第二讲 导数微分应
导数偏导数微分定义
元函数
元函数
函数微分
注：注意左右导数定义记号
二 导数偏导数微分计算：
1）熟练运求导公式运算法计算导数偏导数微分
2）隐函数参数方程导数
3）高阶导数：特注意莱布尼茨公式运
例1：求函数处阶导数
解：
（1）
利莱布尼茨公式（1）两边求阶导数
时
例2：求阶导数
解：
设
中
注：计算时注意阶微分变性应
4）方导数梯度
三 导数偏导数微分应
1）达布定理：设导介切值必
证明：导定值值
1果异号妨设
极
限保号性充分接时充分接时
说明值
定存值费马
定理
2般情形设介值考虑函
数异号前
面证明存
2）罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理
中里间某值
3）元函数单调性极值值
4）元函数凹凸性：
区间凹：
区间凸：
性质：1果区间凹定
2果区间凸定
证明：
中数学纳法证明结
例3：证明：
证明：考虑函数
时凹函数性质
5）元函数应
6）元函数极值：拉格朗日数法
例4：设连续导连续证明：少存点
证明：连续存原函数
考虑函数罗尔中值定理少存点
少存点
例5：设函数连续导
（1）果证明：少存点
（2）果切证明：少存点
证明：（1）果函数常数意面设常数种情形存妨设取存时
值端点取值值定理费马定理少存点
(2)夹逼准
考虑函数连续导（1）结少存点
例6：设函数区间微正数证明：存
证明：利介值定理存
妨设函数分端点区间运拉格朗日中值定理少存间
例7：设导证明：
证明：1）设值
特
2）设设设
值
数学纳法理
例8：设二阶导数证明：存
证明：设点处展成三阶泰勒公式
时
（1）
时
(2)
导间达布定理存时
例9：设二阶导证明：存
证明：构造函数利罗尔中值定理存利次罗尔中值定存
例10：设函数连续微证明：（1）存
（2）存
证明：（1）考虑函数零点定理存
（2）考虑函数罗尔中值定理存
例11：设穷次微满足：存求证：
四 练题
1）求函数阶导数
2）设阶导数证明：存
3）设二阶导数存证明：存
4）设区间三次微证明：存
5）设函数导数连续界函数证明：
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元函数
元函数
函数微分
注：注意左右导数定义记号
二 导数偏导数微分计算：
1）熟练运求导公式运算法计算导数偏导数微分
2）隐函数参数方程导数
3）高阶导数：特注意莱布尼茨公式运
例1：求函数处阶导数
解：
（1）
利莱布尼茨公式（1）两边求阶导数
时
例2：求阶导数
解：
设
中
注：计算时注意阶微分变性应
4）方导数梯度
三 导数偏导数微分应
1）达布定理：设导介切值必
证明：导定值值
1果异号妨设
极
限保号性充分接时充分接时
说明值
定存值费马
定理
2般情形设介值考虑函
数异号前
面证明存
2）罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理
中里间某值
3）元函数单调性极值值
4）元函数凹凸性：
区间凹：
区间凸：
性质：1果区间凹定
2果区间凸定
证明：
中数学纳法证明结
例3：证明：
证明：考虑函数
时凹函数性质
5）元函数应
6）元函数极值：拉格朗日数法
例4：设连续导连续证明：少存点
证明：连续存原函数
考虑函数罗尔中值定理少存点
少存点
例5：设函数连续导
（1）果证明：少存点
（2）果切证明：少存点
证明：（1）果函数常数意面设常数种情形存妨设取存时
值端点取值值定理费马定理少存点
(2)夹逼准
考虑函数连续导（1）结少存点
例6：设函数区间微正数证明：存
证明：利介值定理存
妨设函数分端点区间运拉格朗日中值定理少存间
例7：设导证明：
证明：1）设值
特
2）设设设
值
数学纳法理
例8：设二阶导数证明：存
证明：设点处展成三阶泰勒公式
时
（1）
时
(2)
导间达布定理存时
例9：设二阶导证明：存
证明：构造函数利罗尔中值定理存利次罗尔中值定存
例10：设函数连续微证明：（1）存
（2）存
证明：（1）考虑函数零点定理存
（2）考虑函数罗尔中值定理存
例11：设穷次微满足：存求证：
四 练题
1）求函数阶导数
2）设阶导数证明：存
3）设二阶导数存证明：存
4）设区间三次微证明：存
5）设函数导数连续界函数证明：
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