2008年普通高等学校招生全国统考试
数 学（理工农医类）（福建卷）
第Ⅰ卷（选择题60分）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
(1)复数(a23a+2)+(a1)i纯虚数实数a值
A1 B2 C12 D1
(2)设集合A{x|}B{x|0＜x＜3mAmB
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D充分必条件
(3)设｛an｝公正数等数列n17a516数列｛an｝前7项
A63 B64 C127 D128
(4)函数f(x)x3+sinx+1(xR)f(a)2f(a)值
A3 B0 C1 D2
(5)某批花生种子果1粒发牙概率播4粒种子恰2粒发芽概率
A B C D
(6)图长方体ABCDA1B1C1D1中ABBC2AA11BC1面BB1D1D成角正弦值
A B C D
(7)某班级4名男生2名女生中选派4参加某次社区服务果求少1名女生选派方案种数
A14 B24 C28 D48
(8)实数xy满足取值范围
A(01) B C(1+) D
(9)函数f(x)cosx(x)(xR)图象量(m0) 移函数yf′(x)图象m值
A B C－ D－
(10)△ABC中角ABC边分abc(a2+c2b2)tanB角B值
A B C D
(11)曲线（a＞0b＞0）两焦点F1F2P点|PF1|2|PF2|双曲线离心率取值范围
A(13) B C(3+) D
(12)已知函数yf(x)yg(x)导函数图象图yf(x)yg(x)图象
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡相应位置
（13）(x2)5a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0a1+a2+a3+a4+a5__________(数字作答)
x1+cos
(14)直线3x+4y+m0圆 y2+sin
（参数）没公点实数m取值范围
（15）三棱锥三侧圆两两垂直侧棱长均外接球表面积
（16）设P数集少含两数意ab∈Ra+bab ab ∈P（数b≠0）称P数域例理数集Q数域数集数域
列命题：
①整数集数域 ②理数集数集M必数域
③数域必限集 ④存穷数域
中正确命题序号 （认正确命题序号填填）
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分12分）
已知量m(sinAcosA)nm·n＝1A锐角
（Ⅰ）求角A（Ⅱ）求函数值域
（18）（题满分12分）
图四棱锥PABCD中面PAD⊥底面ABCD侧棱PAPD＝底面ABCD直角梯形中BC∥ADAB⊥ADAD2AB2BC2OAD中点
（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCD
（Ⅱ）求异面直线PDCD成角
（Ⅲ）线段AD否存点Q面PCD距离？存求出 值存请说明理
（19）（题满分12分）已知函数
（Ⅰ）设{an}正数组成数列前n项Sn中a13点(n∈N*)函数yf′(x)图象求证：点（nSn）yf′(x)图象
（Ⅱ）求函数f(x)区间（a1a）极值
（20）（题满分12分）
某项考试科目A科目B次进行科目A成绩合格时继续参加科
目B考试已知科目允许次补考机会两科目成绩均合格方获证
书现某参加项考试科目A次考试成绩合格概率均科目B次考试
成绩合格概率均假设次考试成绩合格否均互影响
（Ⅰ）求需补考获证书概率
（Ⅱ）项考试程中假设放弃考试机会记参加考试次数求数学期E
（21）（题满分12分）
图椭圆焦点F（10）O坐标原点
（Ⅰ）已知椭圆短轴两三等分点焦点构成正三角形求椭圆方程
（Ⅱ）设点F直线l交椭圆AB两点直线l绕点F意转动值求a取值范围
（22）（题满分14分）
已知函数f(x)ln(1+x)x1
（Ⅰ）求f(x)单调区间
（Ⅱ）记f(x)区间（n∈N*）值bx令anln(1+n)bx
（Ⅲ）果切n等式恒成立求实数c取值范围
（Ⅳ）求证：
数学试题（理工农医类）参考答案
选择题：题考查基概念基运算题5分满分60分
（1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D
（7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D
二填空题：题考查基础知识基运算题4分满分16分
（13）31 （14） （15）9 （16）③④
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）题考查面量数量积计算三角函数基公式三角恒等变换元二次函数值等基知识考查运算力满分12分
解：（Ⅰ）题意
A锐角
（Ⅱ）（Ⅰ）知
x∈R时f(x)值
sinx1时f(x)值3求函数f(x)值域
（18）题考查直线面位置关系异面直线成角点面距离等基知识考查空间想象力逻辑思维力运算力满分12分
解法：
（Ⅰ）证明：△PAD中PAPDOAD中点PO⊥AD
侧面PAD⊥底面ABCD面面ABCDAD 面PAD
PO⊥面ABCD
（Ⅱ）连结BO直角梯形ABCD中BC∥ADAD2AB2BC
OD∥BCODBC四边形OBCD行四边形
OB∥DC
（Ⅰ）知PO⊥OB∠PBO锐角
∠PBO异面直线PBCD成角
AD2AB2BC2Rt△AOB中AB1AO1
OB＝
Rt△POA中AP＝AO＝1OP＝1
Rt△PBO中tan∠PBO＝
异面直线PBCD成角
（Ⅲ）假设存点Q面PCD距离
设QD＝x（Ⅱ）CDOB
Rt△POC中
PCCDDP
VpDQCVQPCD2存点Q满足题意时
解法二：
(Ⅰ)解法
(Ⅱ)O坐标原点方分x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系Oxyz题意易A(010)B(110)C(100)D(010)
P(001)
异面直线PBCD成角arccos
(Ⅲ)假设存点Q面PCD距离
(Ⅱ)知
设面PCD法量n(x0y0z0)
取x01面PCD法量n(111)
设解yy(舍)
时存点Q满足题意时
(19)题考查函数极值等差数列等基知识考查分类整合转化化等数学思想方法考查分析问题解决问题力满分12分
(Ⅰ)证明：′(x)x2+2x
点函数yf′(x)图象
′(n)n2+2n
点函数yf′(x)图象
(Ⅱ)解
x变化时﹑变化情况表
x
(∞2)
2
(20)
0
(0+∞)
f′(x)
+
0
0
+
f(x)
↗
极值
↘
极值
↗
注意
①时极值
②极值时极值
③极值极值
(20)题考查概率基知识分类思想考查运数学知识分析问题解愉问题力满分12分
解设科目A第次考试合格事件A科目A补考合格事件A2科目B第次考试合格事件B科目B补考合格事件B
(Ⅰ)需补考获证书事件A1·B1注意A1B1相互独立
答：该考生需补考获证书概率
(Ⅱ)已知＝234注意事件间独立性互斥性
答：该考生参加考试次数数学期
(21)题考查直线椭圆位置关系等式解法等基知识考查分类整合思想考查运算力综合解题力满分12分
解法：(Ⅰ)设MN短轴两三等分点
△MNF正三角形
1＝
椭圆方程
(Ⅱ)设
(ⅰ)直线 ABx轴重合时
(ⅱ)直线ABx轴重合时
设直线AB方程：
整理
恒AOB恒钝角
恒成立
a2+b2m2>0m2a2b2+b2a2b2+a2<0mR恒成立
a2b2m2> a2 a2b2+b2mR恒成立
mR时a2b2m2值0a2 a2b2+b2<0
a2a>0b>0a0
解a>a<(舍)a>
综合（i）(ii)a取值范围（+）
解法二：
（Ⅰ）解法
（Ⅱ）解：（i）直线l垂直x轴时
x1代入1
恒|OA|2+|OB|2<|AB|22(1+yA2)<4 yA2 yA2>1>1
解a>a<(舍)a>
（ii）直线l垂直x轴时设A（x1y1） B（x2y2）
设直线AB方程yk(x1)代入
(b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2 a2 b20
x1+x2
恒|OA|2+|OB|2<|AB|2
x21+y21+ x22+ y22<( x2x1)2+(y2y1)2
x1x2+ y1y2<0恒成立
x1x2+ y1y2 x1x2+k2(x11) (x21)(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2
(1+k2)
题意（a2 a2 b2+b2）k2 a2 b2<0kR恒成立
①a2 a2 b2+b2>0时合题意
②a2 a2 b2+b20时a
③a2 a2 b2+b2<0时a2 a2(a21)+ (a21)<0a4 3a2 +1>0
解a2>a2>（舍）a>a
综合（i）（ii）a取值范围（+）
（22）题考查函数单调性值等式数列等基知识考查运导数研究函数性质方法考查分析问题解决问题力满分14分
解法：
（I）f(x)ln(1+x)x函数定义域（1+）f〃(x)1
f〃(x)>01f〃(x)<0x>0f(x)单调递增区间（0+）
(II)f(x)[0n]减函数bnf(n)ln(1+n)n
anln(1+n)bnln(1+n)ln(1+n)+nn
(i)
>
lim
c<1实数c取值范围（1）
（II）（i）知
[]2
＜(nN*)
＜
N*）
解法二：
（Ⅰ）解法
（Ⅱ）f(x)减函数
（i）n∈N*恒成立n∈N*恒成立
n∈N*恒成立
设 n∈N*c＜g(n)n∈N*恒成立
考虑
＝0
减函数n∈N*时g(n)n增减
＝1
切c≤1实数c取值范围(∞1]
(ⅱ) (ⅰ)知
面数学纳法证明等式
①n1时左边＝右边＝左边<右边等式成立
②假设nk时等式成立
nk+1时
n＝k＋1时等式成立
综合①②等式成立
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数 学（理工农医类）（福建卷）
第Ⅰ卷（选择题60分）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
(1)复数(a23a+2)+(a1)i纯虚数实数a值
A1 B2 C12 D1
(2)设集合A{x|}B{x|0＜x＜3mAmB
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D充分必条件
(3)设｛an｝公正数等数列n17a516数列｛an｝前7项
A63 B64 C127 D128
(4)函数f(x)x3+sinx+1(xR)f(a)2f(a)值
A3 B0 C1 D2
(5)某批花生种子果1粒发牙概率播4粒种子恰2粒发芽概率
A B C D
(6)图长方体ABCDA1B1C1D1中ABBC2AA11BC1面BB1D1D成角正弦值
A B C D
(7)某班级4名男生2名女生中选派4参加某次社区服务果求少1名女生选派方案种数
A14 B24 C28 D48
(8)实数xy满足取值范围
A(01) B C(1+) D
(9)函数f(x)cosx(x)(xR)图象量(m0) 移函数yf′(x)图象m值
A B C－ D－
(10)△ABC中角ABC边分abc(a2+c2b2)tanB角B值
A B C D
(11)曲线（a＞0b＞0）两焦点F1F2P点|PF1|2|PF2|双曲线离心率取值范围
A(13) B C(3+) D
(12)已知函数yf(x)yg(x)导函数图象图yf(x)yg(x)图象
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡相应位置
（13）(x2)5a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0a1+a2+a3+a4+a5__________(数字作答)
x1+cos
(14)直线3x+4y+m0圆 y2+sin
（参数）没公点实数m取值范围
（15）三棱锥三侧圆两两垂直侧棱长均外接球表面积
（16）设P数集少含两数意ab∈Ra+bab ab ∈P（数b≠0）称P数域例理数集Q数域数集数域
列命题：
①整数集数域 ②理数集数集M必数域
③数域必限集 ④存穷数域
中正确命题序号 （认正确命题序号填填）
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分12分）
已知量m(sinAcosA)nm·n＝1A锐角
（Ⅰ）求角A（Ⅱ）求函数值域
（18）（题满分12分）
图四棱锥PABCD中面PAD⊥底面ABCD侧棱PAPD＝底面ABCD直角梯形中BC∥ADAB⊥ADAD2AB2BC2OAD中点
（Ⅰ）求证：PO⊥面ABCD
（Ⅱ）求异面直线PDCD成角
（Ⅲ）线段AD否存点Q面PCD距离？存求出 值存请说明理
（19）（题满分12分）已知函数
（Ⅰ）设{an}正数组成数列前n项Sn中a13点(n∈N*)函数yf′(x)图象求证：点（nSn）yf′(x)图象
（Ⅱ）求函数f(x)区间（a1a）极值
（20）（题满分12分）
某项考试科目A科目B次进行科目A成绩合格时继续参加科
目B考试已知科目允许次补考机会两科目成绩均合格方获证
书现某参加项考试科目A次考试成绩合格概率均科目B次考试
成绩合格概率均假设次考试成绩合格否均互影响
（Ⅰ）求需补考获证书概率
（Ⅱ）项考试程中假设放弃考试机会记参加考试次数求数学期E
（21）（题满分12分）
图椭圆焦点F（10）O坐标原点
（Ⅰ）已知椭圆短轴两三等分点焦点构成正三角形求椭圆方程
（Ⅱ）设点F直线l交椭圆AB两点直线l绕点F意转动值求a取值范围
（22）（题满分14分）
已知函数f(x)ln(1+x)x1
（Ⅰ）求f(x)单调区间
（Ⅱ）记f(x)区间（n∈N*）值bx令anln(1+n)bx
（Ⅲ）果切n等式恒成立求实数c取值范围
（Ⅳ）求证：
数学试题（理工农医类）参考答案
选择题：题考查基概念基运算题5分满分60分
（1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D
（7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D
二填空题：题考查基础知识基运算题4分满分16分
（13）31 （14） （15）9 （16）③④
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）题考查面量数量积计算三角函数基公式三角恒等变换元二次函数值等基知识考查运算力满分12分
解：（Ⅰ）题意
A锐角
（Ⅱ）（Ⅰ）知
x∈R时f(x)值
sinx1时f(x)值3求函数f(x)值域
（18）题考查直线面位置关系异面直线成角点面距离等基知识考查空间想象力逻辑思维力运算力满分12分
解法：
（Ⅰ）证明：△PAD中PAPDOAD中点PO⊥AD
侧面PAD⊥底面ABCD面面ABCDAD 面PAD
PO⊥面ABCD
（Ⅱ）连结BO直角梯形ABCD中BC∥ADAD2AB2BC
OD∥BCODBC四边形OBCD行四边形
OB∥DC
（Ⅰ）知PO⊥OB∠PBO锐角
∠PBO异面直线PBCD成角
AD2AB2BC2Rt△AOB中AB1AO1
OB＝
Rt△POA中AP＝AO＝1OP＝1
Rt△PBO中tan∠PBO＝
异面直线PBCD成角
（Ⅲ）假设存点Q面PCD距离
设QD＝x（Ⅱ）CDOB
Rt△POC中
PCCDDP
VpDQCVQPCD2存点Q满足题意时
解法二：
(Ⅰ)解法
(Ⅱ)O坐标原点方分x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系Oxyz题意易A(010)B(110)C(100)D(010)
P(001)
异面直线PBCD成角arccos
(Ⅲ)假设存点Q面PCD距离
(Ⅱ)知
设面PCD法量n(x0y0z0)
取x01面PCD法量n(111)
设解yy(舍)
时存点Q满足题意时
(19)题考查函数极值等差数列等基知识考查分类整合转化化等数学思想方法考查分析问题解决问题力满分12分
(Ⅰ)证明：′(x)x2+2x
点函数yf′(x)图象
′(n)n2+2n
点函数yf′(x)图象
(Ⅱ)解
x变化时﹑变化情况表
x
(∞2)
2
(20)
0
(0+∞)
f′(x)
+
0
0
+
f(x)
↗
极值
↘
极值
↗
注意
①时极值
②极值时极值
③极值极值
(20)题考查概率基知识分类思想考查运数学知识分析问题解愉问题力满分12分
解设科目A第次考试合格事件A科目A补考合格事件A2科目B第次考试合格事件B科目B补考合格事件B
(Ⅰ)需补考获证书事件A1·B1注意A1B1相互独立
答：该考生需补考获证书概率
(Ⅱ)已知＝234注意事件间独立性互斥性
答：该考生参加考试次数数学期
(21)题考查直线椭圆位置关系等式解法等基知识考查分类整合思想考查运算力综合解题力满分12分
解法：(Ⅰ)设MN短轴两三等分点
△MNF正三角形
1＝
椭圆方程
(Ⅱ)设
(ⅰ)直线 ABx轴重合时
(ⅱ)直线ABx轴重合时
设直线AB方程：
整理
恒AOB恒钝角
恒成立
a2+b2m2>0m2a2b2+b2a2b2+a2<0mR恒成立
a2b2m2> a2 a2b2+b2mR恒成立
mR时a2b2m2值0a2 a2b2+b2<0
a2
解a>a<(舍)a>
综合（i）(ii)a取值范围（+）
解法二：
（Ⅰ）解法
（Ⅱ）解：（i）直线l垂直x轴时
x1代入1
恒|OA|2+|OB|2<|AB|22(1+yA2)<4 yA2 yA2>1>1
解a>a<(舍)a>
（ii）直线l垂直x轴时设A（x1y1） B（x2y2）
设直线AB方程yk(x1)代入
(b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2 a2 b20
x1+x2
恒|OA|2+|OB|2<|AB|2
x21+y21+ x22+ y22<( x2x1)2+(y2y1)2
x1x2+ y1y2<0恒成立
x1x2+ y1y2 x1x2+k2(x11) (x21)(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2
(1+k2)
题意（a2 a2 b2+b2）k2 a2 b2<0kR恒成立
①a2 a2 b2+b2>0时合题意
②a2 a2 b2+b20时a
③a2 a2 b2+b2<0时a2 a2(a21)+ (a21)<0a4 3a2 +1>0
解a2>a2>（舍）a>a
综合（i）（ii）a取值范围（+）
（22）题考查函数单调性值等式数列等基知识考查运导数研究函数性质方法考查分析问题解决问题力满分14分
解法：
（I）f(x)ln(1+x)x函数定义域（1+）f〃(x)1
f〃(x)>01
(II)f(x)[0n]减函数bnf(n)ln(1+n)n
anln(1+n)bnln(1+n)ln(1+n)+nn
(i)
>
lim
c<1实数c取值范围（1）
（II）（i）知
[]2
＜(nN*)
＜
N*）
解法二：
（Ⅰ）解法
（Ⅱ）f(x)减函数
（i）n∈N*恒成立n∈N*恒成立
n∈N*恒成立
设 n∈N*c＜g(n)n∈N*恒成立
考虑
＝0
减函数n∈N*时g(n)n增减
＝1
切c≤1实数c取值范围(∞1]
(ⅱ) (ⅰ)知
面数学纳法证明等式
①n1时左边＝右边＝左边<右边等式成立
②假设nk时等式成立
nk+1时
n＝k＋1时等式成立
综合①②等式成立
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