2014年全国统高考数学试卷（理科）（纲版）
选择题（题12题题5分）
1．（5分）设zz轭复数（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M{x|x2﹣3x﹣4＜0}N{x|0≤x≤5}M∩N（ ）
A．（04] B．[04） C．[﹣10） D．（﹣10]
3．（5分）设asin33°bcos55°ctan35°（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）量满足：||1（+）⊥（2+）⊥||（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
7．（5分）曲线yxex﹣1点（11）处切线斜率等（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（5分）已知双曲线C离心率2焦点F1F2点AC|F1A|2|F2A|cos∠AF2F1（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）等数列{an}中a42a55数列{lgan}前8项等（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β60°AB⊂αAB⊥lA垂足CD⊂βC∈l∠ACD135°异面直线ABCD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）函数yf（x）图象函数yg（x）图象关直线x+y0称yf（x）反函数（ ）
A．yg（x） B．yg（﹣x） C．y﹣g（x） D．y﹣g（﹣x）
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）展开式中x2y2系数 ．（数字作答）
14．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 ．
15．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
16．（5分）函数f（x）cos2x+asinx区间（）减函数a取值范围 ．
三解答题
17．（10分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
18．（12分）等差数列{an}前n项Sn已知a113a2整数Sn≤S4．
（1）求{an}通项公式
（2）设bn求数列{bn}前n项Tn．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）X表示工作日需设备数求X数学期．
21．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
22．（12分）函数f（x）ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）设a11an+1ln（an+1）证明：＜an≤（n∈N*）．
2014年全国统高考数学试卷（理科）（纲版）
参考答案试题解析
选择题（题12题题5分）
1．（5分）设zz轭复数（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
考点A1：虚数单位i复数A5：复数运算．菁优网版权
专题5N：数系扩充复数．
分析直接复数代数形式法运算化简z轭求．
解答解：∵z
∴．
选：D．
点评题考查复数代数形式法运算考查复数基概念基础题．
2．（5分）设集合M{x|x2﹣3x﹣4＜0}N{x|0≤x≤5}M∩N（ ）
A．（04] B．[04） C．[﹣10） D．（﹣10]
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题5J：集合．
分析求解元二次等式化简集合M然直接利交集运算求解．
解答解：x2﹣3x﹣4＜0﹣1＜x＜4．
∴M{x|x2﹣3x﹣4＜0}{x|﹣1＜x＜4}
N{x|0≤x≤5}
∴M∩N{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}[04）．
选：B．
点评题考查交集运算考查元二次等式解法基础题．
3．（5分）设asin33°bcos55°ctan35°（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
考点HF：正切函数单调性周期性．菁优网版权
专题56：三角函数求值．
分析bsin35°易b＞actan35°＞sin35°综合．
解答解：诱导公式bcos55°cos（90°﹣35°）sin35°
正弦函数单调性知b＞a
ctan35°＞sin35°b
∴c＞b＞a
选：C．
点评题考查三角函数值较涉诱导公式三角函数单调性属基础题．
4．（5分）量满足：||1（+）⊥（2+）⊥||（ ）
A．2 B． C．1 D．
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题5A：面量应．
分析条件利两量垂直性质（+）•0（2+）•0求||．
解答解：题意（+）•+1+0∴﹣1
（2+）•2+﹣2+0∴b22
||
选：B．
点评题考查两量垂直性质两量垂直数量积等零属基础题．
5．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
考点D9：排列组合简单计数问题．菁优网版权
专题5O：排列组合．
分析根题意分2步分析先6名男医生中选25名女医生中选出1组合数公式次求出步情况数目分步计数原理计算答案．
解答解：根题意先6名男医生中选2C6215种选法
5名女医生中选出1C515种选法
选法15×575种
选：C．
点评题考查分步计数原理应注意区分排列组合．
6．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析利△AF1B周长4求出a根离心率c1求出b出椭圆方程．
解答解：∵△AF1B周长4
∵△AF1B周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a
∴4a4
∴a
∵离心率
∴c1
∴b
∴椭圆C方程+1．
选：A．
点评题考查椭圆定义方程考查椭圆性质考查学生计算力属基础题．
7．（5分）曲线yxex﹣1点（11）处切线斜率等（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
考点62：导数意义．菁优网版权
专题52：导数概念应．
分析求函数导数利导数意义求出应切线斜率．
解答解：函数导数f′（x）ex﹣1+xex﹣1（1+x）ex﹣1
x1时f′（1）2
曲线yxex﹣1点（11）处切线斜率kf′（1）2
选：C．
点评题考查导数意义直接求函数导数解决题关键较基础．
8．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
考点LG：球体积表面积LR：球接面体．菁优网版权
专题11：计算题5F：空间位置关系距离．
分析正四棱锥P﹣ABCD外接球球心高PO1记O求出PO1OO1解出球半径求出球表面积．
解答解：设球半径R
∵棱锥高4底面边长2
∴R2（4﹣R）2+（）2
∴R
∴球表面积4π•（）2．
选：A．
点评题考查球表面积球接体问题考查计算力基础题．
9．（5分）已知双曲线C离心率2焦点F1F2点AC|F1A|2|F2A|cos∠AF2F1（ ）
A． B． C． D．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析根双曲线定义余弦定理建立方程关系结．
解答解：∵双曲线C离心率2
∴ec2a
点A双曲线
|F1A|﹣|F2A|2a
|F1A|2|F2A|
∴解|F1A|4a|F2A|2a||F1F2|2c
余弦定理cos∠AF2F1．
选：A．
点评题考查双曲线定义运算利离心率定义余弦定理解决题关键考查学生计算力．
10．（5分）等数列{an}中a42a55数列{lgan}前8项等（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点89：等数列前n项．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析利等数列性质a1a8a2a7a3a6a4a510．利数运算性质出．
解答解：∵数列{an}等数列a42a55
∴a1a8a2a7a3a6a4a510．
∴lga1+lga2+…+lga8
lg（a1a2•…•a8）
4lg10
4．
选：C．
点评题考查等数列性质数运算性质属基础题．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β60°AB⊂αAB⊥lA垂足CD⊂βC∈l∠ACD135°异面直线ABCD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
考点LM：异面直线成角．菁优网版权
专题5G：空间角．
分析首先作出二面角面角然构造出异面直线ABCD成角利解直角三角形余弦定理求出问题答案．
解答解：图A点做AE⊥lBE⊥β垂足E点A做AF∥CD点E做EF⊥AE连接BF
∵AE⊥l
∴∠EAC90°
∵CD∥AF
∠ACD135°
∴∠FAC45°
∴∠EAF45°
Rt△BEA中设AEaAB2aBEa
Rt△AEF中EFaAFa
Rt△BEF中BF2a
∴异面直线ABCD成角∠BAF
∴cos∠BAF．
选：B．
点评题考查二面角异面直线成角关键构造二面角面角异面直线成角考查学生空间想象力作图力属难题．
12．（5分）函数yf（x）图象函数yg（x）图象关直线x+y0称yf（x）反函数（ ）
A．yg（x） B．yg（﹣x） C．y﹣g（x） D．y﹣g（﹣x）
考点4R：反函数．菁优网版权
专题51：函数性质应．
分析设P（xy）yf（x）反函数图象意点P关yx称点P′（yx）点yf（x）图象P′（yx）关直线x+y0称点P″（﹣x﹣y）yg（x）图象代入解析式变形．
解答解：设P（xy）yf（x）反函数图象意点
P关yx称点P′（yx）点yf（x）图象
∵函数yf（x）图象函数yg（x）图象关直线x+y0称
∴P′（yx）关直线x+y0称点P″（﹣x﹣y）yg（x）图象
∴必﹣yg（﹣x）y﹣g（﹣x）
∴yf（x）反函数：y﹣g（﹣x）
选：D．
点评题考查反函数性质称性属中档题．
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）展开式中x2y2系数 70 ．（数字作答）
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题5P：二项式定理．
分析先求出二项式展开式通项公式令xy幂指数等2求r值求展开式中x2y2系数．
解答解：展开式通项公式 Tr+1•（﹣1）r•••（﹣1）r••
令 8﹣﹣42求 r4
展开式中x2y2系数 70
答案：70．
点评题考查二项式定理应二项式系数性质二项式展开式通项公式求展开式中某项系数属中档题．
14．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 5 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题31：数形结合．
分析约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式图优解联立方程组求出优解坐标代入目标函数答案．
解答解：约束条件作出行域图
联立解C（11）．
化目标函数zx+4y直线方程斜截式．
图知直线C点时直线y轴截距z．
时zmax1+4×15．
答案：5．
点评题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
15．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
考点IV：两直线夹角角问题．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部直角三角形中边角关系求sinθ 值cosθtanθ 值根tan2θ计算求结果．
解答解：设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部
点A圆心O间距离OA
圆半径r
∴sinθ
∴cosθtanθ
∴tan2θ
答案：．
点评题考查直线圆相切性质直角三角形中变角关系角三角函数基关系二倍角正切公式应属中档题．
16．（5分）函数f（x）cos2x+asinx区间（）减函数a取值范围 （﹣∞2] ．
考点HM：复合三角函数单调性．菁优网版权
专题51：函数性质应57：三角函数图性质．
分析利二倍角余弦公式化正弦然令tsinx换元根出x范围求出t范围结合二次函数图象开口方称轴位置列式求解a范围．
解答解：f（x）cos2x+asinx
﹣2sin2x+asinx+1
令tsinx
原函数化y﹣2t2+at+1．
∵x∈（）时f（x）减函数
y﹣2t2+at+1t∈（1）减函数
∵y﹣2t2+at+1图象开口称轴方程t．
∴解：a≤2．
∴a取值范围（﹣∞2]．
答案：（﹣∞2]．
点评题考查复合函数单调性考查换元法关键换元函数减函数求二次函数称轴位置中档题．
三解答题
17．（10分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
考点GL：三角函数中恒等变换应HP：正弦定理．菁优网版权
专题58：解三角形．
分析3acosC2ccosA利正弦定理3sinAcosC2sinCcosA利角三角函数基关系式tanC利tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）出．
解答解：∵3acosC2ccosA
正弦定理3sinAcosC2sinCcosA
∴3tanA2tanC
∵tanA
∴2tanC3×1解tanC．
∴tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）﹣﹣﹣1
∵B∈（0π）
∴B
点评题考查正弦定理角三角函数基关系式两角差正切公式诱导公式等基础知识基技方法考查推理力计算力属中档题．
18．（12分）等差数列{an}前n项Sn已知a113a2整数Sn≤S4．
（1）求{an}通项公式
（2）设bn求数列{bn}前n项Tn．
考点8E：数列求．菁优网版权
专题55：点列递数列数学纳法．
分析（1）通Sn≤S4a4≥0a5≤0利a113a2整数d﹣4进结
（2）通an13﹣3n分离分母bn（﹣）项相加．
解答解：（1）等差数列{an}中Sn≤S4：
a4≥0a5≤0
∵a113
∴解﹣≤d≤﹣
∵a2整数∴d﹣4
∴{an}通项：an17﹣4n
（2）∵an17﹣4n
∴bn﹣（﹣）
Tnb1+b2+……+bn
﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]
﹣（﹣）
．
点评题考查求数列通项求考查项相加法注意解题方法积累属中档题．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
考点LW：直线面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离．
分析（Ⅰ）已知数结合线面垂直判定性质
（Ⅱ）作辅助线证∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角解三角形反三角函数．
解答解：（Ⅰ）∵A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C
∴面AA1C1C⊥面ABCBC⊥AC
∴BC⊥面AA1C1C连结A1C
侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
AC1⊥BCA1C∩BCC
∴AC1⊥面A1BCAB1⊂面A1BC
∴AC1⊥A1B
（Ⅱ）∵BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1
∴面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1
∴A1E直线AA1面BCC1B1距离A1E
∵A1C∠ACC1分线∴A1DA1E
作DF⊥ABF垂足连结A1F
AB⊥A1DA1F∩A1DA1
∴AB⊥面A1DF∵A1F⊂面A1DF
∴A1F⊥AB
∴∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角
AD1知DAC中点
∴DF
∴tan∠A1FD
∴二面角A1﹣AB﹣Carctan
点评题考查二面角求解作出证明二面角面角解决问题关键属中档题．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）X表示工作日需设备数求X数学期．
考点C8：相互独立事件相互独立事件概率法公式CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
专题5I：概率统计．
分析记Ai表示事件：工作日乙丙需设备i012B表示事件：甲需设备C表示事件丁需设备D表示事件：工作日少3需设备
（Ⅰ）4需设备概率4中3设备概率相加求．
（Ⅱ）X取值01234分求出PXi利数学期公式计算．
解答解：题意工作日少3需设备概率
06×05×05×04+（1﹣06）×05×05×04+06×（1﹣05）×05×04+06×05×（1﹣05）×04+06×05×05×（1﹣04）031．
（Ⅱ）X取值01234
P（X0）（1﹣06）×052×（1﹣04）006
P（X1）06×052×（1﹣04）+（1﹣06）×052×04+（1﹣06）×2×052×（1﹣04）025
P（X4）P（A2•B•C）052×06×04006
P（X3）P（D）﹣P（X4）025
P（X2）1﹣P（X0）﹣P（X1）﹣P（X3）﹣P（X4）1﹣006﹣025﹣025﹣006038．
数学期EX0×006+1×025+2×038+3×025+4×0062
点评题考查独立事件概率数学期关键找独立事件计算耐心属难题．
21．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
考点KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C方程求x0根|QF||PQ|求 p值C方程．
（Ⅱ）设l方程 xmy+1 （m≠0）代入抛物线方程化简利韦达定理中点公式弦长公式求弦长|AB|．直线l′方程代入抛物线方程化简利韦达定理弦长公式求|MN|．MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|求m值直线l方程．
解答解：（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C：y22px（p＞0）
x0∵点P（04）∴|PQ|．
|QF|x0++|QF||PQ|
∴+×求 p2 p﹣2（舍）．
C方程 y24x．
（Ⅱ）题意直线l坐标轴垂直y24x焦点F（10）
设l方程 xmy+1（m≠0）
代入抛物线方程y2﹣4my﹣40显然判式△16m2+16＞0y1+y24my1•y2﹣4．
∴AB中点坐标D（2m2+12m）弦长|AB||y1﹣y2|4（m2+1）．
直线l′斜率﹣m∴直线l′方程 x﹣y+2m2+3．
F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点
线l′方程代入抛物线方程 y2+y﹣4（2m2+3）0∴y3+y4y3•y4﹣4（2m2+3）．
线段MN中点E坐标（+2m2+3）∴|MN||y3﹣y4|
∵MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|
∴+DE2MN2
∴4（m2+1）2 ++×化简 m2﹣10
∴m±1∴直线l方程 x﹣y﹣10 x+y﹣10．
点评题考查求抛物线标准方程直线圆锥曲线位置关系应韦达定理弦长公式应体现转化数学思想属难题．
22．（12分）函数f（x）ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）设a11an+1ln（an+1）证明：＜an≤（n∈N*）．
考点6B：利导数研究函数单调性RG：数学纳法．菁优网版权
专题53：导数综合应．
分析（Ⅰ）求函数导数通讨a取值范围f（x）单调性
（Ⅱ）利数学纳法证明等式．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）定义域（﹣1+∞）f′（x）
①1＜a＜2时x∈（﹣1a2﹣2a）f′（x）＞0时函数f（x）（﹣1a2﹣2a）增函数
x∈（a2﹣2a0）f′（x）＜0时函数f（x）（a2﹣2a0）减函数
x∈（0+∞）f′（x）＞0时函数f（x）（0+∞）增函数．
②a2时f′（x）≥0时函数f（x）（﹣1+∞）增函数
③a＞2时x∈（﹣10）f′（x）＞0时函数f（x）（﹣10）增函数
x∈（0a2﹣2a）f′（x）＜0时函数f（x）（0a2﹣2a）减函数
x∈（a2﹣2a+∞）f′（x）＞0时函数f（x）（a2﹣2a+∞）增函数．
（Ⅱ）（Ⅰ）知a2时时函数f（x）（﹣1+∞）增函数
x∈（0+∞）时f（x）＞f（0）0
ln（x+1）＞（x＞0）
（Ⅰ）知a3时f（x）（03）减函数
x∈（03）时f（x）＜f（0）0ln（x+1）＜
面数学纳法进行证明＜an≤成立
①n1时已知
结成立．
②假设nk时结成立
nk+1时an+1ln（an+1）＞ln（）
ak+1ln（ak+1）＜ln（）
nk+1时成立
综①②知n∈N•结成立．
点评题考查函数单调性导数间关系利数学纳法证明等式综合性较强难度较．
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选择题（题12题题5分）
1．（5分）设zz轭复数（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M{x|x2﹣3x﹣4＜0}N{x|0≤x≤5}M∩N（ ）
A．（04] B．[04） C．[﹣10） D．（﹣10]
3．（5分）设asin33°bcos55°ctan35°（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）量满足：||1（+）⊥（2+）⊥||（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
7．（5分）曲线yxex﹣1点（11）处切线斜率等（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（5分）已知双曲线C离心率2焦点F1F2点AC|F1A|2|F2A|cos∠AF2F1（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）等数列{an}中a42a55数列{lgan}前8项等（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β60°AB⊂αAB⊥lA垂足CD⊂βC∈l∠ACD135°异面直线ABCD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）函数yf（x）图象函数yg（x）图象关直线x+y0称yf（x）反函数（ ）
A．yg（x） B．yg（﹣x） C．y﹣g（x） D．y﹣g（﹣x）
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）展开式中x2y2系数 ．（数字作答）
14．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 ．
15．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
16．（5分）函数f（x）cos2x+asinx区间（）减函数a取值范围 ．
三解答题
17．（10分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
18．（12分）等差数列{an}前n项Sn已知a113a2整数Sn≤S4．
（1）求{an}通项公式
（2）设bn求数列{bn}前n项Tn．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）X表示工作日需设备数求X数学期．
21．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
22．（12分）函数f（x）ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）设a11an+1ln（an+1）证明：＜an≤（n∈N*）．
2014年全国统高考数学试卷（理科）（纲版）
参考答案试题解析
选择题（题12题题5分）
1．（5分）设zz轭复数（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
考点A1：虚数单位i复数A5：复数运算．菁优网版权
专题5N：数系扩充复数．
分析直接复数代数形式法运算化简z轭求．
解答解：∵z
∴．
选：D．
点评题考查复数代数形式法运算考查复数基概念基础题．
2．（5分）设集合M{x|x2﹣3x﹣4＜0}N{x|0≤x≤5}M∩N（ ）
A．（04] B．[04） C．[﹣10） D．（﹣10]
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题5J：集合．
分析求解元二次等式化简集合M然直接利交集运算求解．
解答解：x2﹣3x﹣4＜0﹣1＜x＜4．
∴M{x|x2﹣3x﹣4＜0}{x|﹣1＜x＜4}
N{x|0≤x≤5}
∴M∩N{x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}[04）．
选：B．
点评题考查交集运算考查元二次等式解法基础题．
3．（5分）设asin33°bcos55°ctan35°（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
考点HF：正切函数单调性周期性．菁优网版权
专题56：三角函数求值．
分析bsin35°易b＞actan35°＞sin35°综合．
解答解：诱导公式bcos55°cos（90°﹣35°）sin35°
正弦函数单调性知b＞a
ctan35°＞sin35°b
∴c＞b＞a
选：C．
点评题考查三角函数值较涉诱导公式三角函数单调性属基础题．
4．（5分）量满足：||1（+）⊥（2+）⊥||（ ）
A．2 B． C．1 D．
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题5A：面量应．
分析条件利两量垂直性质（+）•0（2+）•0求||．
解答解：题意（+）•+1+0∴﹣1
（2+）•2+﹣2+0∴b22
||
选：B．
点评题考查两量垂直性质两量垂直数量积等零属基础题．
5．（5分）6名男医生5名女医生中选出2名男医生1名女医生组成医疗组选法（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
考点D9：排列组合简单计数问题．菁优网版权
专题5O：排列组合．
分析根题意分2步分析先6名男医生中选25名女医生中选出1组合数公式次求出步情况数目分步计数原理计算答案．
解答解：根题意先6名男医生中选2C6215种选法
5名女医生中选出1C515种选法
选法15×575种
选：C．
点评题考查分步计数原理应注意区分排列组合．
6．（5分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点F1F2离心率F2直线l交CAB两点△AF1B周长4C方程（ ）
A．+1 B．+y21 C．+1 D．+1
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析利△AF1B周长4求出a根离心率c1求出b出椭圆方程．
解答解：∵△AF1B周长4
∵△AF1B周长|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|2a+2a4a
∴4a4
∴a
∵离心率
∴c1
∴b
∴椭圆C方程+1．
选：A．
点评题考查椭圆定义方程考查椭圆性质考查学生计算力属基础题．
7．（5分）曲线yxex﹣1点（11）处切线斜率等（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
考点62：导数意义．菁优网版权
专题52：导数概念应．
分析求函数导数利导数意义求出应切线斜率．
解答解：函数导数f′（x）ex﹣1+xex﹣1（1+x）ex﹣1
x1时f′（1）2
曲线yxex﹣1点（11）处切线斜率kf′（1）2
选：C．
点评题考查导数意义直接求函数导数解决题关键较基础．
8．（5分）正四棱锥顶点球面该棱锥高4底面边长2该球表面积（ ）
A． B．16π C．9π D．
考点LG：球体积表面积LR：球接面体．菁优网版权
专题11：计算题5F：空间位置关系距离．
分析正四棱锥P﹣ABCD外接球球心高PO1记O求出PO1OO1解出球半径求出球表面积．
解答解：设球半径R
∵棱锥高4底面边长2
∴R2（4﹣R）2+（）2
∴R
∴球表面积4π•（）2．
选：A．
点评题考查球表面积球接体问题考查计算力基础题．
9．（5分）已知双曲线C离心率2焦点F1F2点AC|F1A|2|F2A|cos∠AF2F1（ ）
A． B． C． D．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析根双曲线定义余弦定理建立方程关系结．
解答解：∵双曲线C离心率2
∴ec2a
点A双曲线
|F1A|﹣|F2A|2a
|F1A|2|F2A|
∴解|F1A|4a|F2A|2a||F1F2|2c
余弦定理cos∠AF2F1．
选：A．
点评题考查双曲线定义运算利离心率定义余弦定理解决题关键考查学生计算力．
10．（5分）等数列{an}中a42a55数列{lgan}前8项等（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点89：等数列前n项．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析利等数列性质a1a8a2a7a3a6a4a510．利数运算性质出．
解答解：∵数列{an}等数列a42a55
∴a1a8a2a7a3a6a4a510．
∴lga1+lga2+…+lga8
lg（a1a2•…•a8）
4lg10
4．
选：C．
点评题考查等数列性质数运算性质属基础题．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β60°AB⊂αAB⊥lA垂足CD⊂βC∈l∠ACD135°异面直线ABCD成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
考点LM：异面直线成角．菁优网版权
专题5G：空间角．
分析首先作出二面角面角然构造出异面直线ABCD成角利解直角三角形余弦定理求出问题答案．
解答解：图A点做AE⊥lBE⊥β垂足E点A做AF∥CD点E做EF⊥AE连接BF
∵AE⊥l
∴∠EAC90°
∵CD∥AF
∠ACD135°
∴∠FAC45°
∴∠EAF45°
Rt△BEA中设AEaAB2aBEa
Rt△AEF中EFaAFa
Rt△BEF中BF2a
∴异面直线ABCD成角∠BAF
∴cos∠BAF．
选：B．
点评题考查二面角异面直线成角关键构造二面角面角异面直线成角考查学生空间想象力作图力属难题．
12．（5分）函数yf（x）图象函数yg（x）图象关直线x+y0称yf（x）反函数（ ）
A．yg（x） B．yg（﹣x） C．y﹣g（x） D．y﹣g（﹣x）
考点4R：反函数．菁优网版权
专题51：函数性质应．
分析设P（xy）yf（x）反函数图象意点P关yx称点P′（yx）点yf（x）图象P′（yx）关直线x+y0称点P″（﹣x﹣y）yg（x）图象代入解析式变形．
解答解：设P（xy）yf（x）反函数图象意点
P关yx称点P′（yx）点yf（x）图象
∵函数yf（x）图象函数yg（x）图象关直线x+y0称
∴P′（yx）关直线x+y0称点P″（﹣x﹣y）yg（x）图象
∴必﹣yg（﹣x）y﹣g（﹣x）
∴yf（x）反函数：y﹣g（﹣x）
选：D．
点评题考查反函数性质称性属中档题．
二填空题(题4题题5分)
13．（5分）展开式中x2y2系数 70 ．（数字作答）
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题5P：二项式定理．
分析先求出二项式展开式通项公式令xy幂指数等2求r值求展开式中x2y2系数．
解答解：展开式通项公式 Tr+1•（﹣1）r•••（﹣1）r••
令 8﹣﹣42求 r4
展开式中x2y2系数 70
答案：70．
点评题考查二项式定理应二项式系数性质二项式展开式通项公式求展开式中某项系数属中档题．
14．（5分）设xy满足约束条件zx+4y值 5 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题31：数形结合．
分析约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式图优解联立方程组求出优解坐标代入目标函数答案．
解答解：约束条件作出行域图
联立解C（11）．
化目标函数zx+4y直线方程斜截式．
图知直线C点时直线y轴截距z．
时zmax1+4×15．
答案：5．
点评题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
15．（5分）直线l1l2圆x2+y22两条切线l1l2交点（13）l1l2夹角正切值等 ．
考点IV：两直线夹角角问题．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部直角三角形中边角关系求sinθ 值cosθtanθ 值根tan2θ计算求结果．
解答解：设l1l2夹角2θl1l2交点A（13）圆外部
点A圆心O间距离OA
圆半径r
∴sinθ
∴cosθtanθ
∴tan2θ
答案：．
点评题考查直线圆相切性质直角三角形中变角关系角三角函数基关系二倍角正切公式应属中档题．
16．（5分）函数f（x）cos2x+asinx区间（）减函数a取值范围 （﹣∞2] ．
考点HM：复合三角函数单调性．菁优网版权
专题51：函数性质应57：三角函数图性质．
分析利二倍角余弦公式化正弦然令tsinx换元根出x范围求出t范围结合二次函数图象开口方称轴位置列式求解a范围．
解答解：f（x）cos2x+asinx
﹣2sin2x+asinx+1
令tsinx
原函数化y﹣2t2+at+1．
∵x∈（）时f（x）减函数
y﹣2t2+at+1t∈（1）减函数
∵y﹣2t2+at+1图象开口称轴方程t．
∴解：a≤2．
∴a取值范围（﹣∞2]．
答案：（﹣∞2]．
点评题考查复合函数单调性考查换元法关键换元函数减函数求二次函数称轴位置中档题．
三解答题
17．（10分）△ABC角ABC边分abc已知3acosC2ccosAtanA求B．
考点GL：三角函数中恒等变换应HP：正弦定理．菁优网版权
专题58：解三角形．
分析3acosC2ccosA利正弦定理3sinAcosC2sinCcosA利角三角函数基关系式tanC利tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）出．
解答解：∵3acosC2ccosA
正弦定理3sinAcosC2sinCcosA
∴3tanA2tanC
∵tanA
∴2tanC3×1解tanC．
∴tanBtan[π﹣（A+C）]﹣tan（A+C）﹣﹣﹣1
∵B∈（0π）
∴B
点评题考查正弦定理角三角函数基关系式两角差正切公式诱导公式等基础知识基技方法考查推理力计算力属中档题．
18．（12分）等差数列{an}前n项Sn已知a113a2整数Sn≤S4．
（1）求{an}通项公式
（2）设bn求数列{bn}前n项Tn．
考点8E：数列求．菁优网版权
专题55：点列递数列数学纳法．
分析（1）通Sn≤S4a4≥0a5≤0利a113a2整数d﹣4进结
（2）通an13﹣3n分离分母bn（﹣）项相加．
解答解：（1）等差数列{an}中Sn≤S4：
a4≥0a5≤0
∵a113
∴解﹣≤d≤﹣
∵a2整数∴d﹣4
∴{an}通项：an17﹣4n
（2）∵an17﹣4n
∴bn﹣（﹣）
Tnb1+b2+……+bn
﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]
﹣（﹣）
．
点评题考查求数列通项求考查项相加法注意解题方法积累属中档题．
19．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中点A1面ABC射影DAC∠ACB90°BC1ACCC12．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B
（Ⅱ）设直线AA1面BCC1B1距离求二面角A1﹣AB﹣C．
考点LW：直线面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离．
分析（Ⅰ）已知数结合线面垂直判定性质
（Ⅱ）作辅助线证∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角解三角形反三角函数．
解答解：（Ⅰ）∵A1D⊥面ABCA1D⊂面AA1C1C
∴面AA1C1C⊥面ABCBC⊥AC
∴BC⊥面AA1C1C连结A1C
侧面AA1C1C菱形AC1⊥A1C
AC1⊥BCA1C∩BCC
∴AC1⊥面A1BCAB1⊂面A1BC
∴AC1⊥A1B
（Ⅱ）∵BC⊥面AA1C1CBC⊂面BCC1B1
∴面AA1C1C⊥面BCC1B1
作A1E⊥CC1E垂足A1E⊥面BCC1B1
直线AA1∥面BCC1B1
∴A1E直线AA1面BCC1B1距离A1E
∵A1C∠ACC1分线∴A1DA1E
作DF⊥ABF垂足连结A1F
AB⊥A1DA1F∩A1DA1
∴AB⊥面A1DF∵A1F⊂面A1DF
∴A1F⊥AB
∴∠A1FD二面角A1﹣AB﹣C面角
AD1知DAC中点
∴DF
∴tan∠A1FD
∴二面角A1﹣AB﹣Carctan
点评题考查二面角求解作出证明二面角面角解决问题关键属中档题．
20．（12分）设工作日甲乙丙丁4需某种设备概率分06050504否需设备相互独立．
（Ⅰ）求工作日少3需设备概率
（Ⅱ）X表示工作日需设备数求X数学期．
考点C8：相互独立事件相互独立事件概率法公式CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
专题5I：概率统计．
分析记Ai表示事件：工作日乙丙需设备i012B表示事件：甲需设备C表示事件丁需设备D表示事件：工作日少3需设备
（Ⅰ）4需设备概率4中3设备概率相加求．
（Ⅱ）X取值01234分求出PXi利数学期公式计算．
解答解：题意工作日少3需设备概率
06×05×05×04+（1﹣06）×05×05×04+06×（1﹣05）×05×04+06×05×（1﹣05）×04+06×05×05×（1﹣04）031．
（Ⅱ）X取值01234
P（X0）（1﹣06）×052×（1﹣04）006
P（X1）06×052×（1﹣04）+（1﹣06）×052×04+（1﹣06）×2×052×（1﹣04）025
P（X4）P（A2•B•C）052×06×04006
P（X3）P（D）﹣P（X4）025
P（X2）1﹣P（X0）﹣P（X1）﹣P（X3）﹣P（X4）1﹣006﹣025﹣025﹣006038．
数学期EX0×006+1×025+2×038+3×025+4×0062
点评题考查独立事件概率数学期关键找独立事件计算耐心属难题．
21．（12分）已知抛物线C：y22px（p＞0）焦点F直线y4y轴交点PC交点Q|QF||PQ|．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点AMBN四点圆求l方程．
考点KH：直线圆锥曲线综合．菁优网版权
专题5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C方程求x0根|QF||PQ|求 p值C方程．
（Ⅱ）设l方程 xmy+1 （m≠0）代入抛物线方程化简利韦达定理中点公式弦长公式求弦长|AB|．直线l′方程代入抛物线方程化简利韦达定理弦长公式求|MN|．MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|求m值直线l方程．
解答解：（Ⅰ）设点Q坐标（x04）点Q坐标代入抛物线C：y22px（p＞0）
x0∵点P（04）∴|PQ|．
|QF|x0++|QF||PQ|
∴+×求 p2 p﹣2（舍）．
C方程 y24x．
（Ⅱ）题意直线l坐标轴垂直y24x焦点F（10）
设l方程 xmy+1（m≠0）
代入抛物线方程y2﹣4my﹣40显然判式△16m2+16＞0y1+y24my1•y2﹣4．
∴AB中点坐标D（2m2+12m）弦长|AB||y1﹣y2|4（m2+1）．
直线l′斜率﹣m∴直线l′方程 x﹣y+2m2+3．
F直线lC相交AB两点AB垂直分线l′C相交MN两点
线l′方程代入抛物线方程 y2+y﹣4（2m2+3）0∴y3+y4y3•y4﹣4（2m2+3）．
线段MN中点E坐标（+2m2+3）∴|MN||y3﹣y4|
∵MN垂直分线段ABAMBN四点圆等价|AE||BE||MN|
∴+DE2MN2
∴4（m2+1）2 ++×化简 m2﹣10
∴m±1∴直线l方程 x﹣y﹣10 x+y﹣10．
点评题考查求抛物线标准方程直线圆锥曲线位置关系应韦达定理弦长公式应体现转化数学思想属难题．
22．（12分）函数f（x）ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨f（x）单调性
（Ⅱ）设a11an+1ln（an+1）证明：＜an≤（n∈N*）．
考点6B：利导数研究函数单调性RG：数学纳法．菁优网版权
专题53：导数综合应．
分析（Ⅰ）求函数导数通讨a取值范围f（x）单调性
（Ⅱ）利数学纳法证明等式．
解答解：（Ⅰ）函数f（x）定义域（﹣1+∞）f′（x）
①1＜a＜2时x∈（﹣1a2﹣2a）f′（x）＞0时函数f（x）（﹣1a2﹣2a）增函数
x∈（a2﹣2a0）f′（x）＜0时函数f（x）（a2﹣2a0）减函数
x∈（0+∞）f′（x）＞0时函数f（x）（0+∞）增函数．
②a2时f′（x）≥0时函数f（x）（﹣1+∞）增函数
③a＞2时x∈（﹣10）f′（x）＞0时函数f（x）（﹣10）增函数
x∈（0a2﹣2a）f′（x）＜0时函数f（x）（0a2﹣2a）减函数
x∈（a2﹣2a+∞）f′（x）＞0时函数f（x）（a2﹣2a+∞）增函数．
（Ⅱ）（Ⅰ）知a2时时函数f（x）（﹣1+∞）增函数
x∈（0+∞）时f（x）＞f（0）0
ln（x+1）＞（x＞0）
（Ⅰ）知a3时f（x）（03）减函数
x∈（03）时f（x）＜f（0）0ln（x+1）＜
面数学纳法进行证明＜an≤成立
①n1时已知
结成立．
②假设nk时结成立
nk+1时an+1ln（an+1）＞ln（）
ak+1ln（ak+1）＜ln（）
nk+1时成立
综①②知n∈N•结成立．
点评题考查函数单调性导数间关系利数学纳法证明等式综合性较强难度较．
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