87届 普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

1987年普通高等学校招生全国统考试理科数学试题答案
．（题满分24分）题8题题出代号ABCD四结中结正确认正确结代号写题圆括号选3分选选错者选出代号超（否写圆括号）律0分
（1）设ST两非空集合S TT S令XSTSX等 （ D ）
（A）X （B）T （C） （D）S
（2）设椭圆方程令准线方程 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（3）设ab满足ab<0实数 （ B ）
（A）|a+b|>|ab| （B）|a+b|<|ab|
（C）|ab|<||a||b|| （D）|ab|<|a|+|b|
（4）已知EFGH空间中四点设
命题甲：点EFGH面
命题乙：直线EFGH相交 （ A ）
（A）甲乙充分条件必条件
（B）甲乙必条件充分条件
（C）甲乙充条件
（D）甲乙充分条件乙必条件
（5）区间增函数 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）函数图象需函数图象（图略） （ D ）
（A）左行移动 （B）右行移动
（C）左行移动 （D）右行移动
（7）极坐标方程表示曲线 （ B ）
（A）直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线
（8）函数图象 （ A ）
（A） （B） Y （C） Y （D）
Y 1 Y 1
O O O O
1
二．（题满分28分）题7题题满分4分求写出结果
（1）求函数周期
[答]
（2）已知方程表示双曲线求λ范围
[答]λ＞1λ＜2（注：写出半2分）
（3）（1+x)n展开式中x3系数等x系数7倍求n
[答]8 （注：出8时出52分）
（4）求极限
[答]2
（5）抛物线求点该点直线距离短
[答]
（6）数字12345组成没重复数字数字12相邻五位数求种五位数数
[答]72
（7）正三棱台底底周长分30cm12cm侧面积等两底面积差求斜高
[答]
三．（题满分10分）
求值
解：原式
（注：题种解答）
四．（题满分12分）

P



E
C
A
D
B
图三棱锥PABC中已知PA⊥BCPABCLPABC公垂线EDh求证三棱锥PABC体积VL2h
证：连结ADPD∵BC⊥PABC⊥ED
PAED相交∴BC⊥面PAD
∵ED⊥PA
∴S△ABCPA·EDLh
VBPAD(Lh)·BDLh·BD
理VCPADLh·CD
∴三棱锥PABC体积
VLh·BD+Lh·CDLh（BD+CD）Lh·BCL2h
ED分线段APBC结成立
（话说扣分）
五．（题满分12分）
设实数x等式恒成立求a取值范围
解：题意：

令（3）式变
化简解 （4）
（2）式变 （5）
综合（4）（5）
（6）解（1）（6）a取值范围：
六．（题满分12分2题）
设复数满足关系式中A等0复数证明：
（1）（2）
证：（1）

（2）


七．（题满分12分3题）
设数列前n项Sn关系
中bn关常数b≠1
（1）求关系式
（2）写出nb表示表达式
（3）时求极限





注：(2)数学纳法证明


八．（题满分10分）
定长3线段AB两端点抛物线y2x移动记线段AB中点M求点My轴短距离求时点M坐标
解：设A（x1y1)B(x2y2)AB长度3
x1y12x2y22（1）
32(x2x1)2+(y2y1)2(y22y12)2+(y2y1)2(y2y1)2[(y2+y1)2+1]（2）
线段AB中点M（xy）y轴距离


证x达值根题意妨设y1>y2 （3）

九．（附加题题满分10分2题题5分计
入总分）
（1）求极限
（2）设
解：

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