偏导数应
1 [2012] 求曲面点处切面法线方程
解 令
切点法量
切面
法线方程
3[07]曲线点切线方程
4[07]（化工类做）曲面求出切面切面面行
解：曲面法量应面面法量行
切点曲面
切面
5[2006]已知直线面（ B ）
A B行
C垂直 D垂直行
6[2006]曲面点处法线方程
7 [2006]（化工类做） 已知直线证明：求确定面方程
证明：直线取两点方量方量
设确定面方程点点
求方程
二元函数
1 2012设 0
2 2012设
3 2012 函数点处指点方方导数
4 2012证明函数点连续存阶偏导数
解 关二重极限存连续定义函数点连续
函数点存阶偏导数
52012设 求
解 令
公式
6 [2012] 曲面找点点距离短求短距离
解 设点
等价求约束值令
解驻点短距离
（令计算起更加方便舍驻点）
7[2011]
8[2011]
92011设函数二阶连续偏导数求函数二阶混合偏导数
102011求二元函数点处方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
112011求函数极值
12[2010]
13 [2010]
14 [2010]
15 [2010]
16[2009]
17[2009]
18[2009] 设中函数具二阶连续偏导数求
解：
19[2009] 求函数圆域值值
解：方法：时找驻点
唯驻点
时条件极值考虑函数
解方程组
求值值
方法二：设变成简单线性规划问题值4值
方法三：圆域写成
值4值
20[2009] （化工类做） 求方程组确定导数
21[2009] （化工类做） 求二元函数点处方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
22[2008] 函数点处微该点偏导数连续 必 条件（填必充分充）该点方导数 充分 条件（填必充分充）
23[2008] 设连续偏导数
24[2008]（化工类做学级数章学做）定曲面常数中连续偏导数证明曲面切面通定点
证：令
曲面点处切面
中动点
显然时成立切面均证毕
25[2008]（化工类做学级数章学做）设曲线点处切量求函数该点方导数
解：方程组两端求导
代入解点处切量单位切量
求方导数
26[2008] 设求
解：两边取微分
27[2008] 设极值
28[2008] 设长方形长宽高满足求体积长方体
解：令
约束条件
问题实际意义知体积长方体长宽高均3
29[2007] 设
30[2007] 已知 0
31[2007] 函数点处点点方方导数
32 [2007]设中具二阶连续偏导数求
解：
33[2007]（化工类做）证明函数原点处微点处连续
解：定义
理
函数原点处微
存点处存连续
34[2007]（化工类做）设方程确定函数中导求
解：方程两边取微分
35[2007]求约束条件值值
解：令
值定存值3值
36[2006] 点处微列结错误（ B ）
A点处连续
B点处连续
C点处存
D曲面点处切面
37[2006] 二重极限值（ D ）
A0 B1 C D存
38[2006]
39[2006] 函数点方方导数
40 [2006] 设函数
证明：1）点处偏导数存
2）点处微
证明：1）
点处偏导数存
2）
取时
极限值
函数处微
41 [2006] 设具连续二阶偏导数求
解：
42 [2006] 第卦限作椭球面切面该切面三坐标面围成四面体体积求切点坐标
解：设椭球面第象限点点切面方程
化成截距式方程
切面坐标面围成四面体体积（面掉标0）
求满足条件值需求满足条件值
拉格朗日数法需求函数驻点
时体积体积
切点坐标
三二重积分
1 [2012] 设围成区域
2 [2012] 计算二重积分中
解 积函数
积分区域关称取
3 [2012]设函数连续导数满足求
解 极坐标
两边求导标准化
4 [2011]
5 [2011] 交换二次积分积分次序：
6[2009] 求锥面柱面割部分曲面面积
解：
7 [2009]（化工类做） 计算二重积分中圆域
8[2008] 交换二次积分积分次序
9[2008] 求球面含圆柱面部部分面积
解：半球面部分
10[2007] 计算二重积分围成闭区域
解：作图知
11[2006] 交换积分次序
12 [2006] 计算二重积分中抛物线直线围成闭区域
解：原式
四三重积分
1 [2012] 设两球公部分计算三重积分
解
时垂直轴面截区域截面圆域
时垂直轴面截区域截面圆域
分段先二积分
22011交光滑闭曲面单位外法量 围成区域证明
3[2010] 计算三重积分
4[2009] 计算
解：三重积分积分区域面投影圆域半部分设部分
原式
5[2008] 计算三重积分中单位球面围成闭区域
解：称性
6[2007] 计算三重积分中确定
解：交线（舍）
投影区域柱坐标
7 [2006] 计算三重积分中柱面面围成闭区域
解：方法：利柱面坐标计算原式
方法二截片法原式
五曲线积分
1 [2012] 设抛物线介点点间段弧段曲线积分
2 [2012] 计算曲线积分中摆线点点弧
解
补两条直线逆闭曲线
原式
曲线积分路径关直接
原式
取曲线积分路径关直接原式
者全微分表达式凑微分
原式
3 [2011]
42011计算
5[2011]
6 [2010]
7 [2010] 计算
8[2010] (化工类做)计算
9 [2009]
10[2009] 计算曲线积分中表示包含点简单闭曲线逆时针方
解：部作圆取逆时针方
参数方程
格林公式
11[2008] 计算曲线积分中表示第四象限起点终点光滑曲线
解：
路径直线该曲线积分路径关
取路径
12[2007] 设取逆时针方圆周曲线积分
13[2007]设L直线点点间段曲线积分
14[2006] 曲线原点点直线段曲线积分值等
15 [2006] 计算中点椭圆点段
解：原式
16 [2006] 设曲线积分路径关中连续导计算
解：
六曲面积分
1 [2012] 计算曲面积分
式中半球面侧
解 补面取侧原式
法（ 化次换元够烦） 半球面指侧法线
原式
2 [2012] 求曲面包含圆柱面部分（记）面积
解 记部分面积
者
32011计算
42011计算曲面积分
5[2010] 计算
6[2010] 计算曲面积分
7 [2009] 量场散度
8[2009] 计算曲面积分中半球面
解：设取围成区域高斯公式
原式
9[2008] 量场散度
量场旋度
10[2008] 设曲面柱面介面部分外侧曲面积分 0
11[2008]计算曲面积分中圆锥面位面间方部分侧
解：取侧
原式
12[2007] 计算中半球侧
解：令取侧半球体外侧高斯公式
原式
（称性简化计算）
13[2007] 计算中抛物面
解：投影区域
称性原式
14[2006]已知曲面方程（ B ）
A B C1 D
分析：
15 [2006]计算中旋转抛物面侧
解：方法利两类曲面积分联系
应侧法量
原式
方法二利高斯公式补充曲面取侧
原式
七微分方程
1 [2012] 求定解问题解
解 标准化 标准方程解公式
初值条件特解
2 [2012] 求微分方程通解
解 应齐次方程解特征根
非齐次项标准形式较单根设特解
代入原微分方程
根解结构定理求通解
3 [2012] 设函数连续导数满足求
解 极坐标
两边求导标准化
42011求微分方程通解
5 [2011]
62011(化工类做)求微分方程 通解
7 [2010]
8 [2010]
9 [2010]
10 [2010] (化工类做)求微分方程
11[2010] (化工类做)
12[2009] 求初值问题解
解：降阶微分方程第三种类型
设原方程化
变量分离两边积分
解
求解：
13[2009] 求方程通解
解：先求通解解特征方程特征根
通解
单特征根原方程特解形式代入原方程
原方程通解
14[2008] 求微分方程通解
解：
15[2008] 计算满足述方程导函数
解：原方程两端求导
标准阶线性微分方程
原方程令代入通解
16 [2008]（化工类做）求解初值问题
解：方程应齐次方程特征方程
特征根应通解
容易出特解原方程通解
初值条件
17[2007] 求微分方程通解
解：原式化阶线性微分方程
公式
18[2007] 设具二阶连续导数全微分方程求全微分方程通解
解：全微分方程条件知
特解形式代入原方程
通解
初值条件
原方程
19[2006] 定系数法求微分方程特解时应设特解形式（ B ）
A B
C D
20 [2006] 设微分方程解求微分方程通解
解：原方程
阶线性微分方程通解
八级数
1 [2012] 判穷级数收敛性
解
收敛级数常数倍收敛正项级数较判法知穷级数收敛
2 [2012] 求幂级数收敛区间讨该区间端点处收敛性
解 较标准幂级数
收敛半径收敛区间
时幂级数化正项级数
调级数样发散时幂级数化交错级数绝收敛前部分条件收敛部分减级数正项级数收敛收敛级数性质时幂级数收敛
3 [2012] 函数展开成幂级数指出收敛区间
解
利
42011(非化工类做)
52011(非化工类做)
62011(非化工类做)
7[2010] (非化工类做)
8[2010] (非化工类做)
9[2010] (非化工类做)
10[2009] （非化工类做） 证明阿贝尔定理：果幂级数收敛适合等式切幂级数绝收敛果幂级数发散适合等式切幂级数发散
11[2009] （非化工类做） 函数展成余弦级数
12[2009] （非化工类做） 求幂级数收敛半径收敛域
13 [2008] 设试根值判定级数敛散性
14 [2008] 设周期周期函数表达式试展开成傅里叶级数
15 [2008] 设证明满足微分方程求
16 [2007]（非化工类做） 求幂级数收敛域函数
17[2007]（非化工类做） 函数展成幂级数
18[2007]（非化工类做） 证明区间等式
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偏导数应
1 [2012] 求曲面点处切面法线方程
解 令
切点法量
切面
法线方程
3[07]曲线点切线方程
4[07]（化工类做）曲面求出切面切面面行
解：曲面法量应面面法量行
切点曲面
切面
5[2006]已知直线面（ B ）
A B行
C垂直 D垂直行
6[2006]曲面点处法线方程
7 [2006]（化工类做） 已知直线证明：求确定面方程
证明：直线取两点方量方量
设确定面方程点点
求方程
二元函数
1 2012设 0
2 2012设
3 2012 函数点处指点方方导数
4 2012证明函数点连续存阶偏导数
解 关二重极限存连续定义函数点连续
函数点存阶偏导数
52012设 求
解 令
公式
6 [2012] 曲面找点点距离短求短距离
解 设点
等价求约束值令
解驻点短距离
（令计算起更加方便舍驻点）
7[2011]
8[2011]
92011设函数二阶连续偏导数求函数二阶混合偏导数
102011求二元函数点处方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
112011求函数极值
12[2010]
13 [2010]
14 [2010]
15 [2010]
16[2009]
17[2009]
18[2009] 设中函数具二阶连续偏导数求
解：
19[2009] 求函数圆域值值
解：方法：时找驻点
唯驻点
时条件极值考虑函数
解方程组
求值值
方法二：设变成简单线性规划问题值4值
方法三：圆域写成
值4值
20[2009] （化工类做） 求方程组确定导数
21[2009] （化工类做） 求二元函数点处方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
22[2008] 函数点处微该点偏导数连续 必 条件（填必充分充）该点方导数 充分 条件（填必充分充）
23[2008] 设连续偏导数
24[2008]（化工类做学级数章学做）定曲面常数中连续偏导数证明曲面切面通定点
证：令
曲面点处切面
中动点
显然时成立切面均证毕
25[2008]（化工类做学级数章学做）设曲线点处切量求函数该点方导数
解：方程组两端求导
代入解点处切量单位切量
求方导数
26[2008] 设求
解：两边取微分
27[2008] 设极值
28[2008] 设长方形长宽高满足求体积长方体
解：令
约束条件
问题实际意义知体积长方体长宽高均3
29[2007] 设
30[2007] 已知 0
31[2007] 函数点处点点方方导数
32 [2007]设中具二阶连续偏导数求
解：
33[2007]（化工类做）证明函数原点处微点处连续
解：定义
理
函数原点处微
存点处存连续
34[2007]（化工类做）设方程确定函数中导求
解：方程两边取微分
35[2007]求约束条件值值
解：令
值定存值3值
36[2006] 点处微列结错误（ B ）
A点处连续
B点处连续
C点处存
D曲面点处切面
37[2006] 二重极限值（ D ）
A0 B1 C D存
38[2006]
39[2006] 函数点方方导数
40 [2006] 设函数
证明：1）点处偏导数存
2）点处微
证明：1）
点处偏导数存
2）
取时
极限值
函数处微
41 [2006] 设具连续二阶偏导数求
解：
42 [2006] 第卦限作椭球面切面该切面三坐标面围成四面体体积求切点坐标
解：设椭球面第象限点点切面方程
化成截距式方程
切面坐标面围成四面体体积（面掉标0）
求满足条件值需求满足条件值
拉格朗日数法需求函数驻点
时体积体积
切点坐标
三二重积分
1 [2012] 设围成区域
2 [2012] 计算二重积分中
解 积函数
积分区域关称取
3 [2012]设函数连续导数满足求
解 极坐标
两边求导标准化
4 [2011]
5 [2011] 交换二次积分积分次序：
6[2009] 求锥面柱面割部分曲面面积
解：
7 [2009]（化工类做） 计算二重积分中圆域
8[2008] 交换二次积分积分次序
9[2008] 求球面含圆柱面部部分面积
解：半球面部分
10[2007] 计算二重积分围成闭区域
解：作图知
11[2006] 交换积分次序
12 [2006] 计算二重积分中抛物线直线围成闭区域
解：原式
四三重积分
1 [2012] 设两球公部分计算三重积分
解
时垂直轴面截区域截面圆域
时垂直轴面截区域截面圆域
分段先二积分
22011交光滑闭曲面单位外法量 围成区域证明
3[2010] 计算三重积分
4[2009] 计算
解：三重积分积分区域面投影圆域半部分设部分
原式
5[2008] 计算三重积分中单位球面围成闭区域
解：称性
6[2007] 计算三重积分中确定
解：交线（舍）
投影区域柱坐标
7 [2006] 计算三重积分中柱面面围成闭区域
解：方法：利柱面坐标计算原式
方法二截片法原式
五曲线积分
1 [2012] 设抛物线介点点间段弧段曲线积分
2 [2012] 计算曲线积分中摆线点点弧
解
补两条直线逆闭曲线
原式
曲线积分路径关直接
原式
取曲线积分路径关直接原式
者全微分表达式凑微分
原式
3 [2011]
42011计算
5[2011]
6 [2010]
7 [2010] 计算
8[2010] (化工类做)计算
9 [2009]
10[2009] 计算曲线积分中表示包含点简单闭曲线逆时针方
解：部作圆取逆时针方
参数方程
格林公式
11[2008] 计算曲线积分中表示第四象限起点终点光滑曲线
解：
路径直线该曲线积分路径关
取路径
12[2007] 设取逆时针方圆周曲线积分
13[2007]设L直线点点间段曲线积分
14[2006] 曲线原点点直线段曲线积分值等
15 [2006] 计算中点椭圆点段
解：原式
16 [2006] 设曲线积分路径关中连续导计算
解：
六曲面积分
1 [2012] 计算曲面积分
式中半球面侧
解 补面取侧原式
法（ 化次换元够烦） 半球面指侧法线
原式
2 [2012] 求曲面包含圆柱面部分（记）面积
解 记部分面积
者
32011计算
42011计算曲面积分
5[2010] 计算
6[2010] 计算曲面积分
7 [2009] 量场散度
8[2009] 计算曲面积分中半球面
解：设取围成区域高斯公式
原式
9[2008] 量场散度
量场旋度
10[2008] 设曲面柱面介面部分外侧曲面积分 0
11[2008]计算曲面积分中圆锥面位面间方部分侧
解：取侧
原式
12[2007] 计算中半球侧
解：令取侧半球体外侧高斯公式
原式
（称性简化计算）
13[2007] 计算中抛物面
解：投影区域
称性原式
14[2006]已知曲面方程（ B ）
A B C1 D
分析：
15 [2006]计算中旋转抛物面侧
解：方法利两类曲面积分联系
应侧法量
原式
方法二利高斯公式补充曲面取侧
原式
七微分方程
1 [2012] 求定解问题解
解 标准化 标准方程解公式
初值条件特解
2 [2012] 求微分方程通解
解 应齐次方程解特征根
非齐次项标准形式较单根设特解
代入原微分方程
根解结构定理求通解
3 [2012] 设函数连续导数满足求
解 极坐标
两边求导标准化
42011求微分方程通解
5 [2011]
62011(化工类做)求微分方程 通解
7 [2010]
8 [2010]
9 [2010]
10 [2010] (化工类做)求微分方程
11[2010] (化工类做)
12[2009] 求初值问题解
解：降阶微分方程第三种类型
设原方程化
变量分离两边积分
解
求解：
13[2009] 求方程通解
解：先求通解解特征方程特征根
通解
单特征根原方程特解形式代入原方程
原方程通解
14[2008] 求微分方程通解
解：
15[2008] 计算满足述方程导函数
解：原方程两端求导
标准阶线性微分方程
原方程令代入通解
16 [2008]（化工类做）求解初值问题
解：方程应齐次方程特征方程
特征根应通解
容易出特解原方程通解
初值条件
17[2007] 求微分方程通解
解：原式化阶线性微分方程
公式
18[2007] 设具二阶连续导数全微分方程求全微分方程通解
解：全微分方程条件知
特解形式代入原方程
通解
初值条件
原方程
19[2006] 定系数法求微分方程特解时应设特解形式（ B ）
A B
C D
20 [2006] 设微分方程解求微分方程通解
解：原方程
阶线性微分方程通解
八级数
1 [2012] 判穷级数收敛性
解
收敛级数常数倍收敛正项级数较判法知穷级数收敛
2 [2012] 求幂级数收敛区间讨该区间端点处收敛性
解 较标准幂级数
收敛半径收敛区间
时幂级数化正项级数
调级数样发散时幂级数化交错级数绝收敛前部分条件收敛部分减级数正项级数收敛收敛级数性质时幂级数收敛
3 [2012] 函数展开成幂级数指出收敛区间
解
利
42011(非化工类做)
52011(非化工类做)
62011(非化工类做)
7[2010] (非化工类做)
8[2010] (非化工类做)
9[2010] (非化工类做)
10[2009] （非化工类做） 证明阿贝尔定理：果幂级数收敛适合等式切幂级数绝收敛果幂级数发散适合等式切幂级数发散
11[2009] （非化工类做） 函数展成余弦级数
12[2009] （非化工类做） 求幂级数收敛半径收敛域
13 [2008] 设试根值判定级数敛散性
14 [2008] 设周期周期函数表达式试展开成傅里叶级数
15 [2008] 设证明满足微分方程求
16 [2007]（非化工类做） 求幂级数收敛域函数
17[2007]（非化工类做） 函数展成幂级数
18[2007]（非化工类做） 证明区间等式
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