中学高考——2014·辽宁（理科数学） （1）

2014·辽宁卷(理科数学)
1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝RA＝{x|x≤0}B＝{x|x≥1}集合∁U(A∪B)＝(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|01．D　[解析] 题意知A∪B＝{x|x≤0x≥1}∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．
2．[2014·辽宁卷] 设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5z＝(　　)
A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i
2．A　[解析] (z－2i)(2－i)＝5z－2i＝z＝2＋3i
3．[2014·辽宁卷] 已知a＝2－b＝log2
c＝log(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
3．C　[解析] 0log＝1c>a>b
4．[2014·辽宁卷] 已知mn表示两条直线α表示面．列说法正确(　　)
A．m∥αn∥αm∥n
B．m⊥αn⊂αm⊥n
C．m⊥αm⊥nn∥α
D．m∥αm⊥nn⊥α
4．B　[解析] B　[解析] 题知m∥αn∥αmn行相交异面A错误m⊥αn⊂αm⊥nB正确m⊥αm⊥nn∥αn⊂αC错误．m∥αm⊥nn∥αn⊥αna相交D错误．
5．[2014·辽宁卷] 设abc非零量已知命题p：a·b＝0b·c＝0a·c＝0命题q：a∥bb∥ca∥c列命题中真命题(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A　[解析] 量数量积意义知命题p假命题命题q中b≠0时ac定线命题q真命题．p∨q真命题．
6．[2014·辽宁卷] 6椅子摆成排3机座两相邻坐法种数(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
6．D　[解析] 元素相邻问题采插空法AC＝24
7．[2014·辽宁卷] 某体三视图图1­1示该体体积(　　)
A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－

图1­1
7．B　[解析] 根三视图知该体正方体减两体积相等圆柱部分余部分该体体积2×2×2－2××π×2＝8－π
8．[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}公差d数列{2a1an}递减数列(　　)
A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
8．C　[解析] 令bn＝2a1an数列{2a1an}递减数列＝＝2a1(an＋1－an)＝2a1d<1a1d<0
9．[2014·辽宁卷] 函数y＝3sin图右移单位长度图应函数(　　)
A．区间单调递减
B．区间单调递增
C．区间单调递减
D．区间单调递增
9．B　[解析] 题知函数y＝3sin图右移单位长度函数y＝3sin图令－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπk∈Z＋kπ≤x≤＋kπk∈Z时函数单调递增函数y＝3sin单调递增区间k∈Z知k＝0时函数区间单调递增．
10．[2014·辽宁卷] 已知点A(－23)抛物线C：y2＝2px准线点A直线C第象限相切点B记C焦点F直线BF斜率(　　)
A B C D
10．D　[解析] 抛物线C：y2＝2px准线x＝－点A(－23)准线p＝4设直线AB方程x＋2＝m(y－3)抛物线方程y2＝8x联立y2－8my＋24m＋16＝0题易知Δ＝0解m＝－(舍)者m＝2时B点坐标(88)焦点F坐标(20)直线BF斜率kBF＝＝
11．[2014·辽宁卷] x∈[－21]时等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立实数a取值范围(　　)
A．[－5－3] B
C．[－6－2] D．[－4－3]
11．C　[解析] －2≤x<0时等式转化a≤
令f(x)＝(－2≤x<0)
f′(x)＝＝f(x)[－2－1]单调递减(－10)单调递增时
a≤＝－2x＝0时g(x)恒成立．0
g(x)(01]单调递增时a≥＝－6
综－6≤a≤－2
12．[2014·辽宁卷] 已知定义[01]函数f(x)满足：
①f(0)＝f(1)＝0
②xy∈[01]x≠y|f(x)－f(y)|<|x－y|
xy∈[01]|f(x)－f(y)|A B C D
12．B　[解析] 妨设0≤yx－y≤时|f(x)－f(y)|<|x－y|＝(x－y)≤
x－y>时|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－(f(y)－f(0))|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<
|x－1|＋|y－0|＝－(x－y)＋13．[2014·辽宁卷] 执行图1­2示程序框图输入x＝9输出y＝________．

图1­2
13　[解析] x＝9时y＝5|y－x|＝4x＝5时y＝|y－x|＝x＝时y＝|y－x|＝<1输出y＝
14．[2014·辽宁卷] 正方形四顶点A(－1－1)B(1－1)C(11)D(－11)分抛物线y＝－x2y＝x2图1­3示．—质点机投入正方形ABCD中质点落图中阴影区域概率________．

图1­3
14　[解析] 正方形ABCD面积S＝2×2＝4阴影部分面积S1＝2(1－x2)dx＝2＝质点落阴影区域概率P＝＝
15．[2014·辽宁卷] 已知椭圆C：＋＝1点MC焦点重合．M关C焦点称点分AB线段MN中点C|AN|＋|BN|＝______．
15．12　[解析] 取MN中点G点G椭圆C．设点M关C焦点F1称点A点M关C焦点F2称点B|GF1|＝|AN||GF2|＝|BN||AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12
16．[2014·辽宁卷] c>0非零实数ab满足4a2－2ab＋4b2－c＝0|2a＋b|时－＋值________．
16．－2　[解析] 题知2c＝－(2a＋b)2＋3(4a2＋3b2)．
(4a2＋3b2)≥(2a＋b)2⇔4a2＋3b2≥(2a＋b)22c≥(2a＋b)2
仅＝2a＝3b＝6λ(号)时
|2a＋b|取值时c＝40λ2
－＋＝－＝－2≥－2
仅a＝b＝c＝时－＋取值－2
17．[2014·辽宁卷] △ABC中角ABC边分abca>c已知·＝2cos B＝b＝3求：
(1)ac值
(2)cos(B－C)值．
17．解：(1)·＝2c·a·cos B＝2
cos B＝ac＝6
余弦定理a2＋c2＝b2＋2accos B
b＝3a2＋c2＝9＋2×2＝13
解
a＞ca＝3c＝2
(2)△ABC中sin B＝＝＝
正弦定理sin C＝sin B＝·＝
a＝b＞cC锐角
cos C＝＝＝
cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝
18．[2014·辽宁卷] 家面包房根某种面包销售记录绘制日销售量频率分布直方图图1­4示．

图1­4
日销售量落入组频率视概率假设天销售量相互独立．
(1)求未连续3天里连续2天日销售量低1001天日销售量低50概率
(2)X表示未3天里日销售量低100天数求机变量X分布列期E(X)方差D(X)．
18．解：(1)设A1表示事件日销售量低100A2表示事件日销售量低50B表示事件未连续3天里连续2天日销售量低1001天销售量低50．
P(A1)＝(0006＋0004＋0002)×50＝06
P(A2)＝0003×50＝015
P(B)＝06×06×015×2＝0108
(2)X取值0123相应概率分
P(X＝0)＝C·(1－06)3＝0064
P(X＝1)＝C·06(1－06)2＝0288
P(X＝2)＝C·062(1－06)＝0432
P(X＝3)＝C·063＝0216
X分布列

X
0
1
2
3
P
0064
0288
0432
0216
X～B(306)期E(X)＝3×06＝18方差D(X)＝3×06×(1－06)＝072
19．[2014·辽宁卷] 图1­5示△ABC△BCD面互相垂直AB＝BC＝BD＝2∠ABC＝∠DBC＝120°EF分ACDC中点．
(1)求证：EF⊥BC
(2)求二面角E­BF­C正弦值．

图1­5
19．解：(1)证明：方法点E作EO⊥BC垂足O连接OF△ABC≌△DBC证出△EOC≌△FOC∠EOC＝∠FOC＝FO⊥BCEO⊥BCEO∩FO＝OBC⊥面EFOEF⊂面EFOEF⊥BC

图1
方法二题意B坐标原点面DBCB作垂直BC直线作x轴BC直线y轴面ABCB作垂直BC直线作z轴建立图示空间直角坐标系易B(000)A(0－1)D(－10)C(020)E(0)F(0)＝(0－)＝(020)·＝0
⊥EF⊥BC

图2
(2)方法图1中点O作OG⊥BF垂足G连接EG面ABC⊥面BDCEO⊥面BDCOG⊥BF三垂线定理知EG⊥BF
∠EGO二面角E­BF­C面角．
△EOC中EO＝EC＝BC·cos 30°＝
△BGO∽△BFC知OG＝·FC＝tan∠EGO＝＝2sin∠EGO＝二面角E­BF­C正弦值
方法二图2中面BFC法量n1＝(001)．
设面BEF法量n2＝(xyz)
＝(0)＝(0)
中n2＝(1－1)．
设二面角E­BF­Cθ题知θ锐角cos θ＝|cos〈n1n2〉|＝＝
sin θ＝＝求二面角正弦值
20．[2014·辽宁卷] 圆x2＋y2＝4切线x轴正半轴y轴正半轴围成—三角形该三角形面积时切点P(图1­6示)．双曲线C1：－＝1点P离心率

图1­6

(1)求C1方程
(2)椭圆C2点PC1相焦点直线lC2右焦点C2交AB两点．线段AB直径圆点P求l方程．
20．解：(1)设切点坐标(x0y0)(x0>0y0>0)切线斜率－切线方程y－y0＝－(x－x0)x0x＋y0y＝4时两坐标轴正半轴切线交点分围成三角形面积S＝··＝x＋y＝4≥2x0y0知仅x0＝y0＝时x0y0值2时S值4点P坐标()．
题意知
解a2＝1b2＝2C1方程x2－＝1
(2)(1)知C2焦点坐标(－0)(0)设C2方程＋＝1中b1>0
P()C2＋＝1
解b＝3
C2方程＋＝1
显然l直线y＝0
设直线l方程x＝my＋点A(x1y1)B(x2y2)
(m2＋2)y2＋2 my－3＝0
y1y2方程根

②

x1＝my1＋x2＝my2＋

＝(－x1－y1)＝(－x2－y2)题意知·＝0
x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋4＝0⑤
①②③④代入⑤式整理
2m2－2 m＋4 －11＝0
解m＝－1m＝－＋1
直线l方程
x－(－1)y－＝0x＋(－1)y－＝0
21．[2014·辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1)g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln证明：
(1)存唯x0∈f(x0)＝0
(2)存唯x1∈g(x1)＝0(1)中x0x0＋x1<π
21．证明：(1)x∈时f′(x)＝－(1＋sin x)·(π＋2x)－2x－cos x<0函数f(x)减函数．f(0)＝π－>0f＝－π2－<0存唯x0∈f(x0)＝0
(2)记函数h(x)＝－4lnx∈
令t＝π－xx∈时t∈
记u(t)＝h(π－t)＝－4 lnu′(t)＝
(1)t∈(0x0)时u′(t)>0
t∈时u′(t)<0
(0x0)u(t)增函数u(0)＝0知t∈(0x0]时u(t)>0u(t)(0x0]零点．
u(t)减函数u(x0)>0u＝－4ln 2<0知存唯t1∈u(t1)＝0
存唯t1∈u(t1)＝0
存唯x1＝π－t1∈h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0
x∈时1＋sin x>0g(x)＝(1＋sin　x)h(x)h(x)相零点存唯x1∈g(x1)＝0
x1＝π－t1t1>x0x0＋x1<π
22．[2014·辽宁卷] 选修4­1：证明选讲
图1­7示EP交圆EC两点PD切圆DGCE—点PG＝PD连接DG延长交圆点A作弦AB垂直EP垂足F
(1)求证：AB圆直径
(2)AC＝BD求证：AB＝ED

图1­7
22．证明：(1)PD＝PG∠PDG＝∠PGD
PD切线∠PDA＝∠DBA
∠PGD＝∠EGA∠DBA＝∠EGA
∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD
∠BDA＝∠PFA
AF⊥EP∠PFA＝90°∠BDA＝90°AB圆直径．
(2)连接BCDC

AB直径∠BDA＝∠ACB＝90°
Rt△BDARt△ACB中AB＝BAAC＝BDRt△BDA≌Rt△ACB
∠DAB＝∠CBA
∠DCB＝∠DAB∠DCB＝∠CBADC∥AB
AB⊥EPDC⊥EP∠DCE直角
ED直径(1)知AB圆直径ED＝AB
23．[2014·辽宁卷] 选修4­4：坐标系参数方程
圆x2＋y2＝1点横坐标保持变坐标变原2倍曲线C
(1)写出C参数方程
(2)设直线l：2x＋y－2＝0C交点P1P2坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求线段P1P2中点l垂直直线极坐标方程．
23．解：(1)设(x1y1)圆点已知变换变C点(xy)题意x＋y＝1x2＋＝1曲线C方程x2＋＝1
C参数方程(t参数)．
(2)解
妨设P1(10)P2(02)线段P1P2中点坐标求直线斜率k＝求直线方程y－1＝
化极坐标方程整理
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3ρ＝
24．[2014·辽宁卷] 选修4­5：等式选讲
设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1g(x)＝16x2－8x＋1记f(x)≤1解集Mg(x)≤4解集N
(1)求M
(2)x∈M∩N时证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤
24．解：(1)f(x)＝
x≥1时f(x)＝3x－3≤1x≤1≤x≤
x<1时f(x)＝1－x≤1x≥00≤x<1
f(x)≤1解集M＝
(2)g(x)＝16x2－8x＋1≤416≤4解－≤x≤
N＝
M∩N＝
x∈M∩N时f(x)＝1－x
x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝－≤

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