专题四 利导数证明函数等式（）
函数等式证明形式变方法灵活成年高考热点难点般出现压轴题位置解决起较困难．利导数作工具进行证明证明函数等式种常见方法专题总结利导数证明未知数函数等式常见方法希学收获提升利导数证明函数等式力．
模块1 整理方法 提升力
未知数函数等式问题关键等式进行改造曲两曲两种模式中种．
出现曲时需运导数求出曲值进行较．
出现两曲时果两函数凸性相考虑通曲线进行隔离．隔离曲线寻找难度较般希两函数凸性相反．两函数凸性相反时寻找直线（常选择公切线切线）实现隔离放缩然理想直线状态该直线轴行重合．
改造程中出现斜曲时般继续改造化边转化曲转化两曲．
常等式生成
等式改造证明程中助题目已知结均值等式函数单调性关常等式等方法进行适放缩进行证明．面着重谈谈关常等式生成．
生成：利曲线切线进行放缩
设点横坐标该点切线方程关等式：中等号仅时成立．特时时．
设点横坐标该点切线方程关等式：中等号仅时成立．特时时．
利切线进行放缩实现直代曲化超越函数次函数．
生成二：利曲线相切曲线进行放缩
图图图（）（）图（）（）．
综合述两种生成列关常等式：
关常等式：
（1）（）
（2）（）．
关常等式：
（1）（）
（2）（）
（3）（）（）
（4）（）（）．
取代位置相应关常等式．
例1
设函数曲线点处切线．
（1）求
（2）证明：．
解析（1）解．
证明（2）法1：（寻找公切曲线隔离）（1）知．
混合指数函数数函数幂函数较复杂考虑指数函数数函数进行分离改造．
令
递减递增．
递减两函数凸性相（
凸函数）．时寻找两曲线相切曲线两函数进行隔离实现证明．
令递减递增
．
令递减递增．
等号时成立．
法2：（寻找公切线隔离）（1）知等式改造．
令．递减
递增．令
．
递增
递减．
两函数凸性相反．时寻找两曲线相切公切线两函数进行隔离等号时成立．
点评法1中两函数凸性相需寻找公切曲线进行隔离公切曲线寻找需定函数等式放缩验．该放缩常等式关熟练掌握关常等式效开某等式证明思路题目难度降低．法2中两函数凸性相反两函数值相时寻找轴行公切线实现隔离放缩．
恰改造函数解题关键需熟悉四运算组合函数：
（1）…原点先减增
（2）…原点先增减
（3）…递减先减增
（4）…先减增
（5）…先增减
（6）…递减先减增．
例2
已知函数．
（1）求曲线点处切线方程
（2）求证：时．
解析（1）曲线切线方程．
证明（2）法1：．
时令递增．递减递增．
法2：．
时常见等式（）．
法3：令
递减递增递减．
极值洛必达法．
法4：．
令递增递减递增．
法5：．时等式成立时．
递增递减递增递减．
．
法6：．
令称
轴开口方抛物线．令递
减．两函数凸性相反通寻找两
曲线公切线两函数进行隔离公切线容
易寻找两函数处相离状态
选择找切线通该切线两函数隔离实现证明．
常见等式容易想隔离切线面进行证明．
命题获证．
点评含参数未知数函数等式证明方法含参数未知数函数等式证明体致．法3直接证明法4等式等价转化法5通分离参数进证明3种方法质曲状态．法6等式转化两函数凸性相反寻找切线实现隔离放缩．
含参数未知数函数等式通放缩消参数转化研究特例函数问题题目难度降低．
例3
已知函数．
（1）求值
（2）设整数意正整数求值．
解析（1）定义域．
法1：（分离参数法）①时成立．
②时令令递增递增．洛必达法．
③时令仿②递增．洛必达法．
综述．
法2：（猜想直接值法）．
①时递增成立．
②时递减
递增．
法3：（通猜想减少分类讨）．递减递增．
（2）时仅时等号成立
．时值3．
点评等式左边项积形式处理起较麻烦．考虑取数等式等价转化容易联想关常等式．
模块2 练巩固 整合提升
练1：已知函数曲线点处切线方程．
（1）求值
（2）证明：时．
解析（1）． 直线斜率点解．
证明（2）（1）知
．构造函数（）递减．
时递减时递减．
综述时．
练2：已知函数（）．
（1）求函数单调区间
（2）求证：．
解析（1）．
递增区间递减区间．
证明（2）．令．设递增递增．恰零点时时递减递增．
设递增．命题获证．
练3：已知函数．
（1）求曲线处切线方程
（2）求证：．
解析（1）处切线方程．
证明（2）法1：构造函数．递增时时递减递增递增时递减时递增命题获证．
法2：构造函数．令递减递增．时时递减递增命题获证．
点评等式指分离角度构造出…等系列式子构造等式两端函数凸性致寻找隔离曲线难度容易证明．考虑函数形式算太复杂通次求导证明轴方（仅交点）．法2样函数进步改造法2法1简单原中较单纯求导次消．
练4：设函数中导函数．
（1）恒成立求实数取值范围
（2）设较加证明．
解析（1）．
法1：（分离参数法）时恒成立．
时恒成立恒成立．令递增递增．
洛必达法实数取值范围．
法2：（猜想直接值法）令令．
①时恒成立递增时恒成立．
②时递减递增时取值．设函数递减恒成立．
综述实数取值范围．
（2）设较加证明．
（2）较结果：．证明．
述等式等价．证明该式子首先证明
．
法1：（1）中取令．令…相加命题获证．
法2：令构造函数递增．
法1．
练5：已知函数（中）．
（1）曲线点处切线方程求值
（2）（然数底数）求证：．
解析（1）题意解．
（2）法1：令递增．唯零点．时时递减递增时取值．
时．
法2：时．
时．令递增递减递减递增．
时时．
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函数等式证明形式变方法灵活成年高考热点难点般出现压轴题位置解决起较困难．利导数作工具进行证明证明函数等式种常见方法专题总结利导数证明未知数函数等式常见方法希学收获提升利导数证明函数等式力．
模块1 整理方法 提升力
未知数函数等式问题关键等式进行改造曲两曲两种模式中种．
出现曲时需运导数求出曲值进行较．
出现两曲时果两函数凸性相考虑通曲线进行隔离．隔离曲线寻找难度较般希两函数凸性相反．两函数凸性相反时寻找直线（常选择公切线切线）实现隔离放缩然理想直线状态该直线轴行重合．
改造程中出现斜曲时般继续改造化边转化曲转化两曲．
常等式生成
等式改造证明程中助题目已知结均值等式函数单调性关常等式等方法进行适放缩进行证明．面着重谈谈关常等式生成．
生成：利曲线切线进行放缩
设点横坐标该点切线方程关等式：中等号仅时成立．特时时．
设点横坐标该点切线方程关等式：中等号仅时成立．特时时．
利切线进行放缩实现直代曲化超越函数次函数．
生成二：利曲线相切曲线进行放缩
图图图（）（）图（）（）．
综合述两种生成列关常等式：
关常等式：
（1）（）
（2）（）．
关常等式：
（1）（）
（2）（）
（3）（）（）
（4）（）（）．
取代位置相应关常等式．
例1
设函数曲线点处切线．
（1）求
（2）证明：．
解析（1）解．
证明（2）法1：（寻找公切曲线隔离）（1）知．
混合指数函数数函数幂函数较复杂考虑指数函数数函数进行分离改造．
令
递减递增．
递减两函数凸性相（
凸函数）．时寻找两曲线相切曲线两函数进行隔离实现证明．
令递减递增
．
令递减递增．
等号时成立．
法2：（寻找公切线隔离）（1）知等式改造．
令．递减
递增．令
．
递增
递减．
两函数凸性相反．时寻找两曲线相切公切线两函数进行隔离等号时成立．
点评法1中两函数凸性相需寻找公切曲线进行隔离公切曲线寻找需定函数等式放缩验．该放缩常等式关熟练掌握关常等式效开某等式证明思路题目难度降低．法2中两函数凸性相反两函数值相时寻找轴行公切线实现隔离放缩．
恰改造函数解题关键需熟悉四运算组合函数：
（1）…原点先减增
（2）…原点先增减
（3）…递减先减增
（4）…先减增
（5）…先增减
（6）…递减先减增．
例2
已知函数．
（1）求曲线点处切线方程
（2）求证：时．
解析（1）曲线切线方程．
证明（2）法1：．
时令递增．递减递增．
法2：．
时常见等式（）．
法3：令
递减递增递减．
极值洛必达法．
法4：．
令递增递减递增．
法5：．时等式成立时．
递增递减递增递减．
．
法6：．
令称
轴开口方抛物线．令递
减．两函数凸性相反通寻找两
曲线公切线两函数进行隔离公切线容
易寻找两函数处相离状态
选择找切线通该切线两函数隔离实现证明．
常见等式容易想隔离切线面进行证明．
命题获证．
点评含参数未知数函数等式证明方法含参数未知数函数等式证明体致．法3直接证明法4等式等价转化法5通分离参数进证明3种方法质曲状态．法6等式转化两函数凸性相反寻找切线实现隔离放缩．
含参数未知数函数等式通放缩消参数转化研究特例函数问题题目难度降低．
例3
已知函数．
（1）求值
（2）设整数意正整数求值．
解析（1）定义域．
法1：（分离参数法）①时成立．
②时令令递增递增．洛必达法．
③时令仿②递增．洛必达法．
综述．
法2：（猜想直接值法）．
①时递增成立．
②时递减
递增．
法3：（通猜想减少分类讨）．递减递增．
（2）时仅时等号成立
．时值3．
点评等式左边项积形式处理起较麻烦．考虑取数等式等价转化容易联想关常等式．
模块2 练巩固 整合提升
练1：已知函数曲线点处切线方程．
（1）求值
（2）证明：时．
解析（1）． 直线斜率点解．
证明（2）（1）知
．构造函数（）递减．
时递减时递减．
综述时．
练2：已知函数（）．
（1）求函数单调区间
（2）求证：．
解析（1）．
递增区间递减区间．
证明（2）．令．设递增递增．恰零点时时递减递增．
设递增．命题获证．
练3：已知函数．
（1）求曲线处切线方程
（2）求证：．
解析（1）处切线方程．
证明（2）法1：构造函数．递增时时递减递增递增时递减时递增命题获证．
法2：构造函数．令递减递增．时时递减递增命题获证．
点评等式指分离角度构造出…等系列式子构造等式两端函数凸性致寻找隔离曲线难度容易证明．考虑函数形式算太复杂通次求导证明轴方（仅交点）．法2样函数进步改造法2法1简单原中较单纯求导次消．
练4：设函数中导函数．
（1）恒成立求实数取值范围
（2）设较加证明．
解析（1）．
法1：（分离参数法）时恒成立．
时恒成立恒成立．令递增递增．
洛必达法实数取值范围．
法2：（猜想直接值法）令令．
①时恒成立递增时恒成立．
②时递减递增时取值．设函数递减恒成立．
综述实数取值范围．
（2）设较加证明．
（2）较结果：．证明．
述等式等价．证明该式子首先证明
．
法1：（1）中取令．令…相加命题获证．
法2：令构造函数递增．
法1．
练5：已知函数（中）．
（1）曲线点处切线方程求值
（2）（然数底数）求证：．
解析（1）题意解．
（2）法1：令递增．唯零点．时时递减递增时取值．
时．
法2：时．
时．令递增递减递减递增．
时时．
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