导数压轴题特辑1
．选择题（3题）
1．设f＇（x）函数f（x）导函数f＇（x）＞0∀x1x2∈R（x1≠x2）f（x1）+f（x2）＜2f（）列项中定正确（ ）
A．f（2）＜f（e）＜f（π）
B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2）
C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
2．设函数f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）导函数y＝f′（x）两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4）列说法正确（ ）
A．x1+x4＜2（x2+x3） B．x1+x4＞2（x2+x3）
C．x1+x3＜x2+x4 D．x1+x3≥x2+x4
3．已知函数f（x）定义域R满足f（4）＝1f′（x）f（x）导函数知y＝f′（x）图象图两正数ab满足f（2a+b）＜1取值范围（ ）
A．[] B．（） C．[2] D．（2）
二．选题（1题）
4．定义域R函数f（x）满足：①f（0）＝0②x∈Rx≠0时xf′（x）＞0③x1＜0＜x2|x1|＜|x2|时f（x1）＜f（x2）称f（x）偏称函数列函数偏称函数（ ）
A．f1（x）＝﹣x3+x2
B．f2（x）＝ex﹣x﹣1
C．f3（x）＝xsinx
D．f4（x）＝
三．解答题（36题）
5．已知函数f（x）＝ex（sinx﹣ax2+2a﹣e）中a∈Re＝271828…然数底数．
（1）a＝0时讨函数f（x）单调性
（2）≤a≤1时求证：意x∈[0+∞）f（x）＜0．
6．（1）已知函数奇函数f（1）＝2f（2）＜3f（x）[1+∞）递增．
①求abc值
②x＜0时讨f（x）单调性．
（2）已知二次函数f（x）图象开口意实数xf（2﹣x）＝f（2+x）求等式：f[（x2+x+）]＜f[（2x2﹣x+）]解．
7．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）a＝e时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）f（x）≥1求a取值范围．
8．已知函数f（x）＝（eax﹣1）lnx（a＞0）．
（1）a＝1时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）关x方程f（x）＝ax2﹣ax[1+∞）恰三实数解求a取值范围．
9．已知函数f（x）＝axg（x）＝logax中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna单调区间
（Ⅱ）曲线y＝f（x）点（x1f（x1））处切线曲线y＝g（x）点（x2g（x2））处切线行证明x1+g（x2）＝﹣
（Ⅲ）证明a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线．
10．已知函数（e然数底数）．
（1）曲线y＝f（x）点（0f（0））处切线曲线y＝g（x）点（0g（0））处切线互相垂直求
函数区间[﹣11]值
（2）设函数试讨函数h（x）零点数．
11．已知函数f（x）＝eaxg（x）＝﹣x2+bx+c（abc∈R）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（0c）处具公切线．设h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求c值ab关系式
（Ⅱ）求函数h（x）单调区间
（Ⅲ）设a≥0意x1x2∈[01]|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1求a取值范围．
12．设函数f（x）＝ln（1+ax）+bxg（x）＝f（x）﹣bx2．
（Ⅰ）a＝1b＝﹣1求函数f（x）单调区间
（Ⅱ）曲线y＝g（x）点（1ln3）处切线直线11x﹣3y＝0行．
（i）求ab值
（ii）求实数k（k≤3）取值范围g（x）＞k（x2﹣x）x∈（0+∞）恒成立．
13．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线直线l：x+2y＝0垂直求实数a值
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
14．已知函数 f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）函数h（x）＝f（x）﹣求函数h（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x） 图象点 A（x0f（x0））处切线证明：区间（0+∞） 存唯x0直线l 曲线y＝g（x） 相切．
15．已知函数f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）求函数h（x）＝g（x）f′（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x）图象点A（x0lnx0）处切线证明：区间（1+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
16．已知函数f（x）＝x+g（x）＝x﹣lnx中a∈Ra≠0．
（Ⅰ）求曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线方程
（II）a＝1时求函数h（x）＝f（x）+g（x）单调区间
（III）设函数u（x）＝u（x）＝f（x）意x∈[1e]均成立求a取值范围．
17．已知函数f（x）＝x2+2ax（x＞0）g（x）＝3alnx+a中a＞0．
（1）a＝1时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）否存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相？存请求出实数a值存请说明理．
18．已知函数f（x）＝x3﹣x2+xg（x）＝﹣（m﹣1）xm∈R．
（Ⅰ）f（x）x＝1取极值求曲线y＝f（x）点（2f（2））处切线方程
（Ⅱ）f（x）区间（+∞）增函数求m取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间极值．
19．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2m）处相切线（P切点）求ab值
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]
（1）求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值t（a）
（2）|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
20．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2c）处相切线（P切点）求ab值
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）
21．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点p（2c）处相切线（p切点）求实数ab值．
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调减区间[﹣﹣]
①求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）．
②|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
22．已知函数f（x）＝ex+x2﹣xg（x）＝x2+ax+bab∈R．
（1）a＝1时求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）曲线y＝f（x）点（01）处切线l曲线y＝g（x）切点（1c）求abc值
（3）f（x）≥g（x）恒成立求a+b值．
23．函数y＝lnx关直线x＝1称函数f（x）函数导函数g（x）记h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）设曲线y＝h（x）点（1h（1））处切线ll圆（x+1）2+y2＝1相切求a值
（2）求函数h（x）单调区间
（3）求函数h（x）[01]值．
24．（文）已知函数f（x）＝lnxg（x）＝kx+b（kb∈R）图象交PQ两点曲线y＝f（x）PQ两点处切线交点A．
（1）k＝eb＝﹣3时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间（e然常数）
（2）A（）求实数kb值．
25．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
26．设a∈R函数f（x）＝alnx﹣x．
（1）f（x）零点求实数a取值范围
（2）a＝1时关x方程2x﹣f（x）＝x2+b[2]恰两相等实数根求实数b取值范围．
（3）求证：n≥2n∈N*时（1+）（1+）…（1+）＜e．
27．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）单调区间极值
（2）等式意x∈[13]恒成立求正实数λ取值范围．
28．已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）函数g（x）＝lnx图象公切线l坐标原点时求实数a取值集合
（3）证明：a∈（0）时函数h（x）＝f（x）﹣ax两零点x1x2满足．
29．已知函数f（x）＝．
（1）意x＞0f（x）＜0恒成立求实数a取值范围
（2）函数f（x）两零点x1x2（x1＜x2）证明：+＞2．
30．已知a常数函数f（x）＝x2+ax﹣lnxg（x）＝ex（中e然数数底数）．
（1）坐标原点O作曲线y＝f（x）切线设切点P（x0y0）求x0值
（2）令函数F（x）区间（01]单调函数求a取值范围．
31．设函数m∈R．
（1）m＝e（e然数底数）时求f（x）值
（2）讨函数零点数．
32．已知函数f（x）＝lnx﹣．
（1）a＝4求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）区间（01]单调递增求实数a取值范围
（3）x1x2∈R+x1≤x2求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
33．设a＞0函数f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
（1）a＝1时求函数f（x）单调区间
（2）函数y＝f（x）区间（0+∞）唯零点试求a值．
34．已知函数．
（1）a＝0时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线方程
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax+1求函数g（x）极值
（3）a＝﹣2正实数x1x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0证明：．
35．已知函数f（x）＝x﹣alnxg（x）＝﹣（a＞0）
（1）a＝l求f（x）极值
（2）存x0∈[1e]f（x0）＜g（x0）成立求实数a取值范围．
36．已知函数f（x）＝alnx+x2+bx+1点（1f（1））处切线方程4x﹣y﹣12＝0．
（1）求函数f（x）解析式
（2）求f（x）单调区间极值．
37．已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）xa∈R．
（Ⅰ）函数f（x）区间（13）单调递减求a取值范围
（Ⅱ）a＝﹣1时证明f（x）≥．
38．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）单调区间
（Ⅱ）a＝1时证明：意x＞0f（x）+ex＞x2+x+2．
39．已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）[13]值
（Ⅱ）存等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立求实数a取值范围．
40．已知函数f（x）＝ax2﹣alnx+x．
（1）讨函数f（x）单调性
（2）a＜0设g（x）＝f（x）﹣xh（x）＝﹣2xlnx+2x意x1x2∈[1+∞）（x1≠x2）|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立求实数a取值范围．
导数压轴题特辑1
参考答案试题解析
．选择题（3题）
1．设f＇（x）函数f（x）导函数f＇（x）＞0∀x1x2∈R（x1≠x2）f（x1）+f（x2）＜2f（）列项中定正确（ ）
A．f（2）＜f（e）＜f（π）
B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2）
C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
分析f′（x）＞0∴f（x）R单调递增＜y＝f（x）图象图示图象凸．进判断出正误．
解答解：∵f′（x）＞0∴f（x）R单调递增
∵
∴＜
∴y＝f（x）图象图示图象凸．
∴f（2）＜f（e）＜f（π）f′（π）＜f′（e）＜f′（2）知：AB正确．
∵f（3）﹣f（2）＝表示点A（2f（2））B（3f（3））连线斜率．
图知：f′（3）＜kAB＜f′（2）D正确．
C项法推出
选：C．
点评题考查利导数研究函数单调性切线斜率数形结合方法考查推理力计算力属难题．
2．设函数f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）导函数y＝f′（x）两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4）列说法正确（ ）
A．x1+x4＜2（x2+x3） B．x1+x4＞2（x2+x3）
C．x1+x3＜x2+x4 D．x1+x3≥x2+x4
分析f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）令f（x）＝x2（x﹣a）＝0解x．f′（x）＝2x（x﹣a）+x2＝3x（x﹣）＝3﹣．画出图象．根：两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4）x2+x3＝．f（x1）＝f（x4）：﹣a＝﹣ax1+x4＜a判断出结．
解答解：f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）
令f（x）＝x2（x﹣a）＝0解x＝0a．0a函数f（x）零点．
f′（x）＝2x（x﹣a）+x2＝3x（x﹣）＝3﹣．
0函数f（x）极值点a函数f（x）极值点．
0a函数f′（x）零点．
f（0）＝f′（0）＝＝f（a）＝﹣＝﹣．
画出图象．
两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）
＝f（x4）
∴x2+x3＝．
f（x1）＝f（x4）：﹣a＝﹣a
化：﹣a（x1+x4）＝x1x4＜
化：（x1+x4）（x1+x4﹣a）＜0．
x1+x4＞0（≤0成立）．
∴x1+x4＜a＝2（x2+x3）．
∴x1+x4＜2（x2+x3）正确．B正确．
结合图象：CD正确．
选：A．
点评题考查利导数研究函数单调性极值函数零点方程等式解法考查推理力计算力属中档题．
3．已知函数f（x）定义域R满足f（4）＝1f′（x）f（x）导函数知y＝f′（x）图象图两正数ab满足f（2a+b）＜1取值范围（ ）
A．[] B．（） C．[2] D．（2）
分析y＝f′（x）图象图：函数f（x）单调性．两正数ab满足f（2a+b）＜1＝f（4）2a+b＜4图示表示点Q（ab）点P（﹣2﹣3）连线斜率．出．
解答解：y＝f′（x）图象图：函数f（x）（﹣∞0）单调递减（0+∞）单调递增．
∵两正数ab满足f（2a+b）＜1＝f（4）
∴2a+b＜4图示
表示点Q（ab）点P（﹣2﹣3）连线斜率．
kAP＝＝kPB＝＝．
∴斜率取值范围（）．
选：B．
点评题考查利导数研究函数单调性斜率计算公式线性规划问题考查推理力计算力属中档题．
二．选题（1题）
4．定义域R函数f（x）满足：①f（0）＝0②x∈Rx≠0时xf′（x）＞0③x1＜0＜x2|x1|＜|x2|时f（x1）＜f（x2）称f（x）偏称函数列函数偏称函数（ ）
A．f1（x）＝﹣x3+x2
B．f2（x）＝ex﹣x﹣1
C．f3（x）＝xsinx
D．f4（x）＝
分析运新定义分讨四函数否满足三条件结合奇偶性单调性称性求结．
解答解：验证f1（x）f2（x）f3（x）f4（x） 满足条件①
∵x∈Rx≠0时xf′（x）＞0
∴
条件②等价函数 f（x） 区间 （﹣∞0）单调递减区间 （0+∞） 单调递增
x1＜0＜x2|x1|＜|x2|时等价﹣x2＜x1＜0＜﹣x1＜x2
A 中f1（x）＝﹣x3+x2f1′（x）＝﹣3x2+2x x≠0 时
xf1′（x）＝﹣3x3+2x2＝x2（2﹣3x）≤0x≥
符合条件② f1（x） 偏称函数
B 中f2（x）＝ex﹣x﹣1f2′（x）＝ex﹣1
x＞0 时ex＞1f2′（x）＞0
x＜0 时0＜ex＜1f2′（x）＜0
x≠0 时 xf2′（x）＞0符合条件②
∴函数f2（x）＝ex﹣x﹣1 （﹣∞0）单调递减 （0+∞） 单调递增
f2（x） 单调性知﹣x2＜x1＜0＜﹣x1＜x2时f2（x1）＜f2（﹣x2）
∴f2（x1）﹣f2（x2）＜f2（﹣x2）﹣f2（x2）＝﹣++2x2
令F（x）＝﹣ex+e﹣x+2xx＞0
F′（x）＝﹣ex﹣e﹣x+2≤﹣2+2＝0
仅 ex＝e﹣x x＝0 时＝成立
∴F（x） [0+∞） 减函数
∴F（x2）＜F（0）＝0 f2（x1）＜f2（x2）
符合条件③ f2（x） 偏称函数
C 中f3（x）＝xsinx f3（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝f3（x）
f3（x） 偶函数
f3′（x）＝sinx+xcosx＝sin（x+φ）（tanφ＝x）
根三角函数性质知
x＞0 时f3′（x） 符号正负符合条件②
f3（x） 偏称函数
D 中函数 f4（x）＝
x＜0 时f4′（x）＝＜0 x＞0 时f3′（x）＝2＞0符合条件②
∴函数 f4（x） （﹣∞0）单调递减 （0+∞） 单调递增
单调性知﹣x2＜x1＜0＜﹣x1＜x2时f4（x1）＜f4（﹣x2）
∴f4（x1）﹣f4（x2）＜f4（﹣x2）﹣f4（x2）＝ln（x2+1）﹣2x2
设 F（x）＝ln（x+1）﹣2xx＞0 F′（x）＝﹣2＜0
F（x） （0+∞） 减函数 F（x）＜F（0）＝0
∴F（x2）＜0 f（x1）＜f（x2）符合条件③ f4（x） 偏称函数
选：BD．
点评题考查新定义利导数研究函数单调性值考查计算力考查转化划思想属难题．
三．解答题（36题）
5．已知函数f（x）＝ex（sinx﹣ax2+2a﹣e）中a∈Re＝271828…然数底数．
（1）a＝0时讨函数f（x）单调性
（2）≤a≤1时求证：意x∈[0+∞）f（x）＜0．
分析（1）求函数导数利函数单调性导数间关系进行讨．
（2）意x∈[0+∞）f（x）＜0转化证明意x∈[0+∞）sinx﹣ax2+2a﹣e＜0构造函数求函数导数利导数进行研究．
解答解：（1）a＝0时f（x）＝ex（sinx﹣e）
f′（x）＝ex（sinx﹣e）+excosx＝ex（sinx﹣e+cosx）
∵sinx+cosx＝sin（x+）≤＜e
∴sinx+cosx﹣e＜0
f′（x）＜0
f（x）R单调递减．
（2）x≥0时y＝ex≥1
证明意x∈[0+∞）f（x）＜0．
需证明意x∈[0+∞）sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．
设g（a）＝sinx﹣ax2+2a﹣e＝（﹣x2+2）a+sinx﹣e
作a变量次函数
sinx﹣ax2+2a﹣e＜0
∵sinx+1﹣e＜0恒成立∴①恒成立
②令h（x）＝sinx﹣x2+2﹣e
h′（x）＝cosx﹣2x
设x＝t时h′（x）＝0cost﹣2t＝0．
∴t＝sint＜sin
∴h（x）（0t）h′（x）＞0h（x）单调递增（t+∞）h′（x）＜0h（x）单调递减
x＝t时函数h（x）取值h（t）＝sint﹣t2+2﹣e＝sint﹣（）2+2﹣e
＝sint﹣+2﹣e＝sin2t+sint+﹣e＝（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e＝﹣e＜0
④式成立
综意x∈[0+∞）f（x）＜0．
点评题考查函数单调性导数应求函数导数构造函数利导数解决题关键．综合性较强难度较．
6．（1）已知函数奇函数f（1）＝2f（2）＜3f（x）[1+∞）递增．
①求abc值
②x＜0时讨f（x）单调性．
（2）已知二次函数f（x）图象开口意实数xf（2﹣x）＝f（2+x）求等式：f[（x2+x+）]＜f[（2x2﹣x+）]解．
分析A（1）求三未知数需三条件定义域关原点称二f（1）＝2三f（2）＜3f（x）[1+∞）单调递增解．
（2）单调性定义探讨先定区间取两变量界定作差变形0较中出现讨进步细化区间确定求单调区间．
B题设二次函数f（x）图象开口意实数xf（2﹣x）＝f（x+2）知称轴方程x＝2二次函数特征研究出单调性分析（x2+x+）（2x2﹣x+）范围利二次函数单调性转化等式（x2+x+）＜（2x2﹣x+）利数函数单调性等式转化x2+x+＞2x2﹣x+解等式求结果．
解答A解：（1）∵f（x）奇函数
f（x）定义域关原点称
f（x）定义域 （显然b≠0否f（x）偶函数）
∴c＝0
∴
∴b∈Z
∴b＝1
∴a＝1
a＝b＝1c＝0符合f（x）[1+∞）单调递增
（2）（1）知
＝
①﹣1＜x1＜x2＜0时显然x1﹣x2＜00＜x1x2＜1x1x2﹣1＜0
∴f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x）减函数
②x1＜x2＜﹣1时显然x1﹣x2＜0x1x2＞1x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x）增函数
综述f（x）（﹣∞﹣1]增函数[﹣10）减函数．
B解：题意二次函数f（x）图象开口
称轴两边图象左降右升
意实数xf（2﹣x）＝f（x+2）
函数称轴方程x＝2
知函数f（x）（﹣∞2]增函数（2+∞）减函数
x2+x+＝（x+）2+≥2x2﹣x+＝2（x﹣）2+≥
∴（x2+x+）≤＝2（2x2﹣x+）≤＝1
∵f[（x2+x+）]＜f[（2x2﹣x+）]
∴（x2+x+）＜（2x2﹣x+）
∴x2+x+＞2x2﹣x+解
∴等式解集．
点评A题中档题．题考查函数利奇偶性函数值单间性求解析式研究单调性中分类讨思想应．
B题考查二次函数单调性称性考查利数函数单调性解数等式元二次等式解法特注意数等式求解时定义域．
7．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）a＝e时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）f（x）≥1求a取值范围．
分析（1）根导数意义求出切线方程三角形面积
（2）方法：等式等价ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx令g（t）＝et+t根函数单调性lna＞lnx﹣x+1构造函数h（x）＝lnx﹣x+1利导数求出函数值求出a范围
方法二：构造两基等式ex＞x﹣1x﹣1≥lnx原等式转化x（a﹣1）≥﹣lna分类讨求出a取值范围
方法三：利分类讨思想0＜a＜1时符合题意a≥1时f（x）≥ex﹣1﹣lnx令g（x）＝ex﹣1﹣lnx
根导数函数值关系证明
方法四：先根导数函数值关系求出f（x）≥f（x0）＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1lna＝1﹣x0﹣lnx0求出x0范围利导数求1﹣x0﹣lnx0范围求出a范围．
方法五：f（x）≥1等价aex﹣1﹣lnx+lna≥1构造函数hg（a）＝a+lna﹣1利导数求出函数值求出a范围．
解答解：（1）a＝e时f（x）＝ex﹣lnx+1
∴f′（x）＝ex﹣
∴f′（1）＝e﹣1
∵f（1）＝e+1
∴曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1）
x＝0时y＝2y＝0时x＝
∴曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积S＝×2×＝．
（2）方法：f（x）≥1aex﹣1﹣lnx+lna≥1ex﹣1+lna﹣lnx+lna≥1
ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx
令g（t）＝et+t
g′（t）＝et+1＞0
∴g（t）R单调递增
∵g（lna+x﹣1）≥g（lnx）
∴lna+x﹣1≥lnx
lna≥lnx﹣x+1
令h（x）＝lnx﹣x+1
∴h′（x）＝﹣1＝
0＜x＜1时h′（x）＞0函数h（x）单调递增
x＞1时h′（x）＜0函数h（x）单调递减
∴h（x）≤h（1）＝0
∴lna≥0
∴a≥1
a范围[1+∞）．
方法二：f（x）≥1aex﹣1﹣lnx+lna≥1x＞0a＞0
aex﹣1﹣1≥lnx﹣lna
设g（x）＝ex﹣x﹣1
∴g′（x）＝ex﹣1＞0恒成立
∴g（x）（0+∞）单调递增
∴g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0
∴ex﹣x﹣1＞0
ex＞x+1
设h（x）＝x﹣1﹣lnx
∴h′（x）＝1﹣＝
0＜x＜1时h′（x）＜0函数h（x）单调递减
x＞1时h′（x）＞0函数h（x）单调递增
∴h（x）≥h（1）＝0
∴x﹣1﹣lnx≥0
x﹣1≥lnx
∴ex﹣1≥xaex﹣1≥ax
时需证ax≥x﹣lna
证x（a﹣1）≥﹣lna
a≥1时
∴x（a﹣1）＞0＞﹣lna恒成立
0＜a＜1时x（a﹣1）＜0＜﹣lna时x（a﹣1）≥﹣lna成立
综述a取值范围[1+∞）．
方法三：题意x∈（0+∞）a∈（0+∞）
∴f′（x）＝aex﹣1﹣
易知f′（x）（0+∞）增函数
①0＜a＜1时f′（1）＝a﹣1＜0f′（）＝a﹣a＝a（﹣1）＞0
∴存x0∈（1）f′（x0）＝0
x∈（1x0）时f′（x）＜0函数f（x）单调递减
∴f（x）＜f（1）＝a+lna＜a＜1满足题意
②a≥1时ex﹣1＞0lna＞0
∴f（x）≥ex﹣1﹣lnx
令g（x）＝ex﹣1﹣lnx
∴g′（x）＝ex﹣1﹣
易知g′（x）（0+∞）增函数
∵g′（1）＝0
∴x∈（01）时g′（x）＜0函数g（x）单调递减
x∈（1+∞）时g′（x）＞0函数g（x）单调递增
∴g（x）≥g（1）＝1
f（x）≥1
综述a取值范围[1+∞）．
方法四：∵f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lnax＞0a＞0
∴f′（x）＝aex﹣1﹣易知f′（x）（0+∞）增函数
∵y＝aex﹣1（0+∞）增函数y＝0+∞）减函数
∴y＝aex﹣1y＝0+∞）交点
∴存x0∈（0+∞）f′（x0）＝a﹣＝0
a＝lna+x0﹣1＝﹣lnx0lna＝1﹣x0﹣lnx0
x∈（0x0）时f′（x）＜0函数f（x）单调递减
x∈（x0+∞）时f′（x）＞0函数f（x）单调递增
∴f（x）≥f（x0）＝a﹣lnx0+lna
＝﹣lnx0+1﹣x0﹣lnx0＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1
∴﹣2lnx0﹣x0≥0
设g（x）＝﹣2lnx﹣x
易知函数g（x）（0+∞）单调递减g（1）＝1﹣0﹣1＝0
∴x∈（01]时g（x）≥0
∴x0∈（01]时﹣2lnx0﹣x0≥0
设h（x）＝1﹣x﹣lnxx∈（01]
∴h′（x）＝﹣1﹣＜0恒成立
∴h（x）（01]单调递减
∴h（x）≥h（1）＝1﹣1﹣ln1＝0
x→0时h（x）→+∞
∴lna≥0＝ln1
∴a≥1．
方法五：f（x）≥1等价aex﹣1﹣lnx+lna≥1该等式恒成立．
x＝1时a+lna≥1中a＞0．
设g（a）＝a+lna﹣1g＇（a）＝1+＞0
g（a）单调增g（1）＝0．
a+lna≥1成立必a≥1．
∴面证明a≥1时f（x）≥1成立．
∵ex≥x+1
x换成x﹣1ex﹣1≥x
∵x﹣1≥lnx∴x﹣lnx≥1．
∴f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥ex﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1．
综a≥1．
点评题考查导数意义导数函数值关系考查运算求解力转化化力属难题．
8．已知函数f（x）＝（eax﹣1）lnx（a＞0）．
（1）a＝1时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）关x方程f（x）＝ax2﹣ax[1+∞）恰三实数解求a取值范围．
分析（1）求a＝1时f（x）导数切线斜率方程切线xy轴交点三角形面积公式求值
（2）显然x＝1方程f（x）＝ax2﹣ax根x＞0x≠1时原方程等价＝＝构造函数g（x）＝（x＞0）求导数判断单调性原方程ax＝lnx参数分离构造新函数求导数值求范围．
解答解：（1）a＝1时f（x）＝（ex﹣1）lnxf（1）＝0
f（x）导数f′（x）＝exlnx+
切线斜率k＝f′（1）＝e﹣1
切线方程y＝（e﹣1）（x﹣1）
该切线x轴交点（10）y轴交点（01﹣e）
求三角形面积×1×（e﹣1）＝
（2）显然x＝1方程f（x）＝ax2﹣ax根
x＞0x≠1时原方程等价＝＝
设g（x）＝（x＞0）g′（x）＝
设h（x）＝1+（x﹣1）ex（x＞0）h′（x）＝xex＞0h（x）（0+∞）递增
h（x）＞h（（0）＝0g′（x）＞0g（x）（0+∞）递增
原方程等价g（ax）＝g（lnx）
需ax＝lnx（1+∞）两等实根．
需ax＝lnx（1+∞）两等实根．
a＝（x＞1）
设k（x）＝（x＞1）k′（x）＝
k（x）（1e）递增（e+∞）递减
k（x）值k（e）＝k（1）＝0
a范围（0）．
点评题考查导数运：求切线方程单调性值考查方程思想构造函数法化简运算力推理力属中档题．
9．已知函数f（x）＝axg（x）＝logax中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna单调区间
（Ⅱ）曲线y＝f（x）点（x1f（x1））处切线曲线y＝g（x）点（x2g（x2））处切线行证明x1+g（x2）＝﹣
（Ⅲ）证明a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线．
分析（Ⅰ）f（x）解析式代入函数h（x）＝f（x）﹣xlna求导函数导函数零点定义域分段导函数区间段符号原函数单调区间
（Ⅱ）分求出函数y＝f（x）点（x1f（x1））处y＝g（x）点（x2g（x2））处切线斜率斜率相等两边取数结
（Ⅲ）分求出曲线y＝f（x）点（）处切线曲线y＝g（x）点（x2logax2）处切线方程问题转化证明a≥时存x1∈（﹣∞+∞）x2∈（0+∞）l1l2重合进步转化证明a≥时方程存实数解．然利导数证明．
解答（Ⅰ）解：已知h（x）＝ax﹣xlnah′（x）＝axlna﹣lna
令h′（x）＝0解x＝0．
a＞1知x变化时h′（x）h（x）变化情况表：
x
（﹣∞0）
0
（0+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
↓
极值
↑
∴函数h（x）单调减区间（﹣∞0）单调递增区间（0+∞）
（Ⅱ）证明：f′（x）＝axlna曲线y＝f（x）点（x1f（x1））处切线斜率lna．
g′（x）＝曲线y＝g（x）点（x2g（x2））处切线斜率．
∵两条切线行
两边取a底数数logax2+x1+2logalna＝0
∴x1+g（x2）＝﹣
（Ⅲ）证明：曲线y＝f（x）点（）处切线l1：
曲线y＝g（x）点（x2logax2）处切线l2：．
证明a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线
需证明a≥时存x1∈（﹣∞+∞）x2∈（0+∞）l1l2重合
需证明a≥时方程组
①代入②：
③
需证明a≥时关x1 方程③存实数解．
设函数u（x）＝证明a≥时函数y＝u（x）存零点．
u′（x）＝1﹣（lna）2xax知x∈（﹣∞0）时u′（x）＞0x∈（0+∞）时u′（x）单调递减
u′（0）＝1＞0u′＝＜0
存唯x0x0＞0u′（x0）＝0．
u（x）（﹣∞x0）单调递增（x0+∞）单调递减
u（x）x＝x0处取极值u（x0）．
∵lnlna≥﹣1．
∴＝．
面证明存实数tu（t）＜0
（Ⅰ）ax≥1+xlna时
u（x）≤＝．
∴存实数tu（t）＜0．
a≥时存x1∈（﹣∞+∞）u（x1）＝0．
∴a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线．
点评题考查导数运算导数意义运导数研究指数函数数公式性质等基础知识方法考查函数方程思想化思想考查抽象概括力综合分析问题解决问题力难题．
10．已知函数（e然数底数）．
（1）曲线y＝f（x）点（0f（0））处切线曲线y＝g（x）点（0g（0））处切线互相垂直求
函数区间[﹣11]值
（2）设函数试讨函数h（x）零点数．
分析（1）分求出y＝f（x）y＝g（x）x＝0处导数利斜率积等﹣1求af（x）解析式导数判断f（x）区间[﹣11]单调递减求值
（2）函数g（x）＝ex﹣eR单调递增仅x＝1处零点x＜1时g（x）＜0导数分类判定f（x）零点情况答案求．
解答解：（1）∵f′（x）＝﹣3x2+ag′（x）＝ex
∴f′（0）＝ag′（0）＝1
题意知a＝﹣1f′（x）＝﹣3x2﹣1≤0f（x）区间[﹣11]单调递减
∴
（2）函数g（x）＝ex﹣eR单调递增仅x＝1处零点x＜1时g（x）＜0
f′（x）＝﹣3x2+a．
①a≤0时f′（x）≤0f（x）R单调递减点（0﹣）f（﹣1）＝＞0．
f（x）x≤0时必零点时y＝h（x）两零点
②a＞0时令f′（x）＝﹣3x2+a＝0解＜0＞0．
函数f（x）极值点函数f（x）极值点．
f（﹣）＝＜0
现讨极值情况：
f（）＝．
f（）＜0a＜时函数f（x）（0+∞）恒0时y＝h（x）两零点
f（）＝0a＝时函数f（x）（0+∞）零点时y＝h（x）三零点
f（）＞0a＞时函数f（x）（0+∞）两零点零点零点．
f（1）＝a﹣＜0a＜时y＝h（x）四零点
f（1）＝a﹣＝0a＝时y＝h（x）三零点
f（1）＝a﹣＞0a＞时y＝h（x）两零点．
综述a＜a＞时y＝h（x）两零点a＝a＝时y＝h（x）三零点＜a＜时y＝h（x）四零点．
点评题考查利导数研究曲线某点处切线方程考查函数零点判定体现分类讨数学思想方法属难题．
11．已知函数f（x）＝eaxg（x）＝﹣x2+bx+c（abc∈R）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（0c）处具公切线．设h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求c值ab关系式
（Ⅱ）求函数h（x）单调区间
（Ⅲ）设a≥0意x1x2∈[01]|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1求a取值范围．
分析（Ⅰ）分求f（x）g（x）导数题意知：求c值ab关系
（Ⅱ）写出h（x）表达式求导构造辅助函数F（x）＝h′（x）∀a∈RF′（x）＞0判断h′（x）单调性求h′（x）零点根h′（x）判断出h（x）单调性
（Ⅲ）（II）知x∈[01]时h（x）增函数问题转化：h（x）max﹣h（x）min＝ea﹣a≤e﹣1a≥0时G（a）＝ea﹣a﹣（e﹣1）≤0求函数单调性求a取值范围．
解答解：（I）∵函数f（x）＝eaxg（x）＝﹣x2+bx+c
∴函数f′（x）＝aeaxg′（x）＝﹣2x+b．
曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（0c）处具公切线
∴
∴c＝1a＝b…（4分）
（II）已知h（x）＝f（x）﹣g（x）＝eax+x2﹣ax﹣1．
∴h′（x）＝aeax+2x﹣a
设F（x）＝aeax+2x﹣aF′（x）＝a2eax+2
∀a∈RF′（x）＞0h′（x）（﹣∞+∞）单调递增函数．…（6分）
（I）f′（0）＝g′（0）h′（0）＝f′（0）﹣g′（0）＝00h′（x）零点．
函数h（x）导函数h′（x）零点0．…（7分）
h′（x）h（x）符号变化
x
（﹣∞0）
0
（0+∞）
h（x）
﹣
0
+
h′（x）
↘
极值
↗
函数h′（x）单调递减区间（﹣∞0）单调递增区间（0+∞）．…（9分）
（III）（II）知x∈[01]时h（x）增函数．
意x1x2∈[01]|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1等价h（x）max﹣h（x）min＝h（1）﹣h（0）＝ea﹣a≤e﹣1
等价a≥0时G（a）＝ea﹣a﹣（e﹣1）≤0
∵G′（a）＝ea﹣1≥0
∴G（a）[0+∞）增函数
G（1）＝0a∈[01]．…（13分）
点评题考查利导数研究函数单调性极值值恒成立问题等价转化方法考查计算力分析问题力属难题．
12．设函数f（x）＝ln（1+ax）+bxg（x）＝f（x）﹣bx2．
（Ⅰ）a＝1b＝﹣1求函数f（x）单调区间
（Ⅱ）曲线y＝g（x）点（1ln3）处切线直线11x﹣3y＝0行．
（i）求ab值
（ii）求实数k（k≤3）取值范围g（x）＞k（x2﹣x）x∈（0+∞）恒成立．
分析（Ⅰ）求出函数导数通解关导函数等式求出函数单调区间
（Ⅱ）（i）求出g（x）导数关ab方程组解出
（ii）问题转化g（x）﹣k（x2﹣x）＞0x∈（0+∞）恒成立．令F（x）＝g（x）﹣k（x2﹣x）求出函数导数通讨k范围求出函数单调区间确定k范围．
解答解：（Ⅰ）a＝1b＝﹣1时f（x）＝ln（1+x）﹣x（x＞﹣1）
．
f＇（x）＞0时﹣1＜x＜0
f＇（x）＜0时x＞0
f（x）单调增区间（﹣10）单调减区间（0+∞）．…（4分）
（Ⅱ）（ i）g（x）＝f（x）﹣bx2＝ln（1+ax）+b（x﹣x2）
．
题设
解．…（8分）
（ ii））．
g（x）＞k（x2﹣x）x∈（0+∞）恒成立
g（x）﹣k（x2﹣x）＞0x∈（0+∞）恒成立．
令F（x）＝g（x）﹣k（x2﹣x）．
．
①1≤k≤3时x∈（0+∞）时F＇（x）＞0
F（x）（0+∞）单调递增．
F（x）＞F（0）＝0x∈（0+∞）时g（x）＞k（x2﹣x）
②k＜1时时F＇（x）＜0
F（x）单调递减
时F（x）＜F（0）＝0
x∈（0+∞）时g（x）＞k（x2﹣x）恒成立．
综k∈[13]． …（13分）
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想道中档题．
13．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线直线l：x+2y＝0垂直求实数a值
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
分析（I）先函数求导结合导数意义求
（II）题意f＇（x）＝3x2﹣3a结合a范围判断f＇（x）正负求解
（III）结合导数函数零点判定定理分类讨进行求解
解答解：（I）f＇（x）＝3x2﹣3a．
曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线直线l：x+2y＝0垂直
f′（1）＝3﹣3a＝2
∴
（II）题意f＇（x）＝3x2﹣3a．
（1）a≤0时f＇（x）≥0
∴函数（﹣∞+∞）（﹣∞+∞）单调递增．．……．……（6分）
（2）a＞0时令
解．
解
解．……．……（8分）
∴函数单调递增区间
单调递减区间．．……．……（9分）
（III）（1）x∈（0e）时g（x）＞0题意h（x）≥g（x）＞0满足题意
（2）x＝e时g（e）＝0f（e）＝e3﹣3ae+e
①f（e）≤0aeh（x）零点
②f（e）＞0aeh（x）零点
（3）x∈（e+∞）时g（x）＜0时需考虑函数f（x）（e+∞）零点情况
∵f′（x）＝3x2﹣3a＞3e2﹣3a
∴①a≤e2时f′（x）＞0f（x）（0+∞）单调递增f（e）＝e3﹣3ae+e
∴（i）af（e）≥0f（x）（e+∞）单调递增
（ii）时f（e）＜0f（2e）＝8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0
f（x）（e+∞）恰零点
②a＞e2令f′（x）＝0x＝
f′（x）＜0e＜x＜f′（x）＞0x＞
∴f（x）（e）单调递减（）单调递增
∵f（e）＝e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0f（2a）＝8a2﹣6a2+e≥2a2+e＞0
∴时函数h（x）（0+∞）恰零点
综实数a取值范围．
点评题考查函数导数单调性极值间关系应考查逻辑思维力试题较难
14．已知函数 f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）函数h（x）＝f（x）﹣求函数h（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x） 图象点 A（x0f（x0））处切线证明：区间（0+∞） 存唯x0直线l 曲线y＝g（x） 相切．
分析（1）求出函数h（x）导函数导函数符号直接判断函数h（x）单调性
（2）求出函数f（x）g（x）导函数根函数特点分两函数图象找点点求出两函数图象分点点处切线方程两切线截距相等够说明区间
（0+∞） 存唯x0两切线直线问题证．
解答解：（1）h（x）＝f（x）﹣＝lnx﹣定义域：{x|x＞0x≠1}．
＝．
x＞0x≠1区间（01）（1+∞）恒h′（x）＞0
函数h（x）单调增区间（01）（1+∞）
（2）f（x）＝lnxx＝（n＞0）时
y＝f（x）存点该点切线方程
①
g（x）＝exg′（x）＝exx＝﹣时
y＝g（x）点切线方程
②
两条切线①②斜率相y轴截距相等条切线令：
n﹣e＝③
③左边关n增函数右边n≥3正假分数关n减函数
区间[3+∞）必存实数n③式成立．
证明区间（0+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
点评题考查利导数研究函数单调性考查利导数研究曲线某点处切线方程解答关键够两曲线找符合题意点属中高档题．
15．已知函数f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）求函数h（x）＝g（x）f′（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x）图象点A（x0lnx0）处切线证明：区间（1+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
分析（1）求导函数导数00求出函数h（x）单调区间
（2）先求直线l函数图象点A（x0f （x0））处切线方程设直线l曲线y＝g（x）相切点（x1ex1）进lnx0＝证明区间（1+∞）x0存唯．
解答解：（1）∵函数f（x）＝lnxg（x）＝ex
∴h（x）＝g（x）f′（x）＝
∴
＞0x＞1＜0x＜1．
∴函数h（x）增区间（1+∞）减区间（﹣∞1）．
（2）证明：∵f′（x）＝
∴f′（x0）＝
∴切线l方程y﹣lnx0＝（x﹣x0）
y＝x+lnx0﹣1①（6分）
设直线l曲线y＝g（x）相切点（x1ex1）
∵g＇（x）＝ex∴ex1＝∴x1＝﹣lnx0．（8分）
∴直线ly﹣＝（x+lnx0）
y＝x++②（9分）
①② lnx0﹣1＝+
∴lnx0＝．（11分）
证：区间（1+∞）x0存唯．
设φ（x）＝f（x）﹣
φ′（x）＝+＝．（2分）
∵x＞0x≠1∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）区间（1+∞）递增．
φ（e）＝lne﹣＝＜0φ（e2）＝lne2﹣＝＞0（13分）
结合零点存性定理方程φ（x）＝0必区间（ee2）唯根
根求唯x0．
区间（1+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
点评题函数载体考查导数知识运考查函数单调性考查曲线切线时考查零点存性定理综合性较强．
16．已知函数f（x）＝x+g（x）＝x﹣lnx中a∈Ra≠0．
（Ⅰ）求曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线方程
（II）a＝1时求函数h（x）＝f（x）+g（x）单调区间
（III）设函数u（x）＝u（x）＝f（x）意x∈[1e]均成立求a取值范围．
分析（Ⅰ）求出导数求切线斜率切点切线方程
（II）求出a＝1时函数导数令导数0求增区间令导数0减区间注意定义域
（III）题意f（x）≥g（x）意x∈[1e]均成立x+≥x﹣lnx运参数分离导数判断单调性求右边函数值a范围．
解答解：（Ⅰ）g（x）＝x﹣lnx导数g′（x）＝1﹣
曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线斜率k＝g′（1）＝0
切点（11）
曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线方程y＝1
（II）a＝1时函数h（x）＝f（x）+g（x）＝2x﹣lnx+
导数h′（x）＝2﹣﹣＝
h′（x）＞0x＞1h′（x）＜00＜x＜1．
h（x）增区间（1+∞）减区间（01）
（III）题意f（x）≥g（x）意x∈[1e]均成立
x+≥x﹣lnx
a≥﹣xlnx
令y＝﹣xlnxx∈[1e]
y′＝﹣（1+lnx）＜0
y＝﹣xlnx[1e]递减
y＝﹣xlnx值0
a≥0a∈Ra≠0．
a＞0．
a取值范围（0+∞）．
点评题考查导数运：求切线方程单调区间时考查等式恒成立问题注意运参数分离函数单调性属中档题．
17．已知函数f（x）＝x2+2ax（x＞0）g（x）＝3alnx+a中a＞0．
（1）a＝1时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）否存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相？存请求出实数a值存请说明理．
分析（1）a＝1时求出h（x）然求导数根导数符号判断函数h（x）单调性出单调区间
（2）假设存公点（x0y0）该点f（x）g（x）图象该点处切线相出f（x）g（x）该点导数值相等样便出关x0方程组整理x0﹣1＝2lnx0出x0＝1带入前面式子求出a样便出存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相．
解答解：（1）a＝1时h（x）＝
解x2+2x﹣3＝0x＝﹣31
∴x∈（01）时h′（x）＜0x∈（1+∞）时h′（x）＞0
∴h（x）单调减区间（01）增区间[1+∞）
（2）假设存设公点（x0y0）：
∴f′（x）＝x+2a∴k＝x0+2a
∴
∴
∴
②代入①：3a+2ax0＝6alnx0+5a
∴x0﹣1＝3lnx0
x0＝1带入②a＝1
∴存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相a＝1．
点评考查根导数符号判断函数单调性求单调区间方法二次函数符号应元二次方程根关系函数切点处导数切线斜率关系．
18．已知函数f（x）＝x3﹣x2+xg（x）＝﹣（m﹣1）xm∈R．
（Ⅰ）f（x）x＝1取极值求曲线y＝f（x）点（2f（2））处切线方程
（Ⅱ）f（x）区间（+∞）增函数求m取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间极值．
分析（Ⅰ）求出函数导数假设f（2）f′（2）求出切线方程
（Ⅱ）问题转化区间恒成立求出x+值解关m等式求出m范围
（Ⅲ）求出h（x）导数h（x）单调区间求出函数极值．
解答解：（Ⅰ） f＇（x）＝x2﹣（m+1）x+1
∵函数f（x）x＝1处取极值
∴f＇（1）＝1﹣（m+1）+1＝0∴m＝1
∴f＇（2）＝1
∴曲线y＝f（x）（2f（2））处切线方程：
：3x﹣3y﹣4＝0
（Ⅱ） f＇（x）＝x2﹣（m+1）x+1
∵f（x）区间增函数
∴x2﹣（m+1）x+1≥0
∴区间恒成立
∵时仅x＝1时取值
∴m+1≤2m≤1
（Ⅲ）
∴h＇（x）＝x2﹣（m+1）x+m＝（x﹣1）（x﹣m）
令h＇（x）＝0x＝mx＝1
m＝1时h＇（x）＝（x﹣1）2≥0
∴h（x）R增函数极值
m＜1时h（x）h＇（x）x变化情况表：
x
（﹣∞m）
m
（m1）
1
（1+∞）
h＇（x）
+
0
﹣
0
+
h（x）
↗
极值
↘
极值
↗
∴函数h（x）单调递增区间（﹣∞m）（1+∞）单调递减区间（m1）
x＝m时函数h（x）取极值极值
x＝1时函数h（x）取极值极值．
点评题考查函数单调性值极值问题考查导数应函数恒成立问题道中档题．
19．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2m）处相切线（P切点）求ab值
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]
（1）求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值t（a）
（2）|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
分析（Ⅰ）根曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（2m）处具公切线知切点处函数值相等切点处斜率相等求ab值
（Ⅱ）（1）根函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]出a2＝4b构建函数h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+a2x+1求导函数利导数正负确定函数单调区间进分类讨确定函数区间（﹣∞﹣1]值．
（2）（1）知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增出极值极值根|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立建立关a等关系解a取值范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）＝ax2+1（a＞0）f′（x）＝2axk1＝4ag（x）＝x3+bxf′（x）＝3x2+bk2＝12+b
（2m）公切点：4a＝12+b
f（2）＝4a+1g（2）＝8+2b
∴4a+1＝8+2b4a＝12+b联立：a＝b＝5．
（Ⅱ）h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+bx+1
h′（x）＝3x2+2ax+b
∵函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]∴x∈[﹣﹣]时3x2+2ax+b≤0恒成立
时x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根3（）2+2a（﹣）+b＝0a2＝4b
∴h（x）＝x3+ax2+a2x+1
令h′（x）＝0解：x1＝﹣x2＝﹣
∵a＞0∴﹣＜﹣列表：
x
（﹣∞﹣）
﹣
（﹣﹣）
﹣
（﹣+∞）
h′（x）
+
﹣
+
h（x）
极值
极值
∴原函数（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增．
①﹣1≤﹣a≤2时值t（﹣1）＝a﹣
②﹣＜﹣1＜﹣2＜a＜6时值t（﹣）＝1
③﹣1≥﹣时a≥6时值t（﹣）＝1．
综述：a∈（02]时值t（﹣1）＝a﹣
a∈（2+∞）时值t（﹣）＝1．
（2）（1）知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
h（﹣）极值h（﹣）＝1h（﹣）极值h（﹣）＝﹣+1
∵|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立h（0）＝1．
∴解
∴a取值范围：4﹣2≤a≤6．
点评题考查导数知识运考查导数意义考查函数单调性值解题关键正确求出导函数应分类讨方法属难题．
20．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2c）处相切线（P切点）求ab值
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）
分析（1）求出函数导数关ab方程组解出
（2）求出h（x）导数根函数单调性x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根求出ab关系通讨a范围求出M（a）．
解答解：（1）p（2c）公切点：f（x）＝ax2+1（a＞0）
f′（x）＝2axk1＝4a
g（x）＝x3+bxg′（x）＝3x2+bk2＝12+b
f（2）＝4a+1g（2）＝8+2b
∴解：a＝b＝5
（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+bx+1
∴h′（x）＝3x2+2ax+b
∵h（x）单调减区间[﹣﹣]
∴x∈[﹣﹣]时3x2+2ax+b≤0恒成立
时x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根
∴a2＝4b
∴h（x）＝x3+ax2+a2x+1
∵h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
﹣1≤﹣a≤2时值h（﹣1）＝a﹣
﹣＜﹣1＜﹣2＜a＜6时值h（﹣）＝1
﹣1≥﹣a≥6时
∵h（﹣）＝1h（﹣1）＝a﹣＜h（﹣）＝1∴值1
综M（a）＝．
点评题考查切线方程问题考查函数单调性值问题考查导数应道综合题．
21．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点p（2c）处相切线（p切点）求实数ab值．
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调减区间[﹣﹣]
①求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）．
②|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
分析（1）根曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（2c）处具公切线知切点处函数值相等切点处斜率相等求ab值
（2）①根函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]出a2＝4b构建函数h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+a2x+1求导函数利导数正负确定函数单调区间进分类讨确定函数区间（﹣∞﹣1）值．
②①知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增出极值极值根|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立建立关a等关系解a取值范围．
解答解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0）f′（x）＝2axk1＝4ag（x）＝x3+bxf′（x）＝3x2+bk2＝12+b
（2c）公切点：4a＝12+b
f（2）＝4a+1g（2）＝8+2b
∴4a+1＝8+2b4a＝12+b联立：a＝b＝5
（2）①h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+bx+1
h′（x）＝3x2+2ax+b
函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]∴x∈[﹣﹣]时3x2+2ax+b≤0恒成立
时x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根3（﹣）2+2a（﹣）+b＝0a2＝4b
∴h（x）＝x3+ax2+a2x+1
令h′（x）＝0解：x1＝﹣x2＝﹣
∵a＞0∴﹣＜﹣列表：
x
（﹣∞﹣）
﹣
（﹣﹣）
﹣
（﹣+∞）
h′（x）
+
﹣
+
h（x）
极值
极值
∴原函数（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
﹣1≤﹣a≤2时值h（﹣1）＝a﹣
﹣＜﹣1＜﹣2＜a＜6时值h（﹣）＝1
﹣1≥﹣时a≥6时值h（﹣）＝1．
综述：a∈（02]时值h（﹣1）＝a﹣a∈（2+∞）时值h（﹣）＝1．
②①知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
h（﹣）极值h（﹣）＝1h（﹣）极值h（﹣）＝﹣+1
∵|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立h（0）＝1．
∴
∴a取值范围：4﹣2≤a≤6．
点评题考查导数知识运考查导数意义考查函数单调性值解题关键正确求出导函数应分类讨方法．
22．已知函数f（x）＝ex+x2﹣xg（x）＝x2+ax+bab∈R．
（1）a＝1时求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）曲线y＝f（x）点（01）处切线l曲线y＝g（x）切点（1c）求abc值
（3）f（x）≥g（x）恒成立求a+b值．
分析（Ⅰ）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间
（Ⅱ）求出函数导数根切线方程求出abc值
（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）求出函数导数通讨a范围问题转化b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1
令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1x＞0根函数单调性求出a+b值．
解答解：（Ⅰ）F（x）＝ex﹣2x﹣bF＇（x）＝ex﹣2．
令F＇（x）＝ex﹣2＞0x＞ln2F（x）（ln2+∞）单调递增．
令F＇（x）＝ex﹣2＜0x＜ln2F（x）（﹣∞ln2）单调递减．…（4分）
（Ⅱ）f＇（x）＝ex+2x﹣1f＇（0）＝0l方程y＝1．
题意c＝1．
l抛物线g（x）＝x2﹣2x+b切点（11）
12﹣2+b＝1b＝2．
a＝﹣2b＝2c＝1．…（8分）
（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣（a+1）x﹣bh（x）≥0恒成立．
易h＇（x）＝ex﹣（a+1）．
（1）a+1≤0时
h＇（x）＞0时h（x）（﹣∞+∞）单调递增．
①a+1＝0b≤0时满足条件时a+b≤﹣1
②a+1＜0取x0＜0
时h（x）≥0恒成立．
满足条件
（2）a+1＞0时
令h＇（x）＝0x＝ln（a+1）．h＇（x）＞0x＞ln（a+1）
h＇（x）＜0x＜ln（a+1）．
h（x）（﹣∞ln（a+1））单调递减（ln（a+1）+∞）单调递增．
h（x）＝ex﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立必须：
x＝ln（a+1）时h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0成立．
b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．
令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1x＞0G＇（x）＝1﹣lnx．
令G＇（x）＝0x＝e．G＇（x）＞00＜x＜e
G＇（x）＜0x＞e．G（x）（0e）单调递增（e+∞）单调递减
x＝e时G（x）max＝e﹣1．
a＝e﹣1b＝0时a+b值e﹣1．
综a+b值e﹣1．…（14分）
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想转化思想道综合题．
23．函数y＝lnx关直线x＝1称函数f（x）函数导函数g（x）记h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）设曲线y＝h（x）点（1h（1））处切线ll圆（x+1）2+y2＝1相切求a值
（2）求函数h（x）单调区间
（3）求函数h（x）[01]值．
分析（1）先求（1h（1））点切线方程根l圆（x+1）2+y2＝1相切利点线距离等半径求a值
（2）先求导函数结合函数定义域利导数0函数单调增区间导数0函数单调减区间
（3）根（2）中函数单调区间结合区间[01]进行分类讨求h（x）值．
解答解：（1）题意f（x）＝ln（2﹣x）g（x）＝ax
∴h（x）＝ln（2﹣x）+ax．
∴（1h（1））点直线斜率a﹣1
∴（1h（1））点直线方程y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1）．
已知圆心（﹣10）半径1
题意解a＝1．
（2）．
∵a＞0∴．
令h′（x）＞0∴
令h′（x）＜0∴
h（x）增区间h（x）减区间．
（3）①时h（x）[01]减函数
∴h（x）值h（0）＝ln2．
②时h（x）增函数减函数
∴时h（x）值．
③a≥1时h（x）[01]增函数
∴h（x）值h（1）＝a．
综时h（x）值ln2
时h（x）值2a﹣1﹣lna
a≥1时h（x）值a．
点评题函数载体考查导数意义考查利导数求函数单调区间值分类讨解题关键难点．
24．（文）已知函数f（x）＝lnxg（x）＝kx+b（kb∈R）图象交PQ两点曲线y＝f（x）PQ两点处切线交点A．
（1）k＝eb＝﹣3时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间（e然常数）
（2）A（）求实数kb值．
分析（1）构建新函数求导函数利导数确定函数单调性求函数值
（2）先求出切线方程代入A坐标进求出PQ坐标求实数kb值．
解答解：（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣ex+3（x＞0）
h（x）＝﹣e0＜x＜时h′（x）＞0时函数h（x）增函数
x＞时h′（x）＜0时函数h（x）减函数．
函数h（x）增区间（0）减区间（+∞）．
（2）设点A直线l函数f（x）＝lnx切点（x0lnx0）斜率k＝
切线l：y﹣lnx0＝（x﹣x0）
点A代入直线l方程：﹣lnx0＝（﹣x0）
lnx0+﹣1＝0
设v（x）＝lnx+﹣1v′（x）＝（x﹣）
0＜x＜时v′（x）＜0函数v（x）减函数
x＞时v′（x）＞0函数v（x）增函数．
方程v（x）＝0两实根
v（1）＝v（e）＝0方程v（x）＝0两实根1e
P（10）Q（e1）
k＝b＝求．
点评题考查导数知识运考查函数单调性值考查导数意义解题关键构建函数正确运导数知识．
25．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
分析（I）根导数求出切线斜率根点斜式方程出切线方程
（II）讨a范围令f′（x）＞0出增区间令f′（x）＜0出减区间
（III）通讨a范围求出函数f（x）单调区间结合函数单调性函数零点数确定a范围．
解答解：（Ⅰ）a＝时f（x）＝x3﹣x+e
∴f＇（x）＝3x2﹣1．
∵f（1）＝ef′（1）＝2
∴曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程y﹣e＝2（x﹣1）2x﹣y﹣2+e＝0．
（Ⅱ）f＇（x）＝3x2﹣3a．
（1）a≤0时f＇（x）≥0
∴函数（﹣∞+∞）单调递增．
（2）a＞0时令f′（x）＝0解x＝﹣x＝．
f′（x）＞0解x＜﹣
f′（x）＜0解
∴函数f（x）单调递增区间单调递减区间．
（Ⅲ）∵函数g（x）定义域（0+∞）
∴．
∴函数g（x）（0+∞）单调递减．
（1）x∈（0e）时g（x）＞g（e）＝0题意h（x）≥g（x）＞0满足条件
（2）x＝e时g（e）＝0f（e）＝e3﹣3ae+e
①f（e）＝e3﹣3ae+e≤0a≥eh（x）零点
②f（e）＝e3﹣3ae+e＞0a＜eh（x）零点
（3）x∈（e+∞）时g（x）＜0时需考虑函数f（x）（e+∞）零点情况．
f＇（x）＝3x2﹣3a＞3e2﹣3a
①a≤e2时f＇（x）＞0f（x）（e+∞）单调递增．
f（e）＝e3﹣3ae+e
（i）a≤时f（e）≥0f（x）（e+∞）零点
（ii）＜a≤e2时f（e）＜0
f（2e）＝8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0
时f（x）（e+∞）恰零点
②a＞e2时令f＇（x）＝0x＝±．
f＇（x）＜0e＜x＜
f＇（x）＞0x＞
f（x）（e）单调递减（+∞）单调递增．
f（e）＝e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0f（2a）＝8a3﹣6a2+e＞8a2﹣6a2+e＝2a2+e＞0
时f（x）（e+∞）恰零点
综a＞实数a取值范围．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想转化思想道综合题．
26．设a∈R函数f（x）＝alnx﹣x．
（1）f（x）零点求实数a取值范围
（2）a＝1时关x方程2x﹣f（x）＝x2+b[2]恰两相等实数根求实数b取值范围．
（3）求证：n≥2n∈N*时（1+）（1+）…（1+）＜e．
分析（1）求出函数导数通讨a范围求出函数单调区间确定满足条件a范围
（2）令g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x∈[2]）结合二次函数性质函数单调性求出b范围
（3）根x＞1时lnx＜x﹣1令x＝1+（n≥2n∈N*）累加证明．
解答解：（1）f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝﹣1＝
a＜0时f′（x）＜0f（x）（0+∞）递减
x→0时f（x）→+∞f（1）＝﹣1
a＜0时f（x）存零点
a＝0时f（x）＝﹣x（x＞0）显然零点
a＞0时令f′（x）＝0解：x＝a
f（x）（0a）递增（a+∞）递减
f（x）max＝f（a）＝a（lna﹣1）
f（x）零点需a（lna﹣1）＜0解：a＜e
综0≤a＜e时f（x）零点
（2）a＝1时f（x）＝lnx﹣x
关x方程2x﹣f（x）＝x2+b化x2﹣3x+lnx+b＝0
令g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x∈[2]）
∴g′（x）＝2x﹣3+＝
令g′（x）＝0解x＝1
令g′（x）＞0解1＜x≤2时函数g（x）单调递增
令g′（x）＜0解≤x＜1时函数g（x）单调递减
∵关x方程2x﹣f（x）＝x2+b[2]恰两相等实数根
解：+ln2≤b＜2
∴实数b取值范围[+ln22）
证明（3）a＝1时f（x）＝lnx﹣xf（1）＝﹣1
f（x）﹣f（1）＝lnx﹣x﹣1
y＝lnx﹣x﹣1y′＝
令y′＝0解：x＝1
y＝lnx﹣x﹣1（01）递增（1+∞）递减
x＝1时yf（x）﹣f（1）≤0lnx≤x﹣1
∴x＞1时lnx＜x﹣1
令x＝1+（n≥2n∈N*）．
ln（1+）≤次取n＝23…n．
累加求ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+
n≥2时＜＝﹣
∴++…+＜++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＜1
∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1＝lne
∴n≥2n∈N*时（1+）（1+）…（1+）＜e．
点评题考查利导数研究函数单调性极值值累加求数运算性质放缩裂项求等基础知识基技方法考查等价问题转化方法考查推理力计算力属难题．
27．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）单调区间极值
（2）等式意x∈[13]恒成立求正实数λ取值范围．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值
（2）分离参数问题转化λ≤令h（x）＝根函数单调性求出正实数λ取值范围．
解答解：（1）∵f（x）＝xlnx
∴f′（x）＝1+lnx定义域（0+∞）
f′（x）＞0解：x＞f′（x）＜0解：0＜x＜．
∴f（x）单减区间（0）f（x）单增区间（+∞）
∴f（x）极值＝f（）＝﹣极值．
（2）∵x2+x＞0
化简：（x2+x＞）ln（x2+x）≥λx•eλx
∴f（x2+x）≥f（eλx）
∵x2+x≥2eλx＞e0＝1
（1）知f（x）（+∞）单增
x2+x）≥eλx
∴λx≤ln（x2+x）λ≤．
令h（x）＝
h′（x）＝
令k（x）＝﹣ln（x2+x）
k′（x）＝•＜0
∴k（x）[13]单减k（1）＝﹣ln＞0k（3）＝﹣ln＜0
∴∃x0∈（13）k（x0）＝0（1x0）k（x）＞0h′（x）＞0h（x）单增
（x03）k（x）＜0h′（x）＜0h（x）单减．
∴h（x）min＝h（1）h（3）
h（1）＝ln＞h（3）＝＝ln
∴λ≤ln．
点评题考查函数单调性极值问题考查导数应函数恒成立问题道综合题．
28．已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）函数g（x）＝lnx图象公切线l坐标原点时求实数a取值集合
（3）证明：a∈（0）时函数h（x）＝f（x）﹣ax两零点x1x2满足．
分析（1）问利导数求解单调性．
（2）问先求出公切线l方程探讨a取值范围．
（3）问先利导数研究函数h（x）单调性证明零点数．函数思想构造函数利导数研究函数单调性解决等式问题．
解答解：（1）求导
令f′（x）＝0解x＝e1﹣a
x∈（0e1﹣a）时f′（x）＞0f（x）单调递增．
x∈（e1﹣a+∞）时f′（x）＜0f（x）单调递减．
（2）设公切线l函数g（x）＝lnx切点（x0y0）公切线l斜率k＝g′（x0）＝
公切线l方程：原点坐标（00）代入y0＝1解x0＝e．
公切线l方程：联立整理．
令求导：令m′（x）＝0解．
时m′（x）＜0m（x）单调递减值域
时m′（x）＞0m（x）单调递增值域
直线l函数f（x）相切公点．
实数a取值集合{}．
（3）证明：证h（x）两零点证k（x）＝ax2﹣lnx﹣a两零点．k（1）＝0
x＝1时函数k（x）零点．
k（x）求导：令k′（x）＝0解 ．时k′（x）＞0k（x）单调递增
0＜x＜时k′（x）＜0k（x）单调递减．x＝时k（x）取值
k（x）＝ax2﹣lnx﹣a＞ax2﹣（x﹣1）﹣a＝ax2﹣x+1﹣a＞ax2﹣x+必定存二次函数
k（x0）＞u（x0）＞0．区间必定存k（x）零点．
综述h（x）两零点x＝1区间．
面证明．
面步骤知h（x）两零点x＝1区间．
妨设x1＝1x2＞面证明．
令求导
v（a）定义域单调递减．
证明完毕．
点评题考察知识点众利导数研究函数单调性切线导数关系利导数研究函数零点数利导数构造函数证明等式学生思维力思维品质求极高属难题．
29．已知函数f（x）＝．
（1）意x＞0f（x）＜0恒成立求实数a取值范围
（2）函数f（x）两零点x1x2（x1＜x2）证明：+＞2．
分析（1）求出导函数根导函数判断函数单调性出函数值进求出a范围
（2）求出导函数根极值点判断函数零点位置零点分类讨构造函数利放缩法均值定理证明结成立．
解答解：（1）f（x）＝＝+a+．
f＇＇（x）＝﹣
∴f（x）（0l）递增（1+∞）递减
∴f（x）≤f（1）＝a+1
∴a+1＜0∴a＜﹣1
（2）证明：（1）知两零点x1∈（01）x2∈（1+∞）
x2∈（12）2﹣x2∈（01）
设g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝+﹣﹣
x∈（01）时
g＇（x）＝﹣﹣＞﹣﹣＝﹣＞0
∴g（x）（01）递增
∴g（x）＜g（1）＝0
∴f（x）＜f（2﹣x）
∴f（2﹣x1）＞f（x1）＝f（x2）
∴（2﹣x1）＜x2∴2＜x1+x2
x2∈（2+∞）知2＜x1+x2显然成立
+x2≥2＝2x1理+x1≥2x2
两式相加：++x1+x2≥2（x1+x2）
：+≥（x1+x2）＞2．
点评题考查导函数应值问题转化思想难点参数分类讨均值定理应．
30．已知a常数函数f（x）＝x2+ax﹣lnxg（x）＝ex（中e然数数底数）．
（1）坐标原点O作曲线y＝f（x）切线设切点P（x0y0）求x0值
（2）令函数F（x）区间（01]单调函数求a取值范围．
分析（1）先函数求导f′（x）＝2x+a﹣切线斜率k＝2x0+a﹣＝＝x02+lnx0﹣1＝0x0＝1方程解y＝x2+lnx﹣1（0+∞）增函数证
（2）F（x）＝＝求出函数F（x）导数通研究2﹣a正负判断h（x）单调性进函数F（x）单调性求a范围．
解答解：（1）f′（x）＝2x+a﹣（x＞0）
切点P（x0y0）切线斜率k＝2x0+a﹣＝＝
整理x02+lnx0﹣1＝0
显然x0＝1方程解y＝x2+lnx﹣1（0+∞）增函数
方程x2+lnx﹣1＝0唯实数解．x0＝1
（2）F（x）＝＝F′（x）＝
设h（x）＝﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnxh′（x）＝﹣2x+++2﹣a
易知h＇（x）（01]减函数h＇（x）≥h＇（1）＝2﹣a
①2﹣a≥0a≤2时h＇（x）≥0h（x）区间（01）增函数．
∵h（1）＝0∴h（x）≤0（01]恒成立F＇（x）≤0（01]恒成立．
∴F（x）区间（01]减函数．
a≤2满足题意
②2﹣a＜0a＞2时设函数h＇（x）唯零点x0
h（x）（0x0）递增（x01）递减
∵h（1）＝0∴h（x0）＞0．
∵h（e﹣a）＝﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0
∴h（x）（01）唯零点x＇
x∈（0x＇）时h（x）＜0x∈（x＇1）时h（x）＞0．
F（x）（0x＇）递减（x＇1）递增
区间（01]单调函数矛盾．
∴a＞2合题意．
综合①②a≤2．
点评考查学生利导数研究函数单调力函数单调性判定导数运算试题具定综合性．
31．设函数m∈R．
（1）m＝e（e然数底数）时求f（x）值
（2）讨函数零点数．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数值
（2）令g（x）＝0设通讨m范围根函数单调性集合函数草图求出函数零点数．
解答解：（1）m＝e时∴
x∈（0e）时f′（x）＜0f（x）x∈（0e）减函数
x∈（e+∞）时f′（x）＞0f（x）x∈（e+∞）增函
∴x＝e时f（x）取值．
（2）∵函数
令g（x）＝0
设φ′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）
x∈（01）时φ′（x）＞0φ（x）x∈（01）增函数
x∈（1+∞）时φ′（x）＜0φ（x）x∈（1+∞）减函数
x＝1φ（x）极值点唯极值点∴x＝1φ（x）值点
∴φ（x）值φ（0）＝0结合y＝φ（x）图象
知：①时函数g（x）零点
②时函数g（x）零点
③时函数g（x）两零点
④m≤0时函数g（x）零点
综：时函数g（x）零点
m≤0时函数g（x）零点
时函数g（x）两零点
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想考查函数零点数问题道中档题．
32．已知函数f（x）＝lnx﹣．
（1）a＝4求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）区间（01]单调递增求实数a取值范围
（3）x1x2∈R+x1≤x2求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间
（2）问题转化3a≤+x+4恒成立根函数单调性求出a范围
（3）问题转化ln≤＝成立令t＝∈（01）lnt﹣≤0根函数单调性证明．
解答解：（1）f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝﹣＝
a＝4时f′（x）＝
f′（x）＞0解：0＜x＜4﹣2x＞4+2
f′（x）＜0解：4﹣2＜x＜4+2
f（x）（04﹣2）递增（4﹣24+2）递减（4+2+∞）递增
（2）（1）：f′（x）＝
函数f（x）区间（01]递增
x2+（4﹣3a）x+4≥0（01]恒成立
3a≤+x+4恒成立
函数y＝+x+4x＝1时取值9a≤3
（3）证明：x1＝x2时等式显然成立
x1≠x2时∵x1x2∈R+∴原等式成立
ln≤＝成立
令t＝∈（01）
lnt﹣≤0
（2）知函数f（x）（01]递增
f（x）＜f（1）＝0
lnt﹣≤0成立
原等式成立．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应函数恒成立问题考查等式证明转化思想道综合题．
33．设a＞0函数f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
（1）a＝1时求函数f（x）单调区间
（2）函数y＝f（x）区间（0+∞）唯零点试求a值．
分析（1）求出a＝1时f（x）利导数f′（x）判断f（x）单调性求出单调区间
（2）求f（x）导数f′（x）利导数判断f（x）单调性求出值利值等0求出a值．
解答解：（1）函数f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
a＝1时f（x）＝x2﹣2x﹣2lnx（中x＞0）
∴f′（x）＝2x﹣2﹣＝
令f′（x）＝0x2﹣x﹣1＝0
解x＝x＝（0应舍）
∴x∈（0）时f′（x）＜0
x∈（+∞）时f′（x）＞0
∴f（x）单调减区间（0）
单调增区间（+∞）
（2）f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
f′（x）＝2x﹣2a﹣＝
令f′（x）＝0x2﹣ax﹣a＝0
∵a＞0
∴△＝a2+4a＞0
∴方程解x1＝＜0
x2＝＞0
∴函数f（x）（0x2）单调递减（x2+∞）单调递增
∴f（x）致图象图示
求f（x）min＝f（x2）
函数y＝f（x）区间（0+∞）唯零点
f（x2）＝0
x2满足x22＝ax2+a
∴f（x2）＝ax2+a﹣2ax2﹣2alnx2＝a（x2+1﹣2x2﹣2lnx2）＝0
1﹣x2﹣2lnx2＝0
∵g（x）＝2lnx+x﹣1单调增∴g（x）零点
g（1）＝0
∴x2＝1代入x22﹣ax2﹣a＝0
1﹣a﹣a＝0a＝．
点评题考查利导数研究函数单调性考查函数零点等式应问题较难题目．
34．已知函数．
（1）a＝0时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线方程
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax+1求函数g（x）极值
（3）a＝﹣2正实数x1x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0证明：．
分析（1）求出函数导数计算f（1）f′（1）值求出切线方程
（2）求导数然通研究等式解集确定原函数单调性求出函数极值
（3）结合已知条件构造函数然结合函数单调性证结．
解答解：（1）a＝0时f（x）＝lnx+xf′（x）＝+1
f（1）＝1f′（1）＝2
切线方程：y﹣1＝2（x﹣1）
整理：2x﹣y﹣1＝0
（2）g（x）＝f（x）﹣（ax﹣1）＝lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1
g′（x）＝﹣ax+（1﹣a）＝
a≤0时x＞0g′（x）＞0．
g（x）（0+∞）递增函数
a＞0时g′（x）＝
令g′（x）＝0x＝
x∈（0）时g′（x）＞0x∈（+∞）时g′（x）＜0
函数g（x）x∈（0）增函数（+∞）减函数．
综a≤0时函数g（x）递增区间（0+∞）递减区间极值
a＞0时函数g（x）递增区间（0）递减区间（+∞）
g（x）极值＝g（）＝﹣lna
证明：（3）f（x1）+f（x2）+x1x2＝0
lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2＝0
（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2）
令t＝x1x2φ（t）＝t﹣lnt
x1＞0x2＞0x1+x2＞0．
φ′（t）＝（t＞0）
知φ（t）区间（01）单调递减区间（1+∞）单调递增．
φ（t）≥φ（1）＝1
（x1+x2）2+（x1+x2）≥1解x1+x2≥x1+x2≤
x1＞0x2＞0
x1+x2≥成立．
点评题难度较属利导数研究函数单调性值利导数证明单调性进步研究等式问题题型．
35．已知函数f（x）＝x﹣alnxg（x）＝﹣（a＞0）
（1）a＝l求f（x）极值
（2）存x0∈[1e]f（x0）＜g（x0）成立求实数a取值范围．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值
（2）问题转化[f（x）﹣g（x）]min＜0（x∈[1e]）成立设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+根函数单调性求出a范围．
解答解：（1）a＝1时f（x）＝x﹣lnx
函数f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝1﹣＝
令f′（x）＞0解：x＞1
令f′（x）＜0解：0＜x＜1
f（x）（01）递减（1+∞）递增
f（x）极值f（1）＝1极值
（2）存x0∈[1e]f（x0）＜g（x0）成立
等价[f（x）﹣g（x）]min＜0（x∈[1e]）成立
设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+
h′（x）＝
令h′（x）＝0解：x＝﹣1（舍）x＝1+a
①1+a≥eh（x）[1e]递减
∴h（x）min＝h（e）＝e2﹣ea+1+a
令h（x）min＜0解：a＞
②1+a＜e时h（x）（1a+1）递减（a+1e）递增
∴h（x）min＝h（1+a）＝a[1﹣ln（a+1）]+2＞2h（x）min＜0矛盾
综a＞．
点评题考查函数单调性极值问题考查导数应分类讨思想道中档题．
36．已知函数f（x）＝alnx+x2+bx+1点（1f（1））处切线方程4x﹣y﹣12＝0．
（1）求函数f（x）解析式
（2）求f（x）单调区间极值．
分析（1）求出函数导数计算f′（1）f（1）关ab方程组求出ab值求出f（x）解析式
（2）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值．
解答解：（1）求导f′（x）＝+2x+b题意：
f′（1）＝4f（1）＝﹣8
解
f（x）＝12lnx+x2﹣10x+1
（2）f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝
令f′（x）＞0解：x＜2x＞3
f（x）（02）递增（23）递减（3+∞）递增
f（x）极值＝f（2）＝12ln2﹣15
f（x）极值＝f（3）＝12ln3﹣20．
点评题考查函数单调性极值问题考查导数应道中档题．
37．已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）xa∈R．
（Ⅰ）函数f（x）区间（13）单调递减求a取值范围
（Ⅱ）a＝﹣1时证明f（x）≥．
分析（Ⅰ）求出函数导数根函数单调性求出a范围
（Ⅱ）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数值．
解答解：（I）函数定义域（0+∞）．
．
函数f（x）（13）单调减等式（x﹣1）（x﹣a）≤0（13）成立．
设g（x）＝（x﹣1）（x﹣a）g（3）≤09﹣3（a+1）+a≤0解a≥3．
a取值范围[3+∞）．…（7分）
（Ⅱ）a＝﹣1时f（x）＝﹣lnx+
f′（x）＝
令f＇（x）＝0x＝1x＝﹣1（舍）．
x变化时f（x）f＇（x）变化情况表：
x
（01）
1
（1+∞）
f＇（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极值
↗
x＝1时函数f（x）值f（1）＝
成立．…（13分）
点评题考查函数单调性值问题考查导数应转化思想道中档题．
38．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）单调区间
（Ⅱ）a＝1时证明：意x＞0f（x）+ex＞x2+x+2．
分析（Ⅰ）求出函数导数通讨a范围求出函数单调区间
（Ⅱ）问题转化证明ex﹣lnx﹣2＞0设g（x）＝ex﹣lnx﹣2求出函数导数根函数单调性证明．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝2x﹣（a﹣2）﹣＝…（2分）
a≤0时f′（x）＞0意x∈（0+∞）恒成立
函数f（x）区间（0+∞）单调递增…（4分）
a＞0时f′（x）＞0x＞f′（x）＜00＜x＜
函数区间（+∞）单调递增区间（0）单调递减
（Ⅱ）a＝1时f（x）＝x2+x﹣lnx
证明f（x）+ex＞x2+x+2
需证明ex﹣lnx﹣2＞0设g（x）＝ex﹣lnx﹣2
问题转化证明意x＞0g（x）＞0
令g′（x）＝ex﹣＝0ex＝
容易知道该方程唯解妨设x0x0满足＝
x变化时g′（x）g（x）变化情况表
x
（0x0）
x0
（x0+∞）
g′（x）
﹣
0
+
g（x）
递减
递增
g（x）min＝g（x0）＝﹣lnx0﹣2＝+x0﹣2
x0＞0x0≠1g（x）min＞2﹣2＝0
等式证．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想道中档题．
39．已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）[13]值
（Ⅱ）存等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立求实数a取值范围．
分析（Ⅰ）先求出函数导函数研究出原函数[13]单调性求出函数f（x）[13]值
（Ⅱ）先等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立转化a≤2lnx+x+成立设h（x）＝2lnx+x+（x＞0）利导函数求出h（x）x∈[e]值求实数a取值范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）＝xlnxf＇（x）＝lnx+1
x∈（0）时f＇（x）＜0f（x）单调递减
x∈（+∞）时f＇（x）＞0f（x）单调递增．
函数f（x）[13]单调递增．
f（1）＝ln1＝0
函数f（x）[13]值0．
（Ⅱ）题意知2xlnx≥﹣x2+ax﹣3a≤2lnx+x+．
存x∈[e]等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立
需a等2lnx+x+值．
设h（x）＝2lnx+x+（x＞0）h′（x）＝+1﹣＝．
x∈[1）时h＇（x）＜0h（x）单调递减
x∈（1e]时h＇（x）＞0h（x）单调递增．
h（）＝﹣2++3eh（e）＝2+e+
h（）﹣h（e）＝2e﹣﹣4＞0
h（）＞h（e）．
x∈[e]时h（x）值h（）＝﹣2++3e
a≤﹣2++3e．
点评题研究利导数求闭区间函数值函数恒成立问题．a≥h（x）恒成立时需求h（x）值a≤h（x）恒成立时需求h（x）值．
40．已知函数f（x）＝ax2﹣alnx+x．
（1）讨函数f（x）单调性
（2）a＜0设g（x）＝f（x）﹣xh（x）＝﹣2xlnx+2x意x1x2∈[1+∞）（x1≠x2）|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立求实数a取值范围．
分析（1）求出函数导数解关导函数方程求出函数单调区间
（2）求出函数导数令F（x）＝g（x）﹣h（x）＝ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x求出函数导数令G（x）＝ax﹣+2lnx根函数单调性求出a范围．
解答解：（1）令t（x）＝ax2+x﹣a
①a＝0时t（x）＝x＞0⇒f＇（x）＞0f（x）（0+∞）单调递增
②a＜0时令
f（x）单调递增单调递减
③a＞0时令
f（x）单调递减单调递增．
（2）g′（x）＝ax﹣＝
a＜0x≥1时g′（x）≤0g（x）[1+∞）单调减
h′（x）＝﹣2lnxx≥1时h′（x）≤0h（x）[1+∞）单调减．
意x1x2∈[1+∞）|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|
防设x1＜x2两函数单调性：
g（x1）﹣g（x2）≥h（x1）﹣h（x2）
：g（x1）﹣h（x1）≥g（x2）﹣h（x2）意x1＜x2∈[1+∞）恒成立
令F（x）＝g（x）﹣h（x）＝ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x
F（x1）≥F（x2）意x1＜x2∈[1+∞）恒成立
：y＝F（x）x∈[1+∞）单调减
：F′（x）＝ax﹣+2lnx≤0x∈[1+∞）恒成立
令G（x）＝ax﹣+2lnxG′（x）＝
a≤﹣1时ax2+2x+a≤0x∈[1+∞）恒成立G′（x）≤0
G（x）[1+∞）单调减
G（x）≤G（1）＝0满足题意
﹣1＜a＜0时G（x）两极值点x1x2x1＝＞1x2＝＜1
（1x1）G（x）单调增
：G（x）＞G（1）＝0意x∈（1x1）恒成立满足题意舍
综a≤﹣1时等式|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|x1x2∈[1+∞）恒成立．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想道综合题．
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．选择题（3题）
1．设f＇（x）函数f（x）导函数f＇（x）＞0∀x1x2∈R（x1≠x2）f（x1）+f（x2）＜2f（）列项中定正确（ ）
A．f（2）＜f（e）＜f（π）
B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2）
C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
2．设函数f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）导函数y＝f′（x）两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4）列说法正确（ ）
A．x1+x4＜2（x2+x3） B．x1+x4＞2（x2+x3）
C．x1+x3＜x2+x4 D．x1+x3≥x2+x4
3．已知函数f（x）定义域R满足f（4）＝1f′（x）f（x）导函数知y＝f′（x）图象图两正数ab满足f（2a+b）＜1取值范围（ ）
A．[] B．（） C．[2] D．（2）
二．选题（1题）
4．定义域R函数f（x）满足：①f（0）＝0②x∈Rx≠0时xf′（x）＞0③x1＜0＜x2|x1|＜|x2|时f（x1）＜f（x2）称f（x）偏称函数列函数偏称函数（ ）
A．f1（x）＝﹣x3+x2
B．f2（x）＝ex﹣x﹣1
C．f3（x）＝xsinx
D．f4（x）＝
三．解答题（36题）
5．已知函数f（x）＝ex（sinx﹣ax2+2a﹣e）中a∈Re＝271828…然数底数．
（1）a＝0时讨函数f（x）单调性
（2）≤a≤1时求证：意x∈[0+∞）f（x）＜0．
6．（1）已知函数奇函数f（1）＝2f（2）＜3f（x）[1+∞）递增．
①求abc值
②x＜0时讨f（x）单调性．
（2）已知二次函数f（x）图象开口意实数xf（2﹣x）＝f（2+x）求等式：f[（x2+x+）]＜f[（2x2﹣x+）]解．
7．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）a＝e时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）f（x）≥1求a取值范围．
8．已知函数f（x）＝（eax﹣1）lnx（a＞0）．
（1）a＝1时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）关x方程f（x）＝ax2﹣ax[1+∞）恰三实数解求a取值范围．
9．已知函数f（x）＝axg（x）＝logax中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna单调区间
（Ⅱ）曲线y＝f（x）点（x1f（x1））处切线曲线y＝g（x）点（x2g（x2））处切线行证明x1+g（x2）＝﹣
（Ⅲ）证明a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线．
10．已知函数（e然数底数）．
（1）曲线y＝f（x）点（0f（0））处切线曲线y＝g（x）点（0g（0））处切线互相垂直求
函数区间[﹣11]值
（2）设函数试讨函数h（x）零点数．
11．已知函数f（x）＝eaxg（x）＝﹣x2+bx+c（abc∈R）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（0c）处具公切线．设h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求c值ab关系式
（Ⅱ）求函数h（x）单调区间
（Ⅲ）设a≥0意x1x2∈[01]|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1求a取值范围．
12．设函数f（x）＝ln（1+ax）+bxg（x）＝f（x）﹣bx2．
（Ⅰ）a＝1b＝﹣1求函数f（x）单调区间
（Ⅱ）曲线y＝g（x）点（1ln3）处切线直线11x﹣3y＝0行．
（i）求ab值
（ii）求实数k（k≤3）取值范围g（x）＞k（x2﹣x）x∈（0+∞）恒成立．
13．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线直线l：x+2y＝0垂直求实数a值
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
14．已知函数 f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）函数h（x）＝f（x）﹣求函数h（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x） 图象点 A（x0f（x0））处切线证明：区间（0+∞） 存唯x0直线l 曲线y＝g（x） 相切．
15．已知函数f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）求函数h（x）＝g（x）f′（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x）图象点A（x0lnx0）处切线证明：区间（1+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
16．已知函数f（x）＝x+g（x）＝x﹣lnx中a∈Ra≠0．
（Ⅰ）求曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线方程
（II）a＝1时求函数h（x）＝f（x）+g（x）单调区间
（III）设函数u（x）＝u（x）＝f（x）意x∈[1e]均成立求a取值范围．
17．已知函数f（x）＝x2+2ax（x＞0）g（x）＝3alnx+a中a＞0．
（1）a＝1时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）否存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相？存请求出实数a值存请说明理．
18．已知函数f（x）＝x3﹣x2+xg（x）＝﹣（m﹣1）xm∈R．
（Ⅰ）f（x）x＝1取极值求曲线y＝f（x）点（2f（2））处切线方程
（Ⅱ）f（x）区间（+∞）增函数求m取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间极值．
19．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2m）处相切线（P切点）求ab值
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]
（1）求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值t（a）
（2）|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
20．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2c）处相切线（P切点）求ab值
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）
21．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点p（2c）处相切线（p切点）求实数ab值．
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调减区间[﹣﹣]
①求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）．
②|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
22．已知函数f（x）＝ex+x2﹣xg（x）＝x2+ax+bab∈R．
（1）a＝1时求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）曲线y＝f（x）点（01）处切线l曲线y＝g（x）切点（1c）求abc值
（3）f（x）≥g（x）恒成立求a+b值．
23．函数y＝lnx关直线x＝1称函数f（x）函数导函数g（x）记h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）设曲线y＝h（x）点（1h（1））处切线ll圆（x+1）2+y2＝1相切求a值
（2）求函数h（x）单调区间
（3）求函数h（x）[01]值．
24．（文）已知函数f（x）＝lnxg（x）＝kx+b（kb∈R）图象交PQ两点曲线y＝f（x）PQ两点处切线交点A．
（1）k＝eb＝﹣3时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间（e然常数）
（2）A（）求实数kb值．
25．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
26．设a∈R函数f（x）＝alnx﹣x．
（1）f（x）零点求实数a取值范围
（2）a＝1时关x方程2x﹣f（x）＝x2+b[2]恰两相等实数根求实数b取值范围．
（3）求证：n≥2n∈N*时（1+）（1+）…（1+）＜e．
27．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）单调区间极值
（2）等式意x∈[13]恒成立求正实数λ取值范围．
28．已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）函数g（x）＝lnx图象公切线l坐标原点时求实数a取值集合
（3）证明：a∈（0）时函数h（x）＝f（x）﹣ax两零点x1x2满足．
29．已知函数f（x）＝．
（1）意x＞0f（x）＜0恒成立求实数a取值范围
（2）函数f（x）两零点x1x2（x1＜x2）证明：+＞2．
30．已知a常数函数f（x）＝x2+ax﹣lnxg（x）＝ex（中e然数数底数）．
（1）坐标原点O作曲线y＝f（x）切线设切点P（x0y0）求x0值
（2）令函数F（x）区间（01]单调函数求a取值范围．
31．设函数m∈R．
（1）m＝e（e然数底数）时求f（x）值
（2）讨函数零点数．
32．已知函数f（x）＝lnx﹣．
（1）a＝4求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）区间（01]单调递增求实数a取值范围
（3）x1x2∈R+x1≤x2求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
33．设a＞0函数f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
（1）a＝1时求函数f（x）单调区间
（2）函数y＝f（x）区间（0+∞）唯零点试求a值．
34．已知函数．
（1）a＝0时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线方程
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax+1求函数g（x）极值
（3）a＝﹣2正实数x1x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0证明：．
35．已知函数f（x）＝x﹣alnxg（x）＝﹣（a＞0）
（1）a＝l求f（x）极值
（2）存x0∈[1e]f（x0）＜g（x0）成立求实数a取值范围．
36．已知函数f（x）＝alnx+x2+bx+1点（1f（1））处切线方程4x﹣y﹣12＝0．
（1）求函数f（x）解析式
（2）求f（x）单调区间极值．
37．已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）xa∈R．
（Ⅰ）函数f（x）区间（13）单调递减求a取值范围
（Ⅱ）a＝﹣1时证明f（x）≥．
38．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）单调区间
（Ⅱ）a＝1时证明：意x＞0f（x）+ex＞x2+x+2．
39．已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）[13]值
（Ⅱ）存等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立求实数a取值范围．
40．已知函数f（x）＝ax2﹣alnx+x．
（1）讨函数f（x）单调性
（2）a＜0设g（x）＝f（x）﹣xh（x）＝﹣2xlnx+2x意x1x2∈[1+∞）（x1≠x2）|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立求实数a取值范围．
导数压轴题特辑1
参考答案试题解析
．选择题（3题）
1．设f＇（x）函数f（x）导函数f＇（x）＞0∀x1x2∈R（x1≠x2）f（x1）+f（x2）＜2f（）列项中定正确（ ）
A．f（2）＜f（e）＜f（π）
B．f′（π）＜f′（e）＜f′（2）
C．f（2）＜f′（2）﹣f′（3）＜f（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
分析f′（x）＞0∴f（x）R单调递增＜y＝f（x）图象图示图象凸．进判断出正误．
解答解：∵f′（x）＞0∴f（x）R单调递增
∵
∴＜
∴y＝f（x）图象图示图象凸．
∴f（2）＜f（e）＜f（π）f′（π）＜f′（e）＜f′（2）知：AB正确．
∵f（3）﹣f（2）＝表示点A（2f（2））B（3f（3））连线斜率．
图知：f′（3）＜kAB＜f′（2）D正确．
C项法推出
选：C．
点评题考查利导数研究函数单调性切线斜率数形结合方法考查推理力计算力属难题．
2．设函数f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）导函数y＝f′（x）两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4）列说法正确（ ）
A．x1+x4＜2（x2+x3） B．x1+x4＞2（x2+x3）
C．x1+x3＜x2+x4 D．x1+x3≥x2+x4
分析f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）令f（x）＝x2（x﹣a）＝0解x．f′（x）＝2x（x﹣a）+x2＝3x（x﹣）＝3﹣．画出图象．根：两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4）x2+x3＝．f（x1）＝f（x4）：﹣a＝﹣ax1+x4＜a判断出结．
解答解：f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0）
令f（x）＝x2（x﹣a）＝0解x＝0a．0a函数f（x）零点．
f′（x）＝2x（x﹣a）+x2＝3x（x﹣）＝3﹣．
0函数f（x）极值点a函数f（x）极值点．
0a函数f′（x）零点．
f（0）＝f′（0）＝＝f（a）＝﹣＝﹣．
画出图象．
两两相实数x1x2x3x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）
＝f（x4）
∴x2+x3＝．
f（x1）＝f（x4）：﹣a＝﹣a
化：﹣a（x1+x4）＝x1x4＜
化：（x1+x4）（x1+x4﹣a）＜0．
x1+x4＞0（≤0成立）．
∴x1+x4＜a＝2（x2+x3）．
∴x1+x4＜2（x2+x3）正确．B正确．
结合图象：CD正确．
选：A．
点评题考查利导数研究函数单调性极值函数零点方程等式解法考查推理力计算力属中档题．
3．已知函数f（x）定义域R满足f（4）＝1f′（x）f（x）导函数知y＝f′（x）图象图两正数ab满足f（2a+b）＜1取值范围（ ）
A．[] B．（） C．[2] D．（2）
分析y＝f′（x）图象图：函数f（x）单调性．两正数ab满足f（2a+b）＜1＝f（4）2a+b＜4图示表示点Q（ab）点P（﹣2﹣3）连线斜率．出．
解答解：y＝f′（x）图象图：函数f（x）（﹣∞0）单调递减（0+∞）单调递增．
∵两正数ab满足f（2a+b）＜1＝f（4）
∴2a+b＜4图示
表示点Q（ab）点P（﹣2﹣3）连线斜率．
kAP＝＝kPB＝＝．
∴斜率取值范围（）．
选：B．
点评题考查利导数研究函数单调性斜率计算公式线性规划问题考查推理力计算力属中档题．
二．选题（1题）
4．定义域R函数f（x）满足：①f（0）＝0②x∈Rx≠0时xf′（x）＞0③x1＜0＜x2|x1|＜|x2|时f（x1）＜f（x2）称f（x）偏称函数列函数偏称函数（ ）
A．f1（x）＝﹣x3+x2
B．f2（x）＝ex﹣x﹣1
C．f3（x）＝xsinx
D．f4（x）＝
分析运新定义分讨四函数否满足三条件结合奇偶性单调性称性求结．
解答解：验证f1（x）f2（x）f3（x）f4（x） 满足条件①
∵x∈Rx≠0时xf′（x）＞0
∴
条件②等价函数 f（x） 区间 （﹣∞0）单调递减区间 （0+∞） 单调递增
x1＜0＜x2|x1|＜|x2|时等价﹣x2＜x1＜0＜﹣x1＜x2
A 中f1（x）＝﹣x3+x2f1′（x）＝﹣3x2+2x x≠0 时
xf1′（x）＝﹣3x3+2x2＝x2（2﹣3x）≤0x≥
符合条件② f1（x） 偏称函数
B 中f2（x）＝ex﹣x﹣1f2′（x）＝ex﹣1
x＞0 时ex＞1f2′（x）＞0
x＜0 时0＜ex＜1f2′（x）＜0
x≠0 时 xf2′（x）＞0符合条件②
∴函数f2（x）＝ex﹣x﹣1 （﹣∞0）单调递减 （0+∞） 单调递增
f2（x） 单调性知﹣x2＜x1＜0＜﹣x1＜x2时f2（x1）＜f2（﹣x2）
∴f2（x1）﹣f2（x2）＜f2（﹣x2）﹣f2（x2）＝﹣++2x2
令F（x）＝﹣ex+e﹣x+2xx＞0
F′（x）＝﹣ex﹣e﹣x+2≤﹣2+2＝0
仅 ex＝e﹣x x＝0 时＝成立
∴F（x） [0+∞） 减函数
∴F（x2）＜F（0）＝0 f2（x1）＜f2（x2）
符合条件③ f2（x） 偏称函数
C 中f3（x）＝xsinx f3（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝f3（x）
f3（x） 偶函数
f3′（x）＝sinx+xcosx＝sin（x+φ）（tanφ＝x）
根三角函数性质知
x＞0 时f3′（x） 符号正负符合条件②
f3（x） 偏称函数
D 中函数 f4（x）＝
x＜0 时f4′（x）＝＜0 x＞0 时f3′（x）＝2＞0符合条件②
∴函数 f4（x） （﹣∞0）单调递减 （0+∞） 单调递增
单调性知﹣x2＜x1＜0＜﹣x1＜x2时f4（x1）＜f4（﹣x2）
∴f4（x1）﹣f4（x2）＜f4（﹣x2）﹣f4（x2）＝ln（x2+1）﹣2x2
设 F（x）＝ln（x+1）﹣2xx＞0 F′（x）＝﹣2＜0
F（x） （0+∞） 减函数 F（x）＜F（0）＝0
∴F（x2）＜0 f（x1）＜f（x2）符合条件③ f4（x） 偏称函数
选：BD．
点评题考查新定义利导数研究函数单调性值考查计算力考查转化划思想属难题．
三．解答题（36题）
5．已知函数f（x）＝ex（sinx﹣ax2+2a﹣e）中a∈Re＝271828…然数底数．
（1）a＝0时讨函数f（x）单调性
（2）≤a≤1时求证：意x∈[0+∞）f（x）＜0．
分析（1）求函数导数利函数单调性导数间关系进行讨．
（2）意x∈[0+∞）f（x）＜0转化证明意x∈[0+∞）sinx﹣ax2+2a﹣e＜0构造函数求函数导数利导数进行研究．
解答解：（1）a＝0时f（x）＝ex（sinx﹣e）
f′（x）＝ex（sinx﹣e）+excosx＝ex（sinx﹣e+cosx）
∵sinx+cosx＝sin（x+）≤＜e
∴sinx+cosx﹣e＜0
f′（x）＜0
f（x）R单调递减．
（2）x≥0时y＝ex≥1
证明意x∈[0+∞）f（x）＜0．
需证明意x∈[0+∞）sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．
设g（a）＝sinx﹣ax2+2a﹣e＝（﹣x2+2）a+sinx﹣e
作a变量次函数
sinx﹣ax2+2a﹣e＜0
∵sinx+1﹣e＜0恒成立∴①恒成立
②令h（x）＝sinx﹣x2+2﹣e
h′（x）＝cosx﹣2x
设x＝t时h′（x）＝0cost﹣2t＝0．
∴t＝sint＜sin
∴h（x）（0t）h′（x）＞0h（x）单调递增（t+∞）h′（x）＜0h（x）单调递减
x＝t时函数h（x）取值h（t）＝sint﹣t2+2﹣e＝sint﹣（）2+2﹣e
＝sint﹣+2﹣e＝sin2t+sint+﹣e＝（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e＝﹣e＜0
④式成立
综意x∈[0+∞）f（x）＜0．
点评题考查函数单调性导数应求函数导数构造函数利导数解决题关键．综合性较强难度较．
6．（1）已知函数奇函数f（1）＝2f（2）＜3f（x）[1+∞）递增．
①求abc值
②x＜0时讨f（x）单调性．
（2）已知二次函数f（x）图象开口意实数xf（2﹣x）＝f（2+x）求等式：f[（x2+x+）]＜f[（2x2﹣x+）]解．
分析A（1）求三未知数需三条件定义域关原点称二f（1）＝2三f（2）＜3f（x）[1+∞）单调递增解．
（2）单调性定义探讨先定区间取两变量界定作差变形0较中出现讨进步细化区间确定求单调区间．
B题设二次函数f（x）图象开口意实数xf（2﹣x）＝f（x+2）知称轴方程x＝2二次函数特征研究出单调性分析（x2+x+）（2x2﹣x+）范围利二次函数单调性转化等式（x2+x+）＜（2x2﹣x+）利数函数单调性等式转化x2+x+＞2x2﹣x+解等式求结果．
解答A解：（1）∵f（x）奇函数
f（x）定义域关原点称
f（x）定义域 （显然b≠0否f（x）偶函数）
∴c＝0
∴
∴b∈Z
∴b＝1
∴a＝1
a＝b＝1c＝0符合f（x）[1+∞）单调递增
（2）（1）知
＝
①﹣1＜x1＜x2＜0时显然x1﹣x2＜00＜x1x2＜1x1x2﹣1＜0
∴f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x）减函数
②x1＜x2＜﹣1时显然x1﹣x2＜0x1x2＞1x1x2﹣1＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x）增函数
综述f（x）（﹣∞﹣1]增函数[﹣10）减函数．
B解：题意二次函数f（x）图象开口
称轴两边图象左降右升
意实数xf（2﹣x）＝f（x+2）
函数称轴方程x＝2
知函数f（x）（﹣∞2]增函数（2+∞）减函数
x2+x+＝（x+）2+≥2x2﹣x+＝2（x﹣）2+≥
∴（x2+x+）≤＝2（2x2﹣x+）≤＝1
∵f[（x2+x+）]＜f[（2x2﹣x+）]
∴（x2+x+）＜（2x2﹣x+）
∴x2+x+＞2x2﹣x+解
∴等式解集．
点评A题中档题．题考查函数利奇偶性函数值单间性求解析式研究单调性中分类讨思想应．
B题考查二次函数单调性称性考查利数函数单调性解数等式元二次等式解法特注意数等式求解时定义域．
7．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）a＝e时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）f（x）≥1求a取值范围．
分析（1）根导数意义求出切线方程三角形面积
（2）方法：等式等价ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx令g（t）＝et+t根函数单调性lna＞lnx﹣x+1构造函数h（x）＝lnx﹣x+1利导数求出函数值求出a范围
方法二：构造两基等式ex＞x﹣1x﹣1≥lnx原等式转化x（a﹣1）≥﹣lna分类讨求出a取值范围
方法三：利分类讨思想0＜a＜1时符合题意a≥1时f（x）≥ex﹣1﹣lnx令g（x）＝ex﹣1﹣lnx
根导数函数值关系证明
方法四：先根导数函数值关系求出f（x）≥f（x0）＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1lna＝1﹣x0﹣lnx0求出x0范围利导数求1﹣x0﹣lnx0范围求出a范围．
方法五：f（x）≥1等价aex﹣1﹣lnx+lna≥1构造函数hg（a）＝a+lna﹣1利导数求出函数值求出a范围．
解答解：（1）a＝e时f（x）＝ex﹣lnx+1
∴f′（x）＝ex﹣
∴f′（1）＝e﹣1
∵f（1）＝e+1
∴曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1）
x＝0时y＝2y＝0时x＝
∴曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积S＝×2×＝．
（2）方法：f（x）≥1aex﹣1﹣lnx+lna≥1ex﹣1+lna﹣lnx+lna≥1
ex﹣1+lna+lna+x﹣1≥lnx+x＝elnx+lnx
令g（t）＝et+t
g′（t）＝et+1＞0
∴g（t）R单调递增
∵g（lna+x﹣1）≥g（lnx）
∴lna+x﹣1≥lnx
lna≥lnx﹣x+1
令h（x）＝lnx﹣x+1
∴h′（x）＝﹣1＝
0＜x＜1时h′（x）＞0函数h（x）单调递增
x＞1时h′（x）＜0函数h（x）单调递减
∴h（x）≤h（1）＝0
∴lna≥0
∴a≥1
a范围[1+∞）．
方法二：f（x）≥1aex﹣1﹣lnx+lna≥1x＞0a＞0
aex﹣1﹣1≥lnx﹣lna
设g（x）＝ex﹣x﹣1
∴g′（x）＝ex﹣1＞0恒成立
∴g（x）（0+∞）单调递增
∴g（x）＞g（0）＝1﹣0﹣1＝0
∴ex﹣x﹣1＞0
ex＞x+1
设h（x）＝x﹣1﹣lnx
∴h′（x）＝1﹣＝
0＜x＜1时h′（x）＜0函数h（x）单调递减
x＞1时h′（x）＞0函数h（x）单调递增
∴h（x）≥h（1）＝0
∴x﹣1﹣lnx≥0
x﹣1≥lnx
∴ex﹣1≥xaex﹣1≥ax
时需证ax≥x﹣lna
证x（a﹣1）≥﹣lna
a≥1时
∴x（a﹣1）＞0＞﹣lna恒成立
0＜a＜1时x（a﹣1）＜0＜﹣lna时x（a﹣1）≥﹣lna成立
综述a取值范围[1+∞）．
方法三：题意x∈（0+∞）a∈（0+∞）
∴f′（x）＝aex﹣1﹣
易知f′（x）（0+∞）增函数
①0＜a＜1时f′（1）＝a﹣1＜0f′（）＝a﹣a＝a（﹣1）＞0
∴存x0∈（1）f′（x0）＝0
x∈（1x0）时f′（x）＜0函数f（x）单调递减
∴f（x）＜f（1）＝a+lna＜a＜1满足题意
②a≥1时ex﹣1＞0lna＞0
∴f（x）≥ex﹣1﹣lnx
令g（x）＝ex﹣1﹣lnx
∴g′（x）＝ex﹣1﹣
易知g′（x）（0+∞）增函数
∵g′（1）＝0
∴x∈（01）时g′（x）＜0函数g（x）单调递减
x∈（1+∞）时g′（x）＞0函数g（x）单调递增
∴g（x）≥g（1）＝1
f（x）≥1
综述a取值范围[1+∞）．
方法四：∵f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lnax＞0a＞0
∴f′（x）＝aex﹣1﹣易知f′（x）（0+∞）增函数
∵y＝aex﹣1（0+∞）增函数y＝0+∞）减函数
∴y＝aex﹣1y＝0+∞）交点
∴存x0∈（0+∞）f′（x0）＝a﹣＝0
a＝lna+x0﹣1＝﹣lnx0lna＝1﹣x0﹣lnx0
x∈（0x0）时f′（x）＜0函数f（x）单调递减
x∈（x0+∞）时f′（x）＞0函数f（x）单调递增
∴f（x）≥f（x0）＝a﹣lnx0+lna
＝﹣lnx0+1﹣x0﹣lnx0＝﹣2lnx0+1﹣x0≥1
∴﹣2lnx0﹣x0≥0
设g（x）＝﹣2lnx﹣x
易知函数g（x）（0+∞）单调递减g（1）＝1﹣0﹣1＝0
∴x∈（01]时g（x）≥0
∴x0∈（01]时﹣2lnx0﹣x0≥0
设h（x）＝1﹣x﹣lnxx∈（01]
∴h′（x）＝﹣1﹣＜0恒成立
∴h（x）（01]单调递减
∴h（x）≥h（1）＝1﹣1﹣ln1＝0
x→0时h（x）→+∞
∴lna≥0＝ln1
∴a≥1．
方法五：f（x）≥1等价aex﹣1﹣lnx+lna≥1该等式恒成立．
x＝1时a+lna≥1中a＞0．
设g（a）＝a+lna﹣1g＇（a）＝1+＞0
g（a）单调增g（1）＝0．
a+lna≥1成立必a≥1．
∴面证明a≥1时f（x）≥1成立．
∵ex≥x+1
x换成x﹣1ex﹣1≥x
∵x﹣1≥lnx∴x﹣lnx≥1．
∴f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥ex﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1．
综a≥1．
点评题考查导数意义导数函数值关系考查运算求解力转化化力属难题．
8．已知函数f（x）＝（eax﹣1）lnx（a＞0）．
（1）a＝1时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线两坐标轴围成三角形面积
（2）关x方程f（x）＝ax2﹣ax[1+∞）恰三实数解求a取值范围．
分析（1）求a＝1时f（x）导数切线斜率方程切线xy轴交点三角形面积公式求值
（2）显然x＝1方程f（x）＝ax2﹣ax根x＞0x≠1时原方程等价＝＝构造函数g（x）＝（x＞0）求导数判断单调性原方程ax＝lnx参数分离构造新函数求导数值求范围．
解答解：（1）a＝1时f（x）＝（ex﹣1）lnxf（1）＝0
f（x）导数f′（x）＝exlnx+
切线斜率k＝f′（1）＝e﹣1
切线方程y＝（e﹣1）（x﹣1）
该切线x轴交点（10）y轴交点（01﹣e）
求三角形面积×1×（e﹣1）＝
（2）显然x＝1方程f（x）＝ax2﹣ax根
x＞0x≠1时原方程等价＝＝
设g（x）＝（x＞0）g′（x）＝
设h（x）＝1+（x﹣1）ex（x＞0）h′（x）＝xex＞0h（x）（0+∞）递增
h（x）＞h（（0）＝0g′（x）＞0g（x）（0+∞）递增
原方程等价g（ax）＝g（lnx）
需ax＝lnx（1+∞）两等实根．
需ax＝lnx（1+∞）两等实根．
a＝（x＞1）
设k（x）＝（x＞1）k′（x）＝
k（x）（1e）递增（e+∞）递减
k（x）值k（e）＝k（1）＝0
a范围（0）．
点评题考查导数运：求切线方程单调性值考查方程思想构造函数法化简运算力推理力属中档题．
9．已知函数f（x）＝axg（x）＝logax中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna单调区间
（Ⅱ）曲线y＝f（x）点（x1f（x1））处切线曲线y＝g（x）点（x2g（x2））处切线行证明x1+g（x2）＝﹣
（Ⅲ）证明a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线．
分析（Ⅰ）f（x）解析式代入函数h（x）＝f（x）﹣xlna求导函数导函数零点定义域分段导函数区间段符号原函数单调区间
（Ⅱ）分求出函数y＝f（x）点（x1f（x1））处y＝g（x）点（x2g（x2））处切线斜率斜率相等两边取数结
（Ⅲ）分求出曲线y＝f（x）点（）处切线曲线y＝g（x）点（x2logax2）处切线方程问题转化证明a≥时存x1∈（﹣∞+∞）x2∈（0+∞）l1l2重合进步转化证明a≥时方程存实数解．然利导数证明．
解答（Ⅰ）解：已知h（x）＝ax﹣xlnah′（x）＝axlna﹣lna
令h′（x）＝0解x＝0．
a＞1知x变化时h′（x）h（x）变化情况表：
x
（﹣∞0）
0
（0+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
↓
极值
↑
∴函数h（x）单调减区间（﹣∞0）单调递增区间（0+∞）
（Ⅱ）证明：f′（x）＝axlna曲线y＝f（x）点（x1f（x1））处切线斜率lna．
g′（x）＝曲线y＝g（x）点（x2g（x2））处切线斜率．
∵两条切线行
两边取a底数数logax2+x1+2logalna＝0
∴x1+g（x2）＝﹣
（Ⅲ）证明：曲线y＝f（x）点（）处切线l1：
曲线y＝g（x）点（x2logax2）处切线l2：．
证明a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线
需证明a≥时存x1∈（﹣∞+∞）x2∈（0+∞）l1l2重合
需证明a≥时方程组
①代入②：
③
需证明a≥时关x1 方程③存实数解．
设函数u（x）＝证明a≥时函数y＝u（x）存零点．
u′（x）＝1﹣（lna）2xax知x∈（﹣∞0）时u′（x）＞0x∈（0+∞）时u′（x）单调递减
u′（0）＝1＞0u′＝＜0
存唯x0x0＞0u′（x0）＝0．
u（x）（﹣∞x0）单调递增（x0+∞）单调递减
u（x）x＝x0处取极值u（x0）．
∵lnlna≥﹣1．
∴＝．
面证明存实数tu（t）＜0
（Ⅰ）ax≥1+xlna时
u（x）≤＝．
∴存实数tu（t）＜0．
a≥时存x1∈（﹣∞+∞）u（x1）＝0．
∴a≥时存直线ll曲线y＝f（x）切线曲线y＝g（x）切线．
点评题考查导数运算导数意义运导数研究指数函数数公式性质等基础知识方法考查函数方程思想化思想考查抽象概括力综合分析问题解决问题力难题．
10．已知函数（e然数底数）．
（1）曲线y＝f（x）点（0f（0））处切线曲线y＝g（x）点（0g（0））处切线互相垂直求
函数区间[﹣11]值
（2）设函数试讨函数h（x）零点数．
分析（1）分求出y＝f（x）y＝g（x）x＝0处导数利斜率积等﹣1求af（x）解析式导数判断f（x）区间[﹣11]单调递减求值
（2）函数g（x）＝ex﹣eR单调递增仅x＝1处零点x＜1时g（x）＜0导数分类判定f（x）零点情况答案求．
解答解：（1）∵f′（x）＝﹣3x2+ag′（x）＝ex
∴f′（0）＝ag′（0）＝1
题意知a＝﹣1f′（x）＝﹣3x2﹣1≤0f（x）区间[﹣11]单调递减
∴
（2）函数g（x）＝ex﹣eR单调递增仅x＝1处零点x＜1时g（x）＜0
f′（x）＝﹣3x2+a．
①a≤0时f′（x）≤0f（x）R单调递减点（0﹣）f（﹣1）＝＞0．
f（x）x≤0时必零点时y＝h（x）两零点
②a＞0时令f′（x）＝﹣3x2+a＝0解＜0＞0．
函数f（x）极值点函数f（x）极值点．
f（﹣）＝＜0
现讨极值情况：
f（）＝．
f（）＜0a＜时函数f（x）（0+∞）恒0时y＝h（x）两零点
f（）＝0a＝时函数f（x）（0+∞）零点时y＝h（x）三零点
f（）＞0a＞时函数f（x）（0+∞）两零点零点零点．
f（1）＝a﹣＜0a＜时y＝h（x）四零点
f（1）＝a﹣＝0a＝时y＝h（x）三零点
f（1）＝a﹣＞0a＞时y＝h（x）两零点．
综述a＜a＞时y＝h（x）两零点a＝a＝时y＝h（x）三零点＜a＜时y＝h（x）四零点．
点评题考查利导数研究曲线某点处切线方程考查函数零点判定体现分类讨数学思想方法属难题．
11．已知函数f（x）＝eaxg（x）＝﹣x2+bx+c（abc∈R）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（0c）处具公切线．设h（x）＝f（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求c值ab关系式
（Ⅱ）求函数h（x）单调区间
（Ⅲ）设a≥0意x1x2∈[01]|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1求a取值范围．
分析（Ⅰ）分求f（x）g（x）导数题意知：求c值ab关系
（Ⅱ）写出h（x）表达式求导构造辅助函数F（x）＝h′（x）∀a∈RF′（x）＞0判断h′（x）单调性求h′（x）零点根h′（x）判断出h（x）单调性
（Ⅲ）（II）知x∈[01]时h（x）增函数问题转化：h（x）max﹣h（x）min＝ea﹣a≤e﹣1a≥0时G（a）＝ea﹣a﹣（e﹣1）≤0求函数单调性求a取值范围．
解答解：（I）∵函数f（x）＝eaxg（x）＝﹣x2+bx+c
∴函数f′（x）＝aeaxg′（x）＝﹣2x+b．
曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（0c）处具公切线
∴
∴c＝1a＝b…（4分）
（II）已知h（x）＝f（x）﹣g（x）＝eax+x2﹣ax﹣1．
∴h′（x）＝aeax+2x﹣a
设F（x）＝aeax+2x﹣aF′（x）＝a2eax+2
∀a∈RF′（x）＞0h′（x）（﹣∞+∞）单调递增函数．…（6分）
（I）f′（0）＝g′（0）h′（0）＝f′（0）﹣g′（0）＝00h′（x）零点．
函数h（x）导函数h′（x）零点0．…（7分）
h′（x）h（x）符号变化
x
（﹣∞0）
0
（0+∞）
h（x）
﹣
0
+
h′（x）
↘
极值
↗
函数h′（x）单调递减区间（﹣∞0）单调递增区间（0+∞）．…（9分）
（III）（II）知x∈[01]时h（x）增函数．
意x1x2∈[01]|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1等价h（x）max﹣h（x）min＝h（1）﹣h（0）＝ea﹣a≤e﹣1
等价a≥0时G（a）＝ea﹣a﹣（e﹣1）≤0
∵G′（a）＝ea﹣1≥0
∴G（a）[0+∞）增函数
G（1）＝0a∈[01]．…（13分）
点评题考查利导数研究函数单调性极值值恒成立问题等价转化方法考查计算力分析问题力属难题．
12．设函数f（x）＝ln（1+ax）+bxg（x）＝f（x）﹣bx2．
（Ⅰ）a＝1b＝﹣1求函数f（x）单调区间
（Ⅱ）曲线y＝g（x）点（1ln3）处切线直线11x﹣3y＝0行．
（i）求ab值
（ii）求实数k（k≤3）取值范围g（x）＞k（x2﹣x）x∈（0+∞）恒成立．
分析（Ⅰ）求出函数导数通解关导函数等式求出函数单调区间
（Ⅱ）（i）求出g（x）导数关ab方程组解出
（ii）问题转化g（x）﹣k（x2﹣x）＞0x∈（0+∞）恒成立．令F（x）＝g（x）﹣k（x2﹣x）求出函数导数通讨k范围求出函数单调区间确定k范围．
解答解：（Ⅰ）a＝1b＝﹣1时f（x）＝ln（1+x）﹣x（x＞﹣1）
．
f＇（x）＞0时﹣1＜x＜0
f＇（x）＜0时x＞0
f（x）单调增区间（﹣10）单调减区间（0+∞）．…（4分）
（Ⅱ）（ i）g（x）＝f（x）﹣bx2＝ln（1+ax）+b（x﹣x2）
．
题设
解．…（8分）
（ ii））．
g（x）＞k（x2﹣x）x∈（0+∞）恒成立
g（x）﹣k（x2﹣x）＞0x∈（0+∞）恒成立．
令F（x）＝g（x）﹣k（x2﹣x）．
．
①1≤k≤3时x∈（0+∞）时F＇（x）＞0
F（x）（0+∞）单调递增．
F（x）＞F（0）＝0x∈（0+∞）时g（x）＞k（x2﹣x）
②k＜1时时F＇（x）＜0
F（x）单调递减
时F（x）＜F（0）＝0
x∈（0+∞）时g（x）＞k（x2﹣x）恒成立．
综k∈[13]． …（13分）
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想道中档题．
13．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线直线l：x+2y＝0垂直求实数a值
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
分析（I）先函数求导结合导数意义求
（II）题意f＇（x）＝3x2﹣3a结合a范围判断f＇（x）正负求解
（III）结合导数函数零点判定定理分类讨进行求解
解答解：（I）f＇（x）＝3x2﹣3a．
曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线直线l：x+2y＝0垂直
f′（1）＝3﹣3a＝2
∴
（II）题意f＇（x）＝3x2﹣3a．
（1）a≤0时f＇（x）≥0
∴函数（﹣∞+∞）（﹣∞+∞）单调递增．．……．……（6分）
（2）a＞0时令
解．
解
解．……．……（8分）
∴函数单调递增区间
单调递减区间．．……．……（9分）
（III）（1）x∈（0e）时g（x）＞0题意h（x）≥g（x）＞0满足题意
（2）x＝e时g（e）＝0f（e）＝e3﹣3ae+e
①f（e）≤0aeh（x）零点
②f（e）＞0aeh（x）零点
（3）x∈（e+∞）时g（x）＜0时需考虑函数f（x）（e+∞）零点情况
∵f′（x）＝3x2﹣3a＞3e2﹣3a
∴①a≤e2时f′（x）＞0f（x）（0+∞）单调递增f（e）＝e3﹣3ae+e
∴（i）af（e）≥0f（x）（e+∞）单调递增
（ii）时f（e）＜0f（2e）＝8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0
f（x）（e+∞）恰零点
②a＞e2令f′（x）＝0x＝
f′（x）＜0e＜x＜f′（x）＞0x＞
∴f（x）（e）单调递减（）单调递增
∵f（e）＝e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0f（2a）＝8a2﹣6a2+e≥2a2+e＞0
∴时函数h（x）（0+∞）恰零点
综实数a取值范围．
点评题考查函数导数单调性极值间关系应考查逻辑思维力试题较难
14．已知函数 f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）函数h（x）＝f（x）﹣求函数h（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x） 图象点 A（x0f（x0））处切线证明：区间（0+∞） 存唯x0直线l 曲线y＝g（x） 相切．
分析（1）求出函数h（x）导函数导函数符号直接判断函数h（x）单调性
（2）求出函数f（x）g（x）导函数根函数特点分两函数图象找点点求出两函数图象分点点处切线方程两切线截距相等够说明区间
（0+∞） 存唯x0两切线直线问题证．
解答解：（1）h（x）＝f（x）﹣＝lnx﹣定义域：{x|x＞0x≠1}．
＝．
x＞0x≠1区间（01）（1+∞）恒h′（x）＞0
函数h（x）单调增区间（01）（1+∞）
（2）f（x）＝lnxx＝（n＞0）时
y＝f（x）存点该点切线方程
①
g（x）＝exg′（x）＝exx＝﹣时
y＝g（x）点切线方程
②
两条切线①②斜率相y轴截距相等条切线令：
n﹣e＝③
③左边关n增函数右边n≥3正假分数关n减函数
区间[3+∞）必存实数n③式成立．
证明区间（0+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
点评题考查利导数研究函数单调性考查利导数研究曲线某点处切线方程解答关键够两曲线找符合题意点属中高档题．
15．已知函数f（x）＝lnxg（x）＝ex
（1）求函数h（x）＝g（x）f′（x）单调区间
（2）设直线l函数f（x）图象点A（x0lnx0）处切线证明：区间（1+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
分析（1）求导函数导数00求出函数h（x）单调区间
（2）先求直线l函数图象点A（x0f （x0））处切线方程设直线l曲线y＝g（x）相切点（x1ex1）进lnx0＝证明区间（1+∞）x0存唯．
解答解：（1）∵函数f（x）＝lnxg（x）＝ex
∴h（x）＝g（x）f′（x）＝
∴
＞0x＞1＜0x＜1．
∴函数h（x）增区间（1+∞）减区间（﹣∞1）．
（2）证明：∵f′（x）＝
∴f′（x0）＝
∴切线l方程y﹣lnx0＝（x﹣x0）
y＝x+lnx0﹣1①（6分）
设直线l曲线y＝g（x）相切点（x1ex1）
∵g＇（x）＝ex∴ex1＝∴x1＝﹣lnx0．（8分）
∴直线ly﹣＝（x+lnx0）
y＝x++②（9分）
①② lnx0﹣1＝+
∴lnx0＝．（11分）
证：区间（1+∞）x0存唯．
设φ（x）＝f（x）﹣
φ′（x）＝+＝．（2分）
∵x＞0x≠1∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）区间（1+∞）递增．
φ（e）＝lne﹣＝＜0φ（e2）＝lne2﹣＝＞0（13分）
结合零点存性定理方程φ（x）＝0必区间（ee2）唯根
根求唯x0．
区间（1+∞）存唯x0直线l曲线y＝g（x）相切．
点评题函数载体考查导数知识运考查函数单调性考查曲线切线时考查零点存性定理综合性较强．
16．已知函数f（x）＝x+g（x）＝x﹣lnx中a∈Ra≠0．
（Ⅰ）求曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线方程
（II）a＝1时求函数h（x）＝f（x）+g（x）单调区间
（III）设函数u（x）＝u（x）＝f（x）意x∈[1e]均成立求a取值范围．
分析（Ⅰ）求出导数求切线斜率切点切线方程
（II）求出a＝1时函数导数令导数0求增区间令导数0减区间注意定义域
（III）题意f（x）≥g（x）意x∈[1e]均成立x+≥x﹣lnx运参数分离导数判断单调性求右边函数值a范围．
解答解：（Ⅰ）g（x）＝x﹣lnx导数g′（x）＝1﹣
曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线斜率k＝g′（1）＝0
切点（11）
曲线y＝g（x）点（1g（1））处切线方程y＝1
（II）a＝1时函数h（x）＝f（x）+g（x）＝2x﹣lnx+
导数h′（x）＝2﹣﹣＝
h′（x）＞0x＞1h′（x）＜00＜x＜1．
h（x）增区间（1+∞）减区间（01）
（III）题意f（x）≥g（x）意x∈[1e]均成立
x+≥x﹣lnx
a≥﹣xlnx
令y＝﹣xlnxx∈[1e]
y′＝﹣（1+lnx）＜0
y＝﹣xlnx[1e]递减
y＝﹣xlnx值0
a≥0a∈Ra≠0．
a＞0．
a取值范围（0+∞）．
点评题考查导数运：求切线方程单调区间时考查等式恒成立问题注意运参数分离函数单调性属中档题．
17．已知函数f（x）＝x2+2ax（x＞0）g（x）＝3alnx+a中a＞0．
（1）a＝1时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）否存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相？存请求出实数a值存请说明理．
分析（1）a＝1时求出h（x）然求导数根导数符号判断函数h（x）单调性出单调区间
（2）假设存公点（x0y0）该点f（x）g（x）图象该点处切线相出f（x）g（x）该点导数值相等样便出关x0方程组整理x0﹣1＝2lnx0出x0＝1带入前面式子求出a样便出存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相．
解答解：（1）a＝1时h（x）＝
解x2+2x﹣3＝0x＝﹣31
∴x∈（01）时h′（x）＜0x∈（1+∞）时h′（x）＞0
∴h（x）单调减区间（01）增区间[1+∞）
（2）假设存设公点（x0y0）：
∴f′（x）＝x+2a∴k＝x0+2a
∴
∴
∴
②代入①：3a+2ax0＝6alnx0+5a
∴x0﹣1＝3lnx0
x0＝1带入②a＝1
∴存常数a两曲线y＝f（x）y＝g（x）公点该点处切线相a＝1．
点评考查根导数符号判断函数单调性求单调区间方法二次函数符号应元二次方程根关系函数切点处导数切线斜率关系．
18．已知函数f（x）＝x3﹣x2+xg（x）＝﹣（m﹣1）xm∈R．
（Ⅰ）f（x）x＝1取极值求曲线y＝f（x）点（2f（2））处切线方程
（Ⅱ）f（x）区间（+∞）增函数求m取值范围
（Ⅲ）（Ⅱ）条件求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间极值．
分析（Ⅰ）求出函数导数假设f（2）f′（2）求出切线方程
（Ⅱ）问题转化区间恒成立求出x+值解关m等式求出m范围
（Ⅲ）求出h（x）导数h（x）单调区间求出函数极值．
解答解：（Ⅰ） f＇（x）＝x2﹣（m+1）x+1
∵函数f（x）x＝1处取极值
∴f＇（1）＝1﹣（m+1）+1＝0∴m＝1
∴f＇（2）＝1
∴曲线y＝f（x）（2f（2））处切线方程：
：3x﹣3y﹣4＝0
（Ⅱ） f＇（x）＝x2﹣（m+1）x+1
∵f（x）区间增函数
∴x2﹣（m+1）x+1≥0
∴区间恒成立
∵时仅x＝1时取值
∴m+1≤2m≤1
（Ⅲ）
∴h＇（x）＝x2﹣（m+1）x+m＝（x﹣1）（x﹣m）
令h＇（x）＝0x＝mx＝1
m＝1时h＇（x）＝（x﹣1）2≥0
∴h（x）R增函数极值
m＜1时h（x）h＇（x）x变化情况表：
x
（﹣∞m）
m
（m1）
1
（1+∞）
h＇（x）
+
0
﹣
0
+
h（x）
↗
极值
↘
极值
↗
∴函数h（x）单调递增区间（﹣∞m）（1+∞）单调递减区间（m1）
x＝m时函数h（x）取极值极值
x＝1时函数h（x）取极值极值．
点评题考查函数单调性值极值问题考查导数应函数恒成立问题道中档题．
19．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2m）处相切线（P切点）求ab值
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]
（1）求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值t（a）
（2）|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
分析（Ⅰ）根曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（2m）处具公切线知切点处函数值相等切点处斜率相等求ab值
（Ⅱ）（1）根函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]出a2＝4b构建函数h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+a2x+1求导函数利导数正负确定函数单调区间进分类讨确定函数区间（﹣∞﹣1]值．
（2）（1）知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增出极值极值根|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立建立关a等关系解a取值范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）＝ax2+1（a＞0）f′（x）＝2axk1＝4ag（x）＝x3+bxf′（x）＝3x2+bk2＝12+b
（2m）公切点：4a＝12+b
f（2）＝4a+1g（2）＝8+2b
∴4a+1＝8+2b4a＝12+b联立：a＝b＝5．
（Ⅱ）h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+bx+1
h′（x）＝3x2+2ax+b
∵函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]∴x∈[﹣﹣]时3x2+2ax+b≤0恒成立
时x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根3（）2+2a（﹣）+b＝0a2＝4b
∴h（x）＝x3+ax2+a2x+1
令h′（x）＝0解：x1＝﹣x2＝﹣
∵a＞0∴﹣＜﹣列表：
x
（﹣∞﹣）
﹣
（﹣﹣）
﹣
（﹣+∞）
h′（x）
+
﹣
+
h（x）
极值
极值
∴原函数（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增．
①﹣1≤﹣a≤2时值t（﹣1）＝a﹣
②﹣＜﹣1＜﹣2＜a＜6时值t（﹣）＝1
③﹣1≥﹣时a≥6时值t（﹣）＝1．
综述：a∈（02]时值t（﹣1）＝a﹣
a∈（2+∞）时值t（﹣）＝1．
（2）（1）知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
h（﹣）极值h（﹣）＝1h（﹣）极值h（﹣）＝﹣+1
∵|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立h（0）＝1．
∴解
∴a取值范围：4﹣2≤a≤6．
点评题考查导数知识运考查导数意义考查函数单调性值解题关键正确求出导函数应分类讨方法属难题．
20．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点P（2c）处相切线（P切点）求ab值
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）
分析（1）求出函数导数关ab方程组解出
（2）求出h（x）导数根函数单调性x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根求出ab关系通讨a范围求出M（a）．
解答解：（1）p（2c）公切点：f（x）＝ax2+1（a＞0）
f′（x）＝2axk1＝4a
g（x）＝x3+bxg′（x）＝3x2+bk2＝12+b
f（2）＝4a+1g（2）＝8+2b
∴解：a＝b＝5
（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+bx+1
∴h′（x）＝3x2+2ax+b
∵h（x）单调减区间[﹣﹣]
∴x∈[﹣﹣]时3x2+2ax+b≤0恒成立
时x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根
∴a2＝4b
∴h（x）＝x3+ax2+a2x+1
∵h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
﹣1≤﹣a≤2时值h（﹣1）＝a﹣
﹣＜﹣1＜﹣2＜a＜6时值h（﹣）＝1
﹣1≥﹣a≥6时
∵h（﹣）＝1h（﹣1）＝a﹣＜h（﹣）＝1∴值1
综M（a）＝．
点评题考查切线方程问题考查函数单调性值问题考查导数应道综合题．
21．已知函数f（x）＝ax2+1g（x）＝x3+bx中a＞0b＞0．
（1）曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点p（2c）处相切线（p切点）求实数ab值．
（2）令h（x）＝f（x）+g（x）函数h（x）单调减区间[﹣﹣]
①求函数h（x）区间（﹣∞﹣1]值M（a）．
②|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立求实数a取值范围．
分析（1）根曲线y＝f（x）曲线y＝g（x）交点（2c）处具公切线知切点处函数值相等切点处斜率相等求ab值
（2）①根函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]出a2＝4b构建函数h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+a2x+1求导函数利导数正负确定函数单调区间进分类讨确定函数区间（﹣∞﹣1）值．
②①知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增出极值极值根|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立建立关a等关系解a取值范围．
解答解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0）f′（x）＝2axk1＝4ag（x）＝x3+bxf′（x）＝3x2+bk2＝12+b
（2c）公切点：4a＝12+b
f（2）＝4a+1g（2）＝8+2b
∴4a+1＝8+2b4a＝12+b联立：a＝b＝5
（2）①h（x）＝f（x）+g（x）＝x3+ax2+bx+1
h′（x）＝3x2+2ax+b
函数h（x）单调递减区间[﹣﹣]∴x∈[﹣﹣]时3x2+2ax+b≤0恒成立
时x＝﹣方程3x2+2ax+b＝0根3（﹣）2+2a（﹣）+b＝0a2＝4b
∴h（x）＝x3+ax2+a2x+1
令h′（x）＝0解：x1＝﹣x2＝﹣
∵a＞0∴﹣＜﹣列表：
x
（﹣∞﹣）
﹣
（﹣﹣）
﹣
（﹣+∞）
h′（x）
+
﹣
+
h（x）
极值
极值
∴原函数（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
﹣1≤﹣a≤2时值h（﹣1）＝a﹣
﹣＜﹣1＜﹣2＜a＜6时值h（﹣）＝1
﹣1≥﹣时a≥6时值h（﹣）＝1．
综述：a∈（02]时值h（﹣1）＝a﹣a∈（2+∞）时值h（﹣）＝1．
②①知函数h（x）（﹣∞﹣）单调递增（﹣﹣）单调递减（﹣+∞）单调递增
h（﹣）极值h（﹣）＝1h（﹣）极值h（﹣）＝﹣+1
∵|h（x）|≤3x∈[﹣20]恒成立h（0）＝1．
∴
∴a取值范围：4﹣2≤a≤6．
点评题考查导数知识运考查导数意义考查函数单调性值解题关键正确求出导函数应分类讨方法．
22．已知函数f（x）＝ex+x2﹣xg（x）＝x2+ax+bab∈R．
（1）a＝1时求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间
（2）曲线y＝f（x）点（01）处切线l曲线y＝g（x）切点（1c）求abc值
（3）f（x）≥g（x）恒成立求a+b值．
分析（Ⅰ）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间
（Ⅱ）求出函数导数根切线方程求出abc值
（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）求出函数导数通讨a范围问题转化b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1
令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1x＞0根函数单调性求出a+b值．
解答解：（Ⅰ）F（x）＝ex﹣2x﹣bF＇（x）＝ex﹣2．
令F＇（x）＝ex﹣2＞0x＞ln2F（x）（ln2+∞）单调递增．
令F＇（x）＝ex﹣2＜0x＜ln2F（x）（﹣∞ln2）单调递减．…（4分）
（Ⅱ）f＇（x）＝ex+2x﹣1f＇（0）＝0l方程y＝1．
题意c＝1．
l抛物线g（x）＝x2﹣2x+b切点（11）
12﹣2+b＝1b＝2．
a＝﹣2b＝2c＝1．…（8分）
（Ⅲ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣（a+1）x﹣bh（x）≥0恒成立．
易h＇（x）＝ex﹣（a+1）．
（1）a+1≤0时
h＇（x）＞0时h（x）（﹣∞+∞）单调递增．
①a+1＝0b≤0时满足条件时a+b≤﹣1
②a+1＜0取x0＜0
时h（x）≥0恒成立．
满足条件
（2）a+1＞0时
令h＇（x）＝0x＝ln（a+1）．h＇（x）＞0x＞ln（a+1）
h＇（x）＜0x＜ln（a+1）．
h（x）（﹣∞ln（a+1））单调递减（ln（a+1）+∞）单调递增．
h（x）＝ex﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立必须：
x＝ln（a+1）时h（x）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0成立．
b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．
令G（x）＝2x﹣xlnx﹣1x＞0G＇（x）＝1﹣lnx．
令G＇（x）＝0x＝e．G＇（x）＞00＜x＜e
G＇（x）＜0x＞e．G（x）（0e）单调递增（e+∞）单调递减
x＝e时G（x）max＝e﹣1．
a＝e﹣1b＝0时a+b值e﹣1．
综a+b值e﹣1．…（14分）
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想转化思想道综合题．
23．函数y＝lnx关直线x＝1称函数f（x）函数导函数g（x）记h（x）＝f（x）+g（x）．
（1）设曲线y＝h（x）点（1h（1））处切线ll圆（x+1）2+y2＝1相切求a值
（2）求函数h（x）单调区间
（3）求函数h（x）[01]值．
分析（1）先求（1h（1））点切线方程根l圆（x+1）2+y2＝1相切利点线距离等半径求a值
（2）先求导函数结合函数定义域利导数0函数单调增区间导数0函数单调减区间
（3）根（2）中函数单调区间结合区间[01]进行分类讨求h（x）值．
解答解：（1）题意f（x）＝ln（2﹣x）g（x）＝ax
∴h（x）＝ln（2﹣x）+ax．
∴（1h（1））点直线斜率a﹣1
∴（1h（1））点直线方程y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1）．
已知圆心（﹣10）半径1
题意解a＝1．
（2）．
∵a＞0∴．
令h′（x）＞0∴
令h′（x）＜0∴
h（x）增区间h（x）减区间．
（3）①时h（x）[01]减函数
∴h（x）值h（0）＝ln2．
②时h（x）增函数减函数
∴时h（x）值．
③a≥1时h（x）[01]增函数
∴h（x）值h（1）＝a．
综时h（x）值ln2
时h（x）值2a﹣1﹣lna
a≥1时h（x）值a．
点评题函数载体考查导数意义考查利导数求函数单调区间值分类讨解题关键难点．
24．（文）已知函数f（x）＝lnxg（x）＝kx+b（kb∈R）图象交PQ两点曲线y＝f（x）PQ两点处切线交点A．
（1）k＝eb＝﹣3时求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）单调区间（e然常数）
（2）A（）求实数kb值．
分析（1）构建新函数求导函数利导数确定函数单调性求函数值
（2）先求出切线方程代入A坐标进求出PQ坐标求实数kb值．
解答解：（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣ex+3（x＞0）
h（x）＝﹣e0＜x＜时h′（x）＞0时函数h（x）增函数
x＞时h′（x）＜0时函数h（x）减函数．
函数h（x）增区间（0）减区间（+∞）．
（2）设点A直线l函数f（x）＝lnx切点（x0lnx0）斜率k＝
切线l：y﹣lnx0＝（x﹣x0）
点A代入直线l方程：﹣lnx0＝（﹣x0）
lnx0+﹣1＝0
设v（x）＝lnx+﹣1v′（x）＝（x﹣）
0＜x＜时v′（x）＜0函数v（x）减函数
x＞时v′（x）＞0函数v（x）增函数．
方程v（x）＝0两实根
v（1）＝v（e）＝0方程v（x）＝0两实根1e
P（10）Q（e1）
k＝b＝求．
点评题考查导数知识运考查函数单调性值考查导数意义解题关键构建函数正确运导数知识．
25．已知函数f（x）＝x3﹣3ax+eg（x）＝1﹣lnx中e然数底数．
（Ⅰ）时求曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程
（Ⅱ）求函数f（x）单调区间
（Ⅲ）max{mn}表示mn中较者记函数h（x）＝max{f（x）g（x）}（x＞0）．函数h（x）（0+∞）恰2零点求实数a取值范围．
分析（I）根导数求出切线斜率根点斜式方程出切线方程
（II）讨a范围令f′（x）＞0出增区间令f′（x）＜0出减区间
（III）通讨a范围求出函数f（x）单调区间结合函数单调性函数零点数确定a范围．
解答解：（Ⅰ）a＝时f（x）＝x3﹣x+e
∴f＇（x）＝3x2﹣1．
∵f（1）＝ef′（1）＝2
∴曲线y＝f（x）点（1f（1））处切线方程y﹣e＝2（x﹣1）2x﹣y﹣2+e＝0．
（Ⅱ）f＇（x）＝3x2﹣3a．
（1）a≤0时f＇（x）≥0
∴函数（﹣∞+∞）单调递增．
（2）a＞0时令f′（x）＝0解x＝﹣x＝．
f′（x）＞0解x＜﹣
f′（x）＜0解
∴函数f（x）单调递增区间单调递减区间．
（Ⅲ）∵函数g（x）定义域（0+∞）
∴．
∴函数g（x）（0+∞）单调递减．
（1）x∈（0e）时g（x）＞g（e）＝0题意h（x）≥g（x）＞0满足条件
（2）x＝e时g（e）＝0f（e）＝e3﹣3ae+e
①f（e）＝e3﹣3ae+e≤0a≥eh（x）零点
②f（e）＝e3﹣3ae+e＞0a＜eh（x）零点
（3）x∈（e+∞）时g（x）＜0时需考虑函数f（x）（e+∞）零点情况．
f＇（x）＝3x2﹣3a＞3e2﹣3a
①a≤e2时f＇（x）＞0f（x）（e+∞）单调递增．
f（e）＝e3﹣3ae+e
（i）a≤时f（e）≥0f（x）（e+∞）零点
（ii）＜a≤e2时f（e）＜0
f（2e）＝8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0
时f（x）（e+∞）恰零点
②a＞e2时令f＇（x）＝0x＝±．
f＇（x）＜0e＜x＜
f＇（x）＞0x＞
f（x）（e）单调递减（+∞）单调递增．
f（e）＝e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0f（2a）＝8a3﹣6a2+e＞8a2﹣6a2+e＝2a2+e＞0
时f（x）（e+∞）恰零点
综a＞实数a取值范围．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想转化思想道综合题．
26．设a∈R函数f（x）＝alnx﹣x．
（1）f（x）零点求实数a取值范围
（2）a＝1时关x方程2x﹣f（x）＝x2+b[2]恰两相等实数根求实数b取值范围．
（3）求证：n≥2n∈N*时（1+）（1+）…（1+）＜e．
分析（1）求出函数导数通讨a范围求出函数单调区间确定满足条件a范围
（2）令g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x∈[2]）结合二次函数性质函数单调性求出b范围
（3）根x＞1时lnx＜x﹣1令x＝1+（n≥2n∈N*）累加证明．
解答解：（1）f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝﹣1＝
a＜0时f′（x）＜0f（x）（0+∞）递减
x→0时f（x）→+∞f（1）＝﹣1
a＜0时f（x）存零点
a＝0时f（x）＝﹣x（x＞0）显然零点
a＞0时令f′（x）＝0解：x＝a
f（x）（0a）递增（a+∞）递减
f（x）max＝f（a）＝a（lna﹣1）
f（x）零点需a（lna﹣1）＜0解：a＜e
综0≤a＜e时f（x）零点
（2）a＝1时f（x）＝lnx﹣x
关x方程2x﹣f（x）＝x2+b化x2﹣3x+lnx+b＝0
令g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x∈[2]）
∴g′（x）＝2x﹣3+＝
令g′（x）＝0解x＝1
令g′（x）＞0解1＜x≤2时函数g（x）单调递增
令g′（x）＜0解≤x＜1时函数g（x）单调递减
∵关x方程2x﹣f（x）＝x2+b[2]恰两相等实数根
解：+ln2≤b＜2
∴实数b取值范围[+ln22）
证明（3）a＝1时f（x）＝lnx﹣xf（1）＝﹣1
f（x）﹣f（1）＝lnx﹣x﹣1
y＝lnx﹣x﹣1y′＝
令y′＝0解：x＝1
y＝lnx﹣x﹣1（01）递增（1+∞）递减
x＝1时yf（x）﹣f（1）≤0lnx≤x﹣1
∴x＞1时lnx＜x﹣1
令x＝1+（n≥2n∈N*）．
ln（1+）≤次取n＝23…n．
累加求ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+
n≥2时＜＝﹣
∴++…+＜++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＜1
∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜1＝lne
∴n≥2n∈N*时（1+）（1+）…（1+）＜e．
点评题考查利导数研究函数单调性极值值累加求数运算性质放缩裂项求等基础知识基技方法考查等价问题转化方法考查推理力计算力属难题．
27．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）单调区间极值
（2）等式意x∈[13]恒成立求正实数λ取值范围．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值
（2）分离参数问题转化λ≤令h（x）＝根函数单调性求出正实数λ取值范围．
解答解：（1）∵f（x）＝xlnx
∴f′（x）＝1+lnx定义域（0+∞）
f′（x）＞0解：x＞f′（x）＜0解：0＜x＜．
∴f（x）单减区间（0）f（x）单增区间（+∞）
∴f（x）极值＝f（）＝﹣极值．
（2）∵x2+x＞0
化简：（x2+x＞）ln（x2+x）≥λx•eλx
∴f（x2+x）≥f（eλx）
∵x2+x≥2eλx＞e0＝1
（1）知f（x）（+∞）单增
x2+x）≥eλx
∴λx≤ln（x2+x）λ≤．
令h（x）＝
h′（x）＝
令k（x）＝﹣ln（x2+x）
k′（x）＝•＜0
∴k（x）[13]单减k（1）＝﹣ln＞0k（3）＝﹣ln＜0
∴∃x0∈（13）k（x0）＝0（1x0）k（x）＞0h′（x）＞0h（x）单增
（x03）k（x）＜0h′（x）＜0h（x）单减．
∴h（x）min＝h（1）h（3）
h（1）＝ln＞h（3）＝＝ln
∴λ≤ln．
点评题考查函数单调性极值问题考查导数应函数恒成立问题道综合题．
28．已知函数（a∈R）．
（1）求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）函数g（x）＝lnx图象公切线l坐标原点时求实数a取值集合
（3）证明：a∈（0）时函数h（x）＝f（x）﹣ax两零点x1x2满足．
分析（1）问利导数求解单调性．
（2）问先求出公切线l方程探讨a取值范围．
（3）问先利导数研究函数h（x）单调性证明零点数．函数思想构造函数利导数研究函数单调性解决等式问题．
解答解：（1）求导
令f′（x）＝0解x＝e1﹣a
x∈（0e1﹣a）时f′（x）＞0f（x）单调递增．
x∈（e1﹣a+∞）时f′（x）＜0f（x）单调递减．
（2）设公切线l函数g（x）＝lnx切点（x0y0）公切线l斜率k＝g′（x0）＝
公切线l方程：原点坐标（00）代入y0＝1解x0＝e．
公切线l方程：联立整理．
令求导：令m′（x）＝0解．
时m′（x）＜0m（x）单调递减值域
时m′（x）＞0m（x）单调递增值域
直线l函数f（x）相切公点．
实数a取值集合{}．
（3）证明：证h（x）两零点证k（x）＝ax2﹣lnx﹣a两零点．k（1）＝0
x＝1时函数k（x）零点．
k（x）求导：令k′（x）＝0解 ．时k′（x）＞0k（x）单调递增
0＜x＜时k′（x）＜0k（x）单调递减．x＝时k（x）取值
k（x）＝ax2﹣lnx﹣a＞ax2﹣（x﹣1）﹣a＝ax2﹣x+1﹣a＞ax2﹣x+必定存二次函数
k（x0）＞u（x0）＞0．区间必定存k（x）零点．
综述h（x）两零点x＝1区间．
面证明．
面步骤知h（x）两零点x＝1区间．
妨设x1＝1x2＞面证明．
令求导
v（a）定义域单调递减．
证明完毕．
点评题考察知识点众利导数研究函数单调性切线导数关系利导数研究函数零点数利导数构造函数证明等式学生思维力思维品质求极高属难题．
29．已知函数f（x）＝．
（1）意x＞0f（x）＜0恒成立求实数a取值范围
（2）函数f（x）两零点x1x2（x1＜x2）证明：+＞2．
分析（1）求出导函数根导函数判断函数单调性出函数值进求出a范围
（2）求出导函数根极值点判断函数零点位置零点分类讨构造函数利放缩法均值定理证明结成立．
解答解：（1）f（x）＝＝+a+．
f＇＇（x）＝﹣
∴f（x）（0l）递增（1+∞）递减
∴f（x）≤f（1）＝a+1
∴a+1＜0∴a＜﹣1
（2）证明：（1）知两零点x1∈（01）x2∈（1+∞）
x2∈（12）2﹣x2∈（01）
设g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝+﹣﹣
x∈（01）时
g＇（x）＝﹣﹣＞﹣﹣＝﹣＞0
∴g（x）（01）递增
∴g（x）＜g（1）＝0
∴f（x）＜f（2﹣x）
∴f（2﹣x1）＞f（x1）＝f（x2）
∴（2﹣x1）＜x2∴2＜x1+x2
x2∈（2+∞）知2＜x1+x2显然成立
+x2≥2＝2x1理+x1≥2x2
两式相加：++x1+x2≥2（x1+x2）
：+≥（x1+x2）＞2．
点评题考查导函数应值问题转化思想难点参数分类讨均值定理应．
30．已知a常数函数f（x）＝x2+ax﹣lnxg（x）＝ex（中e然数数底数）．
（1）坐标原点O作曲线y＝f（x）切线设切点P（x0y0）求x0值
（2）令函数F（x）区间（01]单调函数求a取值范围．
分析（1）先函数求导f′（x）＝2x+a﹣切线斜率k＝2x0+a﹣＝＝x02+lnx0﹣1＝0x0＝1方程解y＝x2+lnx﹣1（0+∞）增函数证
（2）F（x）＝＝求出函数F（x）导数通研究2﹣a正负判断h（x）单调性进函数F（x）单调性求a范围．
解答解：（1）f′（x）＝2x+a﹣（x＞0）
切点P（x0y0）切线斜率k＝2x0+a﹣＝＝
整理x02+lnx0﹣1＝0
显然x0＝1方程解y＝x2+lnx﹣1（0+∞）增函数
方程x2+lnx﹣1＝0唯实数解．x0＝1
（2）F（x）＝＝F′（x）＝
设h（x）＝﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnxh′（x）＝﹣2x+++2﹣a
易知h＇（x）（01]减函数h＇（x）≥h＇（1）＝2﹣a
①2﹣a≥0a≤2时h＇（x）≥0h（x）区间（01）增函数．
∵h（1）＝0∴h（x）≤0（01]恒成立F＇（x）≤0（01]恒成立．
∴F（x）区间（01]减函数．
a≤2满足题意
②2﹣a＜0a＞2时设函数h＇（x）唯零点x0
h（x）（0x0）递增（x01）递减
∵h（1）＝0∴h（x0）＞0．
∵h（e﹣a）＝﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0
∴h（x）（01）唯零点x＇
x∈（0x＇）时h（x）＜0x∈（x＇1）时h（x）＞0．
F（x）（0x＇）递减（x＇1）递增
区间（01]单调函数矛盾．
∴a＞2合题意．
综合①②a≤2．
点评考查学生利导数研究函数单调力函数单调性判定导数运算试题具定综合性．
31．设函数m∈R．
（1）m＝e（e然数底数）时求f（x）值
（2）讨函数零点数．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数值
（2）令g（x）＝0设通讨m范围根函数单调性集合函数草图求出函数零点数．
解答解：（1）m＝e时∴
x∈（0e）时f′（x）＜0f（x）x∈（0e）减函数
x∈（e+∞）时f′（x）＞0f（x）x∈（e+∞）增函
∴x＝e时f（x）取值．
（2）∵函数
令g（x）＝0
设φ′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）
x∈（01）时φ′（x）＞0φ（x）x∈（01）增函数
x∈（1+∞）时φ′（x）＜0φ（x）x∈（1+∞）减函数
x＝1φ（x）极值点唯极值点∴x＝1φ（x）值点
∴φ（x）值φ（0）＝0结合y＝φ（x）图象
知：①时函数g（x）零点
②时函数g（x）零点
③时函数g（x）两零点
④m≤0时函数g（x）零点
综：时函数g（x）零点
m≤0时函数g（x）零点
时函数g（x）两零点
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想考查函数零点数问题道中档题．
32．已知函数f（x）＝lnx﹣．
（1）a＝4求函数f（x）单调区间
（2）函数f（x）区间（01]单调递增求实数a取值范围
（3）x1x2∈R+x1≤x2求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间
（2）问题转化3a≤+x+4恒成立根函数单调性求出a范围
（3）问题转化ln≤＝成立令t＝∈（01）lnt﹣≤0根函数单调性证明．
解答解：（1）f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝﹣＝
a＝4时f′（x）＝
f′（x）＞0解：0＜x＜4﹣2x＞4+2
f′（x）＜0解：4﹣2＜x＜4+2
f（x）（04﹣2）递增（4﹣24+2）递减（4+2+∞）递增
（2）（1）：f′（x）＝
函数f（x）区间（01]递增
x2+（4﹣3a）x+4≥0（01]恒成立
3a≤+x+4恒成立
函数y＝+x+4x＝1时取值9a≤3
（3）证明：x1＝x2时等式显然成立
x1≠x2时∵x1x2∈R+∴原等式成立
ln≤＝成立
令t＝∈（01）
lnt﹣≤0
（2）知函数f（x）（01]递增
f（x）＜f（1）＝0
lnt﹣≤0成立
原等式成立．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应函数恒成立问题考查等式证明转化思想道综合题．
33．设a＞0函数f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
（1）a＝1时求函数f（x）单调区间
（2）函数y＝f（x）区间（0+∞）唯零点试求a值．
分析（1）求出a＝1时f（x）利导数f′（x）判断f（x）单调性求出单调区间
（2）求f（x）导数f′（x）利导数判断f（x）单调性求出值利值等0求出a值．
解答解：（1）函数f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
a＝1时f（x）＝x2﹣2x﹣2lnx（中x＞0）
∴f′（x）＝2x﹣2﹣＝
令f′（x）＝0x2﹣x﹣1＝0
解x＝x＝（0应舍）
∴x∈（0）时f′（x）＜0
x∈（+∞）时f′（x）＞0
∴f（x）单调减区间（0）
单调增区间（+∞）
（2）f（x）＝x2﹣2ax﹣2alnx
f′（x）＝2x﹣2a﹣＝
令f′（x）＝0x2﹣ax﹣a＝0
∵a＞0
∴△＝a2+4a＞0
∴方程解x1＝＜0
x2＝＞0
∴函数f（x）（0x2）单调递减（x2+∞）单调递增
∴f（x）致图象图示
求f（x）min＝f（x2）
函数y＝f（x）区间（0+∞）唯零点
f（x2）＝0
x2满足x22＝ax2+a
∴f（x2）＝ax2+a﹣2ax2﹣2alnx2＝a（x2+1﹣2x2﹣2lnx2）＝0
1﹣x2﹣2lnx2＝0
∵g（x）＝2lnx+x﹣1单调增∴g（x）零点
g（1）＝0
∴x2＝1代入x22﹣ax2﹣a＝0
1﹣a﹣a＝0a＝．
点评题考查利导数研究函数单调性考查函数零点等式应问题较难题目．
34．已知函数．
（1）a＝0时求曲线y＝f（x）（1f（1））处切线方程
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax+1求函数g（x）极值
（3）a＝﹣2正实数x1x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2＝0证明：．
分析（1）求出函数导数计算f（1）f′（1）值求出切线方程
（2）求导数然通研究等式解集确定原函数单调性求出函数极值
（3）结合已知条件构造函数然结合函数单调性证结．
解答解：（1）a＝0时f（x）＝lnx+xf′（x）＝+1
f（1）＝1f′（1）＝2
切线方程：y﹣1＝2（x﹣1）
整理：2x﹣y﹣1＝0
（2）g（x）＝f（x）﹣（ax﹣1）＝lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1
g′（x）＝﹣ax+（1﹣a）＝
a≤0时x＞0g′（x）＞0．
g（x）（0+∞）递增函数
a＞0时g′（x）＝
令g′（x）＝0x＝
x∈（0）时g′（x）＞0x∈（+∞）时g′（x）＜0
函数g（x）x∈（0）增函数（+∞）减函数．
综a≤0时函数g（x）递增区间（0+∞）递减区间极值
a＞0时函数g（x）递增区间（0）递减区间（+∞）
g（x）极值＝g（）＝﹣lna
证明：（3）f（x1）+f（x2）+x1x2＝0
lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2＝0
（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2）
令t＝x1x2φ（t）＝t﹣lnt
x1＞0x2＞0x1+x2＞0．
φ′（t）＝（t＞0）
知φ（t）区间（01）单调递减区间（1+∞）单调递增．
φ（t）≥φ（1）＝1
（x1+x2）2+（x1+x2）≥1解x1+x2≥x1+x2≤
x1＞0x2＞0
x1+x2≥成立．
点评题难度较属利导数研究函数单调性值利导数证明单调性进步研究等式问题题型．
35．已知函数f（x）＝x﹣alnxg（x）＝﹣（a＞0）
（1）a＝l求f（x）极值
（2）存x0∈[1e]f（x0）＜g（x0）成立求实数a取值范围．
分析（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值
（2）问题转化[f（x）﹣g（x）]min＜0（x∈[1e]）成立设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+根函数单调性求出a范围．
解答解：（1）a＝1时f（x）＝x﹣lnx
函数f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝1﹣＝
令f′（x）＞0解：x＞1
令f′（x）＜0解：0＜x＜1
f（x）（01）递减（1+∞）递增
f（x）极值f（1）＝1极值
（2）存x0∈[1e]f（x0）＜g（x0）成立
等价[f（x）﹣g（x）]min＜0（x∈[1e]）成立
设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+
h′（x）＝
令h′（x）＝0解：x＝﹣1（舍）x＝1+a
①1+a≥eh（x）[1e]递减
∴h（x）min＝h（e）＝e2﹣ea+1+a
令h（x）min＜0解：a＞
②1+a＜e时h（x）（1a+1）递减（a+1e）递增
∴h（x）min＝h（1+a）＝a[1﹣ln（a+1）]+2＞2h（x）min＜0矛盾
综a＞．
点评题考查函数单调性极值问题考查导数应分类讨思想道中档题．
36．已知函数f（x）＝alnx+x2+bx+1点（1f（1））处切线方程4x﹣y﹣12＝0．
（1）求函数f（x）解析式
（2）求f（x）单调区间极值．
分析（1）求出函数导数计算f′（1）f（1）关ab方程组求出ab值求出f（x）解析式
（2）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值．
解答解：（1）求导f′（x）＝+2x+b题意：
f′（1）＝4f（1）＝﹣8
解
f（x）＝12lnx+x2﹣10x+1
（2）f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝
令f′（x）＞0解：x＜2x＞3
f（x）（02）递增（23）递减（3+∞）递增
f（x）极值＝f（2）＝12ln2﹣15
f（x）极值＝f（3）＝12ln3﹣20．
点评题考查函数单调性极值问题考查导数应道中档题．
37．已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）xa∈R．
（Ⅰ）函数f（x）区间（13）单调递减求a取值范围
（Ⅱ）a＝﹣1时证明f（x）≥．
分析（Ⅰ）求出函数导数根函数单调性求出a范围
（Ⅱ）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数值．
解答解：（I）函数定义域（0+∞）．
．
函数f（x）（13）单调减等式（x﹣1）（x﹣a）≤0（13）成立．
设g（x）＝（x﹣1）（x﹣a）g（3）≤09﹣3（a+1）+a≤0解a≥3．
a取值范围[3+∞）．…（7分）
（Ⅱ）a＝﹣1时f（x）＝﹣lnx+
f′（x）＝
令f＇（x）＝0x＝1x＝﹣1（舍）．
x变化时f（x）f＇（x）变化情况表：
x
（01）
1
（1+∞）
f＇（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极值
↗
x＝1时函数f（x）值f（1）＝
成立．…（13分）
点评题考查函数单调性值问题考查导数应转化思想道中档题．
38．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）单调区间
（Ⅱ）a＝1时证明：意x＞0f（x）+ex＞x2+x+2．
分析（Ⅰ）求出函数导数通讨a范围求出函数单调区间
（Ⅱ）问题转化证明ex﹣lnx﹣2＞0设g（x）＝ex﹣lnx﹣2求出函数导数根函数单调性证明．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）定义域（0+∞）
f′（x）＝2x﹣（a﹣2）﹣＝…（2分）
a≤0时f′（x）＞0意x∈（0+∞）恒成立
函数f（x）区间（0+∞）单调递增…（4分）
a＞0时f′（x）＞0x＞f′（x）＜00＜x＜
函数区间（+∞）单调递增区间（0）单调递减
（Ⅱ）a＝1时f（x）＝x2+x﹣lnx
证明f（x）+ex＞x2+x+2
需证明ex﹣lnx﹣2＞0设g（x）＝ex﹣lnx﹣2
问题转化证明意x＞0g（x）＞0
令g′（x）＝ex﹣＝0ex＝
容易知道该方程唯解妨设x0x0满足＝
x变化时g′（x）g（x）变化情况表
x
（0x0）
x0
（x0+∞）
g′（x）
﹣
0
+
g（x）
递减
递增
g（x）min＝g（x0）＝﹣lnx0﹣2＝+x0﹣2
x0＞0x0≠1g（x）min＞2﹣2＝0
等式证．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想道中档题．
39．已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）[13]值
（Ⅱ）存等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立求实数a取值范围．
分析（Ⅰ）先求出函数导函数研究出原函数[13]单调性求出函数f（x）[13]值
（Ⅱ）先等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立转化a≤2lnx+x+成立设h（x）＝2lnx+x+（x＞0）利导函数求出h（x）x∈[e]值求实数a取值范围．
解答解：（Ⅰ）f（x）＝xlnxf＇（x）＝lnx+1
x∈（0）时f＇（x）＜0f（x）单调递减
x∈（+∞）时f＇（x）＞0f（x）单调递增．
函数f（x）[13]单调递增．
f（1）＝ln1＝0
函数f（x）[13]值0．
（Ⅱ）题意知2xlnx≥﹣x2+ax﹣3a≤2lnx+x+．
存x∈[e]等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立
需a等2lnx+x+值．
设h（x）＝2lnx+x+（x＞0）h′（x）＝+1﹣＝．
x∈[1）时h＇（x）＜0h（x）单调递减
x∈（1e]时h＇（x）＞0h（x）单调递增．
h（）＝﹣2++3eh（e）＝2+e+
h（）﹣h（e）＝2e﹣﹣4＞0
h（）＞h（e）．
x∈[e]时h（x）值h（）＝﹣2++3e
a≤﹣2++3e．
点评题研究利导数求闭区间函数值函数恒成立问题．a≥h（x）恒成立时需求h（x）值a≤h（x）恒成立时需求h（x）值．
40．已知函数f（x）＝ax2﹣alnx+x．
（1）讨函数f（x）单调性
（2）a＜0设g（x）＝f（x）﹣xh（x）＝﹣2xlnx+2x意x1x2∈[1+∞）（x1≠x2）|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|恒成立求实数a取值范围．
分析（1）求出函数导数解关导函数方程求出函数单调区间
（2）求出函数导数令F（x）＝g（x）﹣h（x）＝ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x求出函数导数令G（x）＝ax﹣+2lnx根函数单调性求出a范围．
解答解：（1）令t（x）＝ax2+x﹣a
①a＝0时t（x）＝x＞0⇒f＇（x）＞0f（x）（0+∞）单调递增
②a＜0时令
f（x）单调递增单调递减
③a＞0时令
f（x）单调递减单调递增．
（2）g′（x）＝ax﹣＝
a＜0x≥1时g′（x）≤0g（x）[1+∞）单调减
h′（x）＝﹣2lnxx≥1时h′（x）≤0h（x）[1+∞）单调减．
意x1x2∈[1+∞）|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|
防设x1＜x2两函数单调性：
g（x1）﹣g（x2）≥h（x1）﹣h（x2）
：g（x1）﹣h（x1）≥g（x2）﹣h（x2）意x1＜x2∈[1+∞）恒成立
令F（x）＝g（x）﹣h（x）＝ax2﹣alnx+2xlnx﹣2x
F（x1）≥F（x2）意x1＜x2∈[1+∞）恒成立
：y＝F（x）x∈[1+∞）单调减
：F′（x）＝ax﹣+2lnx≤0x∈[1+∞）恒成立
令G（x）＝ax﹣+2lnxG′（x）＝
a≤﹣1时ax2+2x+a≤0x∈[1+∞）恒成立G′（x）≤0
G（x）[1+∞）单调减
G（x）≤G（1）＝0满足题意
﹣1＜a＜0时G（x）两极值点x1x2x1＝＞1x2＝＜1
（1x1）G（x）单调增
：G（x）＞G（1）＝0意x∈（1x1）恒成立满足题意舍
综a≤﹣1时等式|g（x2）﹣g（x1）|≥|h（x2）﹣h（x1）|x1x2∈[1+∞）恒成立．
点评题考查函数单调性值问题考查导数应分类讨思想道综合题．
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