1978年普通高等学校招生全国统考试
数学
（理科考生五六两题选做题文科考生五六两题选做题求做第七题）
．（列题题4分五题20分）
1．分解式：x24xy+4y24z2
解：原式（x2y)2(2z)2(x2y2z)(x2y+2z)
2已知正方形边长求侧面积等正方形面积高等正方形边长直圆柱体体积
解：设底面半径r底面周长2πr
3．求函数定义域
解： ∵lg(2+x)≥0∴2+x≥1x≥1定义域
4．查表求cos800cos350+cos100cos550值
解：原式sin100cos350+cos100sin350sin(100+350)sin450
5化简：
二 （题满分14分）
已知方程kx2+y24中k实数范围k值分指出方程代表图形形画出显示数量特征草图
解：1）k>0时方程图形椭圆中心坐标原点时分：①k>1时长轴y轴半长轴2半短轴
②k1时半径r2圆
③k<1时长轴x轴半长轴 半短轴2
Y Y Y
k2 A k1 (02) k14
O A X
O B X O X
图：
2)k0时方程y24图形两条行x轴直线
图
3）k<0时方程
Y Y
y2 k4
A
O
O X B X
y2
时图形双曲线中心坐标原点实轴y轴图：
三．（题满分14分）
（图）AB半圆直径C半圆点直线MN切半圆C点AM⊥MNM点BN⊥MNN点CD⊥ABD点
求证：1)CDCMCN 2)CD2AM·BN
M
C
N
A B
D
1)证：连CACB∠ACB900∠ACM∠ABC ∠ACD∠ABC
∴∠ACM∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CMCD理CNCD∴CDCMCN
2）∵CD⊥AB∠ACD900
∴ CD2AD·DB
1）知AMADBNBD
∴CD2AM·BN
四．（题满分12分）
五．（题满分20分）
已知△ABC三角成等差数列tgAtgC求角ABC已知顶点C边c高等求三角形边bc长（提示：必时验证）
六．（题满分20分）
七．（题满分20分文科考生求作题）
已知函数yx2+(2m+1)x+m21(m实数）
1）m什数值时y极值0？
2）求证：m什数值函数图象（抛物线）顶点条直线L1画出m101时抛物线草图检验结
3）行L1直线中抛物线相交相交？求证：条行L1抛物线相交直线抛物线截出线段相等
解：配方法：
3设L：xy条行L1直线
抛物线yx2+(2m+1)x+m21方程联立求解消y
x2+2mx+m21+0∴（x+m)21
1≥0≤1时直线L抛物线相交＞1时直线L抛物线相交
m关
直线L抛物线截出线段相等
九七八年副题
1．（1）分解式：x22xy+y2+2x2y3
解：原式(xy1)(xy+3)
(2)求
解：原式34
（4）已知直圆锥体底面半径等1cm母线长等2cm求体积
解：
解：原式30
2．已知两数x1 x2满足列条件：
1）等差数列13…第20项
2）积等数列26…前4项
求根方程
略解：x1 +x239x1x240：1x1+1x23940
1x1·1x2140
求方程：40x2+39x10
3已知：△ABC外接圆切线AD交BC延长线D点求证：
A
1
B E C D
证：AD△ABC外接圆切线 ∠B∠1∴△ABD∽△CAD
作AE⊥BD点E
A
M
N
α
B E F D
4．（图）CDBC延长线ABBCCACDDMABAC分交M点N点∠BDMα
求证：
证：作ME⊥DCE△ABC等边三角形直角△MBE中
类似N作NF⊥BCF直角△NFC中证：
5．设f(x)4x44px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2(p≠0）求证：
1）果f(x)系数满足p24q4(m+1)0f(x)恰二次三项式方
2）果f(x)F(x)(2x2+x+b)2表示项式
p24q4(m+1)0
6．已知：sinx+bcosx 0………………………………①
Asin2x+Bcos2xC………………………………②
中b时0
求证：2bA+(b22)B+(2+b2)C0
①写成cosysinxsinycosx0
∴sin(xy)0∴xykπ(k整数)
∴xy+kπ
sin2xsin2(y+kπ)sin2y2sinycosy
cos2xcos2ycos2ysin2y
代入②
7．已知L点P倾斜角300直线圆C中心坐标原点半径等1圆Q表示顶点原点焦点抛物线设ALC第三象限交点BCQ第四象限交点
1）写出直线L圆C抛物线Q方程作草图
2）写出线段PA圆弧AB抛物线OB段函数表达式
3）设P＇B＇次PBx轴垂足求圆弧AB直线段BB＇B＇P＇P＇PPA包含面积
Y
O
X
B Q
L P A C
解：1）直线L圆C抛物线Q方程
2)
Y
P＇ B＇
O X
B
A C Q
L P
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数学
（理科考生五六两题选做题文科考生五六两题选做题求做第七题）
．（列题题4分五题20分）
1．分解式：x24xy+4y24z2
解：原式（x2y)2(2z)2(x2y2z)(x2y+2z)
2已知正方形边长求侧面积等正方形面积高等正方形边长直圆柱体体积
解：设底面半径r底面周长2πr
3．求函数定义域
解： ∵lg(2+x)≥0∴2+x≥1x≥1定义域
4．查表求cos800cos350+cos100cos550值
解：原式sin100cos350+cos100sin350sin(100+350)sin450
5化简：
二 （题满分14分）
已知方程kx2+y24中k实数范围k值分指出方程代表图形形画出显示数量特征草图
解：1）k>0时方程图形椭圆中心坐标原点时分：①k>1时长轴y轴半长轴2半短轴
②k1时半径r2圆
③k<1时长轴x轴半长轴 半短轴2
Y Y Y
k2 A k1 (02) k14
O A X
O B X O X
图：
2)k0时方程y24图形两条行x轴直线
图
3）k<0时方程
Y Y
y2 k4
A
O
O X B X
y2
时图形双曲线中心坐标原点实轴y轴图：
三．（题满分14分）
（图）AB半圆直径C半圆点直线MN切半圆C点AM⊥MNM点BN⊥MNN点CD⊥ABD点
求证：1)CDCMCN 2)CD2AM·BN
M
C
N
A B
D
1)证：连CACB∠ACB900∠ACM∠ABC ∠ACD∠ABC
∴∠ACM∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CMCD理CNCD∴CDCMCN
2）∵CD⊥AB∠ACD900
∴ CD2AD·DB
1）知AMADBNBD
∴CD2AM·BN
四．（题满分12分）
五．（题满分20分）
已知△ABC三角成等差数列tgAtgC求角ABC已知顶点C边c高等求三角形边bc长（提示：必时验证）
六．（题满分20分）
七．（题满分20分文科考生求作题）
已知函数yx2+(2m+1)x+m21(m实数）
1）m什数值时y极值0？
2）求证：m什数值函数图象（抛物线）顶点条直线L1画出m101时抛物线草图检验结
3）行L1直线中抛物线相交相交？求证：条行L1抛物线相交直线抛物线截出线段相等
解：配方法：
3设L：xy条行L1直线
抛物线yx2+(2m+1)x+m21方程联立求解消y
x2+2mx+m21+0∴（x+m)21
1≥0≤1时直线L抛物线相交＞1时直线L抛物线相交
m关
直线L抛物线截出线段相等
九七八年副题
1．（1）分解式：x22xy+y2+2x2y3
解：原式(xy1)(xy+3)
(2)求
解：原式34
（4）已知直圆锥体底面半径等1cm母线长等2cm求体积
解：
解：原式30
2．已知两数x1 x2满足列条件：
1）等差数列13…第20项
2）积等数列26…前4项
求根方程
略解：x1 +x239x1x240：1x1+1x23940
1x1·1x2140
求方程：40x2+39x10
3已知：△ABC外接圆切线AD交BC延长线D点求证：
A
1
B E C D
证：AD△ABC外接圆切线 ∠B∠1∴△ABD∽△CAD
作AE⊥BD点E
A
M
N
α
B E F D
4．（图）CDBC延长线ABBCCACDDMABAC分交M点N点∠BDMα
求证：
证：作ME⊥DCE△ABC等边三角形直角△MBE中
类似N作NF⊥BCF直角△NFC中证：
5．设f(x)4x44px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2(p≠0）求证：
1）果f(x)系数满足p24q4(m+1)0f(x)恰二次三项式方
2）果f(x)F(x)(2x2+x+b)2表示项式
p24q4(m+1)0
6．已知：sinx+bcosx 0………………………………①
Asin2x+Bcos2xC………………………………②
中b时0
求证：2bA+(b22)B+(2+b2)C0
①写成cosysinxsinycosx0
∴sin(xy)0∴xykπ(k整数)
∴xy+kπ
sin2xsin2(y+kπ)sin2y2sinycosy
cos2xcos2ycos2ysin2y
代入②
7．已知L点P倾斜角300直线圆C中心坐标原点半径等1圆Q表示顶点原点焦点抛物线设ALC第三象限交点BCQ第四象限交点
1）写出直线L圆C抛物线Q方程作草图
2）写出线段PA圆弧AB抛物线OB段函数表达式
3）设P＇B＇次PBx轴垂足求圆弧AB直线段BB＇B＇P＇P＇PPA包含面积
Y
O
X
B Q
L P A C
解：1）直线L圆C抛物线Q方程
2)
Y
P＇ B＇
O X
B
A C Q
L P
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