2021年教版数学中考常见题刺：
图形提升训练
．选择题
1．图已知Rt△ABO顶点AB分x轴y轴AB＝4B（04）步骤作图：①分点AB圆心长半径作弧交点PQ②作直线PQ交x轴点C交y轴点D点C坐标（ ）
A．（30） B．（﹣30） C． D．
2．图矩形ABCD中AB＝8BC＝4．点E边AB点F边CD点GH角线AC．四边形EGFH菱形AE长（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．直角三角形纸片ABC两条直角边BCAC长分68现△ABC图折叠点A点B重合折痕DEtan∠CBE值（ ）
A． B． C． D．
4．图两根竹竿ABAD斜墙CE量∠ABC＝α∠ADC＝β．竹竿ABAD长度（ ）
A． B． C． D．
5．图△ABC中∠C＝90°AC＝BC＝△ABC绕点A时针方旋转60°△AB＇C＇位置连接C＇BC＇B长（ ）
A． B． C． D．1
6．图矩形ABCD两直角边皆1：2三直角三角形纸片甲乙丙拼接成间互重叠缝隙值（ ）
A． B． C． D．
7．图正例函数y1＝k1x反例函数y2＝图象交A（12）B两点出列结：
①k1＜k2
②x＜﹣1时y1＜y2
③y1＞y2时x＞1
④x＜0时y2x增减．
中正确（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
8．图点I△ABC心∠BIC＝126°∠BAC＝ °．
9．图▱ABCD中点A圆心AB半径画弧交AD点F分点BF圆心长半径画弧交点G连接AG延长交BC点EBF＝6AB＝5AE长 ．
10．图菱形ABCD折痕AH翻折B点落边BC点E处连接DE．CD＝13CE＝3ED＝ ．
11．图点ABCP⊙OCD⊥OACE⊥OB垂足分点DE∠DCE＝58°∠P度数 ．
12．图已知△ABC中∠C＝60°⊙O△ABC外接圆点AB分作⊙O切线两切线交点P⊙O半径1△PAB周长 ．
13．图△ABC绕点C逆时针方旋转90°△CDEAC＝2AE＝ ．
三．解答题
14．图BC⊙O直径点A⊙OAD⊥BC垂足D＝BE分交ADAC点 FG．
（1）证明：FA＝FG
（2）BD＝DO＝2求弧EC长度．
15．甲乙两长方形边长图示（m正整数）面积分S1S2．
（1）含m代数式表示出S1S2
（2）较S1S2S1 S2（＞＜＝进行连接）
（3）正方形周长等甲乙两长方形周长求该正方形面积（含m代数式表示）．
16．图Rt△ABC中∠ABC＝90°BC直径作⊙O交AC点HEAC点AB＝AEBE交⊙O点DOD交AC点F．
（1）求证：DO⊥AC．
（2）CE＝4BC＝8求DE长．
17．图正方形ABCD中EAB点连接DE．点A作AF⊥DE垂足F⊙O点CDFAD相交点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC
（2）正方形ABCD边长4AE＝1求⊙O半径．
18．图Rt△ACB中∠ACB＝90°点DBC延长线点BD直径作半圆O分交ABAC点GE点E中点点E作⊙O切线交AB点F．
（1）求证：∠AEF＝∠ABC．
（2）sinA＝FG＝1求AC长．
19．图PA⊙O切线切点AAC⊙O直径连接OP交⊙OE．A点作AB⊥PO点D交⊙OB连接BCPB．
（1）求证：PB⊙O切线
（2）求证：E△PAB心
（3）cos∠PAB＝BC＝1求PO长．
20．图△ABC中∠ACB＝90°DBC边点分点AB作BDAD行线交点EAB分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB菱形
（2）连接EC∠BAC＝60°BC＝2时求△ECB面积．
21．图1折叠矩形纸片ABCD具体操作：①点EAD边点（点AD重合）△ABEBE直线折叠A点称点F点②点E折∠DEF折痕EG直线交DC点GD点称点H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）AB＝6BC＝10．
①点E移动程中求DG值
②图2点C恰直线EF连接DH求线段DH长．
参考答案
．选择题
1．解：连接BC图
∵B（04）
∴OB＝4
Rt△ABO中OA＝＝＝8
作法PQ垂直分AB
∴CA＝CB
Rt△BOC中BC＝AC＝OA﹣OC＝8﹣OC
∵OC2+42＝（8﹣OC）2
∴OC＝3
∴C点坐标（﹣30）．
选：B．
2．解连接EF交ACO
∵四边形EGFH菱形
∴EF⊥ACOE＝OF
∵四边形ABCD矩形
∴∠B＝∠D＝90°AB∥CD
∴∠ACD＝∠CAB
△CFO△AOE中
∴△CFO≌△AEO（AAS）
∴AO＝CO
∵AC＝＝4
∴AO＝AC＝2
∵∠CAB＝∠CAB∠AOE＝∠B＝90°
∴△AOE∽△ABC
∴
∴
∴AE＝5．
方法二：应连接EFEF⊥AC 易证EF垂直分AC 连接CECE＝AE
设CE＝AE＝xEB＝8﹣xBC＝4利勾股定理求x＝5．
选：C．
3．解：∵直角三角形纸片ABC两条直角边BCAC长分68
∴AB＝＝10
设CE＝xAE＝8﹣x
∵△ABC图折叠点A点B重合
∴BE＝AE＝8﹣x
Rt△BCE中CE2+BC2＝BE2
∴x2+62＝（8﹣x）2
解x＝
Rt△BCE中
tan∠CBE＝＝＝
选：A．
4．解：根题意知：
∠DCA＝90°∠ABC＝α∠ADC＝β
Rt△ABC中AC＝AB•sinα
Rt△ADC中AC＝AD•sinβ
∴AB•sinα＝AD•sinβ
∴＝．
选：D．
5．解：图连接BB′延长BC′交AB′点M
题意：∠BAB′＝60°BA＝B′A
∴△ABB′等边三角形
∴∠ABB′＝60°AB＝B′B
△ABC′△B′BC′中
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）
∴∠MBB′＝∠MBA＝30°
∴BM⊥AB′AM＝B′M
题意：AB2＝4
∴AB′＝AB＝2AM＝1
∴C′M＝AB′＝1
勾股定理：BM＝＝＝
∴C′B＝﹣1
选：C．
6．解：图示
设丙短直角边x乙短直角边y
HG＝2xDG＝2x+yCG＝DG＝
∵BF＝DH＝yFG＝EH＝x
∴CF＝2BF＝2yCF＝CG+FG＝+x
∴2y＝+x
∴x＝y
∵AB＝DC＝＝＝＝AD＝＝＝y
∴＝＝．
选：C．
7．解：①正例函数y1＝k1x反例函数y2＝图象交A（12）
∴k1＝2k2＝2k1＝k2①错误
②反例函数称性知B点坐标（﹣1﹣2）
x＜﹣1时次函数图象反例图象方②正确
③y1＞y2时﹣1＜x＜0x＞1③错误
④k2＝2＞0x＜0时y2x增减④正确
选：C．
二．填空题（6题）
8．解：∵点I△ABC心
∴∠ABC＝2∠IBC∠ACB＝2∠ICB
∵∠BIC＝126°
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝54°
∴∠ABC+∠ACB＝2×54°＝108°
∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝72°．
答案：72．
9．解：图连接FE设AE交BF点O．
作图知：AB＝AFAE分∠BAD
∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∴∠FAE＝∠AEB＝∠BAE
∴AB＝BE
∴AF＝BE
∵AF∥BE
∴四边形ABEF行四边形
∵AB＝AF
∴四边形ABEF菱形
∴AE⊥BF
∴AO＝OE＝AEBO＝OF＝3
Rt△AOB中AO＝＝＝4
∴AE＝2OA＝8．
答案：8．
10．解：E作EF⊥ADF图：
∵菱形ABCDCD＝13
∴BC＝AD＝AB＝13
∵CE＝3
∴BE＝BC﹣CE＝10
∵菱形ABCD折痕AH翻折B点落边BC点E处
∴BH＝HE＝BE＝5∠AEH＝∠AHE＝90°
Rt△ABH中AH＝＝12
∵菱形ABCDEF⊥AD∠AHE＝90°
∴四边形AHEF矩形
∴AF＝HE＝5EF＝AH＝12
∴DF＝AD﹣AF＝8
Rt△EDF中DE＝＝4
答案：4．
11．解：∵CD⊥OACE⊥OB
∴∠CDO＝90°∠CEO＝90°
∵∠DCE＝58°
∴∠AOB＝360°﹣∠DCE﹣∠CDO﹣∠CEO＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°
∴∠P＝∠AOB＝61°
答案：61°．
12．解：点A作直径AD连接BD
∵AD⊙O直径
∴∠ABD＝90°
∵∠C＝60°
∴∠ADB＝∠C＝60°
∴∠BAD＝30°
∵⊙O半径1
∴AD＝2
∴AB＝AD•sin60°＝
∵AP切线
∴∠DAP＝90°∠PAB＝60°
∵AP＝BP
∴△PAB等边三角形
∴△PAB周长＝3AB＝3
答案：3．
13．解：∵△ABC绕点C逆时针方旋转90°
∴△ACE等腰直角三角形
∴∠ACE＝90°AC＝CE
∵AC＝2
∴AE＝
答案：2．
三．解答题（8题）
14．（1）证明：∵BC ⊙O 直径
∴∠BAC＝90°
∴∠ABE+∠AGB＝90°
∵AD⊥BC
∴∠C+∠CAD＝90°
∵＝
∴∠C＝∠ABE
∴∠AGB＝∠CAD
∴FA＝FG．
（2）解：图连接AOEO
∵BD＝DO＝2AD⊥BC
∴AB＝AO
∵AO＝BO
∴AB＝AO＝BO
∴△ABO等边三角形
∴∠AOB＝60°
∵＝
∴∠AOE＝60°
∴∠EOC＝60°
∴弧长＝2π×（2×2）×＝π．
15．解：（1）S1＝（m﹣5）（m﹣1）
＝m2﹣m﹣5m+5
＝m2﹣6m+5
S2＝（m﹣4）（m﹣2）
＝m2﹣2m﹣4m+8
＝m2﹣6m+8
（2）∵S1﹣S2
＝m2﹣6m+5﹣（m2﹣6m+8）
＝m2﹣6m+5﹣m2+6m﹣8
＝﹣3＜0
∴S1＜S2
答案：＜．
（3）甲乙两长方形周长：2（m﹣1+m﹣5）+2（m﹣4+m﹣2）＝8m﹣24
∴正方形边长：＝2m﹣6．
该正方形面积：（2m﹣6）2＝4m2﹣24m+36．
答：该正方形面积4m2﹣24m+36．
16．（1）证明：∵∠ABC＝90°
∴∠ABE+∠OBD＝90°
∵AB＝AE
∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEF
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB
∴∠ODB+∠DEF＝90°
∠DFE＝90°
∴DO⊥AC
（2）解：设AB＝AE＝x
Rt△ABC中AC2＝AB2+BC2
∵CE＝4BC＝8
∴（x+4）2＝x2+82解：x＝6
∴
∴
∴
∴
∴
∴
Rt△DEF中．
17．（1）证明：正方形ABCD中∠ADC＝90°
∴∠CDF+∠ADF＝90°
∵AF⊥DE
∴∠AFD＝90°
∴∠DAF+∠ADF＝90°
∴∠DAF＝∠CDF
∵四边形GFCD⊙O接四边形
∴∠FCD+∠DGF＝180°
∵∠FGA+∠DGF＝180°
∴∠FGA＝∠FCD
∴△AFG∽△DFC．
（2）解：图连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°∠EDA＝∠ADF
∴△EDA∽△ADF
∴＝＝
∵△AFG∽△DFC
∴＝
∴＝
正方形ABCD中∵DA＝DC
∴AG＝EA＝1DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3
∴CG＝＝5
∵∠CDG＝90°
∴CG⊙O直径
∴⊙O半径．
18．（1）证明：连接OEOGEG
∵点E中点
∴＝
∴∠DOE＝∠EOG
∵∠ABC＝∠DOG＝∠DOE
∴OE∥AB
∵EF⊙O切线
∴OE⊥EF
∴EF⊥AB
∴∠AEF+∠A＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠ABC+∠A＝90°
∴∠AEF＝∠ABC
（2）Rt△AEF中sinA＝设EF＝2aAE＝3a
∴AF＝＝a
连接DE
∵点E中点
∴＝
∴DE＝EG
∵四边形BDEG圆接四边形
∴∠EGF＝∠EDC
∵∠EFG＝∠ECD＝90°
∴△EFG≌△ECD（AAS）
∴CD＝FG＝1
∵∠AEF＝∠ABC∠ACB＝∠AFE＝90°
∴△ABC∽△AEF
∴＝
＝
∴BC＝2a
∴BD＝BC+CD＝2a+1
∴OB＝OD＝OE＝
Rt△COE中OC＝OD﹣CD＝﹣1＝
EC2+OC2＝OE2
（2a）2+（）2＝（）2
解a＝
∴AC＝5a＝．
19．（1）证明：连接OB
∵AC⊙O直径
∴∠ABC＝90°
∵AB⊥PO
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C∠POB＝∠OBC
OB＝OC
∴∠OBC＝∠C
∴∠AOP＝∠POB
△AOP△BOP中
∴△AOP≌△BOP（SAS）
∴∠OBP＝∠OAP
∵PA⊙O切线
∴∠OAP＝90°
∴∠OBP＝90°
∴PB⊙O切线
（2）证明：连接AE
∵PA⊙O切线
∴∠PAE+∠OAE＝90°
∵AD⊥ED
∴∠EAD+∠AED＝90°
∵OE＝OA
∴∠OAE＝∠AED
∴∠PAE＝∠DAEEA分∠PAD
∵PAPB⊙O切线
∴PD分∠APB
∴E△PAB心
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°∠C+∠BAC＝90°
∴∠PAB＝∠C
∴cos∠C＝cos∠PAB＝
Rt△ABC中cos∠C＝＝＝
∴AC＝AO＝
∵△PAO∽△ABC
∴
∴PO＝＝＝5．
20．（1）证明：∵AD∥BEAE∥BD
∴四边形EADB行四边形
∵AB分∠EAD
∴∠EAB＝∠DAB
∵AE∥BD
∴∠EAB＝∠DBA
∴∠DAB＝∠DBA
∴AD＝BD．
∴四边形EADB菱形
（2）解：∵∠ACB＝90°∠BAC＝60°BC＝2
∴tan60°＝＝
∴AC＝2
∴S△ACB＝AC•BC＝×2×2＝2
∵AE∥BC
∴S△ECB＝S△ACB＝2．
21．解：（1）图1中
折叠知∠AEB＝∠FEB∠DEG＝∠HEG
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°
∴∠AEB+∠DEG＝90°
∵四边形ABCD矩形
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°
∴∠ABE＝∠DEG
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设AE＝x
∵△ABE∽△DEG
∴＝
∴＝
∴DG＝＝﹣（x﹣5）2+
∵﹣＜0（0＜x＜10）
∴x＝5时DG值值．
②图2中连接DH．
折叠知∠AEB＝∠FEBAE＝EFAB＝BF＝6∠BFE＝∠A＝90°
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠FEB＝∠EBC
∴CE＝CB＝10
∵点C直线EF
∴∠BFC＝90°CF＝10﹣EF＝10﹣AE
∴CF＝＝＝8
∴AE＝EF＝CE﹣CF＝10﹣8＝2
∴DG＝＝＝
∴EG＝＝＝
折叠知EG垂直分线段DH
∴DH＝2×＝2×＝．
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图形提升训练
．选择题
1．图已知Rt△ABO顶点AB分x轴y轴AB＝4B（04）步骤作图：①分点AB圆心长半径作弧交点PQ②作直线PQ交x轴点C交y轴点D点C坐标（ ）
A．（30） B．（﹣30） C． D．
2．图矩形ABCD中AB＝8BC＝4．点E边AB点F边CD点GH角线AC．四边形EGFH菱形AE长（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．直角三角形纸片ABC两条直角边BCAC长分68现△ABC图折叠点A点B重合折痕DEtan∠CBE值（ ）
A． B． C． D．
4．图两根竹竿ABAD斜墙CE量∠ABC＝α∠ADC＝β．竹竿ABAD长度（ ）
A． B． C． D．
5．图△ABC中∠C＝90°AC＝BC＝△ABC绕点A时针方旋转60°△AB＇C＇位置连接C＇BC＇B长（ ）
A． B． C． D．1
6．图矩形ABCD两直角边皆1：2三直角三角形纸片甲乙丙拼接成间互重叠缝隙值（ ）
A． B． C． D．
7．图正例函数y1＝k1x反例函数y2＝图象交A（12）B两点出列结：
①k1＜k2
②x＜﹣1时y1＜y2
③y1＞y2时x＞1
④x＜0时y2x增减．
中正确（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
8．图点I△ABC心∠BIC＝126°∠BAC＝ °．
9．图▱ABCD中点A圆心AB半径画弧交AD点F分点BF圆心长半径画弧交点G连接AG延长交BC点EBF＝6AB＝5AE长 ．
10．图菱形ABCD折痕AH翻折B点落边BC点E处连接DE．CD＝13CE＝3ED＝ ．
11．图点ABCP⊙OCD⊥OACE⊥OB垂足分点DE∠DCE＝58°∠P度数 ．
12．图已知△ABC中∠C＝60°⊙O△ABC外接圆点AB分作⊙O切线两切线交点P⊙O半径1△PAB周长 ．
13．图△ABC绕点C逆时针方旋转90°△CDEAC＝2AE＝ ．
三．解答题
14．图BC⊙O直径点A⊙OAD⊥BC垂足D＝BE分交ADAC点 FG．
（1）证明：FA＝FG
（2）BD＝DO＝2求弧EC长度．
15．甲乙两长方形边长图示（m正整数）面积分S1S2．
（1）含m代数式表示出S1S2
（2）较S1S2S1 S2（＞＜＝进行连接）
（3）正方形周长等甲乙两长方形周长求该正方形面积（含m代数式表示）．
16．图Rt△ABC中∠ABC＝90°BC直径作⊙O交AC点HEAC点AB＝AEBE交⊙O点DOD交AC点F．
（1）求证：DO⊥AC．
（2）CE＝4BC＝8求DE长．
17．图正方形ABCD中EAB点连接DE．点A作AF⊥DE垂足F⊙O点CDFAD相交点G．
（1）求证：△AFG∽△DFC
（2）正方形ABCD边长4AE＝1求⊙O半径．
18．图Rt△ACB中∠ACB＝90°点DBC延长线点BD直径作半圆O分交ABAC点GE点E中点点E作⊙O切线交AB点F．
（1）求证：∠AEF＝∠ABC．
（2）sinA＝FG＝1求AC长．
19．图PA⊙O切线切点AAC⊙O直径连接OP交⊙OE．A点作AB⊥PO点D交⊙OB连接BCPB．
（1）求证：PB⊙O切线
（2）求证：E△PAB心
（3）cos∠PAB＝BC＝1求PO长．
20．图△ABC中∠ACB＝90°DBC边点分点AB作BDAD行线交点EAB分∠EAD．
（1）求证：四边形EADB菱形
（2）连接EC∠BAC＝60°BC＝2时求△ECB面积．
21．图1折叠矩形纸片ABCD具体操作：①点EAD边点（点AD重合）△ABEBE直线折叠A点称点F点②点E折∠DEF折痕EG直线交DC点GD点称点H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）AB＝6BC＝10．
①点E移动程中求DG值
②图2点C恰直线EF连接DH求线段DH长．
参考答案
．选择题
1．解：连接BC图
∵B（04）
∴OB＝4
Rt△ABO中OA＝＝＝8
作法PQ垂直分AB
∴CA＝CB
Rt△BOC中BC＝AC＝OA﹣OC＝8﹣OC
∵OC2+42＝（8﹣OC）2
∴OC＝3
∴C点坐标（﹣30）．
选：B．
2．解连接EF交ACO
∵四边形EGFH菱形
∴EF⊥ACOE＝OF
∵四边形ABCD矩形
∴∠B＝∠D＝90°AB∥CD
∴∠ACD＝∠CAB
△CFO△AOE中
∴△CFO≌△AEO（AAS）
∴AO＝CO
∵AC＝＝4
∴AO＝AC＝2
∵∠CAB＝∠CAB∠AOE＝∠B＝90°
∴△AOE∽△ABC
∴
∴
∴AE＝5．
方法二：应连接EFEF⊥AC 易证EF垂直分AC 连接CECE＝AE
设CE＝AE＝xEB＝8﹣xBC＝4利勾股定理求x＝5．
选：C．
3．解：∵直角三角形纸片ABC两条直角边BCAC长分68
∴AB＝＝10
设CE＝xAE＝8﹣x
∵△ABC图折叠点A点B重合
∴BE＝AE＝8﹣x
Rt△BCE中CE2+BC2＝BE2
∴x2+62＝（8﹣x）2
解x＝
Rt△BCE中
tan∠CBE＝＝＝
选：A．
4．解：根题意知：
∠DCA＝90°∠ABC＝α∠ADC＝β
Rt△ABC中AC＝AB•sinα
Rt△ADC中AC＝AD•sinβ
∴AB•sinα＝AD•sinβ
∴＝．
选：D．
5．解：图连接BB′延长BC′交AB′点M
题意：∠BAB′＝60°BA＝B′A
∴△ABB′等边三角形
∴∠ABB′＝60°AB＝B′B
△ABC′△B′BC′中
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）
∴∠MBB′＝∠MBA＝30°
∴BM⊥AB′AM＝B′M
题意：AB2＝4
∴AB′＝AB＝2AM＝1
∴C′M＝AB′＝1
勾股定理：BM＝＝＝
∴C′B＝﹣1
选：C．
6．解：图示
设丙短直角边x乙短直角边y
HG＝2xDG＝2x+yCG＝DG＝
∵BF＝DH＝yFG＝EH＝x
∴CF＝2BF＝2yCF＝CG+FG＝+x
∴2y＝+x
∴x＝y
∵AB＝DC＝＝＝＝AD＝＝＝y
∴＝＝．
选：C．
7．解：①正例函数y1＝k1x反例函数y2＝图象交A（12）
∴k1＝2k2＝2k1＝k2①错误
②反例函数称性知B点坐标（﹣1﹣2）
x＜﹣1时次函数图象反例图象方②正确
③y1＞y2时﹣1＜x＜0x＞1③错误
④k2＝2＞0x＜0时y2x增减④正确
选：C．
二．填空题（6题）
8．解：∵点I△ABC心
∴∠ABC＝2∠IBC∠ACB＝2∠ICB
∵∠BIC＝126°
∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝54°
∴∠ABC+∠ACB＝2×54°＝108°
∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝72°．
答案：72．
9．解：图连接FE设AE交BF点O．
作图知：AB＝AFAE分∠BAD
∵四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∴∠FAE＝∠AEB＝∠BAE
∴AB＝BE
∴AF＝BE
∵AF∥BE
∴四边形ABEF行四边形
∵AB＝AF
∴四边形ABEF菱形
∴AE⊥BF
∴AO＝OE＝AEBO＝OF＝3
Rt△AOB中AO＝＝＝4
∴AE＝2OA＝8．
答案：8．
10．解：E作EF⊥ADF图：
∵菱形ABCDCD＝13
∴BC＝AD＝AB＝13
∵CE＝3
∴BE＝BC﹣CE＝10
∵菱形ABCD折痕AH翻折B点落边BC点E处
∴BH＝HE＝BE＝5∠AEH＝∠AHE＝90°
Rt△ABH中AH＝＝12
∵菱形ABCDEF⊥AD∠AHE＝90°
∴四边形AHEF矩形
∴AF＝HE＝5EF＝AH＝12
∴DF＝AD﹣AF＝8
Rt△EDF中DE＝＝4
答案：4．
11．解：∵CD⊥OACE⊥OB
∴∠CDO＝90°∠CEO＝90°
∵∠DCE＝58°
∴∠AOB＝360°﹣∠DCE﹣∠CDO﹣∠CEO＝360°﹣58°﹣90°﹣90°＝122°
∴∠P＝∠AOB＝61°
答案：61°．
12．解：点A作直径AD连接BD
∵AD⊙O直径
∴∠ABD＝90°
∵∠C＝60°
∴∠ADB＝∠C＝60°
∴∠BAD＝30°
∵⊙O半径1
∴AD＝2
∴AB＝AD•sin60°＝
∵AP切线
∴∠DAP＝90°∠PAB＝60°
∵AP＝BP
∴△PAB等边三角形
∴△PAB周长＝3AB＝3
答案：3．
13．解：∵△ABC绕点C逆时针方旋转90°
∴△ACE等腰直角三角形
∴∠ACE＝90°AC＝CE
∵AC＝2
∴AE＝
答案：2．
三．解答题（8题）
14．（1）证明：∵BC ⊙O 直径
∴∠BAC＝90°
∴∠ABE+∠AGB＝90°
∵AD⊥BC
∴∠C+∠CAD＝90°
∵＝
∴∠C＝∠ABE
∴∠AGB＝∠CAD
∴FA＝FG．
（2）解：图连接AOEO
∵BD＝DO＝2AD⊥BC
∴AB＝AO
∵AO＝BO
∴AB＝AO＝BO
∴△ABO等边三角形
∴∠AOB＝60°
∵＝
∴∠AOE＝60°
∴∠EOC＝60°
∴弧长＝2π×（2×2）×＝π．
15．解：（1）S1＝（m﹣5）（m﹣1）
＝m2﹣m﹣5m+5
＝m2﹣6m+5
S2＝（m﹣4）（m﹣2）
＝m2﹣2m﹣4m+8
＝m2﹣6m+8
（2）∵S1﹣S2
＝m2﹣6m+5﹣（m2﹣6m+8）
＝m2﹣6m+5﹣m2+6m﹣8
＝﹣3＜0
∴S1＜S2
答案：＜．
（3）甲乙两长方形周长：2（m﹣1+m﹣5）+2（m﹣4+m﹣2）＝8m﹣24
∴正方形边长：＝2m﹣6．
该正方形面积：（2m﹣6）2＝4m2﹣24m+36．
答：该正方形面积4m2﹣24m+36．
16．（1）证明：∵∠ABC＝90°
∴∠ABE+∠OBD＝90°
∵AB＝AE
∴∠ABE＝∠AEB＝∠DEF
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB
∴∠ODB+∠DEF＝90°
∠DFE＝90°
∴DO⊥AC
（2）解：设AB＝AE＝x
Rt△ABC中AC2＝AB2+BC2
∵CE＝4BC＝8
∴（x+4）2＝x2+82解：x＝6
∴
∴
∴
∴
∴
∴
Rt△DEF中．
17．（1）证明：正方形ABCD中∠ADC＝90°
∴∠CDF+∠ADF＝90°
∵AF⊥DE
∴∠AFD＝90°
∴∠DAF+∠ADF＝90°
∴∠DAF＝∠CDF
∵四边形GFCD⊙O接四边形
∴∠FCD+∠DGF＝180°
∵∠FGA+∠DGF＝180°
∴∠FGA＝∠FCD
∴△AFG∽△DFC．
（2）解：图连接CG．
∵∠EAD＝∠AFD＝90°∠EDA＝∠ADF
∴△EDA∽△ADF
∴＝＝
∵△AFG∽△DFC
∴＝
∴＝
正方形ABCD中∵DA＝DC
∴AG＝EA＝1DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3
∴CG＝＝5
∵∠CDG＝90°
∴CG⊙O直径
∴⊙O半径．
18．（1）证明：连接OEOGEG
∵点E中点
∴＝
∴∠DOE＝∠EOG
∵∠ABC＝∠DOG＝∠DOE
∴OE∥AB
∵EF⊙O切线
∴OE⊥EF
∴EF⊥AB
∴∠AEF+∠A＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠ABC+∠A＝90°
∴∠AEF＝∠ABC
（2）Rt△AEF中sinA＝设EF＝2aAE＝3a
∴AF＝＝a
连接DE
∵点E中点
∴＝
∴DE＝EG
∵四边形BDEG圆接四边形
∴∠EGF＝∠EDC
∵∠EFG＝∠ECD＝90°
∴△EFG≌△ECD（AAS）
∴CD＝FG＝1
∵∠AEF＝∠ABC∠ACB＝∠AFE＝90°
∴△ABC∽△AEF
∴＝
＝
∴BC＝2a
∴BD＝BC+CD＝2a+1
∴OB＝OD＝OE＝
Rt△COE中OC＝OD﹣CD＝﹣1＝
EC2+OC2＝OE2
（2a）2+（）2＝（）2
解a＝
∴AC＝5a＝．
19．（1）证明：连接OB
∵AC⊙O直径
∴∠ABC＝90°
∵AB⊥PO
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C∠POB＝∠OBC
OB＝OC
∴∠OBC＝∠C
∴∠AOP＝∠POB
△AOP△BOP中
∴△AOP≌△BOP（SAS）
∴∠OBP＝∠OAP
∵PA⊙O切线
∴∠OAP＝90°
∴∠OBP＝90°
∴PB⊙O切线
（2）证明：连接AE
∵PA⊙O切线
∴∠PAE+∠OAE＝90°
∵AD⊥ED
∴∠EAD+∠AED＝90°
∵OE＝OA
∴∠OAE＝∠AED
∴∠PAE＝∠DAEEA分∠PAD
∵PAPB⊙O切线
∴PD分∠APB
∴E△PAB心
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°∠C+∠BAC＝90°
∴∠PAB＝∠C
∴cos∠C＝cos∠PAB＝
Rt△ABC中cos∠C＝＝＝
∴AC＝AO＝
∵△PAO∽△ABC
∴
∴PO＝＝＝5．
20．（1）证明：∵AD∥BEAE∥BD
∴四边形EADB行四边形
∵AB分∠EAD
∴∠EAB＝∠DAB
∵AE∥BD
∴∠EAB＝∠DBA
∴∠DAB＝∠DBA
∴AD＝BD．
∴四边形EADB菱形
（2）解：∵∠ACB＝90°∠BAC＝60°BC＝2
∴tan60°＝＝
∴AC＝2
∴S△ACB＝AC•BC＝×2×2＝2
∵AE∥BC
∴S△ECB＝S△ACB＝2．
21．解：（1）图1中
折叠知∠AEB＝∠FEB∠DEG＝∠HEG
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°
∴∠AEB+∠DEG＝90°
∵四边形ABCD矩形
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°
∴∠ABE＝∠DEG
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设AE＝x
∵△ABE∽△DEG
∴＝
∴＝
∴DG＝＝﹣（x﹣5）2+
∵﹣＜0（0＜x＜10）
∴x＝5时DG值值．
②图2中连接DH．
折叠知∠AEB＝∠FEBAE＝EFAB＝BF＝6∠BFE＝∠A＝90°
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBC
∴∠FEB＝∠EBC
∴CE＝CB＝10
∵点C直线EF
∴∠BFC＝90°CF＝10﹣EF＝10﹣AE
∴CF＝＝＝8
∴AE＝EF＝CE﹣CF＝10﹣8＝2
∴DG＝＝＝
∴EG＝＝＝
折叠知EG垂直分线段DH
∴DH＝2×＝2×＝．
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