2000年普通高等学校招生全国统考试
数学(理工农医类)
试卷分第I卷(选择题)第II卷(非选择题)两部分．第I卷12页．第II卷39页．150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题60分)
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求
(1) 设集合AB然数集合N映射集合A中元素映射集合B中元素映射象20原象 ( )
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(2) 复面复数应量时针方旋转量应复数 ( )
(A) 2
(B)
(C)
(D) 3
(3) 长方体顶点三面面积分长方体角线长 ( )
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D)
(4) 已知列命题成立 ( )
(A) 第象限角
(B) 第二象限角
(C) 第三象限角
(D) 第四象限角
(5) 函数部分图 ( )
(6)中华民国税法规定公民全月工资薪金超800元部分必纳税超800元部分全月应纳税额．项税款表分段累进计算：
全月应纳税额
税率
超500元部分
5
超500元2000元部分
10
超2000元5000元部分
15
…
…
某月份应交纳项税款2678元月工资薪金介 ( )
(A) 800~900元
(B) 900~1200元
(C) 1200~1500元
(D) 1500~2800元
(7) PQR ( )
(A) RPQ
(B) PQ R
(C) Q PR
(D) P RQ
(8) 极坐标系中点圆心1半径圆方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9) 圆柱侧面展开图正方形圆柱全面积侧面积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 原点直线圆相切切点第三象限该直线方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(11) 抛物线焦点F作直线交抛物线PQ两点线段PFFQ长分等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12) 图OA圆锥底面中心O母线垂线OA绕轴旋转周曲面圆锥分成体积相等两部分母线轴夹角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
第II卷(非选择题90分)
二填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
(13) 乒乓球队10名队员中3名力队员派5名参加赛．3名力队员安排第三五位置余7名队员选2名安排第二四位置出场安排_____种(数字作答)
(14) 椭圆焦点点P动点钝角时点P横坐标取值范围________
(15) 设首项1正项数列(123…)通项公式_______
(16) 图EF分正方体面面中心四边形该正方体面射影_______．(求：图序号填)
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(17) (题满分12分)
已知函数．
(I) 函数取值时求变量集合
(II) 该函数图图样移伸缩变换？
(18) (题满分12分)
图已知行六面体ABCD底面ABCD菱形．
(I) 证明：⊥BD
(II) 假定CD2记面面CBD求二面角 面角余弦值
(III) 值少时面？请出证明．
(19) (题满分12分)
设函数中．
(I) 解等式
(II) 求取值范围函数区间单调函数．
(20) (题满分12分)
(I) 已知数列中数列等数列求常数
(II) 设公相等两等数列证明数列等数列．
(21) (题满分12分)
某蔬菜基种植西红柿历年市场行情知二月日起300天西红柿市场售价市时间关系图条折线表示西红柿种植成市时间关系图二抛物线段表示．
(Ⅰ) 写出图表示市场售价时间函数关系式P
写出图二表示种植成时间函数关系式Q
(Ⅱ) 认定市场售价减种植成纯收益问时市西红柿收益？
(注：市场售价种植成单位：元kg时间单位：天)
(22) (题满分14分)
图已知梯形ABCD中点E分线段成双曲线CDE三点AB焦点．时求双曲线离心率取值范围．
2000年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（理工农医类）参考解答评分标准
．选择题：题考查基知识基运算题5分满分60分．
(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D
二．填空题：题考查基知识基运算题4分满分16分．
(13)252 (14)－ (15) (16)②③
三．解答题
(17)题考查三角函数图性质考查利三角公式进行恒等变形技运算力．满分12分．
解：(Ⅰ)
ycos2x＋sinxcosx＋1
(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1
cos2x＋sin2x＋(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋
sin(2x＋)＋ ——6分
y取值必须需
2x＋＋2kπk∈Z
x＋kπk∈Z．
函数y取值时变量x集合
{x|x＋kπk∈Z } ——8分
(Ⅱ)函数ysinx次进行变换：
(i)函数ysinx图左移函数ysin(x＋)图
(ii)图点横坐标缩短原倍(坐标变)函数ysin(2x＋)图
(iii)图点坐标缩短原倍(坐标变)函数ysin(2x＋)图
(iv)图移单位长度函数ysin(2x＋)＋图综函数ycos2x＋sinxcosx＋1图． ——12分
(18)题考查直线直线直线面关系逻辑推理力满分12分．
(Ⅰ)证明：连结A1C1ACACBD交O连结C1O．
∵ 四边形ABCD菱形
∴ AC⊥BDBDCD．
∵∠BCC1∠DCC1C1C C1C
∴ △C1BC≌△C1DC
∴ C1BC1D
∵ DOOB
∴ C1O⊥BD ——2分
AC⊥BDAC∩C1OO
∴ BD⊥面AC1
C1C面AC1
∴ C1C⊥BD． ——4分
(Ⅱ)解：(Ⅰ)知AC⊥BDC1O⊥BD
∴ ∠C1OC二面角α—BD—β面角．
△C1BC中BC2C1C∠BCC160º
∴ C1B222＋()2－2×2××cos60º ——6分
∵ ∠OCB30º
∴ OBBC1．
∴C1O2 C1B2－OB2
∴ C1OC1O C1C．
作 C1H⊥OC垂足H．
∴ 点HOC中点OH
cos∠C1OC． ——8分
(Ⅲ)1时A1C⊥面C1BD
证明：
∵ 1
∴ BCCD C1C
∠BCD∠C1CB∠C1CD
推BD C1B C1D．
∴ 三棱锥C－C1BD正三棱锥． ——10分
设A1CC1O相交G．
∵ A1 C1∥ACA1 C1∶OC2∶1
∴ C1G∶GO2∶1．
C1O正三角形C1BDBD边高中线
∴ 点G正三角形C1BD中心
∴ CG⊥面C1BD．
A1C⊥面C1BD． ——12分
证明二：
(Ⅰ)知BD⊥面AC1
∵ A1 C面AC1∴BD⊥A1 C． ——10分
1时行六面体六面全等菱形
BD⊥A1 C证法BC1⊥A1C
BD⊥BC1B
∴ A1C⊥面C1BD． ——12分
(19)题考查等式解法函数单调性等基知识分类讨数学思想方法运算推理力．满分12分．
解：(Ⅰ)等式f(x) ≤1
≤1＋ax
1≤1＋axax≥0中常数a＞0．
原等式等价
——3分
0＜a＜1时等式解集{x|0}
a≥1时等式解集{x|x≥0}． ——6分
(Ⅱ)区间[0+∞]取x1x2x1＜x2．
f(x1)－f(x2) －－a(x1－x2)
－a(x1－x2)
(x1－x2)(－a)． ——8分
(ⅰ)a≥1时
∵ <1
∴ －a<0
x1－x2<0
∴ f(x1)－f(x2)>0
f(x1)>f(x2)．
a≥1时函数f(x)区间单调递减函数． ——10分
(ii)0综仅a≤1时函数f(x)区间单调函数． ——12分
(20)题考查等数列概念基性质推理运算力满分12分．
解：(Ⅰ){cn+1－pcn}等数列
（cn+1－pcn）2( cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)
cn2n＋3n代入式
[2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2
[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)] ——3分
[(2－p)2n+(3－p)3n]2
[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n－1+(3－p)3n－1]
整理(2－p)(3－p)·2n·3n0
解p2p3． ——6分
(Ⅱ)设{an}{bn}公分pqp≠qcnan+bn．
证{cn}等数列需证≠c1·c3．
事实(a1p＋b1q)2p2＋q2＋2a1b1pq
c1·c3(a1＋b1)(a1 p2＋b1q2) p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)．
p≠qp2＋q2>2pqa1b1零
c1·c3{cn}等数列． ——12分
(21)题考查函数图建立函数关系式求函数值问题考查运学知识解决实际问题力满分12分．
解：(Ⅰ)图市场售价时间函数关系
f(t) ——2分
图二种植成时间函数关系
g(t)(t－150)2＋1000≤t≤300． ——4分
(Ⅱ)设t时刻纯收益h(t)题意
h(t)f(t)－g(t)
h(t) ——6分
0≤t≤200时配方整理
h(t)－(t－50)2＋100
t50时h(t)取区间[0200]值100
200h(t)－(t－350)2＋100
t300时h(t)取区间[200300]值875． ——10分
综100>875知h(t)区间[0300]取值100时t50二月日开始第50天时市西红柿纯收益． ——12分
(22)题考查坐标法定分点坐标公式双曲线概念性质推理运算力综合应数学知识解决问题力满分14分．
解：图AB垂直分线y轴直线ABx轴建立直角坐标系xoyCD⊥y轴．
双曲线点CDAB焦点双曲线称性知CD关x轴称． ——2分
题意记A(－c0)C(h)E(x0 y0)中c|AB|双曲线半焦距h梯形高．
定分点坐标公式
x0
．
设双曲线方程离心率
点CE双曲线点CE坐标代入双曲线方程
①
． ② ——7分
①式 ③
③式代入②式整理
． ——10分
题设．
解．
双曲线离心率取值范围． ——14分
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数学(理工农医类)
试卷分第I卷(选择题)第II卷(非选择题)两部分．第I卷12页．第II卷39页．150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题60分)
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求
(1) 设集合AB然数集合N映射集合A中元素映射集合B中元素映射象20原象 ( )
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(2) 复面复数应量时针方旋转量应复数 ( )
(A) 2
(B)
(C)
(D) 3
(3) 长方体顶点三面面积分长方体角线长 ( )
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D)
(4) 已知列命题成立 ( )
(A) 第象限角
(B) 第二象限角
(C) 第三象限角
(D) 第四象限角
(5) 函数部分图 ( )
(6)中华民国税法规定公民全月工资薪金超800元部分必纳税超800元部分全月应纳税额．项税款表分段累进计算：
全月应纳税额
税率
超500元部分
5
超500元2000元部分
10
超2000元5000元部分
15
…
…
某月份应交纳项税款2678元月工资薪金介 ( )
(A) 800~900元
(B) 900~1200元
(C) 1200~1500元
(D) 1500~2800元
(7) PQR ( )
(A) RPQ
(B) PQ R
(C) Q PR
(D) P RQ
(8) 极坐标系中点圆心1半径圆方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9) 圆柱侧面展开图正方形圆柱全面积侧面积 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 原点直线圆相切切点第三象限该直线方程 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(11) 抛物线焦点F作直线交抛物线PQ两点线段PFFQ长分等 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12) 图OA圆锥底面中心O母线垂线OA绕轴旋转周曲面圆锥分成体积相等两部分母线轴夹角 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
第II卷(非选择题90分)
二填空题：题4题题4分16分．答案填题中横线．
(13) 乒乓球队10名队员中3名力队员派5名参加赛．3名力队员安排第三五位置余7名队员选2名安排第二四位置出场安排_____种(数字作答)
(14) 椭圆焦点点P动点钝角时点P横坐标取值范围________
(15) 设首项1正项数列(123…)通项公式_______
(16) 图EF分正方体面面中心四边形该正方体面射影_______．(求：图序号填)
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤．
(17) (题满分12分)
已知函数．
(I) 函数取值时求变量集合
(II) 该函数图图样移伸缩变换？
(18) (题满分12分)
图已知行六面体ABCD底面ABCD菱形．
(I) 证明：⊥BD
(II) 假定CD2记面面CBD求二面角 面角余弦值
(III) 值少时面？请出证明．
(19) (题满分12分)
设函数中．
(I) 解等式
(II) 求取值范围函数区间单调函数．
(20) (题满分12分)
(I) 已知数列中数列等数列求常数
(II) 设公相等两等数列证明数列等数列．
(21) (题满分12分)
某蔬菜基种植西红柿历年市场行情知二月日起300天西红柿市场售价市时间关系图条折线表示西红柿种植成市时间关系图二抛物线段表示．
(Ⅰ) 写出图表示市场售价时间函数关系式P
写出图二表示种植成时间函数关系式Q
(Ⅱ) 认定市场售价减种植成纯收益问时市西红柿收益？
(注：市场售价种植成单位：元kg时间单位：天)
(22) (题满分14分)
图已知梯形ABCD中点E分线段成双曲线CDE三点AB焦点．时求双曲线离心率取值范围．
2000年普通高等学校招生全国统考试
数学试题（理工农医类）参考解答评分标准
．选择题：题考查基知识基运算题5分满分60分．
(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D
二．填空题：题考查基知识基运算题4分满分16分．
(13)252 (14)－ (15) (16)②③
三．解答题
(17)题考查三角函数图性质考查利三角公式进行恒等变形技运算力．满分12分．
解：(Ⅰ)
ycos2x＋sinxcosx＋1
(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1
cos2x＋sin2x＋(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋
sin(2x＋)＋ ——6分
y取值必须需
2x＋＋2kπk∈Z
x＋kπk∈Z．
函数y取值时变量x集合
{x|x＋kπk∈Z } ——8分
(Ⅱ)函数ysinx次进行变换：
(i)函数ysinx图左移函数ysin(x＋)图
(ii)图点横坐标缩短原倍(坐标变)函数ysin(2x＋)图
(iii)图点坐标缩短原倍(坐标变)函数ysin(2x＋)图
(iv)图移单位长度函数ysin(2x＋)＋图综函数ycos2x＋sinxcosx＋1图． ——12分
(18)题考查直线直线直线面关系逻辑推理力满分12分．
(Ⅰ)证明：连结A1C1ACACBD交O连结C1O．
∵ 四边形ABCD菱形
∴ AC⊥BDBDCD．
∵∠BCC1∠DCC1C1C C1C
∴ △C1BC≌△C1DC
∴ C1BC1D
∵ DOOB
∴ C1O⊥BD ——2分
AC⊥BDAC∩C1OO
∴ BD⊥面AC1
C1C面AC1
∴ C1C⊥BD． ——4分
(Ⅱ)解：(Ⅰ)知AC⊥BDC1O⊥BD
∴ ∠C1OC二面角α—BD—β面角．
△C1BC中BC2C1C∠BCC160º
∴ C1B222＋()2－2×2××cos60º ——6分
∵ ∠OCB30º
∴ OBBC1．
∴C1O2 C1B2－OB2
∴ C1OC1O C1C．
作 C1H⊥OC垂足H．
∴ 点HOC中点OH
cos∠C1OC． ——8分
(Ⅲ)1时A1C⊥面C1BD
证明：
∵ 1
∴ BCCD C1C
∠BCD∠C1CB∠C1CD
推BD C1B C1D．
∴ 三棱锥C－C1BD正三棱锥． ——10分
设A1CC1O相交G．
∵ A1 C1∥ACA1 C1∶OC2∶1
∴ C1G∶GO2∶1．
C1O正三角形C1BDBD边高中线
∴ 点G正三角形C1BD中心
∴ CG⊥面C1BD．
A1C⊥面C1BD． ——12分
证明二：
(Ⅰ)知BD⊥面AC1
∵ A1 C面AC1∴BD⊥A1 C． ——10分
1时行六面体六面全等菱形
BD⊥A1 C证法BC1⊥A1C
BD⊥BC1B
∴ A1C⊥面C1BD． ——12分
(19)题考查等式解法函数单调性等基知识分类讨数学思想方法运算推理力．满分12分．
解：(Ⅰ)等式f(x) ≤1
≤1＋ax
1≤1＋axax≥0中常数a＞0．
原等式等价
——3分
0＜a＜1时等式解集{x|0}
a≥1时等式解集{x|x≥0}． ——6分
(Ⅱ)区间[0+∞]取x1x2x1＜x2．
f(x1)－f(x2) －－a(x1－x2)
－a(x1－x2)
(x1－x2)(－a)． ——8分
(ⅰ)a≥1时
∵ <1
∴ －a<0
x1－x2<0
∴ f(x1)－f(x2)>0
f(x1)>f(x2)．
a≥1时函数f(x)区间单调递减函数． ——10分
(ii)0
(20)题考查等数列概念基性质推理运算力满分12分．
解：(Ⅰ){cn+1－pcn}等数列
（cn+1－pcn）2( cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)
cn2n＋3n代入式
[2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2
[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)] ——3分
[(2－p)2n+(3－p)3n]2
[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n－1+(3－p)3n－1]
整理(2－p)(3－p)·2n·3n0
解p2p3． ——6分
(Ⅱ)设{an}{bn}公分pqp≠qcnan+bn．
证{cn}等数列需证≠c1·c3．
事实(a1p＋b1q)2p2＋q2＋2a1b1pq
c1·c3(a1＋b1)(a1 p2＋b1q2) p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)．
p≠qp2＋q2>2pqa1b1零
c1·c3{cn}等数列． ——12分
(21)题考查函数图建立函数关系式求函数值问题考查运学知识解决实际问题力满分12分．
解：(Ⅰ)图市场售价时间函数关系
f(t) ——2分
图二种植成时间函数关系
g(t)(t－150)2＋1000≤t≤300． ——4分
(Ⅱ)设t时刻纯收益h(t)题意
h(t)f(t)－g(t)
h(t) ——6分
0≤t≤200时配方整理
h(t)－(t－50)2＋100
t50时h(t)取区间[0200]值100
200
t300时h(t)取区间[200300]值875． ——10分
综100>875知h(t)区间[0300]取值100时t50二月日开始第50天时市西红柿纯收益． ——12分
(22)题考查坐标法定分点坐标公式双曲线概念性质推理运算力综合应数学知识解决问题力满分14分．
解：图AB垂直分线y轴直线ABx轴建立直角坐标系xoyCD⊥y轴．
双曲线点CDAB焦点双曲线称性知CD关x轴称． ——2分
题意记A(－c0)C(h)E(x0 y0)中c|AB|双曲线半焦距h梯形高．
定分点坐标公式
x0
．
设双曲线方程离心率
点CE双曲线点CE坐标代入双曲线方程
①
． ② ——7分
①式 ③
③式代入②式整理
． ——10分
题设．
解．
双曲线离心率取值范围． ——14分
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