中考数学专题 证明压轴题
1图梯形ABCD中AB∥CD∠BCD90°AB1BC2tan∠ADC2
(1) 求证：DCBC
(2) E梯形点F梯形外点∠EDC∠FBCDEBF试判断△ECF形状证明结
(3) （2）条件BE：CE1：2∠BEC135°时求sin∠BFE值
[解析] （1）A作DC垂线AM交DCM
AMBC2
tan∠ADC2DCBC
(2)等腰三角形
证明：
△DEC≌△BFC
△ECF等腰直角三角形
（3）设
2已知：图□ABCD 中EF分边ABCD中点BD角线AG∥DB交CB延长线G．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）四边形 BEDF菱形四边形AGBD什特殊四边形？证明结．
[解析] （1）∵四边形ABCD行四边形
∴∠1＝∠CAD＝CBAB＝CD ．
∵点E F分ABCD中点
∴AE＝AB CF＝CD ．
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF ．
（2）四边形BEDF菱形时
四边形 AGBD矩形．
∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC ．
∵AG∥BD
∴四边形 AGBD 行四边形．
∵四边形 BEDF 菱形
∴DE＝BE ．
∵AE＝BE
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD矩形
3图13－1等腰直角三角尺GEF两条直角边正方形ABCD两条边分重合起．现正方形ABCD保持动三角尺GEF绕斜边EF中点O（点OBD中点）时针方旋转．
（1）图13－2EFAB相交点MGFBD相交点N时通观察测量BMFN长度猜想BMFN满足数量关系证明猜想
（2）三角尺GEF旋转图13－3示位置时线段FE延长线AB延长线相交点M线段BD延长线GF延长线相交点N时（1）中猜想成立？成立请证明成立请说明理．
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图13－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
[解析]（1）BMFN．
证明：∵△GEF等腰直角三角形四边形ABCD正方形
∴ ∠ABD ∠F 45°OB OF．
∵∠BOM∠FON ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BMFN．
（2） BMFN然成立．
（3） 证明：∵△GEF等腰直角三角形四边形ABCD正方形
∴∠DBA∠GFE45°OBOF．
∴∠MBO∠NFO135°．
∵∠MOB∠NOF ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BMFN．
4图已知⊙O直径AB垂直弦CDE连结ADBDOCODOD＝5
（1）求CD长
（2） ∠ADO：∠EDO＝4：1求扇形OAC（阴影部分）面积（结果保留）
[解析] （1）AB⊙O直径OD＝5
∠ADB＝90°AB＝10
Rt△ABD中
∠ADB＝90°AB⊥CD
（2）AB⊙O直径AB⊥CD
∠BAD＝∠CDB∠AOC＝∠AOD
AO＝DO∠BAD＝∠ADO
∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x∠CDB＝4x
∠ADO：∠EDO＝4：1∠EDO＝x
∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
x＝10°
∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
∠AOC＝∠AOD＝100°
5图已知：CAB直径半圆O点CH⊥AB点H直线ACB点切线相交点DECH中点连接AE延长交BD点F直线CF交直线AB点G
（1）求证：点FBD中点
（2）求证：CG⊙O切线
（3）FBFE2求⊙O半径．
[解析] (1)证明：∵CH⊥ABDB⊥AB∴△AEH∽AFB△ACE∽△ADF
∴∵HE＝EC∴BF＝FD
(2)方法：连接CBOC
∵AB直径∴∠ACB＝90°∵FBD中点
∴∠BCF∠CBF90°∠CBA∠CAB∠ACO
∴∠OCF90°∴CG⊙O切线6′
方法二：证明△OCF≌△OBF(参方法标准分)
(3)解：FCFBFE：∠FCE∠FEC
证：FA＝FGAB＝BG
切割线定理：（2＋FG）2＝BG×AG2BG2
Rt△BGF中勾股定理：BG2＝FG2－BF2
：FG24FG120
解：FG1＝6FG2＝－2（舍）
∴AB＝BG＝
∴⊙O半径2
6图已知O原点点A坐标（43）
⊙A半径2．A作直线行轴点P直线运动．
（１）点P⊙O时请直接写出坐标
（２）设点P横坐标12试判断直线OP⊙A位置关系说明理
[解析]
解 1点P坐标（23）（63）
2作AC⊥OPC垂足
∵∠ACP∠OBP∠1∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
中AP1248
∴
∴AC≈194
∵194<2
∴OP⊙A相交
7图延长⊙O半径OABOAAB
C
A
B
D
O
E
DE圆条切线E切点点B作DE垂线
垂足点C
求证：∠ACB∠OAC
[解析]
证明：连结OEAE点A作AF⊥DE点F （3分）
∵DE圆条切线E切点
∴OE⊥DC
∵BC⊥DE
∴OE∥AF∥BC
∴∠1∠ACB∠2∠3
∵OAOE
∴∠4∠3
∴∠4∠2
∵点AOB中点
∴点FEC中点
∴AEAC
∴∠1∠2
∴∠4∠2∠1
∠ACB∠OAC
8图１架长4米梯子AB斜面OM垂直墙壁ON梯子面倾斜角α．
1求AOBO长
2梯子顶端ANO滑时底端BOM右滑行
①图2设A点滑C点B点右滑行D点ACBD23试计算梯子顶端ANO滑少米
②图３A点滑A’点B点右滑行B’点时梯子AB中点P运动P’点．∠POP’＝ 试求AA’长．
[解析]
1中∠O∠α
∴∠OABＡＢ＝4米
∴米
米 (3分)
2设中
根勾股定理
∴ (5分)
∴
∵ ∴
∴ (7分)
AC2x
梯子顶端ANO滑米 (8分)
3∵点P点分斜边AB斜边中点
∴ (9分)
∴ (10分)
∴
∴
∵
∴ (11分)
∴ (12分)
∴米 (13分)
9（重庆10分）图面直角坐标系已知点A（06）点B（80）动点P点A开始线段AO秒1单位长度速度点O移动时动点Q点B开始线段BA秒2单位长度速度点A移动设点PQ移动时间t秒．
(1) 求直线AB解析式(2) t值时△APQ△AOB相似？
(3) t值时△APQ面积方单位？
解：（1）设直线AB解析式y＝kx＋b
题意 解
直线AB解析式y＝－x＋6．
（2）AO＝6 BO＝8 AB＝10
AP＝t AQ＝10－2t
1° ∠APQ＝∠AOB时△APQ∽△AOB．
＝ 解 t＝(秒)
2° ∠AQP＝∠AOB时△AQP∽△AOB．
＝ 解 t＝(秒)
（3）点Q作QE垂直AO点E．
Rt△AOB中Sin∠BAO＝＝
Rt△AEQ中QE＝AQ·Sin∠BAO＝(102t)·＝8 －tS△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)
＝－＋4t＝ 解t＝2（秒）t＝3（秒）．
（注：点P作PE垂直AB点E相应分）
点拨：题关键着动点P运动△APQ形状发生着变化应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．样两时间限制．时第（3）问P作 PE⊥AB．
10．（南充10分）图2－5－7矩形ABCD中AB＝8BC＝6角线AC动点P（包括点A点C）．设AP＝x四边形PBCD面积y．
（1）写出yx函数关系确定变量x范围．
（2）提出判断：关动点P⊿PBC面积⊿PAD面积常数．请说明判断否正确说明理．
解：（1）动点P作PE⊥BC点E．
Rt⊿ABC中AC＝10 PC＝AC－AP＝10－x．
∵ PE⊥BCAB⊥BC∴⊿PEC∽⊿ABC．
∴⊿PBC面积＝
⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝
yx取值范围0＜x＜10．
（2）判断正确．
理： （1）⊿PAD面积＝
⊿PBC面积⊿PAD面积＝24．
点拨：矩形两边长68．角线10样PC＝10－x面积y规四边形成规两三角形：△PBC△PCD．样问题非常容易解决
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1图梯形ABCD中AB∥CD∠BCD90°AB1BC2tan∠ADC2
(1) 求证：DCBC
(2) E梯形点F梯形外点∠EDC∠FBCDEBF试判断△ECF形状证明结
(3) （2）条件BE：CE1：2∠BEC135°时求sin∠BFE值
[解析] （1）A作DC垂线AM交DCM
AMBC2
tan∠ADC2DCBC
(2)等腰三角形
证明：
△DEC≌△BFC
△ECF等腰直角三角形
（3）设
2已知：图□ABCD 中EF分边ABCD中点BD角线AG∥DB交CB延长线G．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）四边形 BEDF菱形四边形AGBD什特殊四边形？证明结．
[解析] （1）∵四边形ABCD行四边形
∴∠1＝∠CAD＝CBAB＝CD ．
∵点E F分ABCD中点
∴AE＝AB CF＝CD ．
∴AE＝CF
∴△ADE≌△CBF ．
（2）四边形BEDF菱形时
四边形 AGBD矩形．
∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC ．
∵AG∥BD
∴四边形 AGBD 行四边形．
∵四边形 BEDF 菱形
∴DE＝BE ．
∵AE＝BE
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°
∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
∠ADB＝90°．
∴四边形AGBD矩形
3图13－1等腰直角三角尺GEF两条直角边正方形ABCD两条边分重合起．现正方形ABCD保持动三角尺GEF绕斜边EF中点O（点OBD中点）时针方旋转．
（1）图13－2EFAB相交点MGFBD相交点N时通观察测量BMFN长度猜想BMFN满足数量关系证明猜想
（2）三角尺GEF旋转图13－3示位置时线段FE延长线AB延长线相交点M线段BD延长线GF延长线相交点N时（1）中猜想成立？成立请证明成立请说明理．
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图13－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
[解析]（1）BMFN．
证明：∵△GEF等腰直角三角形四边形ABCD正方形
∴ ∠ABD ∠F 45°OB OF．
∵∠BOM∠FON ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BMFN．
（2） BMFN然成立．
（3） 证明：∵△GEF等腰直角三角形四边形ABCD正方形
∴∠DBA∠GFE45°OBOF．
∴∠MBO∠NFO135°．
∵∠MOB∠NOF ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BMFN．
4图已知⊙O直径AB垂直弦CDE连结ADBDOCODOD＝5
（1）求CD长
（2） ∠ADO：∠EDO＝4：1求扇形OAC（阴影部分）面积（结果保留）
[解析] （1）AB⊙O直径OD＝5
∠ADB＝90°AB＝10
Rt△ABD中
∠ADB＝90°AB⊥CD
（2）AB⊙O直径AB⊥CD
∠BAD＝∠CDB∠AOC＝∠AOD
AO＝DO∠BAD＝∠ADO
∠CDB＝∠ADO
设∠ADO＝4x∠CDB＝4x
∠ADO：∠EDO＝4：1∠EDO＝x
∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°
x＝10°
∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°
∠AOC＝∠AOD＝100°
5图已知：CAB直径半圆O点CH⊥AB点H直线ACB点切线相交点DECH中点连接AE延长交BD点F直线CF交直线AB点G
（1）求证：点FBD中点
（2）求证：CG⊙O切线
（3）FBFE2求⊙O半径．
[解析] (1)证明：∵CH⊥ABDB⊥AB∴△AEH∽AFB△ACE∽△ADF
∴∵HE＝EC∴BF＝FD
(2)方法：连接CBOC
∵AB直径∴∠ACB＝90°∵FBD中点
∴∠BCF∠CBF90°∠CBA∠CAB∠ACO
∴∠OCF90°∴CG⊙O切线6′
方法二：证明△OCF≌△OBF(参方法标准分)
(3)解：FCFBFE：∠FCE∠FEC
证：FA＝FGAB＝BG
切割线定理：（2＋FG）2＝BG×AG2BG2
Rt△BGF中勾股定理：BG2＝FG2－BF2
：FG24FG120
解：FG1＝6FG2＝－2（舍）
∴AB＝BG＝
∴⊙O半径2
6图已知O原点点A坐标（43）
⊙A半径2．A作直线行轴点P直线运动．
（１）点P⊙O时请直接写出坐标
（２）设点P横坐标12试判断直线OP⊙A位置关系说明理
[解析]
解 1点P坐标（23）（63）
2作AC⊥OPC垂足
∵∠ACP∠OBP∠1∠1
∴△ACP∽△OBP
∴
中AP1248
∴
∴AC≈194
∵194<2
∴OP⊙A相交
7图延长⊙O半径OABOAAB
C
A
B
D
O
E
DE圆条切线E切点点B作DE垂线
垂足点C
求证：∠ACB∠OAC
[解析]
证明：连结OEAE点A作AF⊥DE点F （3分）
∵DE圆条切线E切点
∴OE⊥DC
∵BC⊥DE
∴OE∥AF∥BC
∴∠1∠ACB∠2∠3
∵OAOE
∴∠4∠3
∴∠4∠2
∵点AOB中点
∴点FEC中点
∴AEAC
∴∠1∠2
∴∠4∠2∠1
∠ACB∠OAC
8图１架长4米梯子AB斜面OM垂直墙壁ON梯子面倾斜角α．
1求AOBO长
2梯子顶端ANO滑时底端BOM右滑行
①图2设A点滑C点B点右滑行D点ACBD23试计算梯子顶端ANO滑少米
②图３A点滑A’点B点右滑行B’点时梯子AB中点P运动P’点．∠POP’＝ 试求AA’长．
[解析]
1中∠O∠α
∴∠OABＡＢ＝4米
∴米
米 (3分)
2设中
根勾股定理
∴ (5分)
∴
∵ ∴
∴ (7分)
AC2x
梯子顶端ANO滑米 (8分)
3∵点P点分斜边AB斜边中点
∴ (9分)
∴ (10分)
∴
∴
∵
∴ (11分)
∴ (12分)
∴米 (13分)
9（重庆10分）图面直角坐标系已知点A（06）点B（80）动点P点A开始线段AO秒1单位长度速度点O移动时动点Q点B开始线段BA秒2单位长度速度点A移动设点PQ移动时间t秒．
(1) 求直线AB解析式(2) t值时△APQ△AOB相似？
(3) t值时△APQ面积方单位？
解：（1）设直线AB解析式y＝kx＋b
题意 解
直线AB解析式y＝－x＋6．
（2）AO＝6 BO＝8 AB＝10
AP＝t AQ＝10－2t
1° ∠APQ＝∠AOB时△APQ∽△AOB．
＝ 解 t＝(秒)
2° ∠AQP＝∠AOB时△AQP∽△AOB．
＝ 解 t＝(秒)
（3）点Q作QE垂直AO点E．
Rt△AOB中Sin∠BAO＝＝
Rt△AEQ中QE＝AQ·Sin∠BAO＝(102t)·＝8 －tS△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)
＝－＋4t＝ 解t＝2（秒）t＝3（秒）．
（注：点P作PE垂直AB点E相应分）
点拨：题关键着动点P运动△APQ形状发生着变化应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．样两时间限制．时第（3）问P作 PE⊥AB．
10．（南充10分）图2－5－7矩形ABCD中AB＝8BC＝6角线AC动点P（包括点A点C）．设AP＝x四边形PBCD面积y．
（1）写出yx函数关系确定变量x范围．
（2）提出判断：关动点P⊿PBC面积⊿PAD面积常数．请说明判断否正确说明理．
解：（1）动点P作PE⊥BC点E．
Rt⊿ABC中AC＝10 PC＝AC－AP＝10－x．
∵ PE⊥BCAB⊥BC∴⊿PEC∽⊿ABC．
∴⊿PBC面积＝
⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝
yx取值范围0＜x＜10．
（2）判断正确．
理： （1）⊿PAD面积＝
⊿PBC面积⊿PAD面积＝24．
点拨：矩形两边长68．角线10样PC＝10－x面积y规四边形成规两三角形：△PBC△PCD．样问题非常容易解决
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