知数学思想……
三角形角度边形角求出边形角节课学生部分够认真听讲媒体课件原外加时间关系学生法教 师教学速度节课难点探索边形角重学生探索发现验证猜想然花时间引导学生没真正做学生探索方 式……课堂采老师形式学生积极性定提高涉面广……台学生够台学生讲解程提出更求时加深学生印 象
反思四
1初旧教材中完成三角形外角教学学生然会想边形情况结合新教材中部分容编排特意教学程中安排样堂活动课希新课程标准思想体现
2 体现课堂学生培养学生探究力课前教学设计中量围绕学生展开：采取组合作学组组间交流等形式然想法 意图具体实施程中暴露出问题事先没预计想体现没体现完整课反思老教师指点表现：
（1）较着眼课堂形式样化学生力（：合作探究交流等）培养忽视教学中重知识点落实学生练机会仅编制题解答部分学生说求较高教师编题前先学生解题学生搭阶梯感突然
（2） 组讨说新教材框架中重部分教师事先定详细计划
堂课暴露缺陷较环节：组员设置（七八组加发 表格较少讨未效开展）45组较合适分工明确谁记录谁发言等等避免某组成员流离合作外教师应精心策 划：讨效开展时间长采取种讨方法教师讨程中该担种角色等
（3）组交流程中学生发言分注重探索结果忽视学生探索程展示时教师总结性话限制学生思维限度发挥学生探究力
（4） 教师教学程中学生评价较单肯定够时表扬够热情常表现较般学生创意时教师应加赞扬激发课堂气氛
反思五：
1教转变
节课教师角色知识传授者转变学生学组织者引导者合作者研究者引导学生观察探究讨发现结展示成果激发学生觉探究数学问题体验发现乐趣
2学转变学生角色学会转变会学节课学生停留学会知识层面站研究者角度深入境
3 课堂氛围转变整节课流畅开放合作隐’导基特征教师学生思维减少干预教学程呈现种较流畅特征整节课学生学生学生 教师间话讨 提问出发点互助合作手段解决问题目学生较宽松环境中选择获成功方判断发现价值
浅谈列元次方程解应题教学技巧
摘 ：元次方程解应题初中数学教学重点难点寻找等量关系列方程解应题关键寻找等量关系利等量关系列方程设未知数探讨列元次方程解应题教学规律
关键词：元次方程解应题等量关系列方程解题规律
元次方程解应题初中数学教学重点难点列方程解应题教学中基础起始部分部分容教学续包括二元次方程组应元二次方程应分式方程应元次等式（组）应等教学着关重作初中数学理联系实际重方面通列元次方程解应题教学培养学生分析问题解决问题力增强学生逻辑思维力初中年级阶段学生机械记忆力较强分析力相较弱提高初年级数学应题教学效果逐步提高学生数学分析力外时学生解题方法指导位数学教师必须考虑认真探索问题
寻找等量关系列方程解应题关键
列方程解应题中关键样正确找出够表示应题全部含义等量关系找等量关系首先分析道应题属种类型量量间什基关系式行程问题中路程速度时间三者关系工程问题中效率时间工作总量三者关系销售问题中进价定价售价利润提价降价百分率关系等次角度出发引导学生根未知数已知数已知数已知数关系寻找等量关系等量关系较隐蔽时助图解形象直观反映数量关系便学生寻找等量关系
例某校师生离学校28千米方游览开始段路步行速度4千米时余路程汽车速度36千米时全程1时求步行时间
道题相较简单先找表示等量关系语句全程1时步行时间车时间1时题意知道路程步行路程车路程组成步行路程车路程等28千米果设步行时间x时：
速度 时间 路程
步行 4千米时 x时 4x千米
车 36千米时 （1x）时 36（1x）千米
道题中时间表示已知量未知量关系路程表示方程等量关系
列方程：4x+36（1x）28
解出道题
二利等量关系列方程
元次方程应题中时找等量关系种题较容易解决应题找两等量关系时解呢？笔者通年教学实践发现许关元次方程应题规律：设第相等关系第二相等关系建立方程设第二相等关系第相等关系建立方程
例1新出生时父亲28岁现父亲年龄新年龄3倍求现新年龄
题两相等关系：
（1）代差：父亲年龄新年龄28
（2）父亲现年龄3×新现年龄
方法：设第相等关系设新现年龄x岁父亲现年龄x+28岁第二相等关系建立方程：
x+283x
x14
方法二：设第二相等关系设新现年龄y岁父亲现年龄3y岁第相等关系建立方程：
3yy28
y14
面元次方程解应题中行程问题例行程问题三量：路程速度时间已知量时关外两量相等关系设中相等关系相等关系建立方程
例2艘船甲码头乙码头流行2时乙码头返回甲码头逆流行25时已知水流速度3 kmh求船静水中均速度
题行程问题时间确定外关速度路程两相等关系设速度路程等量关系建立方程设路程速度等量关系建立方程
（1）流速度逆流速度6
（流速度静水中速度+水速逆流速度静水中速度水速）
（2）流路程逆流路程
方法：设第相等关系设船静水中均速度x kmh船利速度x+3 kmh船逆水速度（x3）kmh第二相等关系建立方程：
2（x+3）25（x3）
x27
方法二：设第二相等关系设甲乙两码头相距y千米第相等关系建立方程：
y2y256
y60
y2327
例3花妈妈爸爸买件衣服条裤子306元中衣服标价七折裤子标价八折衣服标价300元裤子标价少？
题两相等关系：
（1）商品售价商品标价×折数
（2）衣服售价+裤子售价总
方法：设第相等关系设裤子标价x元裤子售价08x元第二相等关系建立方程：
300×07+08x306
解x120
方法二：设第二相等关系设裤子售价y元衣服售价306y元第相等关系建立方程：
306y300×07
解y96
裤子标价y÷0896÷08120
样反复训练道题相信学生定中找出元次方程解应题解题规律培养学生分析问题解决问题力
三学生掌握设未知数技巧
设未知数列方程解应题关键步骤通面训练应该知道非问什设什恰设未知数起事半功倍效果初学者难掌握教师教会学生设未知数方法设未知数常两种方法：
1直接设元法
题中等量关系明显表示出求未知量时采直接设未知数方法题目里问什设什做未知数样设未知数求出列方程解直接题目求数情况直接设元法解方程例颖种株树苗开始时树苗高约40 cm栽种周树苗长高约5 cm问约周树苗长高1米？问题宜采直接设元法
2间接设元法
直接设未知数列方程较困难列出方程易求解时采间接设元法设求问题相关间接未知数种方法特点先设未知数求出然通题意题中求未知量求出例两位数位十位数字7十位数字位数字换两位数原两位数27求两位数直接设两位数做出问题应采间接设元法设位数字者设十位数字然问题采间接设元法采直接设元法形成问题种解法样问题求学生选种简便解法
着新课程改革深入更培养学生运数学知识解决实际问题力显越越重应题教学容忽视作数学教师思想高度重视行动精心安排认真落实优化应题教学始终着眼学生应意识力提高应题促进素质教育发展学生素质会应题教学中显著提高
参考文献：
朱慕菊走进新课程：课程实施者话北京师范学出版社200206
（作者单位 云南省曲靖市沾益县第五中学）
简析元次方程应题
学中学文字应题直老师学生头痛难题特元次方程应题学生初学列方程解应题时弄清解题步骤分析问题思路够明确元次方程解应题方法掌握够牢固熟练文元次方程解法应学情分析题型分析方面简单介绍理解元次方程应题仅代表见解供家讨提出建议
学情分析
1学生初学方程解应题时弄清解题步骤设未知数直接进行列方程直接进行列方程设未知数时单位忘记写等
2学生元次方程解应题时存分析问题时思路列出方程样部分学生会怀疑解法存错误实际作老师应该鼓励学生开拓思路例题时贯穿中学生明白思路正确列方程合理正确样学生做题时会选择合理思路方程简单明
3学生元次方程组解应题时抓准相等关系找出相等关系会列方程甚部分学生列出方程会解方程
4学生学中惯算术方法分析问题代数方法分析应题适应较复杂应题法找等量关系便列式解答
5学生学中惯套题型找解题模式重视分析等量关系
二简单分析解元次方程应题
解元次方程应题呢？关键找出代表题目全部含义等量关系应题包含事物情节数量两方面已知条件问题两部分构成学情节数量关系理解掌握数量关系概括抽象数学问题正确列出方程需学抓住关键语句理清解题思路外应题条件问题通线段图表示出抽象数量关系具体化直观化便理解题意找出已知数更列出元次方程解应题
应题中时找出两两等式列元次方程代数式列方程组时需确定出包含题目已知数量直接间接包含未知量代式确定等式分析等式左右两边已知量未知量求问题关系通未知量求出求问题确定未知量X出现两两未知量时需根题目中等式找出未知量关系结合求问题确定中X然含未知数代数式表示未知量根等量关系列出方程组
综述列方程解应题般步骤：
（1）弄清题意找出已知条件述问题
（2）根题意确定等量关系设未知数X
（3）根等量关系列出方程
（4）列方程
（5）检验写出答案
面道例题：
例1已知甲乙丙丁四数甲乙3丙甲2倍7丁乙2倍5四数总45求四数少
分析：题目中已知甲乙+3丁乙*2+5丙甲*2+7甲+乙+丙+丁45
未知：甲乙丙丁四数
通分析出够包含全部题意等式甲+乙+丙+丁45
右边45左边四数均未知数设中x分析四数间关系
设乙x甲x+3丁2x+5丙2（x+3）+7代入甲+乙+丙+丁45
方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]45
解出x便求出甲乙丙丁四数
解：设乙数X：（略）
然时遇列方程组解应题时通画图列表等帮助分析什形式分析离开寻找等量关系
例2天两盘分盛51g45g盐问应该盘A出少盐放盘B两者盛盐质量相等？
分析：（图略）设应盘A出Xg盐列出表
盘A 盘B
原盐（g） 51 45
现盐（g） 51x 45+x
解：设应盘A出盐Xg放B盘根题意51x45+X
解：X3
符合题意
答：应A盘中出3g盐放B
学掌握元次方程解应题方法应做层次形式列席模仿性练发展性练……逐渐学会观察较分析综合学方法联系实际学会抽象概括学会思考方法促进思维提高提高学力
三元次方程应题纳
元次方程解答实际问题关键抓住问题中关数量相等关系列出方程求方程解检验实际问题解答
程简单表述：
中分析抽象程通常包括：
（1）弄清题意中数量关系字母表示适未知数
（2）找出问题出关数量相等关系反映未知量已知量间关系
（3）等量关系中涉量列出需表达式根等量关系方程设未知数做出解答时应注意量单位
浅析初中生解元次等式(组)应题
困难应策略
摘 现实世界包含量相等关系存许等关系 解决实际问题程中时确定需确定某量具体取值求出确定量变化范围等式（组）探求等关系基工具 列等式（组）解决实际问题初中数学中难点时中考热点 解类题关键实际问题中找出相等关系等关系列出方程等式 解等式（组）时学常基础扎实概念清粗心意解题程中遇种困难
关键词 初中生元次等式（组）应题应策略
等式（组）新课程标准具体求：够根具体问题中数量关系列出元次等式元次等式组 解决简单实际问题 体会等式（组）描述实际问题效数学模型
然学够记住解题步骤解类应题时验足抓关键词概念混淆思维定式等原存学生解题程中遇困难正确解
解题中遇困难常见错误
１． 生活验足问题信息量造成初中生解应题难两屏障
例１ 砖块５．５元出售砖边长３５厘米种砖铺满长７．８米宽５．７米房间需花费少钱购买砖？
评析 正确解应题必须读懂题目中语言文字表达问题条件问题求 题中学生必须清楚砖出售购买铺等词语含义否读懂题意 砖问题中事实知识包括长方形正方形概念米厘米间进率换算 类生活综合知识联系较紧应题信息量验足导致学生读懂题目知手学生伤脑筋 总学生生活验课外知识社会知识储备量已成度量学生解答应题思维厚度标尺
2． 思维定式造成设未知数出错带列式困难
例２ 苏科版八年级教科书２０页练第１题
某班学生外出春游时合影留念１张彩色底片费１元印１张彩需０．６元 果预定１张彩花费超０．８元参加合影学生少少？
错解 设参加合影学生少ｘ （错误原：设未知数确切应改设参加合影学生ｘ）
１ ＋ ０．６ｘ ≥ ０．８ｘ（错误原：列式时等号反）
解等式 ｘ ≤ ５
答：参加合影学生５． （错误原：认题结果确定值题结果取值范围）
评析 列等式解应题中学生设未知数时受方程应题迁移求什设什做法常列式带困难甚出错．
3． 列等式（组）时忽视关键词
例３ （２０１１山东枣庄）某中学落实市教育局提出全员育创办特色学校会议精神决心造书香校园 计划超１９００科技类书籍１６２０文类书籍组建中型两类图书角３０．已知组建中型图书角需科技类书籍８０文类书籍５０组建型图书角需科技类书籍３０文类书籍６０．
（１）符合题意组建方案种？请帮学校设计出
（２）组建中型图书角费８６０元组建型图书角费５７０元试说明（１）中种方案费低低费少元？
解 （１）设组建中型图书角x组建型图书角（３０ － ｘ）．题意
８０ｘ ＋ ３０（３０ － ｘ） ≤ １９００５０ｘ ＋ ６０（３０ － ｘ） ≤ １６２０
解等式组１８ ≤ ｘ ≤ ２０．
ｘ取整数∴ ｘ取值１８１９２０．
ｘ ＝ １８时３０ － ｘ ＝ １２ｘ ＝ １９时３０ － ｘ ＝ １１ｘ ＝ ２０时３０ － ｘ ＝ １０．
三种组建方案：方案中型图书角１８型图书角１２方案二中型图书角１９型图书角１１方案三中型图书角２０型图书角１０．
（２）方案费：８６０ × １８ ＋ ５７０ × １２ ＝ ２２３２０（元）
方案二费：８６０ × １９ ＋ ５７０ × １１ ＝ ２２６１０（元）
方案三费：８６０ × ２０ ＋ ５７０ × １０ ＝ ２２９００（元）．
方案费低低费２２３２０元．
评析 解类应题难点理清题意寻找题目中关键词语 例３中两关键词超 少列等式（组） 外注意设未知数受实际情况制约例中中型图书角数ｘ应正整数．
等式应题取材广泛紧密结合实际生活解类题首先理清题意寻找关键词少……节省等找等关系列出等式（组）通解等式确定等式解检验求解实际问题相符合
4． 移项两边（）负值时变号
根题意正确列出等式（组）重解等式（组）．
例４ 解等式：２ｘ ＋ ４ ＞ ｘ － １．
错解 移项２ｘ ＋ ｘ ＞ －１ ＋ ４．
３ｘ ＞ ３ｘ ＞ １．
例５ 解等式：－３ｘ ＋ ９ ＜ ０．
错解 移项－３ｘ ＜ －９．
系数化１ｘ ＜ ３．
评析 面两例均犯变号错误 例４例５分移项变号等式两边（）负数等号方应改变类知识点时回应致 求解时应掌握知识点基础加细心 例４正确结果应ｘ ＞ －５例５正确结果应ｘ ＞ ３
5． 概念意义明确
例６ 求等式 ２ｘ － ４ ＜ ０非负整数解．
错解 ２ｘ － ４ ＜ 0解ｘ ＜ ２非负整数解１．
例７ 解等式：｜ｘ｜ ＜ ３．
错解 ｘ ＜ ３．
评析 例６例７错误原某概念明确混淆非负整数解绝值等 非负整数应包括0切正整数例６正确解：０１ 绝值意义指数轴某数原点距离例７正确解：－３ ＜ ｘ ＜ ３
6． 括号时遵守运算法
例８ 解等式：３ｘ － ２（１ － ２ｘ） ≥ ５．
错解 括号３ｘ － ２ － ２ｘ ≥ ５
ｘ ≥ ７．
评析 题括号根解等式步骤先括号 括号前数括号里项相 括号时应遵循法分配律漏外应遵循括号法：括号时括号前面－括号括号里项变号 题产生错解原两点：括号外数第项相括号前面负号第项变号 题正确解应ｘ ≥ １
7． 分母时漏含分母项
例９ 解等式： ＋ ２ ≥ －２ｘ．
错解 分母ｘ － １ ＋ ２ ≥ －４ｘ．
移项合类项５ｘ ≥ －１ｘ ≥ －．
评析 例解答程中没掌握等式运算性质分母时等式两边分母公倍数漏含分母项漏常数项解元次等式（组）时常出错误应引起高度重视 题正确解应ｘ ≥ －
８ 分子项式分母时忽视分数线括号作
例１０ 解等式： － ＞ ０．
错解 分母４ｘ － １ － ３ｘ － １ ＞ ０
移项合类项ｘ ＞ ２．
评析 分母时 分子项式时分式分子必须成整体 忽视分数线括号作解元次等式时常出错误避免出类错应分分子添加括号运括号法 例10中没添加括号导致错误
正确 分母２（２ｘ － １） － ３（ｘ － ２） ＞ ０．
括号４ｘ － ２ － ３ｘ ＋ ６ ＞ ０
移项合类项ｘ ＞ －４．
二学解元次等式（组）应题策略
1． 理解关概念
① 等式：＜＞号表示关系式子做等式
② 元次等式：含未知数未知数次数１等式做元次等式 分母中含未知数
③ 等式解：含未知数等式中等式成立未知数值做等式解 等式解般解数
④ 等式解集：果等式解等式成立未知数取值范围做等式解集合简称解集 等式解集包括等式成立未知数值
２． 领悟等式三基性质
① 等式两边加（减）数（式子）等号方变
② 等式两边（）正数等号方变
③ 等式两边（）负数等号方改变
等式三基性质进行等式变形根中前两性质类似等式性质运性质③时注意必须改变等号方等式特性质
3． 牢固掌握等式（组）解法
解元次等式般步骤解元次方程相：① 分母② 括号③ 移项④ 合类项⑤ 系数化成１
步需注意事项：① 分母：漏含分母项否改变等号方② 括号：括号前负号时括号项均变号③ 移项：移项变号④ 合类项：系数相加字母字母指数变⑤ 系数化成１：否改变等号方
4． 牢固掌握列等式（组）解应题步骤抓住等关系关键词挖掘隐含等关系
构建等式题目中表示等关系词语超超等．定利关键信息列出等式（组）解决实际问题
题目中明显表示等关系关键词深藏题意中求老师引导学生根问题实际意义深入挖掘蕴含中等关系．
5 重视等式（组）应题教学
时教学程中 教师注重知识传授题目解答重视学生实践性活动开展教学样会避免数学实际生活脱节时教学中断增加新背景容 时代弥补生活验足激发学生学热情．等式（组）应题文字较学生获信息困难问题教师常教学中应题停留耐心
实际问题中许方程难解决问题等式处理轻易解决 应题初中数学重点列等式解应题初中数学难点根题意正确列出等式（组）解应题成功半 元次等式（组）解法十分重元次方程解法许相似处身特点学认清两者解法联系区 正确应学生解题程中遇困难提高学积极性增加学数学兴趣应元次等式（组）解决生活中实际问题
参考文献
［１］钟山．学生困惑成课堂教学遗憾――元次等式组教学片段感［Ｊ］学生友（初中版）（）２０１０（１１）．
［２］赵春祥．列元次等式解应题［Ｊ］初中生２００９（６）．
［３］石卫东．解元次等式常见错误分析［Ｊ］中学生数学２００３（１０）．
［４］保． 解元次等式常见错误剖析［Ｊ］数理化学（初中版）２００３（３）．
［５］栾绪友．学元次等式［Ｊ］中学生数学２００９（１４）．
浅谈元次等式组济中应
摘 前元次等式组知识解决实际问题中考必考题着现代济快速发展类题常现实生活中济营决策等热点问题背景文实际出发谈谈元次等式组济中应
关键词：元次等式组济应
前中考题型越越灵活变出题目常会实际出发学生感受身边处处数学求线教师时教学程中重视数学中实际问题面谈谈元次等式组济中应节课教学设计感受
教材分析
节课教版七年级册第九章等式等式组中元次等式组第二课时容探究元次等式组济中应学生探究等式实际问题元次等式元次等式组进行学整七年级数学中起着承前启作
元次等式（组）知识解决实际问题中考必考题着现代济快速发展类题常现实生活中济营决策等热点问题背景等式现实生活中联系非常紧密解决类应题助日常生活中灵活应学知识解决实际问题等式应题分析关重
二教法学法分析
教法分析：针七年级学生学特点学生现实生活出发提出问题提高学生分析问题解决问题力发展逻辑思维力条理表达思维程力学生感受数学济中应价值培养学生数学眼光世界意识引导学生关注生活关注社会感受类化数学思想
学法分析：节课学程中重建立等意识济问题数学化通观察实验猜想验证推理交流等活动发展思维力促进数学观建立
三例题设计
紧扣中考出题方例题设计实际出发选取三探究问题
探究：
开学颖算压岁钱买台复读机学英语商店售价台150元商家售出台复读机获利润进价10~20请问知道进价范围少？（精确1元）
探究二：
五长假期间颖学校算组织全校385名师生租车三清山旅游现已知出租公司提供42座60座两种型号客车42座客车租金辆300元60座客车租金辆450元
（1）果学校单独租两种客车需少钱？
（2）果学校时租两种客车8辆（坐满）单独租中种车辆更省钱请帮助学校选择种省钱租车方案
探究三：
三清山中学准备举行纪念新中国成立60周年校园红歌赛 评出等奖4二等奖6三等奖20学校决定获奖学生发份奖品等次获奖品相
三种奖品单价整数求等奖奖品单价二等奖奖品单价3倍二等奖奖品单价三等奖奖品单价2倍果总费少90元150元购买二三等奖奖品时单价分少？
三探究题实际出发选取三清山饶名山国家4A级风景名胜刚成功申请世界然遗产说例题里学熟悉三清山入手学生倍感亲切更易接受
四解法探究
列元次等式组解决实际问题中考考查重容教学程中反复学生强调列等式解决实际问题时应掌握三步骤：
1找出实际问题中等关系相等关系（时通等式方程综合起解决）设出未知数列出等式组（等式方程混合组）
2解出该等式组
3已列出等式组（等式方程混合组）解集中求出符合题意答案
五易错分析
学生节课学时容易解审题设未知数等关系寻找易出错教学程中引导学生快速准确找出题中等关系
六教反思
1根学生知识结构采教学流程：三探究活动学生握住实际问题中量量间关系突破构建模型中难点积累分析复杂问题验
2选择前实事学生身边熟悉感兴趣问题激发学生知识渴追求体现知识生活联系
3学生通探究出运数学知识解决实际问题方法：实际问题中获取需信息——分析处理关信息——实际问题转化数学问题——解答原实际问题分析解决问题程中发展学生数学眼光世界动性
浅谈三角形角教学
学兴趣学生学部动机推动学生探求部真理获取力种强烈欲学活动中起着十分重作教学实践表明学生果数学知识充满奇心学会知识信心总动积极心情愉快进行学数学课堂教学中时刻注意发掘教材孕伏智力素审时度势握时机势利导学生创造良教学情境激发学生兴趣学生学数学中愉快探索面结合苏教版第七册三角形角课谈点体会
开讲生趣
俗话说：良开端成功半堂课开头然短短分钟影响堂课成败教师必须根教学容学生实际精心设计节课开头导语出心裁导语激发学生学兴趣学生动投入学三角形角引入部分先求学生出预先准备三三角形（直角锐角钝角三角形）量角器量出三角形中三角度数然分请学生报出三角形两角度数说出第三角度数开始位学服气认巧合举例说猜时学生感惊奇教师答案量出答案会致探究竟兴趣油然生
二授中激趣
开讲生趣仅作导入新课引子成功路行半需讲授新课中适时激发学生兴趣恰处诱导充分挖掘知识魅力奇心先导引发学生强烈求知欲例新授部分板书课题接着全班学生动手做实验：分手里三三角形( 锐角钝角直角三角形）三角剪分三角形三角拼起言趣激励学生：谁先发现中奥秘谁争取家作实验成功报告时学生心中激起层层思考涟漪课堂气氛紧张活跃发言争先恐学生通正方形纸角线折变成两完全样三角形正方形4 直角360°三角形角180°方法显然时学生三角形角180°性质感性基础教师性质讲解已心灵犀点通佳时刻
三设疑引趣
学起思思源疑疑学生学数学知识中启动思维起点数学教学中作教师善提出具引发学生思考问题学生见疑生趣产生趣解疑求知欲求成心
师：表扬：真聪明演示：里教师通提出两具思考性问题层层设疑学生探究知识兴趣波澜起伏时刻处紧张兴奋学状态中
四练中趣
练巩固学知识形成技技巧必途径教学重环境呆板练形式乏味练容学新知识中激发出学兴趣情淹没学生愉快心情振奋精神受严重扼杀抑制课堂练设计精彩趣教学中教师根学容设计形式练
1 练形式注意层次性
设计类型层次练题模仿性基础练提示变式练拓展性思考练降低题坡度顾层次学生学生始终保持高昂学热情三角形角中运规律解题时先已知两角求第三角已知直角三角形锐角求角感知直角三角形两锐角90° 已知三角形角两角相等求两角度数已知三角形三角度数均相等求三角形三角度数设计通层次练断掀起学生认知活动高潮学生学起饶兴趣没枯燥乏味感
2 练形式注意科学性趣味性
布鲁纳说：学刺激学材料兴趣教学时适选编学生喜闻乐见点情节贴进学生生活验日常生活中应较广泛题目通少量趣题种形式题目学生变知乐知课完成基题学生子画出三角形求中两角直角学生画画手时手抓脑袋冥思苦想时教师说出画出理学生恍然悟
科学家爱斯坦说：热爱老师作名数学教师教学中根教学容学生实际灵活变采种做法进步激发学生学兴趣学生思维活跃起学生脑子积极转动起活跃课堂气氛提高课堂教学效果
浅谈图形移旋转概念教学
童生活世界已接触量物体图形移旋转轴称变换现象例电梯铁列车车厢行移动时针电风扇叶片旋转许动物建筑物具称性现象童学图形变换提供丰富彩现实背景反学点图形变换知识助童更观察认识周围生活中现象
童年龄特征认知特点学生正处奇心浓厚阶段通图形变换引出数美妙图案数学更生动现实世界联系起诱发学生动探索奥秘激励图形变换观点审视周围事物整义务教育阶段求较严格变换定义出发研究变换性质搞部分容教学教师必较透彻理解图形变换关概念
通俗讲谓移图形定方移动定距离谓旋转图形绕顶点转动定角度样描述较适合学生认知水教师说绝够请案例
堂教学移旋转公开课老师创设玩游乐场情境讨摩天轮运动时起初学认旋转料位学执著求发言说：坐摩天轮坐面始终头脚认移旋转家时愣住教师策学生组讨热闹意认方没变反理转圈直课没搞清楚移旋转两者课前观摩教师议纷纷数认坐摩天轮坐舱运动移少数认移否旋转呢？样两种意见见教师身搞清楚概念十分必
里概念性质浅显方式描述
1什变换？
般说谓变换指某集合中符合定求种应规律图形变换讲图形点集合图形变换通点变换实现果面图形点应该面某新图形点新图形中点应原图形中点样应做变换
变换中重全等变换相似变换
够保持图形形状变变换全等变换全等变换中原图形两点间距离等新图形中两应点间距离称保距变换
够保持图形形状变改变图形变换相似变换相似变换中原图形中角保持变称保角变换
学数学中引进移变换旋转变换轴称变换三种变换全等变换相似变换第二学段中渗透学例尺时两图形例放缩实际种相似变换
2什移变换旋转变换轴称变换？
先说移旋转果原图形中意点新图形中相应点连线方相长度相等样全等变换称移变换简称移说移基特征图形移动前点应点间连线互行（者重合）相等显然确定移变换需两素：方二距离
果新图形中点原图形中点绕着固定点（做旋转中心）转动相等角度样全等变换称旋转变换简称旋转说旋转基特征图形旋转前应点旋转中心距离相等组应点旋转中心连线夹角等旋转角度显然确定旋转变换需三素：旋转中心旋转方旋转角度
现回答前面摩天轮座舱问题摩天轮旋转面座舱里面始终头脚移呢？移基特征画出运动程中意两位置座舱问中点连线（图1）行相等移
座舱里面否旋转呢？旋转基特征画出座舱部中点摩天轮旋转中心连线（图2）长明显相等
明明摩天轮旋转座舱里面旋转移回事呢？原摩天轮带动座舱时针旋转时球引力挂吊钩座舱逆时针细微转动座舱里面始终保持方座舱点移动相距离实数学中说旋转移考察运动开始终止状态两静止图形应点间关系物理学中研究物体转动动侧重点
说称称许学科名词数学占相重位称关概念称项式称空间称原理等等数学中较重概念学数学讨仅限图形称仅指面图形关条直线称图形形形色色称旋转称特例中心称等讨范围学生提类现象时行四边形（中心称）电扇叶片（旋转称）等教师应断然否定称性指出轴称图形行
果连接新图形原图形中组应点线段条直线垂直该直线分样全等变换称轴称变换组应点互称点垂直分称点连线段直线做称轴说轴称基特征连接意组应点线段称轴垂直分显然确定轴称变换关键找称轴
构成轴称图形通常做轴称图形（等腰三角形）两通常做两图形关某条直线称（长方形）
成轴称两图形作图形轴称变换轴称图形作半基础轴称变换成
更通俗语言轴称图形做出直观描述：图形折果折痕两边图形完全重合图形做轴称图形折痕（直线）做称轴然种描述偏重图形性质刻画运动变换观点渗透突出
数学中刻画移方距离通常采线段量放特定坐标系讨刻画旋转素简捷方式采极坐标图形变换作点点间种应精确刻画离开坐标系图形变换作种运动样需参系事实移旋转放解析原学数学中讨移旋转时常利方格纸道理
3移变换旋转变换轴称变换什联系？
首先三种变换保持图形形状发生变化点次果连续进行两次轴称变换般情况：
（1）两条称轴等时两次轴称变换结果相次移变换移方称轴垂直移距离两条称间距离2倍简略说两次翻折（称轴互行）相次移
（2）两条称轴相交时两次轴称变换结果相次旋转变换旋转中心称轴交点旋转角度两条称轴夹角2倍简略说两次翻折（称轴相交）相次旋转
面两条结针图形般情况说特殊图形次轴称变换达移围转效果
例图5中带烟囱房子两次轴称变换（称轴行相距4格）相次右移8格图6中没烟囱房子次轴称变换相移
外面两条结反样成立次移变换两次轴称变换（称轴互相行）代次旋转变换两次轴称变换（称轴相交）换运动方式效果相
学数学教材中图案变换生成例图7四叶图案中片叶相邻片叶轴称变换相邻叶片旋90°者直线片叶移
认识三种全等变换间联系助理解数学中研究图形变换关注点变换前图形相位置关系应点关系
浅谈轴称教学中作
摘 ：通轴称认识性质理解发现轴称初中数学教学中具重位作利轴称认识解决实际问题
关键词：轴称力应
轴称种基图形变换探索图形性质认识描述图形形状位置关系学生建立空间观念培养空间想象力着忽视作轴称概念性质解决某计算作图证明等问题中起着重作
轴称培养学生数学美生活美认识
轴称广泛存身边数字字母汉字建筑中轴称体现惊魅力生活中花边剪纸装饰物镜子轴称数学中图形具轴称美例：角线段等腰三角形等边三角形正方形长方形圆等等
二轴称培养学生动手操作力
轴称教学通学生观察折纸扎眼印墨迹剪纸等操作活动仅培养学生动手操作力促进学生观察分析纳概括等般力发展
三轴称解决问题中作
新课程改革强调图形变换容突出变换图形认识程中作变换思想促进学发展助改进学变换思想利学生创新意识形成轴称作图形变换重容较考查学生思维灵活性深刻性具选拔区分功成年热点问题面类问题复解决方法加讨
1基础知识精
（1）轴称称轴称点
①轴称包含两层意思：a两图形够完全重合形状相b重合方式限制：着某条直线折够重合
②称轴条直线非线段射线等
轴称图形称轴称轴条两条条图形数条
③称点指折叠重合点
（2）轴称图形
图形着某条直线折叠果直线两旁部分够互相重合称图形轴称图形
提醒：轴称图形指图形身
（3）轴称轴称图形关系
①二者区：轴称两图形间称关系轴称图形图形身称特性
②二者联系： （i）称轴折叠互相重合
（ii）果轴称两图形做整体轴称图形轴称图形称轴分成两部分做两图形关称轴成轴称
（4）轴称性质
①应点连线段称轴垂直分
②应线段相等应角相等
2轴称应
（1）轴称图形识
般根轴称图形定义识图形否轴称图形
评注：类考题较典型般求利轴称图形定义识特殊轴称标志数字字母汉字等
（2）设计轴称图形
轴称图形生活中着广泛应利性质设计出美丽图案设计图案时候注意美观实性
3利轴称特征探索研究图形性质
（1）利轴称特征解决问题
①折叠求角度
图长方形纸片EF折叠点DC分落D′C′位置∠EFB＝65°∠AED′等少度？
分析：∠DEF∠EFB65°（两直线行错角相等）
∠FED′∠DEF65°（轴称性质应角相等）
∠AED′180°∠FED′∠DEF180°65°65°50°
②折叠求长度
图已知边长5等边三角形ABC纸片点EAC边点FAB边着EF折叠点A落BC边点D位置ED⊥BCCE长少？
分析：折△FAE△DFE全等设ECxEDAE5x∠CED30°ED⊥BCDCx2根勾股定理x（5x）+ （x2）解x2010
（2）轴称解决镜子成问题
镜中实际物体图形镜面称关轴称知识解决镜面成问题
（3）轴称做辅助线时作
问题整图形部分轴称图形尝试找出称轴称轴想办法
①涉点直线尝试点作直线垂线
②涉点圆尝试点圆心直线连接起
③涉两条相交直线尝试作交角分线
④两条行直线尝试作条垂直直线者作等距条行线
⑤涉圆直线尝试圆心作直线垂线
⑥涉心两圆尝试作连心线
二元次方程组巧解古代数学名题
学二元次方程组解决生活中少实际问题学新数学模型消元转化思想关二元次方程组名题趣题更源生活现二元次方程组解应题步骤纳：
（1）弄清题意题目中数量关系字母（xy）表示题目中两未知数（2）找出够表示应题全部含意两相等关系（3）根两相等关系列出代数式列出两方程组成方程组（4）解二元次方程组求出未知数值（5）检查结果正确性合理性（6）写出答案
运方程组解决含未知数问题已长历史问题古代数学发展起重促进作现代高等代数中许容起源线性方程组研究中国古代数学方程方程组方面许成果例著名鸡兔笼问题利二元次方程组解决元问题九章算术等古代数学著作中记载关方程组容体现类客观世界中数量关系断探究中出类追求真理长期努力折射出科学源远流长教学中关注数学知识力方面提高外应关注传承数学文化方面工作结合二元次方程组容进步挖掘文化涵学生次受数学文化熏陶数学思想方法领悟运渗透整初中阶段数学学程中克服题海战术取优异成绩效策略列二元次方程组解应题中灵活运数学思想方法求解起事半功倍效果文结合例题加分析希教学帮助
约千八百年前国著名算术书——孙子算中道流传久远名题原文：雉兔笼三十五头九十四足问雉兔？
分析：鸡兔笼问题题中两相等关系：鸡头加兔子头35二鸡脚加兔子脚64设出鸡兔子数根相等关系列出方程解
解：设鸡x兔子y根题意
x+y352x+4y94 解x23y12
答：鸡23兔子12
孙子算中道名题：木知长短引绳度余绳四尺五寸屈绳量足尺木长？意思：绳子量根长木绳子剩余45尺绳子折量长木长木剩余1尺问长木长少尺？
解：设长木长x尺引绳长y尺根题意
yx45xy1解x65y11
答长木长65尺
世界著名算术书九章算术中样道题：善行者行百步善行者行六十步善行者先行百步善行者追问步？意思：走路快走100步时走路慢走60步走路慢先走100步走路快走少步追？
分析：题做道行程问题题中相等关系两者走步数相等
解：设走路快走x步追走路慢时走路慢走y步根题意
xy10060xy+100解x250y150
答：走路快走250步追走路慢
国民间流传数学名题：
题1：闻隔壁分银知少银7两少7两半斤半斤试问位善算者少分少银？（注：里斤指市斤1市斤10两）
解：设x分y两银子根文联盟wwwLWlMcom题意
7xy7y5x5 解x6y35
答：6分35两银子
题2：群老头赶集半路买堆梨两少两请问君子知道否老头梨？
解：设x老头y梨根题意：
xy12xy+2 解x3y4
答：3老头4梨
外：附解答应题心
（1）读懂题意相关语言精简掉现应题考数学语文阅读力
（2）巧设未知数道应题中量设未知数更简便仔细斟酌
（3）根等量关系列出方程
（4）解方程时会遇两未知数列出方程隐含条件数物体数正整数隐含条件尤等式方程中分式方程验根
（5）写清单位答话步忽视实步恰恰反映出否读懂题目否知道题目求什考试中占分数
（6）勤加练熟生巧断练触类旁通举反三
解二元次方程组教学反思
解二元次方程组学元次方程认识二元次方程（组）基础学容初中代数学重容该部分知识学提高学解题力学生期学奠定基础解二元次方程组非常重学容
解二元次方程组通代入法加减法二元次方程进行消元转化元方程利元次方程解法求解解答该类方程组理等式性质运转化数学思想未知知识转化已知知识方法（二元次方程组转化熟悉元次方程）
二元次方程组解题注意事项：
1代入消元法解方程组时直接带入直接中方程代入方程进行进算需变形系数1进行变形便计算系数1系数未知项进行变形简化计算降低计算难度代入时带入原方程否未知项会抵消掉
2加减消元法解方程组时加时减观察含未知数项系数决定果方程组中两方程未知数项系数相等减系数互相反数加两方程未知数项系数通方程变形两方程未知数项系数变相互相反数（根等式性质二）然相加相减变元次方程相加减时采左边加减左边右边加减右边原果等号左边常数应常数移右边含未知数项移等号左边
3通消元变元次方程解答完成应未知数值分带入方程①方程②否方程左右两边相等两方程左右两边相等解答正确然画括号解表示出
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