2006年普通高等学校招生全国统考试
数学（理工农医类）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷12页第Ⅱ卷3
4页．考试结束试卷答题卡交回．满分150分考试时间120分钟．
注意事项：
1． 答题前考生务必黑色碳素笔姓名准考证号考场号座位号答题卡填写清楚认真核准条形码准考证号姓名考场号座位号科目规定位置贴条形码．
2． 题选出答案2B铅笔答题卡应题目答案标号涂黑．需改动橡皮擦擦干净选涂答案标号．答试卷答案效．
参考公式：
果事件AB互斥 球表面公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
果事件AB相互独立 中R表示球半径
P(AB)＝P(A)P(B) 球体积公式
果事件A次试验中发生概率P V＝πR2
n次独立重复试验中恰发生k次概率 中R表示球半径
P(k)＝Pk(1－P)n－k
卷12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
第Ⅰ卷（选择题 30分）
选择题
（1）已知集合M＝｛x|x＜3｝N＝｛x|log2x＞1｝M∩N＝
（A） （B）｛x|0＜x＜3｝
（C）｛x|1＜x＜3｝ （D）｛x|2＜x＜3｝
（2）函数y＝sin2xcos2x正周期
（A）2π （B）4π （C） （D）
（3）＝
（A）i （B）－i （C） （D）－
(4)球条半径中点作垂直该半径面截面面积球表面积
（A） (B) (C) (D)
(5)已知△ABC顶点BC椭圆＋y2＝1顶点A椭圆焦点椭圆外焦点BC边△ABC周长
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
（6）函数y＝lnx－1(x＞0)反函数
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R)
（C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
α
β
A
B
A′
B′
（7）图面α⊥面βA∈αB∈βAB两面αβ成角分AB分作两面交线垂线垂足A′B′AB∶A′B′＝
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
（8）函数y＝f(x)图函数g(x)＝log2x(x＞0)图关原点
称f(x)表达式
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
（9）已知双曲线条渐线方程y＝x双曲线离心率
（A） (B) (C) (D)
(10)f(sinx)＝3－cos2xf(cosx)＝
（A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x
（11）设Sn等差数列｛an｝前n项＝＝
（A） （B） （C） （D）
（12）函数f(x)＝值
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
绝密★启前
2006年普通高等学校招生全国统考试
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
（卷10题90分）
注意事项：
1．考生答案直接答试卷必须答答题卡．
2．答题前请认真阅读答题卡注意事项．
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡．
（13）(x4＋)10展开式中常数项 （数字作答）
（14）已知△ABC三角ABC成等差数列AB＝1BC＝4边BC中线AD长 ．
（15）点（1）直线l圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧劣弧圆心角时直线l斜率k＝ ．
（16）社会调查机构某居民月收入调查10 000根数画样频率分布直方图（图）．分析居民收入年龄学历职业等方面关系10 000中分层抽样方法抽出100作进步调查［25003000）（元）月收入段应抽出 ．
00001
00002
00003
00004
00005
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入(元)
频率组距
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（17）（题满分12分）
已知量a＝(sinθ1)b＝(1cosθ)－＜θ＜．
（Ⅰ）a⊥b求θ
（Ⅱ）求｜a＋b｜值．
（18）（题满分12分）
某批产品成箱包装箱5件．户购进该批产品前先取出3箱箱中意抽取2件产品进行检验．设取出第二三箱中分0件1件2件二等品余等品．
（Ⅰ）ξ表示抽检6件产品中二等品件数求ξ分布列ξ数学期
（Ⅱ）抽检6件产品中2件2件二等品户拒绝购买批产品求批产品级户拒绝概率．
（19）（题满分12分）
图直三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝BCDE分BB1AC1中点．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
（Ⅰ）证明：ED异面直线BB1AC1公垂线
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB求二面角A1－AD－C1．
（20）（题满分12分）
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)x≥0f(x)≥ax成立求实数a取值范围．
（21）（题满分14分）
已知抛物线x2＝4y焦点FAB抛物线两动点＝λ（λ＞0）．AB两点分作抛物线切线设交点Ｍ．
（Ⅰ）证明·定值
（Ⅱ）设△ABM面积S写出S＝f(λ)表达式求S值．
（22）（题满分12分）
设数列｛an｝前n项Sn方程x2－anx－an＝0根Sn－1n＝123…．
（Ⅰ）求a1a2
（Ⅱ）｛an｝通项公式．
2006年普通高等学校招生全国统考试
理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案评分参考
评分说明：
1．解答出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分参考制订相应评分细．
2．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
4．整数分数—选择题填空题中间分．
选择题
⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C
二填空题
⒀45 ⒁ ⒂ ⒃25
三解答题
17．解：（Ⅰ）a⊥bsinθ＋cosθ＝0……………2分
tanθ＝－1(－＜θ＜) θ＝－………………4分
（Ⅱ）a＝(sinθ1)b＝(1cosθ)
｜a＋b｜＝＝
＝………………10分
sin(θ＋)＝1时|a＋b|取值θ＝时|a＋b|值＋1．……12分
18．解：（Ⅰ）ξ取值0123．
P(ξ＝0)＝·＝＝
P(ξ＝1)＝·＋·＝
P(ξ＝2)＝·＋·＝
P(ξ＝3)＝·＝． ………………8分
ξ分布列
ξ
0
1
2
3
P
数学期Eξ＝12．
(Ⅱ)求概率
p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ ……………12分
19．解法：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
F
（Ⅰ）设OAC中点连接EOBOEOC1CC1CB1BEODBEOBD行四边形ED∥OB． ……2分
∵AB＝BC∴BO⊥AC
面ABC⊥面ACC1A1BOÌ面ABCBO⊥面ACC1A1
∴ED⊥面ACC1A1BD⊥AC1ED⊥CC1
∴ED⊥BB1ED异面直线AC1BB1公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1EAA1＝AC＝AB知A1ACC1正方形
∴A1E⊥AC1ED⊥面ACC1A1EDÌ面ADC1知面
ADC1⊥面A1ACC1∴A1E⊥面ADC1．作EF⊥AD垂足F连接A1FA1F⊥AD∠A1FE二面角A1－AD－C1面角．
妨设AA1＝2AC＝2AB＝ED＝OB＝1EF＝＝
tan∠A1FE＝∴∠A1FE＝60°．
二面角A1－AD－C160°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）图建立直角坐标系O－xyz中原点OAC中点．
设A(a00)B(0b0)B1(0b2c)．
C(－a00)C1(－a02c)E(00c)D(0bc)． ……3分
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
＝（0b0）＝(002c)．
·＝0∴ED⊥BB1．
＝(－2a02c)
·＝0∴ED⊥AC1 ……6分
ED异面直线BB1AC1公垂线．
（Ⅱ）妨设A(100)B(010)C(－100)A1(102)
＝(－1－10)＝(－110)＝(002)
·＝0·＝0BC⊥ABBC⊥AA1AB∩AA1＝A
∴BC⊥面A1AD．
E(001)D(011)C(－101)
＝(－10－1)＝(－101)＝(010)
·＝0·＝0EC⊥AEEC⊥EDAE∩ED＝E
∴ EC⊥面C1AD． ……10分
cos＜＞＝＝夹角60°．
二面角A1－AD－C160°． ………12分
20．解法：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax
函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0解x＝ea－1－1 ……5分
(i)a≤1时x＞0g′(x)＞0g(x)[0＋∞)增函数
g(0)＝0x≥0g(x)≥g(0)
a≤1时x≥0 f(x)≥ax． ……9分
(ii)a＞1时0＜x＜ea－1－1g′(x)＜0g(x)(0ea－1－1)减函数
g(0)＝00＜x＜ea－1－1g(x)＜g(0)
a＞1时x≥0f(x)≥ax成立．
综a取值范围（－∞1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax
等式f(x)≥ax成立g(x)≥g(0)成立． ……3分
函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0解x＝ea－1－1 ……6分
x＞ ea－1－1时g′(x)＞0g(x)增函数
－1＜x＜ea－1－1g′(x)＜0g(x)减函数 ……9分
x≥0g(x)≥g(0)充条件ea－1－1≤0．
a≤1a取值范围（－∞1]． ……12分
21．解：(Ⅰ)已知条件F(01)λ＞0．
设A(x1y1)B(x2y2)．＝λ
(－x11－y)＝λ(x2y2－1)
①式两边方y1＝x12y2＝x22代入 y1＝λ2y2 ③
解②③式y1＝λy2＝x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4
抛物线方程y＝x2求导y′＝x．
抛物线AB两点切线方程分
y＝x1(x－x1)＋y1y＝x2(x－x2)＋y2
y＝x1x－x12y＝x2x－x22．
解出两条切线交点M坐标()＝(－1)． ……4分
·＝(－2)·(x2－x1y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
·定值值0． ……7分
(Ⅱ)(Ⅰ)知△ABM中FM⊥ABS＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
|AF||BF|分等AB抛物线准线y＝－1距离
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
S＝|AB||FM|＝(＋)3
＋≥2知S≥4λ＝1时S取值4．
22．解：(Ⅰ)n＝1时x2－a1x－a1＝0根S1－1＝a1－1
(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0解a1＝．
n＝2时x2－a2x－a2＝0根S2－1＝a2－
(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0解a1＝．
(Ⅱ)题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0
Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
n≥2时an＝Sn－Sn－1代入式
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
(Ⅰ)知S1＝a1＝S2＝a1＋a2＝＋＝．
①S3＝．
猜想Sn＝n＝123…． ……8分
面数学纳法证明结．
(i)n＝1时已知结成立．
(ii)假设n＝k时结成立Sk＝
n＝k＋1时①Sk＋1＝Sk＋1＝
n＝k＋1时结成立．
综(i)(ii)知Sn＝正整数n成立． ……10分
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝
n＝1时a1＝＝
｛an｝通项公式an＝n＝123…． ……12分
2006高考数学试题全国II卷理科试题
试卷分第Ｉ卷（选择题）第ＩＩ卷（非选择题）两部分第Ｉ卷１２页第ＩＩ卷３４页考试结束试卷答题卡交回
第Ｉ卷
注意事项：
１．答题前考生答题卡务必黑色签字笔姓名准考号填写清楚贴条形码请认真核准条形码准考证号姓名科目
２．题选出答案２Ｂ铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号试题卷作答效
球表面积公式
中Ｒ表示球半径
球体积公式
中Ｒ表示球半径
３．卷１２题题５分６０分题出四选项中项符合题目求
参考公式
果事件ＡＢ互斥
果事件ＡＢ相互独立
果事件Ａ次试验中发生概率Ｐ
次独立重复试验中恰发生次概率
．选择题
（1）已知集合 (D)
（A） （B）
（C） （D）
解析数轴表示答案D
考察知识点数函数单调性集合交集 题较容易
（2）函数正周期(D)
（A） （B） （C） （D）
解析 正周期选D
考察知识点二倍角公式正周期公式 题较容易
（3）(A)
（A） （B） （C） （D）
解析 选A
题考察知识点复数运算(法法)较简单
（4）球条半径中点作垂直该半径面截面面积球表面积(A)
（A） （B） （C） （D）
解析设球半径R 球条半径中点作垂直该半径面勾股定理半径圆选A
题考察截面形状球表面积公式难度中等
（5）已知顶点BC椭圆顶点A椭圆焦点椭圆外焦点BC边周长 ( C)
（A） （B）6 （C） （D）12
解析(数形结合)椭圆定义椭圆点两焦点距离等长轴长2a周长4a选C
题考察数形结合思想椭圆基性质难度中等
（6）函数反函数(B)
（A） （B）
（C） （D）
解析反函数选B
题考察反函数求法数式指数式互化难度中等
（7）图面面两面成角分AB分作两面交线垂线垂足(A)
（A） （B）
（C） （D）
解析连接设ABaAB面成角理AB面成角选A
题考察直线面成角线面垂直关系勾股定理直角三角形中边角关系定难度
（8）函数图函数图关原点称表达式(D)
（A） （B）
（C） （D）
解析(xy)关原点称点(xy) 选D
题考察称性质数相关性质较简单容易搞混实
（9）已知双曲线条渐线方程双曲线离心率(A)
（A） （B） （C） （D）
解析双曲线焦点x轴渐线方程选A
题考察双曲线渐线方程离心率公式涉abc间关系较简单
（10） (C)
（A） （B）
（C） （D）
解析
选C
题考察函数解析式变换三角函数二倍角公式记忆成分较重难度般
（11）设等差数列前项(A)
（A） （B） （C） （D）
解析等差数列求公式
选A
题考察等数列求公式难度般
（12）函数值(C)
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
解析表示数轴点123…19距离知x1—19中间时f(x)取值x10时f(x)值90选C
题考察求符号意义绝值意义难度稍求符号高中求范围线性回中简单提
理科数学
第ＩＩ卷（非选择题90分）
注意事项：
卷2页10题黑碳素笔答案答答题卡答试卷答案效
二．填空题：题４题题４分１６分答案填横线
（13）展开式中常数项 45（数字作答）
解析 求常数项405r0r8代入通项公式
题利二项式通项公式(次数0求出r)求出答案较简单
（14）已知三角ABC成等差数列边BC中线AD长
解析 三角ABC成等差数列A+C2BA+B+C
AD边BC中线知BD2余弦定理定理
题考察等差中项余弦定理涉三角形角定理难度中等
（15）点直线圆分成两段弧劣弧圆心角时直线斜率
解析(数形结合)图形知点A圆部 圆心O(20)劣弧圆心角直线
题考察数形结合思想两条相互垂直直线斜率关系难度中等
（16）社会调查机构某居民月收入调查10000根数画样频率分布直方图（图）分析居民收入年龄学历职业等方面关系10000中分层抽样方法抽出100作进步调查（元）月收入段应抽出 25
解析直方图（元）月收入段
分层抽样应抽出
题考察直方图分层抽样难度般
三．解答题：题６题７４分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分１２分）
已知量
（I）求 （II）求值
解(1)
1时值时
值
题考察知识点1量垂直转化数量积0 2特殊角三角函数值
3三角函数基关系三角函数界性 4已知量坐标表示求模
难度中等计算量
（18）（题满分１２分）
某批产品成箱包装箱5件户购进该批产品前先取出3箱箱中意出取2件产品进行检验设取出第二三箱中分0件1件2件二等品余等品
（I）表示抽检6件产品中二等品件数求分布列数学期
（II）抽检6件产品中2件2件二等品户拒绝购买批产品求批产品户拒绝概率
解(1)
分布列
0
1
2
3
P
数学期E()
(2)P()
题考察分布列求法利分布列求期概率难度民族区学生较
（19）（题满分１２分）
图直三棱柱中分中点
（I）证明：ED异面直线公垂线
（II）设求二面角
提示1证明两条异面直线垂直相交 利等腰三角形
2 连等腰直角三角形面射影点二面角()
题考察知识点1异面直线公垂线段定义(两条异面直线均垂直切相交)
2直棱柱性质(侧棱垂底面) 3三角形边关系
4二面角求法(射影面积者直接作出二面角) 难度民族区考生较
（20）（题１２分）
设函数成立求实数取值范围
解析令 g(x)求导
令
时x>0单调增函数
g(0)0 成立
a>1时 g(x)
f(x)1时定成立
综述知a取值范围
题考察函数导数利导数判断函数单调性涉分类讨数学思想
难度较
（21）（题满分１４分）
已知抛物线焦点FAB热线两动点AB两点分作抛物线切线设交点M
（I）证明定值
（II）设面积S写出表达式求S值
提示 F点坐标(01)设A点坐标 B点坐标
A点切线方程 (1)
B点切线方程 (2)
解(1)( 2)构成方程组点M坐标0 定值
2 0三角形面积
仅时取等号
题考察线量关系曲线切线方程直线交点量数量积等知识点
涉均值等式计算较复杂难度
（22）（题满分１２分）
设数列前项方程
根
（I）求
（II）求通项公式
提示1 方程根代入方程
n1n2代入式
2 求出等猜想
数学纳法进行证明
题考察1般数列通项公式 求公式间关系
2方程根意义(根代入方程成立)
3数学纳法证明数列通项公式(分开
难道较计算较易数列前面项关系较容易发现
试卷总体评价难度算考察知识点注重基公式数形结合等数学思想考察选择题填空题较简单解答题定难度保证学般学生100左右分数高分较困难较区分度
函数周期性函数连续性极限等知识点没试卷考察范围新题
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数学（理工农医类）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷12页第Ⅱ卷3
4页．考试结束试卷答题卡交回．满分150分考试时间120分钟．
注意事项：
1． 答题前考生务必黑色碳素笔姓名准考证号考场号座位号答题卡填写清楚认真核准条形码准考证号姓名考场号座位号科目规定位置贴条形码．
2． 题选出答案2B铅笔答题卡应题目答案标号涂黑．需改动橡皮擦擦干净选涂答案标号．答试卷答案效．
参考公式：
果事件AB互斥 球表面公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
果事件AB相互独立 中R表示球半径
P(AB)＝P(A)P(B) 球体积公式
果事件A次试验中发生概率P V＝πR2
n次独立重复试验中恰发生k次概率 中R表示球半径
P(k)＝Pk(1－P)n－k
卷12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
第Ⅰ卷（选择题 30分）
选择题
（1）已知集合M＝｛x|x＜3｝N＝｛x|log2x＞1｝M∩N＝
（A） （B）｛x|0＜x＜3｝
（C）｛x|1＜x＜3｝ （D）｛x|2＜x＜3｝
（2）函数y＝sin2xcos2x正周期
（A）2π （B）4π （C） （D）
（3）＝
（A）i （B）－i （C） （D）－
(4)球条半径中点作垂直该半径面截面面积球表面积
（A） (B) (C) (D)
(5)已知△ABC顶点BC椭圆＋y2＝1顶点A椭圆焦点椭圆外焦点BC边△ABC周长
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
（6）函数y＝lnx－1(x＞0)反函数
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R)
（C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
α
β
A
B
A′
B′
（7）图面α⊥面βA∈αB∈βAB两面αβ成角分AB分作两面交线垂线垂足A′B′AB∶A′B′＝
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
（8）函数y＝f(x)图函数g(x)＝log2x(x＞0)图关原点
称f(x)表达式
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
（9）已知双曲线条渐线方程y＝x双曲线离心率
（A） (B) (C) (D)
(10)f(sinx)＝3－cos2xf(cosx)＝
（A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x
（11）设Sn等差数列｛an｝前n项＝＝
（A） （B） （C） （D）
（12）函数f(x)＝值
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
绝密★启前
2006年普通高等学校招生全国统考试
数学（理工农医类）
第Ⅱ卷
（卷10题90分）
注意事项：
1．考生答案直接答试卷必须答答题卡．
2．答题前请认真阅读答题卡注意事项．
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡．
（13）(x4＋)10展开式中常数项 （数字作答）
（14）已知△ABC三角ABC成等差数列AB＝1BC＝4边BC中线AD长 ．
（15）点（1）直线l圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧劣弧圆心角时直线l斜率k＝ ．
（16）社会调查机构某居民月收入调查10 000根数画样频率分布直方图（图）．分析居民收入年龄学历职业等方面关系10 000中分层抽样方法抽出100作进步调查［25003000）（元）月收入段应抽出 ．
00001
00002
00003
00004
00005
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入(元)
频率组距
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（17）（题满分12分）
已知量a＝(sinθ1)b＝(1cosθ)－＜θ＜．
（Ⅰ）a⊥b求θ
（Ⅱ）求｜a＋b｜值．
（18）（题满分12分）
某批产品成箱包装箱5件．户购进该批产品前先取出3箱箱中意抽取2件产品进行检验．设取出第二三箱中分0件1件2件二等品余等品．
（Ⅰ）ξ表示抽检6件产品中二等品件数求ξ分布列ξ数学期
（Ⅱ）抽检6件产品中2件2件二等品户拒绝购买批产品求批产品级户拒绝概率．
（19）（题满分12分）
图直三棱柱ABC－A1B1C1中AB＝BCDE分BB1AC1中点．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
（Ⅰ）证明：ED异面直线BB1AC1公垂线
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB求二面角A1－AD－C1．
（20）（题满分12分）
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)x≥0f(x)≥ax成立求实数a取值范围．
（21）（题满分14分）
已知抛物线x2＝4y焦点FAB抛物线两动点＝λ（λ＞0）．AB两点分作抛物线切线设交点Ｍ．
（Ⅰ）证明·定值
（Ⅱ）设△ABM面积S写出S＝f(λ)表达式求S值．
（22）（题满分12分）
设数列｛an｝前n项Sn方程x2－anx－an＝0根Sn－1n＝123…．
（Ⅰ）求a1a2
（Ⅱ）｛an｝通项公式．
2006年普通高等学校招生全国统考试
理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案评分参考
评分说明：
1．解答出种种解法供参考果考生解法解答根试题考查容评分参考制订相应评分细．
2．计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半果继部分解答较严重错误分．
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
4．整数分数—选择题填空题中间分．
选择题
⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C
二填空题
⒀45 ⒁ ⒂ ⒃25
三解答题
17．解：（Ⅰ）a⊥bsinθ＋cosθ＝0……………2分
tanθ＝－1(－＜θ＜) θ＝－………………4分
（Ⅱ）a＝(sinθ1)b＝(1cosθ)
｜a＋b｜＝＝
＝………………10分
sin(θ＋)＝1时|a＋b|取值θ＝时|a＋b|值＋1．……12分
18．解：（Ⅰ）ξ取值0123．
P(ξ＝0)＝·＝＝
P(ξ＝1)＝·＋·＝
P(ξ＝2)＝·＋·＝
P(ξ＝3)＝·＝． ………………8分
ξ分布列
ξ
0
1
2
3
P
数学期Eξ＝12．
(Ⅱ)求概率
p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ ……………12分
19．解法：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
F
（Ⅰ）设OAC中点连接EOBOEOC1CC1CB1BEODBEOBD行四边形ED∥OB． ……2分
∵AB＝BC∴BO⊥AC
面ABC⊥面ACC1A1BOÌ面ABCBO⊥面ACC1A1
∴ED⊥面ACC1A1BD⊥AC1ED⊥CC1
∴ED⊥BB1ED异面直线AC1BB1公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1EAA1＝AC＝AB知A1ACC1正方形
∴A1E⊥AC1ED⊥面ACC1A1EDÌ面ADC1知面
ADC1⊥面A1ACC1∴A1E⊥面ADC1．作EF⊥AD垂足F连接A1FA1F⊥AD∠A1FE二面角A1－AD－C1面角．
妨设AA1＝2AC＝2AB＝ED＝OB＝1EF＝＝
tan∠A1FE＝∴∠A1FE＝60°．
二面角A1－AD－C160°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）图建立直角坐标系O－xyz中原点OAC中点．
设A(a00)B(0b0)B1(0b2c)．
C(－a00)C1(－a02c)E(00c)D(0bc)． ……3分
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
＝（0b0）＝(002c)．
·＝0∴ED⊥BB1．
＝(－2a02c)
·＝0∴ED⊥AC1 ……6分
ED异面直线BB1AC1公垂线．
（Ⅱ）妨设A(100)B(010)C(－100)A1(102)
＝(－1－10)＝(－110)＝(002)
·＝0·＝0BC⊥ABBC⊥AA1AB∩AA1＝A
∴BC⊥面A1AD．
E(001)D(011)C(－101)
＝(－10－1)＝(－101)＝(010)
·＝0·＝0EC⊥AEEC⊥EDAE∩ED＝E
∴ EC⊥面C1AD． ……10分
cos＜＞＝＝夹角60°．
二面角A1－AD－C160°． ………12分
20．解法：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax
函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0解x＝ea－1－1 ……5分
(i)a≤1时x＞0g′(x)＞0g(x)[0＋∞)增函数
g(0)＝0x≥0g(x)≥g(0)
a≤1时x≥0 f(x)≥ax． ……9分
(ii)a＞1时0＜x＜ea－1－1g′(x)＜0g(x)(0ea－1－1)减函数
g(0)＝00＜x＜ea－1－1g(x)＜g(0)
a＞1时x≥0f(x)≥ax成立．
综a取值范围（－∞1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax
等式f(x)≥ax成立g(x)≥g(0)成立． ……3分
函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0解x＝ea－1－1 ……6分
x＞ ea－1－1时g′(x)＞0g(x)增函数
－1＜x＜ea－1－1g′(x)＜0g(x)减函数 ……9分
x≥0g(x)≥g(0)充条件ea－1－1≤0．
a≤1a取值范围（－∞1]． ……12分
21．解：(Ⅰ)已知条件F(01)λ＞0．
设A(x1y1)B(x2y2)．＝λ
(－x11－y)＝λ(x2y2－1)
①式两边方y1＝x12y2＝x22代入 y1＝λ2y2 ③
解②③式y1＝λy2＝x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4
抛物线方程y＝x2求导y′＝x．
抛物线AB两点切线方程分
y＝x1(x－x1)＋y1y＝x2(x－x2)＋y2
y＝x1x－x12y＝x2x－x22．
解出两条切线交点M坐标()＝(－1)． ……4分
·＝(－2)·(x2－x1y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
·定值值0． ……7分
(Ⅱ)(Ⅰ)知△ABM中FM⊥ABS＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
|AF||BF|分等AB抛物线准线y＝－1距离
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
S＝|AB||FM|＝(＋)3
＋≥2知S≥4λ＝1时S取值4．
22．解：(Ⅰ)n＝1时x2－a1x－a1＝0根S1－1＝a1－1
(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0解a1＝．
n＝2时x2－a2x－a2＝0根S2－1＝a2－
(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0解a1＝．
(Ⅱ)题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0
Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
n≥2时an＝Sn－Sn－1代入式
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
(Ⅰ)知S1＝a1＝S2＝a1＋a2＝＋＝．
①S3＝．
猜想Sn＝n＝123…． ……8分
面数学纳法证明结．
(i)n＝1时已知结成立．
(ii)假设n＝k时结成立Sk＝
n＝k＋1时①Sk＋1＝Sk＋1＝
n＝k＋1时结成立．
综(i)(ii)知Sn＝正整数n成立． ……10分
n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝
n＝1时a1＝＝
｛an｝通项公式an＝n＝123…． ……12分
2006高考数学试题全国II卷理科试题
试卷分第Ｉ卷（选择题）第ＩＩ卷（非选择题）两部分第Ｉ卷１２页第ＩＩ卷３４页考试结束试卷答题卡交回
第Ｉ卷
注意事项：
１．答题前考生答题卡务必黑色签字笔姓名准考号填写清楚贴条形码请认真核准条形码准考证号姓名科目
２．题选出答案２Ｂ铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号试题卷作答效
球表面积公式
中Ｒ表示球半径
球体积公式
中Ｒ表示球半径
３．卷１２题题５分６０分题出四选项中项符合题目求
参考公式
果事件ＡＢ互斥
果事件ＡＢ相互独立
果事件Ａ次试验中发生概率Ｐ
次独立重复试验中恰发生次概率
．选择题
（1）已知集合 (D)
（A） （B）
（C） （D）
解析数轴表示答案D
考察知识点数函数单调性集合交集 题较容易
（2）函数正周期(D)
（A） （B） （C） （D）
解析 正周期选D
考察知识点二倍角公式正周期公式 题较容易
（3）(A)
（A） （B） （C） （D）
解析 选A
题考察知识点复数运算(法法)较简单
（4）球条半径中点作垂直该半径面截面面积球表面积(A)
（A） （B） （C） （D）
解析设球半径R 球条半径中点作垂直该半径面勾股定理半径圆选A
题考察截面形状球表面积公式难度中等
（5）已知顶点BC椭圆顶点A椭圆焦点椭圆外焦点BC边周长 ( C)
（A） （B）6 （C） （D）12
解析(数形结合)椭圆定义椭圆点两焦点距离等长轴长2a周长4a选C
题考察数形结合思想椭圆基性质难度中等
（6）函数反函数(B)
（A） （B）
（C） （D）
解析反函数选B
题考察反函数求法数式指数式互化难度中等
（7）图面面两面成角分AB分作两面交线垂线垂足(A)
（A） （B）
（C） （D）
解析连接设ABaAB面成角理AB面成角选A
题考察直线面成角线面垂直关系勾股定理直角三角形中边角关系定难度
（8）函数图函数图关原点称表达式(D)
（A） （B）
（C） （D）
解析(xy)关原点称点(xy) 选D
题考察称性质数相关性质较简单容易搞混实
（9）已知双曲线条渐线方程双曲线离心率(A)
（A） （B） （C） （D）
解析双曲线焦点x轴渐线方程选A
题考察双曲线渐线方程离心率公式涉abc间关系较简单
（10） (C)
（A） （B）
（C） （D）
解析
选C
题考察函数解析式变换三角函数二倍角公式记忆成分较重难度般
（11）设等差数列前项(A)
（A） （B） （C） （D）
解析等差数列求公式
选A
题考察等数列求公式难度般
（12）函数值(C)
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
解析表示数轴点123…19距离知x1—19中间时f(x)取值x10时f(x)值90选C
题考察求符号意义绝值意义难度稍求符号高中求范围线性回中简单提
理科数学
第ＩＩ卷（非选择题90分）
注意事项：
卷2页10题黑碳素笔答案答答题卡答试卷答案效
二．填空题：题４题题４分１６分答案填横线
（13）展开式中常数项 45（数字作答）
解析 求常数项405r0r8代入通项公式
题利二项式通项公式(次数0求出r)求出答案较简单
（14）已知三角ABC成等差数列边BC中线AD长
解析 三角ABC成等差数列A+C2BA+B+C
AD边BC中线知BD2余弦定理定理
题考察等差中项余弦定理涉三角形角定理难度中等
（15）点直线圆分成两段弧劣弧圆心角时直线斜率
解析(数形结合)图形知点A圆部 圆心O(20)劣弧圆心角直线
题考察数形结合思想两条相互垂直直线斜率关系难度中等
（16）社会调查机构某居民月收入调查10000根数画样频率分布直方图（图）分析居民收入年龄学历职业等方面关系10000中分层抽样方法抽出100作进步调查（元）月收入段应抽出 25
解析直方图（元）月收入段
分层抽样应抽出
题考察直方图分层抽样难度般
三．解答题：题６题７４分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分１２分）
已知量
（I）求 （II）求值
解(1)
1时值时
值
题考察知识点1量垂直转化数量积0 2特殊角三角函数值
3三角函数基关系三角函数界性 4已知量坐标表示求模
难度中等计算量
（18）（题满分１２分）
某批产品成箱包装箱5件户购进该批产品前先取出3箱箱中意出取2件产品进行检验设取出第二三箱中分0件1件2件二等品余等品
（I）表示抽检6件产品中二等品件数求分布列数学期
（II）抽检6件产品中2件2件二等品户拒绝购买批产品求批产品户拒绝概率
解(1)
分布列
0
1
2
3
P
数学期E()
(2)P()
题考察分布列求法利分布列求期概率难度民族区学生较
（19）（题满分１２分）
图直三棱柱中分中点
（I）证明：ED异面直线公垂线
（II）设求二面角
提示1证明两条异面直线垂直相交 利等腰三角形
2 连等腰直角三角形面射影点二面角()
题考察知识点1异面直线公垂线段定义(两条异面直线均垂直切相交)
2直棱柱性质(侧棱垂底面) 3三角形边关系
4二面角求法(射影面积者直接作出二面角) 难度民族区考生较
（20）（题１２分）
设函数成立求实数取值范围
解析令 g(x)求导
令
时x>0单调增函数
g(0)0 成立
a>1时 g(x)
f(x)
综述知a取值范围
题考察函数导数利导数判断函数单调性涉分类讨数学思想
难度较
（21）（题满分１４分）
已知抛物线焦点FAB热线两动点AB两点分作抛物线切线设交点M
（I）证明定值
（II）设面积S写出表达式求S值
提示 F点坐标(01)设A点坐标 B点坐标
A点切线方程 (1)
B点切线方程 (2)
解(1)( 2)构成方程组点M坐标0 定值
2 0三角形面积
仅时取等号
题考察线量关系曲线切线方程直线交点量数量积等知识点
涉均值等式计算较复杂难度
（22）（题满分１２分）
设数列前项方程
根
（I）求
（II）求通项公式
提示1 方程根代入方程
n1n2代入式
2 求出等猜想
数学纳法进行证明
题考察1般数列通项公式 求公式间关系
2方程根意义(根代入方程成立)
3数学纳法证明数列通项公式(分开
难道较计算较易数列前面项关系较容易发现
试卷总体评价难度算考察知识点注重基公式数形结合等数学思想考察选择题填空题较简单解答题定难度保证学般学生100左右分数高分较困难较区分度
函数周期性函数连续性极限等知识点没试卷考察范围新题
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